vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

Transkript

1 enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på forhåd. Matrix-algebrae fra enote 3 forudsættes bekedt (sum, produkt, traspoerig og iverse af matricer) samt de geerelle løsigsmetode for lieære ligigssystemer fra enote 2. Versio Itro til determiater Determiate af e reel kvadratisk ( )-matrix A er et reelt tal, som vi beteger med det(a) eller ogle gage kort med A. Determiate af e matrix ka betragtes som et mål for, hvor meget matrice vejer (med forteg). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. Determiate er e gaske bestemt fuktio af de i alt 2 tal, der står som elemeter i e ( )-matrix. For at defiere og derefter berege determiat-værdie af ( )-matricer direkte ud fra deres 2 elemeter har vi brug for to tig: Dels de velkedte determiat-formel for (2 2)-matricer (defiitio 5. edefor) og dels e metode til at sitte e vilkårlig ( )-matrix op i (2 2)-matricer og derfra at berege determiate ud fra determiatere af disse (2 2)-matricer.

2 enote DETERMINANTER AF (2 2) MATRICER Determiater af (2 2) matricer Defiitio 5. Determiater af (2 2)-matricer Lad A være de vilkårlige (2 2)-matrix Så er determiate af A defieret ved [ ] a a A = 2. (5-) a 2 a 22 det(a) = a a 22 a 2 a 2. (5-2) Opgave 5.2 Ivers (2 2) matrix Husk, at de iverse matrix A til e regulær matrix A har de karakteristiske egeskab, at A A = A A = E. Vis direkte ud fra (5-) og (5-2), at de iverse matrix A til e (2 2)-matrix A ka udtrykkes på følgede måde (år altså det(a) = 0): A = [ det(a) a 22 a 2 a 2 a ]. (5-3) Opgave 5.3 Regeregler for (2 2) matricer For geerelle kvadratiske matricer gælder e række fudametale determiat-regeregler, som vil blive præseteret i sætig 5.20 edefor. Tjek allerede u de tre første ligiger i sætig 5.20 for (2 2)-matricere A og B. Brug direkte udregig af begge sider af ligigere ved hjælp af (5-2). 5.3 Sit-matricer Defiitio 5.4 Sitmatricer For e ( )-matrix A defieres (i, j)-sitmatrice  ij som de (( ) ( ))- udermatrix af A, der fremkommer ved, at hele række i og hele søjle j slettes fra matrice A.

3 enote INDUKTIV DEFINITION AF DETERMINANTER 3 Hver ekelt af de i alt 2 sit-matricer  ij (hvor i og j ) er midre ed A, da de er af type ( ) ( ) og derfor ku ideholder ( ) 2 elemeter. Eksempel 5.5 Sitmatricere for e (3 3) matrix E (3 3)-matrix A har i alt 9 stk. (2 2)-sitmatricer  ij. For eksempel, hvis 0 2 A = 3 2, (5-4) 0 5 så er de 9 sitmatricer hørede til A givet ved [ ] [ ] [ ]  =,  5 2 =,  0 3 =, 0 5 [ ] [ ] [ ]  2 =,  22 =,  23 =, [ ] [ ] [ ]  3 =,  32 =,  33 = (5-5) Disse 9 (2 2)-sitmatricers respektive determiater ka hver for sig direkte bereges ud fra defiitioe 5.: det(â ) = 7, det(â 2 ) =, det(â 3 ) = 5, det(â 2 ) = 3, det(â 22 ) = 0, det(â 23 ) = 0, det(â 3 ) =, det(â 32 ) =, det(â 33 ) = 2. (5-6) 5.4 Iduktiv defiitio af determiater Determiate af e (3 3)-matrix ka vi bestemme ud fra determiatere af tre af des i alt i sitmatricer. Geerelt gælder emlig, at determiate af e ( )-matrix defieres ved hjælp af determiatere af de sitmatricer, der hører til e frit valgt (me fast) række r. Metode kaldes også opløsig efter r te række.

