Eksamen på Økonomistudiet 2009-II Makro 2, anden årsprøve Forårssemestret timers tag med-hjem-eksamen

Transkript

1 Eksamen på Økonomistudiet 2009-II Makro 2, anden årsprøve Forårssemestret timers tag med-hjem-eksamen Udleveres onsdag den 3. juni 2009, kl fra fagets hjemme- og Absalonside. Afleveres fredag den 5. juni 2009, senest kl ved upload til Absalonsiden. Denne eksamen består alene af Opgave 1. I Solow-modellen antages en eksogen bruttoosparingskvote, således at opsparingsadfærden ikke er bestemt ud fra optimering. Meningen med denne opgave er at videreudvikle Solow-modellen, så opsparingsadfærden eksplicit udledes ved optimering ud fra en given intertemporal nyttefunktion og en dynamisk budgetrestriktion. Herefter kan der foretages en incitamentsbaseret analyse af, hvordan beskatning af kapitalindkomst påvirker opsparingsadfærd og velfærd. Opgave 1. En Solow-model med endogen opsparingsadfærd Modellens mikroverden er i høj grad som i Solow-modellen: Der betragtes en lukket økonomi, og tiden løber diskret i perioder 0, 1, 2, 3,..., som indekseres med t eller s. Der er tre varer, output, kapitalydelser og arbejdsydelser, med realpriser hhv. 1 (én), r t (bruttolejesatsen for kapitalydelser) og w t (reallønnen). Der antages fuldkommen konkurrence på økonomiens markeder, dvs. de relative priser, r t og w t, tages for givne af alle aktører. En repræsentativ forbruger ejer kapitalbeholdningen K t til anvendelse i periode t og udbyder iperiodet uelastisk (så længe blot r t > 0) kapitalydelser i mængden K t. Kapital er således økonomiens aktiv. Kapital nedslides med rate δ per periode, hvor 0 < δ < 1, sånettofor nedslidning tjener forbrugeren realrenten, ρ t r t δ, per enhed kapital. Forbrugeren udbyder ligeledes uelastisk arbejdskraft i mængden L t. Der ses bort fra vækst i arbejdsstyrken og antages L t =1for alle t. En repræsentativ virksomhed efterspørger kapital- og arbejdsydelser i mængderne Kt d og L d t og producerer herudfra output i mængden Y t, som udbydes på outputmarkedet. Output efterspørges af husholdningen til forbrug C t og bruttoinvestering I t. Virksomhedens produktionsfunktion er: Y t = Kt d α L d 1 α t, 0 <α<1. Der ses således bort fra teknologisk udvikling. Forbrugerens intertemporale (dynamiske) budgetrestriktion er: K t+1 K t = r t K t + w t C t δk t, (1) eller: K t+1 =(1+ρ t ) K t + w t C t, (2) i begge tilfælde for t =0, 1, 2,... og med K 0 givet (prædetermineret).

