Analüütiline geomeetria
|
|
|
- Frode Iversen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Sügissemester 2016
2 Loengukonspekt Loengukonspektid 1 Aivo Parring, Algebra ja geomeetria, (IV. peatükk, Vektoralgebra, V. peatükk, Sirged ja tasandid, VI. peatükk, Ellips, hüperbool ja parabool), math.ut.ee (Matemaatika ja statistika instituudi koduleht) Õppetöö Kursuste materjalid Algebra ja geomeetria 2 Aine MTMM koduleht ÕIS, õppematerjalid, slaidid.
3 Seotud vektorid Analüütilise geomeetria rajaja on prantsuse matemaatik René Descartes ( ).
4 Seotud vektorid Analüütilise geomeetria rajaja on prantsuse matemaatik René Descartes ( ). Analüütilise geomeetria meetod tugineb koordinaadisüsteemi mõistele. Analüütilises geomeetrias eeldatakse, et ruumis on antud koordinaadisüsteem. Mida meie peame silmas, kui ütleme, et ruumis on antud koordinaadisüsteem?
5 Seotud vektorid Analüütilise geomeetria rajaja on prantsuse matemaatik René Descartes ( ). Analüütilise geomeetria meetod tugineb koordinaadisüsteemi mõistele. Analüütilises geomeetrias eeldatakse, et ruumis on antud koordinaadisüsteem. Mida meie peame silmas, kui ütleme, et ruumis on antud koordinaadisüsteem? Üldiselt, koordinaadisüsteem määrab kujutust geomeetrilise ruumi punktide hulk arvukolmikute hulk.
6 Seotud vektorid Analüütilise geomeetria rajaja on prantsuse matemaatik René Descartes ( ). Analüütilise geomeetria meetod tugineb koordinaadisüsteemi mõistele. Analüütilises geomeetrias eeldatakse, et ruumis on antud koordinaadisüsteem. Mida meie peame silmas, kui ütleme, et ruumis on antud koordinaadisüsteem? Üldiselt, koordinaadisüsteem määrab kujutust geomeetrilise ruumi punktide hulk arvukolmikute hulk. Tähtis on see, et kujutus peab olema üks-ühene. Sellisel juhul ruumi igat punkti võime samastada arvukolmikuga ja uurida ruumi geomeetriat algebra meetodite abil. Selles seisneb analüütilise geomeetria meetodi võimsus.
7 Seotud vektorid Antud loengukursuse geomeetriliseks ruumiks on eukleidiline ruum, so geomeetriline ruum, kus kehtib eukleidiline geomeetria.
8 Seotud vektorid Antud loengukursuse geomeetriliseks ruumiks on eukleidiline ruum, so geomeetriline ruum, kus kehtib eukleidiline geomeetria. Eukleidilise geomeetria algmõisted on punkt, sirge ja tasand, seega on nad meie jaoks defineerimata mõisted. Eukleidilises ruumis kehtivad eukleidilise geomeetria aksiomid.
9 Seotud vektorid Antud loengukursuse geomeetriliseks ruumiks on eukleidiline ruum, so geomeetriline ruum, kus kehtib eukleidiline geomeetria. Eukleidilise geomeetria algmõisted on punkt, sirge ja tasand, seega on nad meie jaoks defineerimata mõisted. Eukleidilises ruumis kehtivad eukleidilise geomeetria aksiomid. Kaasaegses geomeetrias on erinevaid eukleidilise geomeetria aksiomaatikaid (aksioomide süsteem). Kõige tuntum on D. Hilbert i eukleidilise geomeetria aksiomaatika. Selle aksiomaatika lühikirjeldus:
10 Seotud vektorid Antud loengukursuse geomeetriliseks ruumiks on eukleidiline ruum, so geomeetriline ruum, kus kehtib eukleidiline geomeetria. Eukleidilise geomeetria algmõisted on punkt, sirge ja tasand, seega on nad meie jaoks defineerimata mõisted. Eukleidilises ruumis kehtivad eukleidilise geomeetria aksiomid. Kaasaegses geomeetrias on erinevaid eukleidilise geomeetria aksiomaatikaid (aksioomide süsteem). Kõige tuntum on D. Hilbert i eukleidilise geomeetria aksiomaatika. Selle aksiomaatika lühikirjeldus: 1 algmõisted on punkt, sirge ja tasand;
11 Seotud vektorid Antud loengukursuse geomeetriliseks ruumiks on eukleidiline ruum, so geomeetriline ruum, kus kehtib eukleidiline geomeetria. Eukleidilise geomeetria algmõisted on punkt, sirge ja tasand, seega on nad meie jaoks defineerimata mõisted. Eukleidilises ruumis kehtivad eukleidilise geomeetria aksiomid. Kaasaegses geomeetrias on erinevaid eukleidilise geomeetria aksiomaatikaid (aksioomide süsteem). Kõige tuntum on D. Hilbert i eukleidilise geomeetria aksiomaatika. Selle aksiomaatika lühikirjeldus: 1 algmõisted on punkt, sirge ja tasand; 2 nende vahelised seosed on vahelsus (punktid sirgel), sisalduvus (punkt ja sirge, punkt ja tasand, sirge ja tasand), kongruentsus, geomeetriline võrdsus (nt võrdsed lõigud, võrdsed nurgad, võrdsed kolmnurgad). D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie.
12 Seotud vektorid Kasutades algmõisteid ja nende vaheliseid seoseid, tuuakse sisse uusi mõisteid.
13 Seotud vektorid Kasutades algmõisteid ja nende vaheliseid seoseid, tuuakse sisse uusi mõisteid. Näiteks, olgu antud sirge ja kaks punkti A, B, mis asuvad antud sirgel. Kahe punkti A ja B süsteemi nimetatakse lõiguks ja tähistatakse AB või BA. Punktid, mis asuvad sirgel punktide A ja B vahel, on lõigu AB sisepunktid.
14 Seotud vektorid Kasutades algmõisteid ja nende vaheliseid seoseid, tuuakse sisse uusi mõisteid. Näiteks, olgu antud sirge ja kaks punkti A, B, mis asuvad antud sirgel. Kahe punkti A ja B süsteemi nimetatakse lõiguks ja tähistatakse AB või BA. Punktid, mis asuvad sirgel punktide A ja B vahel, on lõigu AB sisepunktid. Eukleidilises geomeetrias eeldame, et suvalise lõigu AB korral on määratud tema pikkus (reaalarv) ja vastavat arvu (pikkust) tähistame AB.
15 Seotud vektorid Kasutades algmõisteid ja nende vaheliseid seoseid, tuuakse sisse uusi mõisteid. Näiteks, olgu antud sirge ja kaks punkti A, B, mis asuvad antud sirgel. Kahe punkti A ja B süsteemi nimetatakse lõiguks ja tähistatakse AB või BA. Punktid, mis asuvad sirgel punktide A ja B vahel, on lõigu AB sisepunktid. Eukleidilises geomeetrias eeldame, et suvalise lõigu AB korral on määratud tema pikkus (reaalarv) ja vastavat arvu (pikkust) tähistame AB. Oletame, et on antud punkt O ja kaks kiirt, mis lähtuvad punktist O. Süsteemi, mis koosneb kahest kiirest, nimetatakse nurgaks. Igale nurgale vastab reaalarv, so nurga suurus.