4 enote INDUKTIV DEFINITION AF DETERMINANTER 4 Defiitio 5.6 Determiater defieres ved opløsig For e vilkårlig værdi af rækkeideks r defieres determiate af e give ( )- matrix A iduktivt på følgede måde: det(a) = j= hvor a rj er elemetet på plads (r, j) i A. ( ) r+j a rj det(â rj ), (5-7) Vi beytter her og seere følgede korte skrivemåder og otatioer for summer og produkter af mage led: c + c c + c = c c 2 c c = i= i= c i, c i. og (5-8) Eksempel 5.7 Opløsig af e determiat efter. række Vi vil beytte defiitio 5.6 direkte til at berege determiate af de (3 3)-matrix A, som er givet i eksempel 5.5. Vi vælger r = og skal derfor opløse efter første række. Da = 3, har vi således brug for de tre sitmatrix-determiater det(â rj ) for j =, 2, 3, som allerede er udreget i eksempel 5.5: det(â ) = 7 det(â 2 ) = det(â 3 ) = 5. Vi har desude brug for de tre elemeter i de række, vi opløfter efter, som blot aflæses af matrice: Determiate af A fides: det(a) = 3 j= ( ) +j a j det(â j ) a = 0 a 2 = 2 a 3 =. = ( ) + a det(â ) + ( ) +2 a 2 det(â 2 ) + ( ) +3 a 3 det(â 3 ) = ( ) 2 0 ( 7) + ( ) ( ) 4 5 = = 3. (5-9)

5 enote INDUKTIV DEFINITION AF DETERMINANTER 5 Læg mærke til, at sitmatriceres determiater skal gages med det elemet i A, som står på plads (r, j), og med fortegs-faktore ( ) r+j, før de lægges samme. Hvis A har flere rækker hhv. søjler ed tre, > 3, så bliver sitmatricere ikke (2 2)-matricer. For at fide sitmatriceres determiater til at bruge i formle er det selvfølgelig ikke oget problem at trævle dem op også efter samme formel og opå edu midre sitmatricer. Således eder vi altid med til sidst ku at skulle bestemme vægtede summer af determiater af (2 2)- matricer! Me vi ka dog ede med mage (2 2)-matricer. Opgave 5.8 Valg af opløsigsrække er ligegyldig Vis direkte ved beregig, at vi får samme værdi for determiate ved at bruge e af de adre to rækker til opløsige af determiate i eksempel 5.5. Defiitio 5.9 Alterativ: Opløsig efter søjle Determiate af e give ( )-matrix A ka alterativt defieres iduktivt ved opløsig efter e vilkårlig valgt søjle: det(a) = i= Her er opløsige udtrykt ved opløsig efter søjle s. ( ) i+s a i s det(â i s ). (5-0) Som det er atydet allerede med defiitioere og som vist i det kokrete tilfælde med matrice i eksempel 5.5, er det ligegyldigt, hvilke række (eller søjle) ma opløser efter. Sætig 5.0 Valg af opløsigs-række eller -søjle er ligegyldig De to defiitioer 5.6 og 5.9 af determiate af e kvadratisk matrix giver samme værdi og er uafhægige af valg af række hhv. søjle til de respektive opløsiger. Opgave 5. Valg af opløsigssøjle er ligegyldig Vis direkte ved beregig, at vi får samme værdi for determiate i eksempel 5.5 ved at bruge søjle-opløsig efter e vilkårlig valgt søjle i A.

6 enote BEREGNINGSTEKNISKE EGENSKABER VED DETERMINANTER 6 Det er selvsagt smartest at opløse efter e række (eller søjle), som ideholder e masse 0 er, etop fordi leddee i formle gages med elemetere i de valgte række (eller søjle). Vælges e række (eller søjle) med mage 0 er, forsvider mage af leddee, så udregige forsimples voldsomt. Opgave 5.2 Determiater af ogle større matricer Beyt de ovefor give avisiger og resultater til at fide determiate af hver af følgede matricer: , ,. (5-) Hvis der er e række (eller søjle), hvori alle elemeter påær ét er 0, så er det klart smartest at vælge de at opløse efter. Og det er tilladt at skaffe sig e masse 0 er ved de velkedte rækkeoperatioer, hvis ma blot holder øje med, hvilke kostater der divideres med, og hvor mage gage der byttes om på rækkere. Dette behadles i sætig 5.6 og bruges i eksempel 5.7 edefor. 5.5 Beregigstekiske egeskaber ved determiater Vi samler her ogle af de vigtigste redskaber, som ofte beyttes til beregig og ispektio af determiater af matricer. Det er ikke svært at vise følgede sætig fx direkte ved først at opløse efter første søjle eller efter første række, hvorefter møsteret, som sætige udtrykker, viser sig. Sætig 5.3 Trekatsmatricer Hvis e ( )-matrix har lutter 0 er over diagoale (kaldet e edre trekatsmatrix) eller lutter 0 er uder diagoale (kaldet e øvre trekatsmatrix), så er determiate givet ved produktet af diagoalelemetere. Specielt har vi derfor:

