hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
|
|
- Tina Therkildsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den flerdimensionale normalfordeling Korrelation og uafhængighed, repetition Til karakteristik af fordelingen af (X,Y) benyttes µ x = E[X], µ y =E[Y] og σ x = var[x], σ y = var[y] samt kovariansen mellem X og Y : cov(x,y) = E[(X- µ x )(Y- µ y )] = E[XY] - µ x µ y = σ xy cov(x,x) = var[x] X,Y stokastisk uafhængige => cov(x,y) = 0, da E[(X- µ x )(Y- µ y )] = E[X- µ x ] E[Y- µ y ] = 0. Derimod cov(x,y) = 0 > stokastisk uafhængighed. Betragt identiteten [(ax + by) (a µ x + b µ y )] = a (X- µ x ) + b (Y- µ y ) + ab(x- µ x )(Y- µ y ) hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
2 (*) var[ax+by] = a var[x] + b var[y] + ab cov(x,y) Sættes a = og b = ± i (*) fås var[x ± Y] = var[x] + var[y] ± cov(x,y) og hvis tillige X og Y er uafhængige haves var[x ± Y] = var[x] + var[y] Sættes b = i (*) fås var[ax+y] = var[x] a + cov(x,y) a + var[y], der kan opfattes som et andengradspolynomium i a med værdi 0. var[ax + Y] a toppunkt: cov(x,y) cov (X,Y) var[x]var[y] var[x], var[x] Diskriminanten må derfor være 0, dvs. cov (X,Y) var[x] var[y] <=> cov (X,Y) / var[x] var[y] <=>
3 - cov(x,y) / var[x] var[y] <=> - ρ 3 Korrelationskoefficienten ρ er derfor et mere egnet mål for afhængigheden mellem X og Y. ρ er kun lig, når der findes et a for hvilket var[ax + Y] = 0, dvs. når ax + Y for et eller andet fast a antager samme værdi i alle punkter (x,y), der har positiv sandsynlighed : ax + y = konstant. Fordelingen er da i virkeligheden ikke todimensional, idet alle i betragtning kommende punkter ligger på en ret linie. Endelig bemærkes, at cov(x,y) og ρ samtidig er 0. Er denne betingelse opfyldt, siger man, at X og Y er ukorrelerede i modsat fald er de korrelerede. Vi har da ovenfor indset, at to uafhængige variable altid er ukorrelerede; mens det omvendte ikke behøver at være tilfældet. Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge 4) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5. Den flerdimensionale normalfordeling
4 4 Eksempel fra sidst: Quiz med to runder Husk at X ~ bin(n,p ), (Y X = x) ~ bin(x,p ) Punktsandsynlighed for Y: n n n x n x x y x y f(y) = f(x)f(y X= x) = p ( p ) p ( p )??? x y = xy = xy = Det er nu ikke så svært endda at beregne denne sum... Det viser sig at Y ~ bin(n,p p ). Bevis: () Eksempel fra sidst: Quiz med to runder n y y x y n x x y x= y n! (n y)! f(y) = p p p ( p ) ( p ) y!(n y)! (n x)!(x y)! n y (n y) (x y) x y x= y n n y = (p p ) ( p ) (p ( p )) y x y n y (n y) u u u= 0 u n n y = (p p ) ( p ) (p ( p )) y