16 Seotud vektorid Kasutades algmõisteid ja nende vaheliseid seoseid, tuuakse sisse uusi mõisteid. Näiteks, olgu antud sirge ja kaks punkti A, B, mis asuvad antud sirgel. Kahe punkti A ja B süsteemi nimetatakse lõiguks ja tähistatakse AB või BA. Punktid, mis asuvad sirgel punktide A ja B vahel, on lõigu AB sisepunktid. Eukleidilises geomeetrias eeldame, et suvalise lõigu AB korral on määratud tema pikkus (reaalarv) ja vastavat arvu (pikkust) tähistame AB. Oletame, et on antud punkt O ja kaks kiirt, mis lähtuvad punktist O. Süsteemi, mis koosneb kahest kiirest, nimetatakse nurgaks. Igale nurgale vastab reaalarv, so nurga suurus. Lihtsustades, võib öelda, et eukleidiline geomeetria on pikkused ja nurgad.
17 Seotud vektorid Eukleidilist ruumi tähistame E. Kui eukleidilise ruumi dimensioon on oluline, siis seda näitame ülaindeksiga. Näiteks, kui eukleidiliseks ruumiks on kolmemõõtmeline ruum, siis kirjtame E 3. Kui tasand (kahemõõtmeline ruum), siis kirjutame E 2.
18 Seotud vektorid Eukleidilist ruumi tähistame E. Kui eukleidilise ruumi dimensioon on oluline, siis seda näitame ülaindeksiga. Näiteks, kui eukleidiliseks ruumiks on kolmemõõtmeline ruum, siis kirjtame E 3. Kui tasand (kahemõõtmeline ruum), siis kirjutame E 2. Olgu X, Y eukleidilise ruumi E punktid. Sellega on määratud lõik XY. Punktid X, Y ei ole järjestatud ja selleks on kaks võimalust: XY või Y X. Kui nüüd seda tüüpi tähistuses esimesel kohal olevat tähte interpreteerime lõigu alguspunktina ja teisel kohal olevat tähte lõigu lõpp-punktina, siis lõigul on määratud suund, st meie lõik muutub suunatud lõiguks.
19 Seotud vektorid Eukleidilist ruumi tähistame E. Kui eukleidilise ruumi dimensioon on oluline, siis seda näitame ülaindeksiga. Näiteks, kui eukleidiliseks ruumiks on kolmemõõtmeline ruum, siis kirjtame E 3. Kui tasand (kahemõõtmeline ruum), siis kirjutame E 2. Olgu X, Y eukleidilise ruumi E punktid. Sellega on määratud lõik XY. Punktid X, Y ei ole järjestatud ja selleks on kaks võimalust: XY või Y X. Kui nüüd seda tüüpi tähistuses esimesel kohal olevat tähte interpreteerime lõigu alguspunktina ja teisel kohal olevat tähte lõigu lõpp-punktina, siis lõigul on määratud suund, st meie lõik muutub suunatud lõiguks. Definitsioon Lõiku, millel on fikseeritud alguspunkt, so suund, nimetatakse suunatud lõiguks ehk seotud vektoriks. Seotud vektorit alguspunktiga X ja lõpp-punktiga Y tähistame edaspidi XY abil. Kõigi seotud vektorite hulka tähistame E abil.
20 Seotud vektorid Seotud vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku, nimetatakse seotud nullvektoriks.
21 Seotud vektorid Seotud vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku, nimetatakse seotud nullvektoriks. Eukleidilise geomeetria tähtsaimad mõisted, st pikkus ja nurk, saab üle kanda seotud vektoritele.
22 Seotud vektorid Seotud vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku, nimetatakse seotud nullvektoriks. Eukleidilise geomeetria tähtsaimad mõisted, st pikkus ja nurk, saab üle kanda seotud vektoritele. Seotud vektori XY pikkuseks, tähistame XY, nimetame teda määrava lõigu pikkust, st XY = XY. Seega pikkusega null on ainult seotud nullvektorid ja ainult need.
23 Seotud vektorid Seotud vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku, nimetatakse seotud nullvektoriks. Eukleidilise geomeetria tähtsaimad mõisted, st pikkus ja nurk, saab üle kanda seotud vektoritele. Seotud vektori XY pikkuseks, tähistame XY, nimetame teda määrava lõigu pikkust, st XY = XY. Seega pikkusega null on ainult seotud nullvektorid ja ainult need. Olgu AB, AC kaks seotud vektorit alguspunktiga punktis A (nad on nullvektorist erinevad vektorid). Iga seotud vektor määrab kiirt, mis lähtub punktist A. Seega meil on süsteem, mis koosneb kahest kiirest, ja see on nurk. Vastavat nurka nimetatakse seotud vektorite AB, AC vaheliseks nurgaks ja tähistatakse (AB, AC). Antud definitsioonist järeldub, et 0 (AB, AC) π.
24 Vastandvektor Seotud vektor on üheselt määratud kolme karakteristikuga: 1 alguspunkt, 2 pikkus, 3 suund.
25 Vastandvektor Seotud vektor on üheselt määratud kolme karakteristikuga: 1 alguspunkt, 2 pikkus, 3 suund. Paneme tähele, et kahe punkti X, Y korral (X Y ) meil on kaks järjestust, seega meil on kaks seotud vektorit XY ja Y X.
26 Vastandvektor Seotud vektor on üheselt määratud kolme karakteristikuga: 1 alguspunkt, 2 pikkus, 3 suund. Paneme tähele, et kahe punkti X, Y korral (X Y ) meil on kaks järjestust, seega meil on kaks seotud vektorit XY ja Y X. Seotud vektorit Y X nimetame seotud vektori XY vastandvektoriks ja vastandvektorit tähistame XY, seega Y X = XY. Kehtivad seosed ( XY ) = XY, XX = XX, XY = XY.
27 Seotud vektorid Definitsioon Seotud vektorit AB nimetame kollineaarseks seotud vektoriga CD, kui lõik AB on paralleelne lõiguga CD või nad asuvad ühisel sirgel ja tähistame AB CD. Kolm seotud vektorit AB, CD, EF nimetatakse komplanaarseteks (komplanaarsed seotud vektorid), kui vastavad lõigud on parallelsed ühe ja sama tasandiga.
28 Seotud vektorid Definitsioon Seotud vektorit AB nimetame kollineaarseks seotud vektoriga CD, kui lõik AB on paralleelne lõiguga CD või nad asuvad ühisel sirgel ja tähistame AB CD. Kolm seotud vektorit AB, CD, EF nimetatakse komplanaarseteks (komplanaarsed seotud vektorid), kui vastavad lõigud on parallelsed ühe ja sama tasandiga.
