Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Transkript

1 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik d, der til hvert par af elementer fra X definerer en afstand mellem elementerne. Ud fra metrikken kan vi definerer en særlig familie af delmængder af X, som vi kalder åbne. I metriske rum kan vi måle hvor tæt to ting ligger på hinanden. Det er det, der danner grundlaget for definitionerne af konvergens, kompakthed og kontinuitet. Disse begreber giver imidlertid mening i en endnu mere abstrakt ramme. Denne ramme er topologiske rum. Her kan vi ikke måle, men vi har stadig de åbne mængder til at give mening til en idé om, at to elementer ligger tæt på hinanden. Formålet med denne note er at introducere topologiske rum samt et par af de begreber, der knytter sig dertil. Jeg vil fokusere på at sammenligne de metriske rum med de topologiske for at illustrere, hvordan de kendte begreber og sammenhænge bliver generaliseret i denne teori. 1 Topologiske rum Vi har set, at i et metrisk rum opfører de åbne mængder sig på følgende måde: i) Hvis {A i } i I er en familie af åbne delmængder af X, så er i I A i også en åben delmængde af X. ii) Hvis A og B er åbne delmængder af X, så er A B også en åben delmængde af X. Disse egenskaber vil vi gerne have i topologiske rum, så vi ophøjer dem til en del af definitionen: Definition 1: En topologi τ på en mængde X er en familie af delmængder af X, der opfylder, at i) X, τ. ii) Hvis O i τ for alle i I, så er også i I O i τ. iii) Hvis O 1, O 2 τ, så er også O 1 O 2 τ. Hvis X er en mængde, og τ er en topologi på X, så kalder vi (X, τ) et topologisk rum. De delmængder af X, der ligger i τ, kalder vi åbne, og vi siger, at en mængde C X er lukket, hvis X \ C er åben. Lad (X, τ) være et topologisk rum, og lad x X. Vi siger, at O τ er en åben omegn af x, hvis x O. 1

2 I et topologisk rum er der altså ikke noget, der hedder afstand. Det skal dog vise sig, at topologien i sig selv er nok til at sige meget om blandt andet afbildninger mellem mængder. Opgave 2: Lad X = {1, 2, 3}. Afgør hvilke af følgende mængder af delmængder af X, der udgør en topologi på X. a) {{1}, {2}, {1, 2}}. b) {, {1}, {2}, {1, 2}, {1, 2, 3}}. c) {, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. d) {, {1}, {2}, {3}, {1, 2, 3}}. Eksempel 3: Hvis X er en mængde, er det altid muligt at give X en topologi. Vi kan nemlig blot lade τ bestå af alle delmængder af X. Denne topologi kaldes den diskrete topologi. Eksempel 4: Lad (X, d) være et metrisk rum. Vi kan definere en topologi, τ d, på X ved at lade τ d bestå af alle de delmængder, som er åbne medhensyn til d. Det følger nu umiddelbart fra vores erfaringer med metriske rum, at dette bliver en topologi på X. Vi siger, at denne topologi er induceret af d. Fra eksempel 4 ved vi, at enhver metrik inducerer en topologi på en mængde, men givet en topologi kan man så altid finde en metrik, der inducerer den? Generelt viser sig desværre at være nej. Der findes topologier, som ikke er metriske. Lad os først indføre begrebet Hausdorff-rum: Definition 5: Lad (X, τ) være et metrisk rum. Vi siger, at det er et Hausdorff-rum (eller kort Hausdorff ), hvis det gælder, at for alle x, y X, hvor x y, findes åbne omegne O x og O y af henholdsvis x og y, så O x O y =. Proposition 6: Lad (X, d) være et metrisk rum, og lad τ d være den inducerede topologi. Så er (X, τ d ) et Hausdorff-rum. Opgave 7: Vis proposition 6. Lad X være en mængde. Vi kan da altid give X den trivielle topologi bestående af og X. Hvis X indeholder mere end ét element, så er X udstyret med den trivielle topologi ikke et Hausdorff-rum, og denne toplogi er således ikke metrisk! Opgave 8: Lad X = {1, 2, 3}. Find en topologi på X som hverken er triviel eller metrisk. 1.1 Følger I metriske rum spiller studiet af følger en meget stor rolle, og til løsning af mange praktiske problemer er følgerne ofte det bedste værktøj. Sådan er det ikke i et generelt topologisk rum. Følger kan dog defineres præcis som i metriske rum: Definition 9: Lad (X, τ) være et topologisk rum. En følge i X er en afbildning a: N X. Bemærkning 10: Vi vil også her gøre brug af den sædvanlige notation, hvor vi vi blot skriver a n i stedet for a(n). 2 af 5