2 I overensstemmelse med sædvanlige langsigtsantagelser forudsættes det, at forbrugeren kender det fulde forløb af fremtidige priser, dvs. der antages perfekt forudseenhed mht. r t (og dermed ρ t )ogw t. Iperiodet skal forbrugeren bestemme sit forbrug C t og gør dette ved at vælge en fuld forbrugsstrøm over indeværende og fremtidige perioder, C t,c t+1,..., ogeffektuere C t heraf. Når forbrugsstrømmen C t,c t+1,... er bestemt, følger den tilsvarende udvikling i aktivbeholdningen, K t+1,k t+2,..., af (1) eller (2). (Husk her, at når periode t er nået, ligger K t fast, fordi den er prædetermineret). Alternativt kan man se sådan på det, at forbrugeren i periode t vælger udviklingen i kapitalbeholdningen, K t+1,k t+2,...,, hvorefter forbrugsstrømmen, C t,c t+1,..., følger af (1) eller (2). Den samlede nytte forbrugeren opnår ved forbrugsstrømmen C t,c t+1,... fra periode t og frem er: X µ s t 1 U t u (C s ), 0 <θ<1, (3) 1+θ s=t hvor θ er tidspreferenceraten, og u er en periodenyttefunktion. Bemærk at U t er den samlede tilbagediskonterede værdi af periodenytter over indeværende og alle fremtidige perioder, når der diskonteres med tidspræferenceraten. Om u antages: u(c) = C1 ε 1 ε for ε>0, ε6= 1, (4) hvor ε er en given parameter. Forbrugerens adfærd beskrives ved, at denne vælger C t,c t+1,..., (eller alternativt vælger K t+1,k t+2,...) med henblik på at maksimere U t under bibetingelserne (1) (eller (2)) samt de naturlige krav C t 0 og K t 0 for alle t. Dette maksimeringsproblem kaldes forbrugerens problem. Spørgsmål 1. Redegør for at det følger af profitmaksimerende adfærd i virksomheden, forbrugerens adfærd samt markedsclearing på de kompetitive markeder, at i alle perioder gælder: r t = αk α 1 t og w t =(1 α) K α t. (5) Redegør videre for, at r t K t + w t = Y t, således at bruttokapitalindkomst og lønindkomst udtømmer værditilvæksten Y t, og der ikke er nogen ren profit (hvilket egentlig allerede var antaget i formuleringen af budgetrestriktionen (1)). Spørgsmål 2. Vis at funktionen u givet i (4) opfylder standardantagelserne u 0 (C) > 0 og u 00 (C) < 0 uanset ε. Et mål for krumningsgraden af u ved et givet C er elasticiteten af u 0 (C) mht. C (målt positivt), altså: du 0 (C) u 0 (C) dc C = du 0 (C) dc C u 0 (C) = u00 (C)C u 0 (C). (6) Vis at med den her antagne u-funktion gælder, at dette krumningsmål for alle C er lig med ε og altså uafhængigt af C. Diskutér intuitivt, hvad en større værdi af ε, dvs. en større krumning af periodenyttefunktionen u, betyder for, hvor meget vægt forbrugeren lægger på at have et tidsmæssigt jævnt fordelt forbrug. Det marginale substitutionsforhold mellem forbrug i periode t og forbrug i periode t +1 er jo som bekendt den stigning i forbrug i periode t +1, der kræves 2

3 per enhed forbrug afgivet i periode t for netop at kompensere forbrugeren nyttemæssigt, når de betragtede forbrugsændringer er små. Vis at dette marginale substitutionsforhold her er: u 0 µ ε (C t ) MRS(C t+1,c t )=(1+θ) u 0 (C t+1 ) =(1+θ) Ct+1. (7) C t I det følgende skal det lægges til grund, at forbrugerens problem er sådan, at de resulterende optimale baner for C t og K t er indre i betydningen C t > 0 og K t > 0 for alle t. De to næste delspørgsmål kan besvares i den rækkefølge, man ønsker. Nogle vil måske foretrække at tage det formelle før det intuitive og kan så svare på spørgsmål 4 før spørgsmål 3. Spørgsmål 3. Argumentér økonomisk-intuitivt for, at langs en indre, optimal bane for forbrug og kapitalbeholdning må der for alle t =0, 1, 2,... gælde: u 0 (C t )= 1 1+θ u0 (C t+1 ) 1+ρ t+1, (8) eller anderledes skrevet: u 0 (C t ) (1 + θ) u 0 (C t+1 ) =1+ρ t+1 (9) (Vink: Man skal demonstrere, at hvis betingelsen ikke er opfyldt, findes der en anden, økonomisk mulig forbrugsstrøm, der giver mere samlet nytte). Spørgsmål 4. Det skal vises formelt, at optimalitetsbetingelsen (8) eller (9) følger af førsteordensbetingelserne for forbrugerens problem ved at gå frem som følger: Budgetrestriktionen (2) gælder jo for alle perioder. Betragt budgetrestriktionerne for de to perioder, hvor det er hhv. C t og C t+1, der indgår på højresiden. Fra disse to budgetrestriktioner isoleres hhv. C t og C t+1.de resulterende udtryk for C t og C t+1 sættes ind på pladserne for hhv. C t og C t+1 idetoførsteled af summen, der udgør U t i henhold til (3), så U t skrives som summen af de to resulterende led plus en restsum. Vis at når det resulterende udtryk for U t differentieres mht. K t+1,ogdenne afledte sættes lig med nul, fremkommer (8) eller (9). Spørgsmål 5. Med den i (4) antagne nyttefunktion kan optimalitetsbetingelsen skrives: µ Ct+1 C t ε = 1+ρ t+1 1+θ. (10) Udled fra denne elasticiteten af det intertemporale forbrugsforhold C t+1 /C t mht. 1+ρ t+1,altså mht. prisen på forbrug i periode t opgjort i enheder af forbrug i periode t +1. Dette er den såkaldte substitutionselasticitet. Beskriv i ord hvad størrelsen af ε betyderfor,hvorkraftigt forbrugsforholdet C t+1 /C t reagerer på en given ændring i realrenten ρ t+1 og jævnfør med, hvad du tidligere fandt, at ε skulle indebære mht. ønsket om forbrugsudjævning. En samlet model kan nu skrives som anført nedenfor, idet ligning (M1) er produktionsfunktionen (med markedsclearingsbetingelserne K d t = K t og L d t = L t = 1 indsat), (M2) er forbrugerens budgetrestriktion gentaget, (M3) og (M4) er gentagelser af ligevægtsbetingelserne for 3

