Betinget hæftelse. Et regneeksempel

Transkript

1 Btingt hæftls Et rgnsmpl

2 1 Indldning Notatt sr lidt nærmr på sammnhængn mllm btingt hæftls og dt forvntd afast for ationærr og rditorr i n (finansil) virsomhd, hvor gnapitalandln r lav. Notatt sal ss i lyst af, at mang stor banr har mgt lav gnapitalandl sammnlignt md andr virsomhdr. Btingt hæftls r udtry for, at ationærrn un hæftr for gnapitaln, hvis virsomhdn går nd, mns d får hl gvinstn, hvis virsomhdns ativittr visr sig at giv t højt afast. Dnn asymmtri øgr isolrt st dt forvntd afast for ationærrn i virsomhdn, og an øg tilsyndlsn til risiobtont adfærd: jo mr risiabl virsomhdn r, jo størr r onurssandsynlighdn, og jo størr vil ationærrns forvntd afast bliv. Dt højr forvntd afast ldsags dog også af n størr sprdning på ationærrns afast, og sr på bostning af rditorrn. 2 Dn lill modl Vi har n finansil virsomhd som finansirs md gnapital og frmmdapital. Egnapitalandln alds α. Frmmdapitaln r t fast forrntt lån md n rnt på r l. Bann placrr sin midlr i udlån som givr t afast, dr srivs som r r (1) hvor ε r udtry for usirhd vd afastt på udlånn/banns ngagmnt. Hvis r=-1 vil båd frmmdapital og gnapital vær tabt. Paramtrn ε antags at vær normalfordlt md n middlværdi på 0 og n sprdning på σ. En høj værdi af σ r sålds udtry for at udlånn/banns ngagmnt r forbundt md stor risio. Banns gnapital står til sidst i præfrncræfølgn, og dr r bgrænst hæftls. Til snr brug r dt dsudn nyttigt at dfinr dt tab på ngagmntt i (1), som an forvnts, givt at bann går onurs. Dtt tab an srivs som r 1 p( ) (2) p r p( ) / hvor p r sandsynlighdn for at gå onurs, og ε r dn mindst værdi af ε, som btydr at bann ovrlvr. Tilsvarnd an dt forvntd afast i (1), givt at bann ovrlvr, srivs som 2

3 r p 0) r p( ) / ( ) (3) ( p 2.1 Konurssandsynlighdn Bann går onurs, hvis gnapitaln i r tilstrælig til at dæ rntbtalingrn på frmmdapitaln og d tab, dr opstår vd t ngativt afast på udlånn (r<0): r r 1 (4) l Sandsynlighdn for onurs an drmd opgørs som sandsynlighdn for at ε ommr undr dn tærslværdi, dr mdførr onurs: p l N r 1 r (5) hvor N r dn umulrd normalfordling. Udtryt visr, at Konurssandsynlighdn stigr vd n højr frmmdapitalforrntning. Konurssandsynlighdn stigr vd t lavr, forvntt forrntning af udlånn Konurssandsynlighdn stigr vd n lavr gnapitalandl Konurssandsynlighdn stigr vd n højr varians på afastt af banns udlån I tabl 1 r vist onurssandsynlighdn som n funtion af gnapitalandln og sprdningn på dt samld afast (σ). Udgangspuntt i tablln r, at dt forvntd afast ( r ) r på 5 pct., mns forrntningn af frmmdapitaln (r l ) r på 3 pct. Dt frmgår, at onurssandsynlighdn r høj når gnapitalandln r lill. Esmplvis r onurssandsynlighdn på 0,3 pct., hvis gnapitalandln r på 6 pct. og sprdningn på afastt r 3 pct.point (dvs. godt halvdln af dt forvntd afast på udlånn i dtt tilfæld). Er gnapitalandln un 2 pct. øgs onurssandsynlighdn til nap 9 pct. Øgt usirhd i øonomin øgr banns onurssandsynlighd, og bør drmd også få virsomhdr til at øg drs gnapitalandl. Antag smplvis at n ban ønsr n onurssandsynlighd på masimalt 1 pct. Hvis usirhdn i øonomin r på 3 pct. point (målt vd sprdning på afastt af banns udlån), vil dt ræv n gnapitalandl på mindst 4,8 pct. Hvis usirhdn fordobls, vil n onurssandsynlighd på masimalt 1 pct. drimod ræv n gnapitalandl på 11,6 pct., dvs. 2½ gang mr. Udfordringn vd at øg gnapitalandln r imidlrtid, at dn forvntd forrntning af gnapitaln alt andt lig mindss, om nd sprdningn på afastt samtidig faldr. 3