3 I et topologisk rum, kan vi ikke sige hvor tæt to elementer ligger på hinanden, men det er alligevel muligt at overføre konvergensbegrebet til topologiske rum: Definition 11: Lad (X, τ) være et topologisk rum, og lad {x n } være en følge i X. Da er {x n } konvergent, hvis der findes et x X, som opfylder, at hvis O tau og x O, så findes et N N, så x n O for alle n N. Vi siger i dette tilfælde, at x er et grænsepunkt for {x n }. Lad os først bemærke, at dette virkelig generaliserer den definition af konvergens, som vi kender fra metriske rum. Lad nemlig (X, d) være et metrisk rum, og lad {x n } være en konvergent følge i X med grænsepunkt x X. Lad så U X være en åben delmængde af X (med hensyn til metrikken) som indeholder x. Så findes r > 0, således at B r (x) U. Da x er grænsepunkt for {x n }, findes et N N, så d(x n, x) < r for alle n N. Det vil sige, at x n B r (x) for n N, og dermed, at x n U for n N. Altså er {x n } også konvergens med grænsepunkt x ifølge definition 11. Lad nu omvendt x X være et grænsepunkt for en følge {x n } ifølge definition 11. Lad så ε > 0 være givet. Den åbne kugle B ε (x) indeholder x, så ifølge definition 11 findes et N inn så x n B ε (x) for alle n N. Men det betyder jo netop, at d(x n, x) < ε for alle n N. Altså er en en følge i et metrisk rum konvergent netop, når den opfylder definition 11. De følgende to eksempler viser dog, at følger i topologiske rum har nogle ganske anderledes egenskaber end følger i et metrisk rum. Eksempel 12: Lad X = [0, 1]. Sæt da τ = {S X S = eller 1 2 vanskeligt at se, at τ er en topologi på X. Lad nu {x n } være en følge i X med grænsepunkt 1 S}. Det er ikke 2. Da er { 1 2 } en åben mængde, der indeholder 1 2, så der findes altså et N N så x n { 1 2 } for alle n N. Med andre ord er følgen altså konstant fra et vist trin. Eksempel 13: Lad X være en ikke-tom mængde, og giv X den trivielle topologi. Lad {x n } være en følge i X. Da er {x n } konvergent med et hvilket som helst grænsepunkt! Specielt det sidste eksempel er chokerende. Det viser, at en følge i et topologisk rum kan have mere end ét grænsepunkt. Denne ubehagelige opførsel er en af grundene til at det ikke er så interessant at studere følger i generelle topologiske rum. Det hele bliver dog lidt pænere, hvis vi i det mindste befinder os i et Hausdorff-rum. Proposition 14: Lad (X, τ) være et topologisk rum. Da er grænsepunktet for en konvergent følge i X entydigt bestemt, hvis (X, τ) er et Hausdorff-rum. Bevis: Lad først (X, τ) være et Hausdorff-rum, og lad {x n } være en følge i X. Antag, at {x n } er konvergent og har grænsepunkter x og y i X med x y. Find da åbne O x og O y åbne omegne af x og y, så O x O y =. Der findes nu et N 1 N så x n O x for alle n N 1 og et N 2 N så x n O y for alle n N 2. For alle n maks{n 1, N 2 } har vi altså x n O x O y, hvilket er absurd, da denne mængde er tom. Bemærk, at det omvendte ikke er sandt. Der findes topologiske rum, der ikke er Hausdorff-rum men hvor grænsepunkter er entydigt bestemte, hvilket følgende eksempel viser. 3 af 5