4 hhv. kapitalydelses- og arbejdsmarkedet, mens (M5) er den nødvendige betingelse for en indre optimal forbrugsbane gentaget: Y t = Kt α (M1) K t+1 K t = r t K t + w t C t δk t, K 0 givet (M2) r t = αk α 1 t (M3) w t =(1 α) Kt α (M4) µ ε Ct+1 = 1+r t+1 δ (M5) C t 1+θ (For at gøre modellen fuldstændig kræves egentlig tilføjelsen, at også niveauet for forbrugsbanen (C t ) skal være optimalt for forbrugeren, idet (M5) jo kun er en nødvendig betingelse for en optimal bane. Dette vil dog ikke få betydning i det følgende). Spørgsmål 6. Det undrer måske, at modellen ovenfor ikke rummer en ligevægtsbetingelse for outputmarkedet. Vis at denne følger ved Walras lov, dvs.: Idet bruttoinvesteringen i periode t er I t K t+1 K t + δk t, skal det vises, at (M1) - (M4) indebærer, at Y t = C t + I t. Vis videre, at den samlede model implicerer følgende to relationer: K t+1 K t = K α t C t δk t, K 0 givet, (11) µ ε Ct+1 = 1+α [Kα t +(1 δ) K t C t ] α 1 δ. (12) C t 1+θ Antag at kapitalbeholdningen er konstant, som det vil være tilfældet i steady state. For hvilken værdi af et konstant kapitalapparat opnås i henhold til (11) det størst mulige (konstante) forbrug? (Dette kaldes Golden Rule-kapitalapparatet og benævnes K ). Modellen er nu skrevet ned til det dynamiske system bestående af ligningerne (11) og (12). En steady state defineres som en konstant løsning til (11) og (12), K t+1 = K t = K og C t+1 = C t = C,hvorsåvelK > 0 som C > 0. Spørgsmål 7. Vis at der er netop én steady state og at: K = µ α 1 1 α og C = µ α µ 1 α 1 α α 1 α δ, (13) og (i oplagt notation): Y = µ α α 1 α, (14) r = og ρ = θ, (15) µ α α w 1 α =(1 α). (16) Vis at K <K. Kommentér disse steady state-relationer. Om det betragtede dynamiske system indebærer konvergens til steady state er et både interessant og subtilt spørgsmål, som ligger udenfor rammerne af denne opgave. Man kan vise, at 4