4 Tabl 1 Sprdning Konurssandsynlighd, pct. Procntvis gnapitalandl Pct ,01 15,2 2,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,02 30,3 15,2 2,0 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,03 36,6 24,6 8,5 2,0 0,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,04 39,8 30,3 15,2 6,1 2,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,05 41,8 34,0 20,5 10,8 5,0 2,0 0,1 0,0 0,0 0,06 43,2 36,6 24,6 15,2 8,5 4,3 0,5 0,0 0,0 0,07 44,2 38,4 27,8 18,9 12,0 7,1 1,4 0,2 0,0 0,08 44,9 39,8 30,3 22,0 15,2 9,9 2,7 0,5 0,0 0,09 45,4 40,9 32,4 24,6 18,0 12,6 4,3 1,1 0,0 0,10 45,9 41,8 34,0 26,8 20,5 15,2 6,1 2,0 0,1 Anm.: Kild: Dt r antagt, at dt forvntd afast på udlånn svarr til 5 pct., mns rntn på frmmdapitaln svarr til 3 pct. En sprdning på fx 0,01 svarr til 1 pct. og drmd 1 /5 af dt forvntd afast på virsomhdns projt/udlån. Egn brgningr. Når virsomhdn går onurs, hæftr ationærrn md drs gnapital og i ydrligr. Dvs. at drs tab r bgrænst ndadtil, hvorftr rditorrn må bær ydrligr tab. Drimod får ationærrn dn fuld gvinst, hvis projtt visr sig at få t stort øonomis afast. Dnn asymmtri btydr, at dr for ldlsn i virsomhdn og for ationærrn an vær n tilsyndls til at dltag i risiabl projtr. Asymmtrin sr ud til primært at vær rlvant for virsomhdns bslutningr, hvis gnapitalandln r undr pct. 2.2 Krditorrns afast Krditorrn (dvs. dm virsomhdn har lånt frmmdapitaln af) står md dn udfordring, at drs afast afhængr af usirhdn vd virsomhdns projt (σ), mn også af hvor mgt gnapital bann har. Dt forvntd afast for rditorn bstår sålds dls af dn fast lånrnt, r l, som opnås hvis bann ovrlvr (hvilt sr md sandsynlighdn (1-p )), og dls af dt tab, som rditorn oplvr, hvis virsomhdn i ovrlvr (hvilt sr md onurssandsynlighdn (p )): ( r p 1) /(1 ) E( rrditor ) (1 p ) rl p (6) Tabt i tilfæld af onurs (som frmgår af dn antd parnts) bstår af forslln mllm forrntningn af banns udlån, når dt går galt (forrntningn r hr ngativ), og banns gnapital. Krditorns forvntd afast faldr sålds vd n lavr gnapitalandl i bann og n størr varians på udlånns afast, bl.a. fordi sandsynlighdn for onurs forøgs. Som t rgnsmpl r dt antagt, at sprdningn på udlånns afast r lig så stor som dt forvntd afast på udlånn (dvs. sprdningn 4