4 Eksempel 15: Lad X = R, og definer en topologi således: En mængde O R er åben, hvis enten O er tom eller O c er tællelig. Dette er ikke et Hausdorff-rum, for hvis O x og O y er åbne omegne af forskellige punkter i X, så kan O x O y ikke være tom, for hvis den var, så ville vi have R = (O x O y ) c = O c x O c y, men O c x O c y er tællelig og R er overtællelig. Lad {x n } være en konvergent følge i X med grænsepunkt x. Mængden L = {x n x n x} er lukket, da den er tællelig, så L c er en åben omegn af x. Da x er grænsepunkt for {x n }, så findes et N N så x n L c for alle n N. Men hvis x n L c, så betyder det jo, at x n = x. Altså er {x n } konstant lig x fra et vist trin. Antag nu, at y også er et grænsepunkt for {x n }, så viser det samme argument, at følgen er konstant lig y fra et vist trin. Så må vi have x = y. Grænsepunkter er altså her entydigt bestemte. 1.2 Kompakte mængder I topologiske rum er det som nævnt også muligt at definere kompakthed. Dette gøres dog på en lidt anderledes måde end i metriske rum. Vi skal først bruge lidt terminologi for at kunne formulere definitionen. Definition 16: Lad (X, τ) være et topologisk rum, og lad M X være en delmængde. Vi siger, at en familie {U α } α A af åbne delmængder af X er en åben overdækning af M, hvis M U α. α A Eksempel 17: Betragt R med den sædvanlige metrik (og dermed den sædvanlige topologi). Intervallerne {(a 1, a + 1)} a R udgør en åben overdækning af R. Nu er vi parate til definitionen. Definition 18: Lad (X, τ) være et topologisk rum, og lad K X være en delmængde. Vi siger, at K er kompakt hvis der for enhver åben overdækning {U α } α A findes en endelig delmængde I af A, så også {U α } α I er en åben overdækning af K. Denne definition stemmer overens med den velkendte fra metriske rum, men det vil jeg ikke vise her. Det næste resultat illustrerer imidlertid, at en del af de egenskaber, som kompakte mængder har i metriske rum er bevarede i den topologiske ramme. Sammenlign eventuelt med afleveringen på ugeseddel 4. Proposition 19: Lad (X, τ) være et topologisk rum, og lad K 1, K 2,..., K n være kompakte delmængder af X. Så er K 1 K 2 K n og K 1 K 2 K n kompakte. Bevis: Lad {U α } α A være en åben overdækning af K 1 K 2 K n. Så er {U α } α A specielt en åben overdækning af hver af mængderne K 1, K 2,..., K n. Så findes endelige delmængder I 1, I 2,..., I n af A, så {U i } i Ij er en åben overdækning af K j for j = 1,..., n. Sæt nu I = I 1 I 2 I n. Denne mængde er endelig, da det er en forening af endeligt mange endelige mængder, og {U i } i I er en åben overdækning af K 1 K 2 K n. Dette viser, at K 1 K 2 K n er kompakt. Udsagnet om K 1 K 2 K n vises tilsvarende. 4 af 5

5 1.3 Kontinuerte funktioner Det sidste begreb, vi her vil generalisere er kontinuitet. Topologiske rum er den mest abstrakte ramme, hvor kontinuitet giver mening, og definitionen kommer her. Definition 20: Lad (X, τ X ) og (Y, τ Y ) være topologiske rum, og lad f : X Y være en afbildning. Vi siger, at f er kontinuert, hvis det gælder, at hvis U τ Y, så er f 1 (U) τ X. Det vil sige, at en afbildning er kontinuert, hvis urbilledet af en åben delmængde af Y altid er en åben delmængde af X. Hvis X og Y er metriske rum, så stemmer denne definition overens med den, vi kender. Endnu en gang vil jeg dog overlade beviset til læseren og i stedet nøjes med at komme med et eksempel på, at visse egenskaber, som vi kender fra metriske rum, er bevaret i de topologiske rum. Proposition 21: Lad (X, τ X ) og (Y, τ Y ) være topologiske rum, og lad f : X Y være en kontinuert afbildning. Lad K X være kompakt i X. Så er f(k) kompakt i Y. Bevis: Lad {U α } α A være en åben overdækning af f(k). Så er {f 1 (U α )} α A en samling af åbne delmængder af X. Hvis x K, så er f(x) f(k). Der findes et αina så f(x) U α. Vi har altså, at f(x) α A U α. Da x K var vilkårligt har vi, at K α A U α. Det betyder, at {f 1 (U α )} α A er en åben overdækning af K. Da K er kompakt, findes en endelig delmængde I af A, så {f 1 (U i )} i I er en åben delmængde af K. Lad nu y f(k). Der findes da et x K, så y = f(x). Desuden findes et i I, så x f 1 (U i ), og så er y = f(x) U i. Det vil sige, at {U i } i I er en åben overdækning af f(k). Altså er f(k) kompakt. 5 af 5