7 enote BEREGNINGSTEKNISKE EGENSKABER VED DETERMINANTER 7 Hjælpesætig 5.4 Determiate af e diagoalmatrix Lad Λ betege e ( )-diagoalmatrix med diagoal-elemetere λ, λ 2,..., λ og ellers med 0 er ude for diagoale: λ λ 2 0 Λ = diag(λ, λ 2,, λ ) = (5-2) λ Så er determiate det(λ) = λ λ 2 λ = i= λ i. (5-3) Opgave 5.5 Determiate af e bidiagoal-matrix Bestem determiate af ( )-bidiagoal-matrice med vilkårligt give værdier µ,..., µ i bidiagoale (de omvedte diagoal) og ellers 0 er udefor: 0 0 µ 0 µ 2 0 M = bidiag(µ, µ 2,, µ ) =.... (5-4) µ For geerelle matricer og derfor også kvadratiske matricer gælder som bekedt fra enote 2, at de ka omformes til trappeform ved brug af rækkeoperatioer. Hvis ma holder godt øje med, hvad der sker ved hvert skridt i de omformig, så ka determiate af matrice direkte aflæses ud fra processe. Determiate af e matrix opfører sig emlig pæt, selvom der udføres rækkeoperatioer på matrice.

8 enote BEREGNINGSTEKNISKE EGENSKABER VED DETERMINANTER 8 Sætig 5.6 Rækkeoperatioers idflydelse på determiate Determiate har følgede egeskaber:. Hvis alle elemeter i e række i A er 0, så er det(a) = Hvis to rækker ombyttes i A dvs. R i R j så skifter determiate forteg. 3. Hvis alle elemetere i e række i A gages med e kostat k dvs. k R i så bliver determiate gaget med k. 4. Hvis to rækker i e matrix A er es, så er det(a) = E rækkeoperatio af type R j + k R i, hvor i = j, ædrer ikke determiate. Som atydet ovefor følger det af disse egeskaber ved determiatfuktioe, at de velkedte reduktio af e give matrix A til trappeform trap(a) via rækkeoperatioer som beskrevet i enote 2, faktisk ideholder e helt eksplicit beregig af determiate af A. Vi illustrerer med et simpelt eksempel. Eksempel 5.7 Ispektio af determiat ved reduktio til trappeform Vi betragter (3 3)-matrice A (matrice A i eksempel 5.5): 0 2 A = 3 2. (5-5) 0 5 Vi reducerer de til trappeform på sædvalig måde med Gauss Jorda rækkeoperatioer og holder hele tide øje med, hvad der sker med determiate ved at bruge reglere fra sætig 5.6 (og ved evetuelt derudover at checke dem med direkte udregiger). Operatio: R R 2, ombyt række et og række to. Determiate: Skifter forteg. 3 2 A 2 = 0 2 (5-6) 0 5 det(a 2 ) = det(a ). (5-7) Operatio: 2 R 2, række to gages med 2. Determiate: Gages med A 3 = 0 /2 (5-8) 0 5