5 5 (3) Eksempel fra sidst: Quiz med to runder Benyt så at (-p ) + (p p p ) = - p p således at n y u= 0 (n y) u u n y p p ( p ) u pp pp = fordi det er summen af punktssh. i bin Dermed får vi som ønsket: p( p ) n y,. ( p p ) n y f(y) = (pp ) ( pp ) y n y Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix Definition Regneregler 4. Summer af stokastiske variable 5. Den flerdimensionale normalfordeling
6 6 Middelværdivektor m-dim. sv.(x,x,,x m ) som søjlevektor (m H ): Middelværdivektor (m H ): X X = X m [ ] EX µ= EX [ ] = EX [ m] Kovariansmatrix Varianser og kovarianser samles i kovariansmatricen (m H m): dvs. c i,j = cov(x i,x j ), i,j =,,m [ ] var X cov(x,x ) cov(x,x m) cov(x,x ) var [ X] cov(x,x m) C = cov(x,x m) cov ( X,Xm) var [ Xm]
7 7 () Kovariansmatrix m T C er symmetrisk og positiv semidefinit ( x :x Cx 0) C er en diagonalmatrix, hvis X'erne er parvis uafhængige C er singulær, hvis og kun hvis der findes en lineær relation mellem X'erne (a X +þa m X m + b = 0). [ ] [ ] m = : det C = (var X )(var X ) (cov(x,x )) [ ] [ ] ( ) = (var X )(var X ) ( ρ(x,x )) så C er singulær, hvis og kun hvis ρ (X,X ) = ", dvs. hvis og kun hvis X er en lineær funktion af X. Eksempel: opgave.6, igen-igen Model : X ~ N(µ,σ ), X ~ N(β µ,τ + β σ ), cov(x,x ) = β σ Altså [ ] EX µ σ βσ =, C=, det C= σ τ βµ βσ τ + β σ Korrelationsmatrix Vi kan også danne korrelationsmatricen (m H m): ρ(x,x ) ρ(x,xm) (X,X ) (X,X m) ρ ρ ρ(x,x m) ρ(x,x m)
8 8 Middelværdi og varians for lineær transformation af X Lad X være en m-dimensional sv. (m H ); A en k H m-matrix; B en k H -matrix (søjle). Så er Y = AX + B en k-dimensional stokastisk variabel med mid- delværdivektor E[Y] og kovariansmatrix betegnet var[y] givet ved [ ] [ ] EY= AEX+ B (k ) [ ] [ ] T T var Y = Avar X A = ACA (k k) Eksempel: Sum af stokastiske variable (lige om lidt) Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable Middelværdi og varians Punktsandsynligheder og tætheder 5. Den flerdimensionale normalfordeling
9 9 Middelværdi og varians for summer Fra sidst: Generelt: [ + ] = [ ] + [ ] [ ] [ ] [ ] EX X EX EX var X + X = var X + var X + cov(x,x ) [ + + ] = [ ] + + [ ] EX X EX EX m m m [ ] [ ] var X + + X = var X + cov(x,x ) m i i i = (i,j):i< j j () Middelværdi og varians for summer Bevis (for m = 3): [ + + 3] = [ + + 3] = E[ X + X ] + E[ X ] = E[ X ] + E[ X ] + E[ X ] EX X X E(X X) X [ ] [ 3 3 var X + X + X = var (X + X ) + X 3 = 3] (3) Middelværdi og varians for summer Bevis (for m =3): X X+ X + X 3 = () X= AX X 3 Dermed:
10 [ + + 3] [ ] = [ ] [ ] EX X X = AEX var X + X + X = Avar X A = ACA 3 T T 0 Fordeling af summer f er simultan punktssh. for (X,X ) med diskret udfaldsrum S. Punktsansynlighed for Y = X + X : g(y) = P(Y = y) = P((X,X ) A) = f(x,x ) (x,x ) A hvor A = {(x,x ),S x + x = y} = {( x,y-x ) x,s }. Altså: g(y) = f (x,y x ) x S () Fordeling af summer f er simultan tæthed for (X,X ) med kontinuert udfaldsrum S. Tæthed for Y = X + X : g(y) = f(x,y x )dx Når X og X er uafhængige fås specielt: g(y) = P(Y = y) = f (x )f (y x ) x S g(y) = f (x )f (y x )dx
11 (3) Fordeling af summer Antag at X og X er uafhængige sv. og lad Y = X + X. Poisson : X ~ Ps (λ ), X ~ Ps (λ ) Y Y ~ Ps ( λ + λ ). Binomial: X ~ bin(n,p),x ~ bin(n,p) Y Y ~ bin( n + n,p). NB: Samme p! Gamma: X ~ Γ(β, "),X ~ Γ(β, ") Y Y ~ Γ(β + β, "). NB: Samme "! Specialtilfælde: Exponential- og P -fordelingen. Exponential : X ~ ex(λ),x ~ ex(λ) Y Y ~ Γ(, 8) = Erl(, 8). P : X ~ P (f ),X ~ P (f ) Y Y ~ P (f +f ). Normal: X ~ N(µ,σ ), X ~ N(µ,σ ) Y Y ~ N(µ + µ,σ + σ ). Endda: Y ~ N(µ + µ,σ + σ + σ ), hvis cov (X,X ) = σ. (4) Fordeling af summer Eksempel/Bevis for normalfordelingen, (X,X ) ~ N(0,): x / (y x ) / f(y) = f (x )f (y x )dx = e e dx π Nu er + = + (x y/) y /4 / ( ) (x (y x ) )/ (x y/) y /4 så dvs. Y = X +X ~ N(0,). f(y) = e e dx π y /4 y /4 = e π / = e π π
12 (5) Fordeling af summer Sætning : E[ Z] = E[X +Y] = E[X] + E[Y]. Bevis : E[Z] = z g(z) dz = z f(x,z-x) dx dz = z f(x,z-x) dz dx = (x+y) f(x,y) dy dx = x f(x,y) dy dx + y f(x,y) dx dy = x f (x) dx + y f (y) dy = E[X] + E[Y] Eksempel : Addition af stokastiske variable I en industriel produktionsproces bearbejdes produkterne på to maskiner A og B, der arbejder uafhængigt af hinanden. Produkterne fremstillet på maskine A, hhv. B, er uafhængigt af hinanden defekte med sandsynlighed 0.007, hhv. o.o. Et parti indeholder 300 produkter fremstillet på maskine A og 00 produkter fra maskine B. Hvad er sandsynligheden for at et parti indeholder mere end 0 defekte produkter? Lad X A og X B være antal defekte produkter fra hhv. A og B. Da er X A ~ bin(300 ; 0.007) X B ~ bin(00 ; 0.0) Men da både p A og p B er mindre end 0. og n A, n B er store, gælder X Ps(.), X Ps(.0) X + X ~ Ps(4.). A B A B a a Den søgte sandsynlighed bliver derfor P(X A + X B > 0) = P(X A + X B 0) = =
13 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5. Den flerdimensionale normalfordeling Den to-dimensionale N-fordeling (eksempel: opg..6) Generel m-dimensional N-fordeling Lineær transformation Den flerdimensionale normalfordeling Ønsker tæthed for den simultane fordeling af m (marginalt) normalfordelte variable, der kan være indbyrdes afhængige. m = : Ønsker f(x,x ) hvor X,X er som ovenfor. Hvis X og X er uafhængige: f(x,x ) = exp ( x µ ) ( x µ ) πσσ σ σ hvor µ, µ er middelværdier og σ, σ er varianser. Hvad hvis X og X er afhængige?