5 σ r 5 pct.). Dt btydr, at dr r pæn sandsynlighd for at bann må brug må hl sin gnapital til at dæ tab og drfor går onurs. Dsudn antags at rntn på frmmdapitaln r på 5 pct. Dt frmgår af figur 1, at dt forvntd afast for rditorrn i dtt tilfæld r på ca. 4 pct., hvis gnapitalandln i bann r på 3 pct. dvs. t sty undr rntn på lånt, som r 5 pct. Dsudn r sprdningn på rditorns forvntd afast omring 5 pct. point. Dr r sålds båd t lavt forvntt afast (undr dn fast lånrnt) og stor ndadgånd usirhd om afastts størrls, som følg af at bann har stor risio for at gå onurs, når gnapitaln r lav. Vd stignd gnapitalandl vil banns onurssandsynlighd fald, og gradvist nærm sig lånrntn på 5 pct., mns sprdningn på rditorrns afast samtidig aftagr. Vd n gnapital på ovr 10 pct. blivr virningn, af dn bgrænsd hæftls for bann, mgt modrat undr d anvndt antaglsr. Figur 2.1 Forvntt afast og sprdning på forvntt afast for rditorn Pct. 6 5 Forvntt afast Sprdning Anm.: Kild: Egnapitalandl (pct.) Dt antags, at lånrntn og dt forvntd afast på virsomhdns ativittr r 5 pct. samt at usirhdn på afastt på udlånt (målt vd sprdningn) r på 5 pct.point. Egn brgningr Man unn så spørg, hvor stor n lånrnt rditorn sal ræv for at sir t forvntt afast på 5 pct. Som t smpl antags, at virsomhdns gnapitalandl r på 3 pct., og drmd at dt forvntd afast som udgangspunt r på godt 4 pct. (jf. figur 1.). I dtt tilfæld sal rditorn sætt lånrntn op md 1,3 pct.point fra 5 til 6,3 pct. for t opnå t forvntt afast på 5 pct. Når lånrntn sal øgs så mgt, r dt 5

6 fordi dn højr lånrnt mdførr størr onurssandsynlighd, hvilt trær nd i rditorns forvntd afast. Forøglsn af lånrntn øgr sålds onurssandsynlighdn fra nap 27 pct. til nap 35 pct. i dtt tilfæld. Samtidig stigr sprdningn på rditorns afast md ca. 20 pct. Dt størr forvntd afast for rditorn ldsags sålds af stør usirhd om afastts størrls. Dt an lidt mr gnrlt antags, at rditorn stillr t rav om t forvntt afast, og at dtt forvntd afast r uafhængigt af banns onurssandsynlighd. Dt btydr at dn lånrnt (r l ), som bann sal btal for frmmdapitaln, ommr til at afhæng af onurssandsynlighdn. Konrt an lånrntn, som sirr t onstant forvntt afast for ationærn, srivs på formn: r l p 1 p E( r p 1) /(1 ) / (7) 1 p Dt frmgår af dtt udtry, at rditorns udlånsrnt stigr md onurssandsynlighdn, og drmd også at rditorn vil sætt n højr lånrnt, hvis banns gnapitalandl r lav. Dn højr lånrnt vil dog også ldsags af n størr sprdning på rditorns afast. En øgt usirhd i øonomin (σ) vil som nævnt øg banns onurssandsynlighd. Dt vil samtidig mdfør, at rditorn må øg sin udlånsrnt til bann, hvis rditorns øns r at fasthold t uændrt forvntt afast. Dt vil øg banns onurssandsynlighd ydrligr. I tabl 2 r dt vist hvordan stignd usirhd i øonomin (stignd σ) påvirr onurssandsynlighdn, båd når rditorrntn, r l, r onstant lig 3 pct. og når rditorn ompnsrs sålds at dt forvntd rditorafast r onstant og lig 3 pct. Udgangspuntt i dnn brgning r samtidig, at dt forvntd afast på udlånn r 5 pct., dvs. størr nd indlånsrntn. Tablln visr, at ationærrns forvntd afast stigr raftigt md faldnd gnapitalandl, også når dr r lill usirhd om dt forvntd afast på udlånn. Dt afspjlr dn stær garing af gnapitaln, samt at dn forvntd forrntning af udlånn ovrstigr lånrntn. Hvis usirhdn vd afastt på banns ngagmnt øgs, og rditorrn fastholdr drs udlånsrnt r l på 3 pct. (fx på af statsstøtt), vil dt mdfør øgt forvntt afast for ationærrn navnlig når gnapitalandln r lav. Dt afspjlr at d får gvinstn vd t hldigt udfald, mns rditorrn (og statn) bærr tabt i d tilfæld, hvor tabt på udlånn ovrstigr gnapitaln. Dt stignd forvntd afast for ationærrn modsvars sålds af t mindr forvntt afast for rditorrn/andr. Hvis rditorrn sættr udlånsrntn, r l, så drs forvntd afast fastholds onstant på 3, vil dn forvntd gnapitalforrntning drimod vær uafhængig af hvor risiabl banns forrtningr r. Dr vil i dtt tilfæld i vær tilsyndls for bann til at 6