29 Märkused: 1 Ülalpool antud kollineaarsete vektorite definitsiooni ei saa rakendada seotud nullvektorile 0. Tõepoolest seotud nullvektor koosneb ainult ühest punktist ja tema siht ei ole määratud. Nüüd arvestame, et eukleidilises geomeetrias kehtib Eukleidese V aksioom: kui on antud punkt A (nt see on meie seotud nullvektor) ja sirge l (millel asub teine vektor), siis alati leidub sirge, mis läbib punkti A ja on paralleelne sirgega l. Seega vektorite teoorias lihtsalt postuleeritakse, et seotud nullvektor on kollinearne mistahes seotud vektoriga. 2 Komplanaarsete vektorite definitsioonis eeldame, et seotud vektorid on ruumi vektorid, st AB, CD, EF E 3. See tähendab, et komplanaarsete vektorite definitsiooni ei saa rakendada sirge vektoritele E 1 ja tasandi vektoritele E 2. Mainime, et kehtib: kui kolmikus AB, CD, EF vähemalt kaks vektorit on kollineaarsed, siis kogu kolmik on komplanaarsed vektorid.
30 Märkused: 1 Vektorite kollineaarsuse ja komplanaarsuse mõisted on tihedalt seotud vektorruumi teooria mõistega vektorite lineaarne sõltuvus (sõltumatus). Vektorite lineaarse sõltuvuse mõistet defineeritakse algebralise tingimuse abil, kus kasutatakse tehteid vektoritega (liitmine ja korrutamine arvudega). Vektorite kollineaarsuse ja komplanaarsuse mõiste on geomeetriline lähenemine vektorite lineaarse sõltuvuse (või sõltumatuse) mõistele. Vektorite teoorias tõestatakse, et kolm vektorit (ruumi vektorid) on lineaarselt sõltumatud parajasti siis, kui nad on mittekomplanaarsed vektorid. Seega komplanaarsuse mõiste annab geomeetrilise kriteeriumi selleks, et kontrollida kas antud kolm vektorit on lineaarselt sõltuvad või sõltumatud. Teoorias tõestatakse, et kolmemõõtmelises ruumis (dimensioon on 3!) neli suvalist vektorit on linearselt sõltuvad. Seega komplanaarsuse mõiste laiendamisel neljale (või rohkem) vektorile ei ole mõtet.
31 Samasuunaline vektor Definitsioon Seotud vektorit AB nimetame samasuunaliseks (vastassuunaliseks) seotud vektoriga CD, kui 1 AB CD, seotud vektor AB on kollineaarne seotud vektoriga CD, 2 seotud vektorite AB ja CD suunad on ühesugused (suunad on vastupidised). Öeldut tähistame AB CD (AB CD) abil.
32 Samasuunaline vektor Definitsioon Seotud vektorit AB nimetame samasuunaliseks (vastassuunaliseks) seotud vektoriga CD, kui 1 AB CD, seotud vektor AB on kollineaarne seotud vektoriga CD, 2 seotud vektorite AB ja CD suunad on ühesugused (suunad on vastupidised). Öeldut tähistame AB CD (AB CD) abil.
33 Võrdsed seotud vektorid ja vabavektori mõiste Definitsioon Seotud vektorit AB nimetame võrdseks seotud vektoriga CD ja tähistame AB = CD abil, kui AB = CD, AB CD.
34 Võrdsed seotud vektorid ja vabavektori mõiste Definitsioon Seotud vektorit AB nimetame võrdseks seotud vektoriga CD ja tähistame AB = CD abil, kui AB = CD, AB CD. Definitsioon Olgu AB seotud vektor. Moodustame seotud vektorite klassi, kuhu kuuluvad kõik seotud vektoriga AB võrdsed seotud vektorid. Vastavat klassi nimetatakse seotud vektori AB poolt tekitatud vabavektoriks. Vabavektorit tähistame AB abil. Seotud nullvektori poolt tekitatud vabavektorit nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse 0 abil.
35 Vabavektori mõiste Kasutades hulga teooria valemeid, võime kirjutada AB = {CD E : CD = AB}, 0 = {AA : A E}. Vabavektoreid tähistame noolega varustatud ladina tähestiku väikeste tähtedega a, b, c. Selline tähistus rõhutab seda, et vabavektoril ei ole alguspunkti ja lõpp-punkti. Seega AB = a.
36 Vabavektori mõiste Kasutades hulga teooria valemeid, võime kirjutada AB = {CD E : CD = AB}, 0 = {AA : A E}. Vabavektoreid tähistame noolega varustatud ladina tähestiku väikeste tähtedega a, b, c. Selline tähistus rõhutab seda, et vabavektoril ei ole alguspunkti ja lõpp-punkti. Seega AB = a. Olgu antud ruumi punkt A ja vabavektor a. On ilmne, et leidub üks ja ainult üks ruumi punkt B selline, et seotud vektor AB tekitab vabavektorit a. Sellisel juhul ütleme, et seotud vektor AB on vabavektor a rakendatud punktist A. Teiste sõnadega võime rakendada vabavektorit suvalisest punktist ja saame tulemuseks seotud vektori. Sellega seoses seotud vektorit hakkame nimetama rakendatud vektoriks ja alguspunkti rakenduspunktiks.
37 Pikkus ja nurk Vabavektori mõiste on defineeritud eukleidilise geomeetria raames, seega eukleidilise geomeetria tähstaimad mõisted, so pikkus ja nurk, saab laiendada vabavektoritele. Olgu a vabavektor, fikseerime punkti A ja rakendame vektorit a punktist A, saame seotud vektori AB. Vektori a pikkust määrame valemiga a = AB.
38 Pikkus ja nurk Vabavektori mõiste on defineeritud eukleidilise geomeetria raames, seega eukleidilise geomeetria tähstaimad mõisted, so pikkus ja nurk, saab laiendada vabavektoritele. Olgu a vabavektor, fikseerime punkti A ja rakendame vektorit a punktist A, saame seotud vektori AB. Vektori a pikkust määrame valemiga a = AB. Olgu a, b kaks vektorit ja A ruumi punkt. Rakendame vektoreid a, b punktist A, tekivad seotud vektorid AB, AC. Vektorite a, b vaheliseks nurgaks nimetame seotud vektorite AB, AC vahelist nurka, st ( a, b) = (AB, AC).
39 Ühikvektor Vabavektor on üheselt määratud kahe parameetriga: 1 pikkus, 2 suund. Järelikult kaks vektorit on võrdsed, kui nende pikkused on võrdsed ja nad on samasuunalised.
40 Ühikvektor Vabavektor on üheselt määratud kahe parameetriga: 1 pikkus, 2 suund. Järelikult kaks vektorit on võrdsed, kui nende pikkused on võrdsed ja nad on samasuunalised. Vabavektorite hulka tähistame E. Kui dimensioon on oluline, siis kirjutame E 3 kolmemõõtmelise ruumi korral, E 2 tasandi korral ja E 1 sirge korral. Definitsioon Ühikvektoriks nimetatakse vektorit pikkusega 1, st a on ühikvektor, kui a = 1. Vabavektorid on kollineaarsed (komplanaarsed), kui nende poolt tekitatud seotud (rakendatud) vektorid on kollineaarsed (komplanaarsed).
41 Vektorite liitmine Vektorite liitmine:
42 Vektorite liitmine Vektorite liitmine: Olgu antud kaks vektorit a, b. Fikseerime punkti A E ja rakendame esimest vektorit a punktist A, tekib seotud vektor AB. Nüüd rakendame teist vektorit b punktist B, saame seotud vektori BC. Vektorit AC nimetatakse vektorite a, b summaks ja tähistatakse a + b või AB + BC. Kui tähistada AC = c, siis võime kirjutada kas a + b = c või AB + BC = AC. Nii defineeritud liitmist nimetatakse kolmnurga reegliks.