5 den samlede model (altså ligningerne (M1) - (M5) plus kravet om optimal forbrugsbane) faktisk indebærer konvergens mod steady state. I det følgende tages dette resultat for givet. Derfor skal alene steady state betragtes og analyseres. I resten af opgaven skal der betragtes en modificeret model, hvor det antages, at staten beskatter nettokapitalindkomst med en konstant rate τ, så den repræsentative forbruger i periode t betaler en skat på: T t = τρ t K t = τ (r t δ) K t, 0 <τ<1. (17) Staten giver samtidig i periode t forbrugeren en overførsel på O t, som er uafhængig af forbrugerens adfærd (en lump sum-overførsel). Forbrugeren tager fuldt ud højde for, hvordan skattebetalingen påvirkes af K t, men betragter (korrekt) overførslen som uafhængig af egen adfærd. Staten balancerer sit budget i hver periode, så i samlet ligevægt gælder netop: O t = τ (r t δ) K t. (18) Staten antages ikke at beskatte lønindkomst, men da arbejdsudbuddet her er eksogent givet, ville det heller ikke gøre nogen substantiel forskel. Det er naturligvis ikke strengt meningsfuldt at beskatte forbrugeren og give det samlede skatteprovenu tilbage til samme forbruger som en lump-sum overførsel. Dette analytiske greb gøres for at kunne rendyrke den forvridende effekt af beskatningen. Med de gjorte antagelser ændres forbrugerens intertemporale budgetrestriktion fra (1) til: K t+1 K t =(1 τ)(r t δ) K t + w t C t + O t, (19) for t =0, 1, 2... Det bemærkes (igen), at forbrugeren i sin optimering tager O t for givet. Spørgsmål 8. Ved at gennemgå skridt ligesom de, der førte frem til den samlede model (M1) - (M5) ovenfor og derefter til systemet (11) og (12), skal den fulde modificerede model og det hertil hørende modificerede dynamiske system udledes. Angiv (i den oplagte notation) formler for K (τ), C (τ), Y (τ), r (τ), ρ (τ) og w (τ), altså for hvordan kapitalapparat osv. i steady state afhænger af skatteraten τ. Beskriv indholdet i disse sammenhænge og forklar. I det følgende vil vi direkte identificere velfærden ved skattesatsen τ med steady stateforbruget ved denne skattesats, C (τ). Den repræsentative forbrugers nytte i steady state er en monotont voksende funktion af C (τ) ifølge (3) og (4). Hensigten er at studere velfærdsomkostningerne ved den antagne beskatning af kapitalindkomst, herunder ved at ændre lidt på skattesatsen τ. Idet vores periodelængde antages at være et år, skal der i visse tilfælde nedenfor betragtes følgende specificerede parameterværdier: α =1/3, δ =1/36, θ =2/36. (20) Spørgsmål 9. Funktionen T (τ) τρ (τ)k (τ), (21) angiver, hvordan skatteprovenuet i steady state afhænger af skattesatsen τ og kaldes for Lafferkurven. Redegør for, hvordan Laffer-kurven forløber for τ gående fra nul til én og bestem den 5

6 skattesats τ max, der maksimerer skatteprovenuet. For den parameterspecifikation, der er angivet i (20), ønskes τ max bestemt og kurverne C (τ) og T (τ) indtegnet i et diagram eller i to forskellige diagrammer. Kommentér. I det følgende behøver man kun at betragte skattesatser mellem nul og τ max. I forbindelse med diskussioner af skattereform er det ofte de provenu-, adfærds- og velfærdsmæsisige konsekvenser af en ændring i skattesatsen, der diskuteres. Spørgsmål 10. Som en del af svaret på spørgsmål 9 har man nok betragtet den afledte dt /. Angiv også et udtryk for dc /. Disse to afledte viser hhv. provenuvirkning og velfærdstab (regnet positivt) af at hæve skattesatsen lidt. For specifikationen angivet i (20) ønskes hver af disse afledte plottet ³ som funktion ³ af τ i et diagram, evt. i to diagrammer. Giv videre en fortolkning af størrelsen dc dt / og indtegn i et andet diagram, hvordan denne størrelse forløber som funktion af τ. Kommentér figurerne. Til beskrivelse af, hvordan en ændring i skatteprovenuet opnået ved en given satsændring, modificeres af adfærds- og prismæssige reaktioner, anvendes forskellige mål. Vi definerer først den mekaniske provenueffekt ved en lille satsændring som den partielle afledte af T mht. τ, nårsåvel ρ (τ) som K (τ) betragtes som givne, altså fra (21) som: M (τ) ρ (τ)k (τ) (22) Den samlede provenueffekt er givet ved den afledte af T (τ) med alle effekter indregnet, altså ved den afledte dt (τ)/. Den samlede effekt deles op i den mekaniske effekt, M(τ), ogden dynamiske provenueffekt, D(τ), defineret som: D(τ) M (τ) dt (τ), (23) således at: dt (τ) Definér nu følgende to størrelser: = M (τ) D(τ) =M (τ) M (τ) dt (τ). S(τ) D (τ) M (τ) dt M (τ) (τ) = M (τ) og M (τ) F (τ) M (τ) D(τ) = M (τ) (25) dt (τ) Spørgsmål 11. Forsøg at give en fortolkning (relateret til den skattepolitiske debat) af hver af S(τ) og F (τ) og vis at: 1 F (τ) = 1 S(τ). (26) For specifikationen angivet i (20) ønskes hver af S(τ) og F (τ) optegnet som funktion af τ ienfigur for 0 <τ<τ max. Forløbene ønskes kommenteret mht., dels de provenumæssige konsekvenser af en given mekanisk skattelettelse som funktion af udgangspunktet τ, dels hvor meget ekstra mekanisk skatteprovenu, der skal til for at skaffe staten en ekstra provenukrone i kassen igen som funktion af udgangspunktet τ. (24) 6