9 enote BEREGNINGSTEKNISKE EGENSKABER VED DETERMINANTER 9 det(a 3 ) = 2 det(a 2) = 2 det(a ). (5-9) Operatio: R 3R 2, række to trukket fra række et 3 gage. Determiate: Uædret. 0 /2 A 4 = 0 /2 (5-20) 0 5 det(a 4 ) = det(a 3 ) = 2 det(a 2) = 2 det(a ). (5-2) Operatio: R 3 5R 2, række to trukket fra række tre 5 gage. Determiate: Uædret. 0 /2 A 5 = 0 /2 (5-22) 0 0 3/2 det(a 5 ) = det(a 4 ) = det(a 3 ) = 2 det(a 2) = 2 det(a ). (5-23) Determiate er u diagoal-produktet, fordi alle elemetere uder diagoale er 0, se sætig 5.3. Vi har derfor 3 2 = 3 2 = det(a 5) = det(a 4 ) = det(a 3 ) = 2 det(a 2) = 2 det(a ). (5-24) Heraf får vi direkte (ved at læse baglæs ) 2 det(a ) = 3 2 (5-25) således, at det(a ) = 3. (5-26) Derudover har vi følgede sammehæg mellem rag og determiat. Determiate afslører emlig, om matrice er sigulær eller regulær. Sætig 5.8 Rag versus determiat Rage af e kvadratisk ( )-matrix A er skarpt midre ed, hvis og ku hvis determiate af A er 0. Med adre ord, A er sigulær hvis og ku hvis det(a) = 0. Hvis e matrix ideholder e variabel (e parameter), så er determiate af matrice e fuktio af dee parameter. I avedelsere af matrix-algebra er det ofte ret afgørede at kue fide ulpuktere for e såda fuktio. Dette er klart, da de tilhørede matrix er sigulær for de parameterværdier, der giver determiate værdie

10 enote BEREGNINGSTEKNISKE EGENSKABER VED DETERMINANTER 0 ul ifølge oveståede sætig, hvilket svarer til, at der måske ikke fides e (etydig) løsig til det tilsvarede lieære ligigssystem. Opgave 5.9 Givet matrice Determiat af matrix med variabel a a 2 a 3 A = 0 a 2 a 3 a a a 3 hvor a R. (5-27) a a 2 a. Bestem determiate af A som et polyomium i a. 2. Bestem røddere i dette polyomium. 3. Fid rage af A for a { 4, 3, 2,, 0,, 2, 3, 4}. Hvad har rage at gøre med de fude rødder i determiate? 4. Fid rage af A for alle a. Sætig 5.20 Regeregler for determiater Lad A og B betege to ( )-matricer. Så gælder:. det(a) = det(a ). 2. det(ab) = det(a) det(b). 3. det(a ) = det(a), år blot A er regulær, altså det(a) = det(a k ) = det(a) k, for alle k. 5. det(b AB) = det(a), år blot B er regulær, hvilket vil sige, at det(b) = 0. Opgave 5.2 Bevis de 3 sidste ligiger i sætig 5.20 ved at bruge ligige det(ab) = det(a) det(b). Opgave 5.22 Determiate af e sum er ikke determiatsumme Vis med et simplest muligt eksempel, at determiat-fuktioe det() ikke er additiv. Altså fid to ( )-matricer A og B således, at det(a + B) = det(a) + det(b). (5-28)

11 enote CRAMERS LØSNINGSMETODE Opgave 5.23 Brug af regereglere for determiater Lad a betege et reelt tal. Der er givet følgede matricer:. Fid det(a) og det(b) A = a 2 og B = Fid det(a B) og det ( (A B ) 4 ) (5-29) 0 a 3. Agiv de værdier af a, for hvilke A er regulær, og fid for disse værdier af a udtrykket for det(a ). 5.6 Cramers løsigsmetode Hvis A er e regulær ( )-matrix, og b = (b,..., b ) er e vilkårlig vektor i R, så fides der (som det vides fra enote 2) præcis é løsig x = (x,..., x ) til det lieære ligigssystem Ax = b, og vi har i enote 2 fudet metoder til at fide dee løsig. Cramers metode til løsig af sådae ligigssystemer er e direkte metode. De består essetielt i at udrege passede determiater af matricer, der kostrueres ud fra A og b, og så skrive løsige ed direkte ud fra de beregede determiater. Sætig 5.24 Cramers løsigsformel Lad A være e regulær ( )-matrix, og lad b = (b,..., b ) betege e vilkårlig vektor i R. Så fides der præcis é løsig x = (x,..., x ) til det lieære ligigssystem Ax = b, (5-30) og elemetere i dee løsig er givet ved x j = det(a) det(a b j ) for j =,...,, (5-3) hvor A b j med b. beteger de ( )-matrix, der fremkommer ved at erstatte søjle j i A