43 Vektorite liitmine Vektorite liitmine: Olgu antud kaks vektorit a, b. Fikseerime punkti A E ja rakendame esimest vektorit a punktist A, tekib seotud vektor AB. Nüüd rakendame teist vektorit b punktist B, saame seotud vektori BC. Vektorit AC nimetatakse vektorite a, b summaks ja tähistatakse a + b või AB + BC. Kui tähistada AC = c, siis võime kirjutada kas a + b = c või AB + BC = AC. Nii defineeritud liitmist nimetatakse kolmnurga reegliks. Näitame, et ülalpool antud vektorite summa definitsioon on korrektne, st ei sõltu punkti A valikust. Fikseerime teise punkti A A ja kordame ülalpool kirjeldatud protsessi. Tekib teine kolmnurk A B C. Kehtib AB A B, AB = A B, BC B C, BC = B C. Seega ABC = A B C. Järelikult AC = A C, AC A C ja joonisel näeme, et seotud vektorid on samasuunalised AC A C. Seega seotud vektorid on võrdsed AC = A C. Võrdsed seotud vektorid tekitavad ühte ja sama vabavektorit, st AC = A C = c.
44
45
46 Liitmise omadused Olgu a mingi vektor. Rakendame vektorit a vabalt fikseeritud punktist A, saame seotud vektori AB. Seotud vektori AB vastandvektor on AB. Vastandvektori poolt tekitatud vabavektorit tähistame a ja edaspidi nimetame vabavektori a vastandvektoriks. Vektorite liitmise omadused:
47 Liitmise omadused Olgu a mingi vektor. Rakendame vektorit a vabalt fikseeritud punktist A, saame seotud vektori AB. Seotud vektori AB vastandvektor on AB. Vastandvektori poolt tekitatud vabavektorit tähistame a ja edaspidi nimetame vabavektori a vastandvektoriks. Vektorite liitmise omadused: 1 a + b = b + a, vektorite liitmine on kommutatiivne;
48 Liitmise omadused Olgu a mingi vektor. Rakendame vektorit a vabalt fikseeritud punktist A, saame seotud vektori AB. Seotud vektori AB vastandvektor on AB. Vastandvektori poolt tekitatud vabavektorit tähistame a ja edaspidi nimetame vabavektori a vastandvektoriks. Vektorite liitmise omadused: 1 a + b = b + a, vektorite liitmine on kommutatiivne; 2 ( a + b) + c = a + ( b + c), vektorite liitmine on assotsiatiivne;
49 Liitmise omadused Olgu a mingi vektor. Rakendame vektorit a vabalt fikseeritud punktist A, saame seotud vektori AB. Seotud vektori AB vastandvektor on AB. Vastandvektori poolt tekitatud vabavektorit tähistame a ja edaspidi nimetame vabavektori a vastandvektoriks. Vektorite liitmise omadused: 1 a + b = b + a, vektorite liitmine on kommutatiivne; 2 ( a + b) + c = a + ( b + c), vektorite liitmine on assotsiatiivne; 3 a + 0 = a;
50 Liitmise omadused Olgu a mingi vektor. Rakendame vektorit a vabalt fikseeritud punktist A, saame seotud vektori AB. Seotud vektori AB vastandvektor on AB. Vastandvektori poolt tekitatud vabavektorit tähistame a ja edaspidi nimetame vabavektori a vastandvektoriks. Vektorite liitmise omadused: 1 a + b = b + a, vektorite liitmine on kommutatiivne; 2 ( a + b) + c = a + ( b + c), vektorite liitmine on assotsiatiivne; 3 a + 0 = a; 4 a + ( a) = 0.
51 Liitmise omadused Olgu a mingi vektor. Rakendame vektorit a vabalt fikseeritud punktist A, saame seotud vektori AB. Seotud vektori AB vastandvektor on AB. Vastandvektori poolt tekitatud vabavektorit tähistame a ja edaspidi nimetame vabavektori a vastandvektoriks. Vektorite liitmise omadused: 1 a + b = b + a, vektorite liitmine on kommutatiivne; 2 ( a + b) + c = a + ( b + c), vektorite liitmine on assotsiatiivne; 3 a + 0 = a; 4 a + ( a) = 0. Tõestame omadust 4. Fikseerime punkti A, rakendame vektorit a punktist A, tekib seotud vektor AB. Nüüd rakendame vastandvektorit a punktist B, tekib teine seotud vektor BA. Kasutame kolmnurga reeglit a + ( a) = AB + BA = AA = 0.
52 Summa pikkus Kuidas vektorite summa pikkus on seotud vektorite pikkustega?
53 Summa pikkus Kuidas vektorite summa pikkus on seotud vektorite pikkustega? Üldiselt vektorite summa pikkus ei võrdu vektorite pikkuste summaga a + b a + b! Teiste sõnadega vektori pikkus ei ole lineaarfunktsioon. Tegelikult kehtib kolmnurga võrratus a + b a + b.
54 Summa pikkus Kuidas vektorite summa pikkus on seotud vektorite pikkustega? Üldiselt vektorite summa pikkus ei võrdu vektorite pikkuste summaga a + b a + b! Teiste sõnadega vektori pikkus ei ole lineaarfunktsioon. Tegelikult kehtib kolmnurga võrratus a + b a + b. Milliste vektorite korral kehtib võrdsus?
55 Summa pikkus Kuidas vektorite summa pikkus on seotud vektorite pikkustega? Üldiselt vektorite summa pikkus ei võrdu vektorite pikkuste summaga a + b a + b! Teiste sõnadega vektori pikkus ei ole lineaarfunktsioon. Tegelikult kehtib kolmnurga võrratus a + b a + b. Milliste vektorite korral kehtib võrdsus?võrdsus kehtib ainult samasuunaliste vektorite korral. Kui a, b on samasuunalised vektorid, siis kehtib a + b = a + b. Kui a, b on vastasuunalised vektorid, siis kehtib a + b = a b.
56 Korrutamine arvuga Teine tehe on vektorite korrutamine reaalarvudega. Olgu a mingi vektor ja α reaalarv. Tuletame meelde, et vektor on täielikult määratud, kui on antud tema pikkus ja suund. Definitsioon Vektori a ja reaalarvu α korrutiseks nimetatakse vektorit α a, mis rahuldab kahte tingimust 1 (pikkus) α a = α a, 2 (suund) α a a, kui α > 0, ja α a a, kui α < 0, (kui α = 0, siis esimesest tingimusest järeldub, et α a = 0).
57 Omadused Reaalarvudega koorutamisel on järgmised omadused: 1 α ( a + b) = α a + α b, 2 (α + β) a = α a + β a, 3 (α β) a = α (β a), 4 1 a = a. Tõestame esimest omadust juhul α > 0 (vt järgmise slaidi joonis). Kehtib valem ( 1) a = a. Tõepoolest ( 1) a = 1 a = a, a = a, seega ( 1) a = a. Vektor ( 1) a on vastassuunaline vektoriga a ja vektor a (so vektori a vastandvektor) on ka vastassuunaline vektoriga a. Järelikult ( 1) a a ja ( 1) a = a.