14 4 Eksempel: opgave.6, igen-igen-igen Husk model: X ~ N(µ, σ ), (X X = x ) ~ N(βx, τ ), X ~ N(βµ, τ + β σ ). Simultan tæthed f (x,x ) = f(x )f(x x) = exp( q / ) π σ τ hvor q = (x µ ) + (x βx σ τ ) Kontroller at () Eksempel: opgave.6 igen-igen-igen som vi genkender som T x µ x x βµ x σ βσ µ q = βσ τ + β σ βµ T var X cov(x, X ) x E X [ ] [ ] [ ] [ ] x E X x E X cov(x,x ) var X x E X C
15 5 (3) Eksempel: opgave.6 igen-igen-igen Dermed: f(x,x ) = exp( q/) π σ τ T = exp (x ) C (x ) µ µ ( π) detc x hvor x =. x Den simultane tæthed for (X,X ) er altså fuldstændigt bestemt udfra middelværdivektor og kovariansmatrix for X. Den to-dimensionale normalfordeling Lad den -dimensionale stokastiske variabel (U,U ) have tæthedsfunktion (*) ϕ(u,u ) = e π -ρ - (u -ρuu +u ) (-ρ ) hvor ρ є (-,+). Den marginale tæthedsfunktion for U findes pr. definition som (u ρuu +u ) (-ρ ) ϕ - f(u)= (u,u )du = e du π -ρ Idet (u - ρu u +u ) = u (u -ρu ) (-ρ ) (-ρ ) følger
16 u (u ρu ) (-ρ ) f(u)= e e du π π -ρ - Indføres herefter substitutionen z = (u ρu )/ (- ρ ) fås videre u z u f(u)= e e dz= e - π π π 6 Altså er U ~ N(0,), og af symmetrigrunde er også U ~ (0,). Parameteren ρ i (*) er korrelationskoefficienten mellem U og U, se nedenfor, hvor samme substitution som ovenfor benyttes. ρ(u,u ) = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] EUU -EU EU = E U U = u u (u,u )du du [ ] var U var U ϕ u (u ρu ) (-ρ ) u e u e du d = - - π π -ρ u = u - ρe du =ρ π u Lad nu X = σ U + µ, X = σ U + µ, hvor (U,U ) har tæthedsfunktion (*). (X,X ) har da tæthedsfunktion x-µ x-µ f ( x,x ) = ϕ, σσ σ σ (**) = e πσ σ -ρ x -µ x -µ x -µ x -µ - ( ) - ρ +( ) -ρ σ σ σ σ ( )
17 Definition : Den stokastiske variabel (X,X ) siges at være normalfordelt med parametrene µ, µ, σ, σ, ρ,hvis tæthedsfunktionen er givet ved (**). Vi skriver (X,X ) ~ N(µ, µ, σ, σ, ρ). Af det ovenfor anførte fremgår at E[X ] = µ,e[x ] = µ, var[x ] = σ,var[x ] = σ, ρ(x, X ) = ρ Af (**) ses, at hvis (X,X ) har en -dimensional normalfordeling, og hvis X og X er ukorrelerede, så er X og X stokastisk uafhængige. Lad (X,X ) have tæthedsfunktionen (**). Den betingede tæthedsfunktion for X givet X = x er ( ) ( ) ( ) f x x = f x f x,x = e πσ -ρ = e πσ -ρ og vi ser, at x -µ x -µ x -µ x -µ x -µ - ( ) -ρ +( ) + -ρ σ σ σ σ σ ( ) ( ) σ x-µ -ρ (x -µ ) σ -ρ σ (X X = x ) ~ N(µ + ρ (x µ ), σ (- ρ )). σ Tilsvarende kan det vises, at σ σ (X X = x ) ~ N(µ + ρ (x µ ), σ (- ρ )). σ 7
18 8 () Den to-dimensionale normalfordeling Tæthed for normalfordeling med middelværdi og kovarians σ σ C = σ σ er givet ved µ µ= µ T f(x,x ) = exp (x ) C (x ) µ µ ( π) detc der på nær en konstant er lig (x µ ) (x µ ) ρ(x µ )(x µ ) exp + ( ρ ) σ σ σσ (3) Den to-dimensionale normalfordeling Pæne egenskaber: X og X uafhængige ] ρ = 0 ] X og X ukorrelerede X ~ N(µ,σ ) og X ~ N(µ, σ ) σ (X X =x ) ~ N µ +ρ (x -µ ),σ (-ρ ) σ Altså: Hvis (X,X ) er to-dimensional normalfordelt bliver både marginale og betingede fordelinger også normalfordelinger!