7 dltag i risiabl forrtningr md hnbli på at udnytt dn btingd hæftls. Egnapitalforrntningn stigr imidlrtid fortsat, jo lavr gnapitaln r i dtt smpl. Dt afspjlr garingn, dvs. at dt forvntd ovrsud fra hl ngagmntt sal dls mllm få ationærr. Hvis gnapitalandln sålds smplvis r 1 pct. og dr i r nogn usirhd på banns ngagmnt (σ=0) vil gnapitalforrntningn ligg omring 200 pct. og onurssandsynlighdn vil vær 0. Afastt afspjlr hr aln garingn og dn risiofri rntmarginal. Hvis banns forrtningr drimod r mgt risiabl (hr σ=0,1) og gnapitalandln r 1 pct., så sal rditorrns udlånsrnt øgs fra 3 til 8,3 pct. for at ompnsr for stigning i onurssandsynlighdn. I dtt tilfæld r dn forvntd forrntning for ationærrn fortsat 200 pct., mn banns onurssandsynlighd øgs til nap 60 pct. Hr r dt drfor aln dn btingd hæftls, som holdr ationærrns forvntd afast opp. Tabl 2 Brgnd afast og onurssandsynlighdr som funtion af rision vd banns ativittr Egnapitalandl Lånrnt E(r rditor ) σ(r rditor ) p E(r ationær ) σ(r ationær ) Pct ,0 3,0 2,9 0,6 11,5 215,1 227,1 2,0 3,0 2,9 0,4 5,4 104,9 119,9 4,0 3,0 3,0 0,2 0,8 52,7 62,4 8,0 3,0 3,0 0,1 0,0 27,8 31,4 12,0 3,0 3,0 0,1 0,0 19,5 21,0 σ(r) = 0,025 σ(r) = 0,050 99,9 3,0 3,0 0,0 0,0 5,0 2,5 1,0 3,2 3,0 0,6 12,7 201,2 224,5 2,0 3,1 3,0 0,4 5,6 102,0 119,6 4,0 3,0 3,0 0,2 0,8 52,5 62,4 8,0 3,0 3,0 0,1 0,0 27,8 31,4 12,0 3,0 3,0 0,1 0,0 19,5 21,0 99,9 3,0 3,0 0,0 0,0 5,0 2,5 1,0 3,0 2,2 1,9 27,1 280,7 384,6 2,0 3,0 2,4 1,6 20,7 129,6 205,2 4,0 3,0 2,7 1,1 10,9 58,2 112,7 8,0 3,0 3,0 0,4 2,0 27,7 61,0 12,0 3,0 3,0 0,1 0,2 19,2 41,4 99,9 3,0 3,0 0,0 0,0 5,0 5,0 1,0 4,2 3,0 2,3 35,6 199,5 350,1 2,0 3,8 3,0 1,8 25,4 100,1 195,8 4,0 3,3 3,0 1,1 12,1 51,6 111,5 8,0 3,0 3,0 0,4 2,0 27,3 61,0 12,0 3,0 3,0 0,1 0,2 19,2 41,4 7