58
59 Lineaarkombinatsioon Kasutades vektorite liitmist ja arvuga korrutamist, meie võime moodustada avaldise α 1 a 1 + α 2 a α k a k = k α i a i, (1) kus a 1, a 2,..., a k on vektorid ja α 1, α 2,..., α k on arvud. Avaldist 1 nimetatakse vektorite a 1, a 2,..., a k lineaarkombinatsiooniks kordajaga α 1, α 2,..., α k. Tähistame b = k α i a i. i=1 i=1 On lihtne näha, et kehtib väide: kui vektorid a 1, a 2,..., a k on kollinearsed (komplanaarsed), siis vektorid a 1, a 2,..., a k, b on kollineaarsed (komplanaarsed).
60 Ühikvektor Olgu a nullvektorist erinev vektor. Siis vektor e = 1 a a, on ühikvektor. Vektorit e nimetatakse vektoriga a samasuunaliseks ühikvektoriks.
61 Eksami küsimused 1 Seotud vektori mõiste. Nullvektor, vastandvektor, kollineaarsed, komplanaarsed ja võrdsed seotud vektorid. Seotud vektori pikkus ja nurk seotud vektorite vahel. 2 Võrdsed seotud vektorid. Vabavektori mõiste. Võrdsed vabavektorid. Vabavektori pikkus ja nurk vabavektorite vahel. Kollineaarsed ja komplanaarsed vabavektorid. 3 Vabavektorite liitmine. Omadused. Vabavektorite korrutamine arvudega. Omadused. Vabavektorite lineaarkombinatsioon. Ühikvektori mõiste.
Lisakonstruktsioonid geomeetrias
Lisakonstruktsioonid geomeetrias 1. Tsentraalpunkt Väga sageli piisab geomeetriaülesannete lahendamisel lisakonstruktsioonist, kus tuuakse sisse üksainus sobivalt valitud punkt, mis jagab joonise teatud
ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA PRAKTIKUM
ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA PRAKTIKUM 198 5 TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL Algebra ja geomeetria kateeder ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA PRAKTIKUM II Sirge ja tasand L. Tuulmets Teine parandatud trükk TARTU 1985 Kinnitatud
Arvu mõiste kujunemise alused
Peatükk 1 Arvu mõiste kujunemise alused 1.1 Lühiülevaade arvu mõiste kujunemise ajaloolistest aspektidest Tundub, et kõige lihtsam hulkade võrdlemise viis on üksühese vastavuse moodustamine. Hulga elementide
PUUDE LOENDAMINE. Teema 7.3 (Lovász: Ch 8) Jaan Penjam, Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 1 / 55
PUUDE LOENDAMINE Teema 7.3 (Lovász: Ch 8) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 1 / 55 Loengu kava 1 Märgendatud ja märgendamata puud 2 Puude esitamine arvuti mälus
Peatükk 1. Arvuteooria
Peatükk 1 Arvuteooria I Täisarvu esitus positsioonilises arvusüsteemis Põhimõisted 1) Arvu esitamisel positsioonilises arvusüsteemis, mille aluseks on valitud ühest suurem positiivne täisarv k, kasutatakse
Optimeerimine. Pidu, silindrilkäik ja pank. Lauri Tart
Optimeerimine. Pidu, silindrilkäik ja pank. Lauri Tart Sissejuhatus Peatükk 7 (ja edasi kuni kümnendani) uurib nn optimisatsiooniprobleeme ja püüab nende lahendamiseks mingeid vahendeid anda. Optimisatsiooniprobleemide
Wilcoxoni astaksummatest (Wilcoxon Rank-Sum Test )
Peatükk 3 Wilcoxoni astaksummatest Wilcoxon Rank-Sum Test 3.1 Teststatistiku konstrueerimine Wilcoxoni astaksummatest on mitteparameetriline test kahe sõltumatu populatsiooni võrdlemiseks. Testprotseduuri
5. TERMODÜNAAMIKA ALUSED
KOOLIFÜÜSIKA: SOOJUS (kaugõppele) 5. ERMODÜNAAMIKA ALUSED 5. ermodünaamika I seadus ermodünaamika I seadus annab seose kehale antava soojushulga, keha siseenergia ja paisumistöö vahel = U + A, kus on juurdeantav
6. Peatükk. KEEMILISE SIDEME OLEMUS. MOLEKULIDE MOODUSTUMINE
6. Peatükk. KEEMILISE SIDEME OLEMUS. MOLEKULIDE MOODUSTUMINE 6.1. Keemilise sideme olemus Küsimus keemilise sideme olemusest on (bio)keemia põhiküsimus. Mis on molekul? Üldiselt igasugune püsiv aatomite
POOLJUHTIDE F00S1KA ALUSED
TARTU KUKUK C4LIKOOL Ы./МОММ POOLJUHTIDE F00S1KA ALUSED TARTU 1958 TARTU RIIKLIK tflikool U, Nõmm POOLJUHTIDE FtmSIKA ALUSED (Loengukursuse konspekt) Tartu 1968 У.Х. Нымы ОСНОВЫ ФИЗИКИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Andres Lahe. Ehitusmehaanika. Varrassüsteemi mehaanika. b x k l/2 l. Tallinn 2003
Andres Lahe Ehitusmehaanika Varrassüsteemi mehaanika F k c p f a b x k l/2 l Tallinn 2003 2 Dokumendi koostas: Andres Lahe, 2003-04-29 e-mail: alahe@staff.ttu.ee http://staff.ttu.ee/~alahe/ Tallinna Tehnikaülikool
III ÜLDINE LINEAARNE MUDEL
VL.09 Loomade aretusväärtuse hindamine ja aretusprogrammid III ÜLDINE LINEAARNE MUDEL 3. PÕHIMÕISED Üldise lineaarse mudeli rakendamiseks jagatakse registreeritud tunnused kahte ossa uuritavateks e sõltuvateks
Procedure 2(b) (obvious errors in a number of language versions)
COU CIL OF THE EUROPEA U IO Brussels, 18 April 2012 8693/12 Interinstitutional File: 2005/0191 (COD) JUR 217 AVIATIO 64 CODEC 969 LEGISLATIVE ACTS A D OTHER I STRUME TS: CORRIGE DUM/RECTIFICATIF Subject:
SISSEJUHATUS ORGAANILISSE KEEMIASSE
SISSEJUATUS RGAANILISSE KEEMIASSE Kaido Viht Õppematerjal TÜ teaduskooli õpilastele Tartu 2016 1. Aatomiehitus ja keemiline side rgaaniliste ühendite struktuurides on enamlevinud elementideks mittemetallid:,
TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL MATEMAATILISE ANALÜÜSI PRAKTIKUM
I TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL S.Baron, E.Jürimäe, E.Reimers MATEMAATILISE ANALÜÜSI PRAKTIKUM II tartu saa 1972 TARTU RIIKLIK ÜLIKOOL Matemaatilise analüüsi kateeder S.Baron, E.Jürimäe, E.Reimers MATEMAATILISE
Üldinfo. Me teeme elu kasutajate jaoks lihtsamaks, arendades pidevalt töökindlaid ja pika elueaga süsteeme.