19 9 Den m-dimensionale normalfordeling m-dimensional sv. X (m H ) med mv. µ (m H ) og kovar. C(m H m). Simultan tæthed T - f(x,...,x m)= exp (x-µ) C (x-µ) m ( π) detc C singulær] det C = 0 ] der findes lineærkombination a X + a m X m = b, dvs. udfaldsrum for (X,..,X m ) er underrum af ú m. X,..,X m er indbyrdes uafhængige, hvis og kun hvis C er en diagonalmatrix. () Den m-dimensionale normalfordeling Antag at X,..,X m er uafhængige og alle N(µ,σ )-fordelt. Så er C lig mh m diagonalmatricen med σ i diagonalen og 0 udenfor. Simultan tæthed: m f(x,...,x m)= exp m - (xi-µ) /σ ( π) i= = exp - (x -µ) πσ detc σ m i i= som vi også vidste det skulle være
20 0 Lineær transformation Lad X være m-dimensionalt normalfordelt med middelværdivektor µ og kovariansmatrix C: X ~ N(µ,C) Hvis A er en k H m-matrix; og B en k H -matrix (søjle), så er Y = AX + B normalfordelt (k-dimensionalt) med middelværdivektor Aµ + B og kovariansmatrix ACA T : Y = AX + B ~ N(Aµ + B, ACA T ) NB: For A = (... ) og B = 0 fås fordelingen af X +þ+x m. () Lineær transformation Lad X, X, X 3 være uafhængige og marginalt N(0,)-fordelte Så er X X+3X X +X X 3 Y= = X ~ N, N(,C). 5 5 = µ
Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen
1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereSupplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable
IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret
Læs mereRepetition Stokastisk variabel
Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X
Læs mereSandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mere3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereSandsynlighedsregning 12. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.5 Den bivariate
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 5.3 og 5.4 Simultane kontinuerte
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning
Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Diverse opdateringer ved Rasmus Waagepetersen. Version 1.
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Diverse opdateringer ved Rasmus Waagepetersen. Version 1.3 April 2016 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 17. december 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 17. december 015 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs merePraktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser
Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2018 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 08 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 04 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereHøjde af kvinder 2 / 18
Hvorfor er normalfordelingen så normal? og er den nu også det? Søren Højsgaard (updated: 2019-03-17) 1 / 18 Højde af kvinder 2 / 18 Inddeler man i mindre grupper kan man forestille sig at histogrammet
Læs mereStatDataN: Plot af data
StatDataN: Plot af data JLJ StatDataN: Plot af data p. 1/39 Repetition binomial(n,p): P(X = k) = ( n) k p k (1 p) n k n uafhængige kast med en mønt, X= antal krone X binomial(n, p), Y binomial(m, p), uafhængige
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2017 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 07 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereMat2SS Vejledende besvarelse uge 11
MatSS Vejledende besvarelse uge Eksamen V99/00 opg. a Kønsfordelingen 996 den samme for de tre skoler Mænd Kvinder I alt København 5 = n x 56 = x 8 = n Odense 9 = n x 06 = x 5 = n Århus 0 = n x 40 = x
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger
Læs mereBinomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.
Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereMiddelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0
Middelværdi og varians Middelværdien af en diskret skalarfunktion f(x), for x = 0, N er: µ = N f(x) N x=0 For vektorfuktioner er middelværdivektoren tilsvarende: µ = N f(x) N x=0 Middelværdien er en af
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 8. december 04 Kursus nr : 040 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereFlerdimensionale fordelinger. Erik Michaelsen Nielsen
Flerdimensionale fordelinger Erik Michaelsen Nielsen Masterprojekt Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Forår 5 Forord Dette masterprojekt er udarbejdet af Erik Michaelsen Nielsen på Aalborg
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereNoter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Version 1.2
Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Version 1.2 April 2014 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament 5 2.1 Lidt sandsynlighedsregning......................
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mere