8 99,9 3,0 3,0 0,0 0,0 5,0 5,0 1,0 3,0 0,3 4,9 38,1 472,8 680,7 2,0 3,0 0,6 4,6 34,3 219,4 356,4 4,0 3,0 1,2 4,0 27,1 95,5 193,1 8,0 3,0 2,1 2,9 15,4 38,5 108,7 12,0 3,0 2,6 1,9 7,6 22,8 77,9 σ(r) = 0,10 Anm.: Kild: 99,9 3,0 3,0 0,0 0,0 5,0 10,0 1,0 8,3 3,0 6,7 58,7 200,5 502,2 2,0 7,1 3,0 6,0 49,8 102,6 290,6 4,0 5,6 3,0 4,9 35,8 52,9 175,0 8,0 4,1 3,0 3,2 17,8 28,2 106,1 12,0 3,4 3,0 2,0 8,2 19,9 77,5 99,9 3,0 3,0 0,0 0,0 5,0 10,0 Dt r antagt, at dt forvntd afast på udlånn svarr til 5 pct., mns rntn på frmmdapitaln svarr til 3 pct. En sprdning på fx 0,01 svarr til 1 pct. og drmd 1 /5 af dt forvntd afast på virsomhdns projt/udlån. Egn brgningr. 2.3 Nærmr om ationærrns afast Ationærrns tab bgrænsr sig som nævnt til gnapitaln, hvis instituttt går onurs. Drimod får ationærrn hl mrafastt fra drs ativittr, hvis dt går godt. Dn forvntd forrntning for ationærrn an srivs på følgnd form: ationær 1 P ( r p 0) rl (1 ) / E( r ) (8) Ationærrns forvntd forrntning svarr sålds til produtt af sandsynlighdn for at bann ovrlvr, (1-P ), og gvinstn til ationærrn, givt at virsomhdn larr sig (dn antd parnts). Gvinstn svarr til dn samld forrntning af banns ngagmnt, givt at bann ovrlvr (dvs. upsid), og ftr dr r btalt rntr på frmmdapitaln. Dnn gvinst fordls på ationærrn og jo mindr gnapitalandln (i nævnrn) r dvs. jo størr garing - jo flr png r dr til dling, og jo størr blivr afastt af dn invstrd gnapital. Hvis dr i r usirhd vd banns ngagmnt og onurssandsynlighdn r 0, an ationærns forvntd ngagmnt srivs som r l ( r r l ) / (9) Hvis gnapitalandln fx r 1 pct., forrntningn af banns ngagmnt r 5 pct. og rditorrntn r 3 pct., så r ationærafastt 203 pct. Dtt mrafast afspjlr hr dn lidt spcill risiofri rntmarginal, som fx sal ss i sammnhæng md im- og - 8

9 splicitt statsgarantir mv. I prasis vil sådan n fordl givtvis vær rfltrt i atiursn. Samlt vil ationærrns forvntd afast stig, jo mr risiobtont virsomhdrns ativittr r dvs. jo størr sprdning dr r på afastt af banns ngagmnt. Dt r særligt udtalt, hvis gnapitalandln r lav. Dsudn rævs som nævnt, at rntn på rditorrns lån til bann i sætts op for at ompnsr for dn højr risio, som bann løbr. Hvis ationærrn ønsr n bstmt ombination af afast og sprdning, an dt s på forsllig mådr. En r at hav lav gnapitalandl og dltag i forholdsvist sir ativittr md rlativt lav varians. En andn r at hav n størr gnapitalandl, og så invstr i mr risiobtond ativr. 9