TOOTEÜLEVAADE 2014 Üldinfo Me teeme elu kasutajate jaoks lihtsamaks, arendades pidevalt töökindlaid ja pika elueaga süsteeme. Meie tooted teevad läbi mitmeastmelise korrosioonikaitsetöötluse*. Kõik tooted
PHP II. Ivari Horm Ivari Horm,
PHP II Ivari Horm ranger@risk.ee Sissejuhatus Failid Massiivid Eriotstarbelised massiivid Abifunktsioonid E-kirjade saatmine PHP-s Failid Ivari Horm ranger@risk.ee Failid Arvutis olevaid faile on võimalik
ELEMENTAARMATEMAATIKA
T A R TU R IIK LIK Ü L IK O O L J. Reimand, K. Velsker ELEMENTAARMATEMAATIKA I Algpraktikum T A R T U 1 9 7 2 Matemaatika õpetamise metoodika kateeder J. Reimand, K. Velsker ELEMENTAARMATEMAATIKA I Algpraktikum
DVD loomise tarkvara võrdlemine
Tallinna Ülikool Informaatika Instituut DVD loomise tarkvara võrdlemine Seminaritöö Autor: Jevgeni Salnikov Juhendaja: Andrus Rinde Tallinn 2008 Sisukord SISSEJUHATUS... - 3-1. DVD AJALUGU... - 4-2. VÕRDLEMISPROTSESSIST
Svar på opgave 336 (Januar 2017)
Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad
Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser
Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 5 Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1. Fortegn for parenteser 5. Parenteser - En introduktion med opgaver (og facitliste)- Det plus- eller minus- tegn,
Side af 43!"!# % &!'()! * &, -."!# Plac. Navn Født Point FINA 00m 200m 300m Opnået Status Klub /// 0..(!#'# (#(..-! /// 0.#(!#/) (! #(!' 2 # "!#! /// 0)-(!) ) ( 00#( ' % 3 ) & ' /// 0!(!0)# (' ##(.-0 %(%
Rüdiger Dorn. Spela till sista tärningen!
Rüdiger Dorn Spela till sista tärningen! SPELET Testa din tur i spel på sex fantastiska Las Vegas-kasinon. Eftersom du kan vinna olika summor på olika kasinon, gäller det att vara smart när du satsar dina
3. ENERGIA JA SOOJUSHULK
Soojusõpetus 3 1 3. ENERGIA JA SOOJUSHULK 3.1. Termodünaamiline süsteem ja termodünaamilised protsessid Termodünaamilise süsteemina võib vaadelda iga piiritletud keha või kehade hulka. Süsteemi võib liigendada
Uus pärimisseadus: vastuvõtusüsteem vs loobumissüsteem muinasajast tänapäeva
Uus pärimisseadus: vastuvõtusüsteem vs loobumissüsteem muinasajast tänapäeva Vaike Murumets Justiitsministeeriumi eraõiguse talituse nõunik Selle aasta 17. jaanuaril võttis Riigikogu vastu uue pärimisseaduse,[i]
Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave
Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK
Euroopa. Infovihik noortele
Euroopa Liit Euroopa. Infovihik noortele Käesoleva brošüüri Euroopa. Infovihik noortele ja selle juurde kuuluva õpetajavihiku leiate internetis aadressil europa.eu/teachers corner/index_et.htm bookshop.europa.eu
Mart Kuurme FÜÜSIKA TÖÖVIHIK. 8. klassile. Fyysika TV 8. klassile.indd , 10:59:49
Mart Kuurme FÜÜSIKA TÖÖVIHIK 8. klassile 1 Fyysika TV 8. klassile.indd 1 19.09.2005, 10:59:49 Mart Kuurme Füüsika töövihik 8. klassile AS BIT, 2005 ISBN 9985-2-1086-7 Retsenseerinud Koit Timpmann ja Toomas
Lugeda tuleb kõikjal ja nähtavalt
Melchior tegutseb jälle 1. mail jõuab kirjastuselt Varrak poelettidele Indrek Hargla Melchiori lugude neljas osa, mis seekord kannab pealkirja Apteeker Melchior ja Pirita kägistaja. Aasta on 1431 ja tegevuspaik
5. RÕHK JA ÜLESLÜKKEJÕUD
5. RÕHK JA ÜLESLÜKKEJÕUD 5.1. Rõhumisjõud ja rõhk Jõud ja rõhk on erinevad asjad. Rõhk oleneb peale jõu ka kokkupuutepindalast. Rõhumisjõud on pinnaga risti. Joonis 5.1. Kahe käe nimetissõrme vahel on
ÕPIOBJEKT Binaarsete tunnuste analüüsimeetodid
ÕPIOBJEKT Binaarsete tunnuste analüüsimeetodid Tanel Kaart http://ph.emu.ee/~ktanel/ bin_tunnuste_analyys/ Tanel Kaart EMÜ VLI 1 Sisukord 1. Sissejuhatus... 3 1.1. Binaarsete tunnuste olemus ja kodeerimine...
ORGAANILINE KEEMIA II osa
ORGAANILINE KEEMIA II osa (Pildiallikas: http://crdp.ac-amiens.fr/edd/compression/bio/hevea.jpg ) 7.2 ALKEENID Alkeenideks nimetatakse küllastumata süsivesinikke, kus süsiniku aatomite vahel esineb üks
8. Peatükk. VEDELIKUD
8. Peatükk. VEDELIKUD 8.1. Aine olekufaas - vedelik Aine läheb vedelasse faasi kui molekulide soojusliikumise kineetiline energia RT on väiksem molekulidevaheliste tõmbejõudude poolt põhjustatud seoste
Facade 4. 02 Soveværelse 02 Soveværelse. 4 Værelse 10 m². 04 Værelse 3397 3325. 16 Trapperum 19 m². 14 Bad. 1700 11 Entré. 11 Entré 6 m². Stue.
A(A)-1- Type 3-3,2 m² Type 4-98,2 m² Type 1-76, Type 6-3, A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 12588 7452 9768 8280 3050 4 4 3397 3325 3050 4520 4 44 4259 m² AA AB Facade 3 Forsyningsskabe Gang 3682 8152 21 m² 2080
21. TÕRV Ajalugu, valmistamine ja kasutamine.
21. TÕRV Ajalugu, valmistamine ja kasutamine. AJALUGU Puutõrva kasutamine ulatub tagasi õige kaugetesse aegadesse. Vanimad kirjalikud teated selle kohta pärinevad kreeka ja rooma autoritelt. Rooma õpetlane
Rakenduspedagoogika opik
Rakenduspedagoogika opik Rakenduspedagoogika õpik Kaitsejõudude peastaap 2002 Originaali tiitel: Undervisning i praksis er redigeret af Forsvarets Center for Lederskab, Uddannelsesudviklingsafdelingen
11. KONDENSEERITUD AINE
11. KONDENSEERITUD AINE 11.1. Ainete olekufaasid Vedelik on juba teine ainete olekufaas, mida me oma kursuses käsitleme. Eelmise loengu lõpus nägime, et aine võib teatud tingimustel ühest faasist teise
Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Facitliste til elevbog
Facitliste til elevbog Algebra a 8x 4 b 6x c 7x 8 d 0 5x e x 54 f 8x 6 x a x 7x + 4 b 48a 4 + 8a c 56x + x d 6a 4 5a e 4x 80x f 6a 4 4a a 8(x + ) b 5x(4x 7) c 4( a) d 9a ( a) e 4( + 7a ) f 6(x + y) 4 a
Sõnastik / KKK www.monbjergpil.dk --- www.a-b.dk --- www.recycler.dk Google Tõlge on kohandatud õige eestlane. *) OEM = Original Equipment Manufacturer. Ümbertöödeldud OEM ühilduvad. Teema vigu materjali.