12 enote CRAMERS LØSNINGSMETODE 2 Forklarig 5.25 Hvad betyder Hvis A er matrice (fra eksempel 5.5) og hvis b = (b, b 2, b 3 ), så er 0 2 A = 3 2, (5-32) 0 5 b 2 0 b 0 2 b A b = b 2 3 2, A b 2 = b 2 2, A b 3 = 3 b 2. (5-33) b b b 3 Opgave 5.26 Brug af Cramers løsigsformel Hvis vi specielt lader A være de samme matrix som ovefor i forklarig 5.25 og u helt kokret lader b = (, 3, 2), så får vi ved at idsætte b i (5-33) og deræst udrege de relevate determiater: 2 det(a b ) = det = det(a b 2 ) = det 3 2 = (5-34) det(a b 3 ) = det 3 3 = Da vi også keder det(a) = 3, ka vi u kostruere løsige til ligigssystemet Ax = b vha. (5-3): ( x = (x, x 2, x 3 ) = 3 4, 3, ) ( 4 3 = 3, 3, ). (5-35) 3. Tjek ved direkte idsættelse, at x er e løsig til Ax = b. 2. Bestem A, og brug de direkte til løsig af ligigssystemet. 3. Løs ligigssystemet ved reduktio af totalmatrice til trappeform som øvet i enote 2 og efterfølgede aflæsig af løsige.

13 enote CRAMERS LØSNINGSMETODE 3 For at vise, hvad der faktisk foregår i Cramers løsigsformel, defierer vi først de adjugerede matrix for e matrix A. Defiitio 5.27 De adjugerede matrix De adjugerede matrix adj(a) defieres ved de elemeter, som beyttes i defiitio 5.6 om determiate for A: ( ) + det(â ) ( ) + det(â ) adj(a) =..... ( ) + det(â ) ( ) + det(â ) (5-36) Med adre ord: elemetet på plads (i, j) i de adjugerede matrix adj(a) er de ( ) i+j -fortegs-modificerede determiat af (i, j)-sitmatrice, altså: ( ) i+j det(â ij ). Bemærk traspoerige i (5-36). Eksempel 5.28 E adjugeret matrix I eksempel 5.5 betragtede vi følgede matrix Matrice A har følgede adjugerede matrix 0 2 A = 3 2. (5-37) adj(a) = 0, (5-38) som fås direkte ud fra de tidligere beregig af sitmatrix-determiatere, som her getages det(â ) = 7, det(â 2 ) =, det(â 3 ) = 5, det(â 2 ) = 3, det(â 22 ) = 0, det(â 23 ) = 0, det(â 3 ) =, det(â 32 ) =, det(â 33 ) = 2, (5-39) idet vi husker, dels at de ekelte elemeter skal have et forteg, der afhæger af positioe, og dels at udtrykket (5-36) ivolverer e traspoerig.

14 enote CRAMERS LØSNINGSMETODE 4 Opgave 5.29 Adjugeret versus ivers matrix Vis, at alle kvadratiske matricer A opfylder, at A adj(a) = det(a)e (5-40) såda, at de iverse matrix til A (som jo fides, etop hvis det(a) = 0) ka fides på følgede måde: A = adj(a). (5-4) det(a) Vik: Opgave er ikke helt em. Det abefales, at ma først øver sig på e (2 2)-matrix. 0 ere i ehedsmatrice i (5-40) fås ved at bruge de egeskab, at determiate af e matrix med to es søjler er 0. Beviset for sætig 5.24 er u gaske kort: Bevis Ved at gage på begge sider af (5-30) med A fås x = A b = adj(a)b, (5-42) det(a) hvor resultatet fra opgave 5.29 beyttes. Vi beteger u elemetere i adj(a) med α ij : x. x = α α b. det(a)..... α α b. (5-43) Heraf aflæses direkte x j = = = det(a) det(a) i= i= α ji b i det(a) det(a b j ), ( ) i+j b i det(â ij ) hvor vi til etablerig af det sidste lighedsteg har beyttet, at (5-44) i= ( ) i+j b i det(â ij ) (5-45) lige præcis er opløsige af det(a b j ) efter søjle ummer j, altså opløsige efter b-søjle i det(a b j ) (se defiitio 5.9).