اقرأ EESTI MOSLEMITE KUUKIRI. juuni 2013 / RAŽAB ŠABAAN 1434
اقرأ EESTI MOSLEMITE KUUKIRI NR 45 juuni 2013 / RAŽAB ŠABAAN 1434 السالم عليكم ورحمة الله وبركاته Armas lugeja, sinu ees on juba Iqra 45. number, mašaallah! Seekordseks peateemaks on vähe käsitletud kuid
4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))
A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k
ELEKTROONIKA KOMPONENDID
Uudo Usai ELEKTROONIKA KOMPONENDID Elektroonika alused TPT 1998 ELEKTROONIKAKOMPONEND1D lk.1 SISSEJUHATUS Kaasaegsed elektroonikaseadmed koosnevad väga suurest hulgast elementidest, millest on koostatud
er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Opgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
EESTI VABARIIGI ÜLEMNÕUKOGU XII KOOSSEISU 78., ERAKORRALINE ISTUNGJÄRK
EESTI VABARIIGI ÜLEMNÕUKOGU XII KOOSSEISU 78., ERAKORRALINE ISTUNGJÄRK 6. 9. juuli 1992 SISUKORD EESTI VABARIIGI ÜLEMNÕUKOGU XII KOOSSEISU 78., ERAKORRALINE ISTUNGJÄRK ESIMENE ISTUNG 6. juuli 1992... 4
8. Peatükk. AINETE AGREGAATOLEKUD. VEDELIKUD
8. Peatükk. AINETE AGREGAATOLEKUD. VEDELIKUD 8.1. Aine olekufaasid Vedelik on juba teine ainete olekufaas, mida me oma kursuses käsitleme. Eelmise loengu lõpus nägime, et aine võib teatud tingimustel ühest
1. VIHIK. Materjalid ja nende omadused ning üldised nõuded müürile ja müüritöödele. AS Columbia-Kivi Vana-Kastre Tartu maakond
1. VIHIK Materjalid ja nende omadused ning üldised nõuded müürile ja müüritöödele 1998 2 Columbiakivi projekteerimisjuhend 1 Saateks 1.1 Sissejuhatus Käesolevas juhendis antakse juhised AS Columbiakivi
Töö Nr. 6. Vee hapnikusisalduse, elektrijuhtivuse ja ph määramine. (2013.a.)
Töö Nr. 6. Vee hapnikusisalduse, elektrijuhtivuse ja ph määramine. (2013.a.) Vee kvaliteeti iseloomustatakse tema füüsikaliste, keemiliste ja bioloogiliste omadustega. Nii looduslikes veekogudes kui ka
Navn: Klasse: HTx2A Opgaver: 422, 423, 425, 428, 429 & 431 Afleveringsdato: Uge 35:
Matematik HTx,. årgang 04/05 Sæt 0 Vektorer 0 Navn: Klasse: HTxA Opgaver: 4, 43, 45, 48, 49 & 43 Afleveringsdato: Uge 35: 8-08-03 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 75 min.
Teknisk Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 2. udgave. PRAXIS Nyt Teknisk Forlag
Teknisk Matematik. udgave FACITLISTE Preben Madsen PRAXIS Nyt Teknisk Forlag TEKNISK MATEMATIK TEKNISK MATEMATIK FACITLISTE TIL.UDGAVE INDHOLD. Tal og algebra. Ligninger og uligheder. Geometri. Trigonometri
Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
M45, M60, M80 M45E, M60E, M80E, M90E
M45, M60, M80 M45E, M60E, M80E, M90E DA Monterings- og brugsanvisning for elektrisk saunaovn Elektrikerise kasutus- ja paigaldusjuhis M (Sound) ME (Sound) M ME 01022006H INHOLDSFORTEGNELSE 1. ANVISNINGER
Voltmeetri sisendtakistus on ideaaljuhul väga suur: R sis Voltmeetrit võib lülitada pinge mõõtmiseks paralleelselt mistahes vooluringi osaga.
PINGE MÕÕMINE. ALALISPINGE OLMEERID oltmeetri sisendtakists on ideaaljhl väga sr: R sis oltmeetrit võib lülitada pinge mõõtmiseks paralleelselt mistahes voolringi osaga. + + Ampermeetri sisendtakists on
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK B. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 13.00 GL091-MAB. Undervisningsministeriet
GU HHX MAJ 009 MATEMATIK B Onsdag den 13. maj 009 Kl. 9.00 13.00 Undervisningsministeriet GL091-MAB Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C, 8D og
GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y
GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for
Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde
Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til
VÕLAKIRJA TINGIMUSED. võlakiri nr Aktsiavõlakiri Euroopa 2012
Käesolevad tingimused on algselt koostatud rootsi keeles. Juhul, kui esinevad erinevused rootsi- ja eestikeelsete tingimuste vahel, loetakse õigeks rootsikeelsed tingimused. VÕLAKIRJA TINGIMUSED võlakiri
DEVI küttekaablite käsiraamat Tootekataloog
1 tekst 1 DEVI küttekaablite käsiraamat Tootekataloog 2014 Sisukord 2 1 2 3 4 5 KÜTE 1.1 ÜLDINE INFO... 4 1.2 OTSENE KÜTE BETOONPÕRANDATES... 5 1.3 PÕRANDAKÜTE RENOVEERITUD JA ÕHUKESTES PÕRANDATES... 7
Haid puhi! ÜLE VAL LA JÕU LU PI DU. Tõs ta maa rah va ma jas 23. det semb ril
Nr. 9 (182) / detsember 2011 Haid puhi! Foto: Eve Käär ÜLE VAL LA JÕU LU PI DU Tõs ta maa rah va ma jas 23. det semb ril kell 20 väi ke jõu lu kont sert kell 21 peoõh tu koos an samb li ga OR KES TER Õh
A.-S. OSKAR KILGAS TRIKO0-, PITSI- JA SUKAVABRIK TALLINN, VOLTA TÄN. 3. TEL.: KONTOR LADU
KAITSE KODU! f A.-S. OSKAR KILGAS TRIKO0-, PITSI- JA SUKAVABRIK TALLINN, VOLTA TÄN. 3. TEL.: KONTOR 426-31 LADU 426-32. S00VITAME::KÕRGEIMAS HEADUSES KLEIDI-, MANTLI-, VOODRI- JA ÜLIKONNARIIDEID: FLAMENGO
Løsningsforslag MatB Juni 2013
Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x
Õpetaja kui teadmiste edastaja, terapeut ja ämmaemand
Dr Lotte Rahbek Schou (haridusfilosoofia dotsent) Danish School of Education Aarhusi Ülikool Haridusteaduskond lrs@dpu.dk Detsember 2009 Õpetaja kui teadmiste edastaja, terapeut ja ämmaemand Lühitutvustus
tähelepanuväärset naist elvi reiner ja Mai Sipelgas
Vigala Sõnumid Vigala valla ajaleht NR. 3 (127) Märts 2012 TASUTA Elvi Reiner alustas õpetaja tööd 1958. a Peru Koolis. Seejärel töötas ta Kivi-Vigala Põhikoolis, Vana-Vigala Põhikoolis ning Tehnika- ja
PC PSI PT JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON MÉTHODES ET EXERCICES. Mathématiques. méthodes et exercices. 3 e.
PC PSI PT MÉTHODES ET EXERCICES JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON Mathématiques méthodes et exercices 3 e édition Conception et création de couverture : Atelier 3+ Dunod, 201 5 rue Laromiguière,
A BCDE EAF AE C C C C AE A C CD C A B C DEFA A B B
C C C AE A C CD C A B C DEFA A B B F A A F F D EFF AA C A B B D B D D B F B D B C C C AE A C C E C AB CDE BF FAB E A A DA A B B A AB A B F B BB A B A AB B A A B B B A AB E A B A BB D A AB DA BB BB B B
Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/70/62452762.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
LISA I RAVIMI OMADUSTE KOKKUVÕTE
LISA I RAVIMI OMADUSTE KOKKUVÕTE 1 1. RAVIMPREPARAADI NIMETUS YTRACIS, radiofarmatseutiline prekursor, lahus. 2. KVALITATIIVNE JA KVANTITATIIVNE KOOSTIS Ütrium ( 90 Y) -kloriid: 1 ml steriilset lahust
Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Facits til Adgangseksamen MA
Facis il Adgangssamn MA Jan 00 Opg. a ½cos b cos c / / ln Opg. a / b c 0 0 Opg. a f =f = b 8/ c ln- Opg. a 00 0 b = -/ c = + / Opg. a f cos b f cos Maj 00 Opg. a ½ b ln-/ Opg. a + + = 0 b c /7 d 7 Opg.
Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
MESINIK MESINDUSE INFOLEHT. Trükise väljaandmist toetab Euroopa Liit Eesti Mesindusprogrammi raames
MESINIK MESINDUSE INFOLEHT nr nr 7 1 (87), (99) veebruar 2015 2017 Põhja- ja Baltimaade Mesindusnõukogude aastakoosolek Tallinnas Rohumaade niitmisest Valmar Lutsar. Mee soojendamisest Erki Naumanis. Robotmesilane
FÆLLESBO AFD A U G U S T R E V. 6
FÆLLESBO AFD. 107 2 7. A U G U S T 2 0 1 8 R E V. 6 FORELØBIG HELHEDSPLAN FÆLLESBO - AFD. 107 Eksisterende boliger Antal: 441 Boliger med tilgængelighed Antal: 144 (32% af 441) boliger med sammenlægning
.037R130066. NRGI ngen
V GT G NFORMAT ON D mæ m æ æ m m æ mm m M m mæ æ æ mm K E ENDOMSMÆGLERENSOPL YSN NGT LPARTERNE E m mæ m mæ m m N M m mæ m N H m mæ æ m m æ æ æ m m æ m N H F K U B 4 A F NANS ER NGSF ORSL AG A RTPLBRT NT
MM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt
I KOHALEJÕUDMINE TERMOPÜÜLID. Termopüülid Delfi Atika Maraton
I KOHALEJÕUDMINE Termopüülid Delfi Atika Maraton TERMOPÜÜLID KREEKA ÕHK ON PUHTUSE JA SELguse poolest tuntud, seega näeb rändur, kui tal vähegi õnne on, Ateenasse viiva tee algust juba kaugelt üle Malise
PAKENDI INFOLEHT: INFORMATSIOON KASUTAJALE. Clopidogrel HEXAL 75 mg õhukese polümeerikattega tabletid Klopidogreel
PAKENDI INFOLEHT: INFORMATSIOON KASUTAJALE Clopidogrel HEXAL 75 mg õhukese polümeerikattega tabletid Klopidogreel Enne ravimi kasutamist lugege hoolikalt infolehte. - Hoidke infoleht alles, et seda vajadusel
2Orienteringsløb træningsbaner med få poster og mange stræk af Rolf Andersen
2Orienteringsløb træningsbaner med få poster og mange stræk af Rolf Andersen Orienteringsløb Træningsbaner med få poster og mange stræk af Rolf Andersen Amager Orienteringsklub Side 2 af 7 1Orienteringsløb
Multi-Split kompaktpaneeliga kassett siseosa kasutusjuhend
Paigaldus- ja kasutusjuhend Multi-Split kompaktpaneeliga kassett siseosa kasutusjuhend See kasutusjuhend on sobiv järgmistele juhenditele: ACMI-26HPDC1 ACMI-36HPDC1 ACMI-53HPDC1 Palun lugege seda kasutusjuhendit
GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet
GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og
Haigekassa lepingupartnerite rahulolu
Haigekassa lepingupartnerite rahulolu Uuringu raport 2012 Tellija: Eesti Haigekassa Teostaja: AS Emor Raporti koostas: Aire Trummal, AS Emor Veebruar 2012 2 Sisukord Sissejuhatus... 3 1. Uuringu läbiviimine...
KOLMAPÄEV, 10. NOVEMBER 2010
10-11-2010 1 KOLMAPÄEV, 10. NOVEMBER 2010 ISTUNGI JUHATAJA: Jerzy BUZEK president (Istung algas kell 15.00) 1. Istungjärgu jätkamine President. Kuulutan neljapäeval, 21. oktoobril 2010 katkestatud Euroopa
Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014
Sæt 05 Geometri 01 Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 165 min. = 2,75 time
Introduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling
TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
APPENDIX B Member States' specific guidelines on Cost Contribution Arrangements
APPENDIX B Member States' specific guidelines on Cost Contribution Arrangements (as on 1st July 2011) UK has amended its Guidelines on 9 th August 2011 DENMARK...2 ESTONIA...9 ITALY...11 UNITED KINGDOM...14
:!!09 ;!' 09 % % (% %+ %1 164< 6 1 %- : #:%: %: : #: ):::::::::::::::::::::::!- : ::::::::::::::::::::::::::::::::"## 1 164< 6 1 % %12 %6!" #$%
+ 7 89 :!!09 ;!' 09 % % (% %+ %1 164< 6 1 %- : #:%: %: : #: ):::::::::::::::::::::::!- : ::::::::::::::::::::::::::::::::"## 1 164< 6 1 % %12 %6!" #$%&!"#$ %& ' ' ( ) * +, -. / 0 1 2 3 4 5 6 / 7 8 9 :
Affine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning
Find de billeder som vises i begge kasser. Papiret kan eventuelt foldes på midten først - kig først på den øverste kasse. Vend papiret og se om du
Navn: Klasse: Materiale ID: PIC.8.1.1.da Lærer: Dato: Klasse: Materiale ID: PIC.8.1.1.da Navn: Klasse: Materiale ID: PIC.8.2.1.da Lærer: Dato: Klasse: Materiale ID: PIC.8.2.1.da Navn: Klasse: 254 Materiale
KÜTTESÜSTEEMID JA SOOJUSSÕLMED. A. Rant veeb.2014
KÜTTESÜSTEEMID JA SOOJUSSÕLMED A. Rant 13-14.veeb.2014 KÜTTESÜSTEEMID JA SOOJUSSÕLMED 1. päev Sekundaarpool küttesüsteem Primaarpool kaugküttevesi Sekundaarpool sooja tarbevee süsteem Kaugkütte pealevool