Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var."

Bertram Klausen
6 år siden
Visninger:

1 Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

2 Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population Populationsstørrelse N Populationsmiddelværdi μ Populationsvarians σ Sandsynligheder x Hændelser S A S A S Hændelse hændelse Simpel Udfaldsrum / 0 B P B A P B A P B A P B P A P B A P A P A P S P A P

3 Simultan og marginal sandsynlighed Simultan sandsynlighed er sandsynligheden for at en eller flere hændelser indtræffer simultant, fx PA B Marginale sandsynligheder beregnes ved at summere over rækker og søjler Holdning til fælles fond B Skole B Fælles fond Fælles fond Total bedst B dårligst B God skole A PA B PA 0.40 Dårlig skole A Total PAPB.00

4 Uafhængighed To hændelser er uafhængige hvis: PA B PA og PB A PB Ligeledes PAI B PAPB Lige meget hvilken kombination af hændelser vi vælger, skal uafhængigheden gælde. Hvis bare en kombination viser afhængighed, er hændelserne afhængige.

5 Uafhængighed Eksempel: Er der uafhængighed mellem om en fælles fond er god eller dårlig og om manageren kom fra en god eller dårlig skole? Holdning til fælles fond B Skole B Fælles fond Fælles fond Total bedst B dårligst B God skole A Dårlig skole A Total Check fx om PB A PB el. PA B PA PB

6 Lov om Total Sandsynlighed Lov om total sandsynlighed: PA PA I B PA I B B A _ B I ord: Sandsynligheden for A er lig sandsynligheden for A og B plus sandsynligheden for A og B s kompliment.

7 Eksempel Lov om Totalsandsynlighed Kortspil find sandsynligheden for at trække et billedkort, A: Det må være sandsynligheden for at trække en billedkort i Hjerter H, Spar S, Ruder R eller Klør K: PAPA H PA S PA R PA K 3/5 3/5 3/5 3/5 /5 Hjerter Spar Ruder Klør A H A S A R A K A

8 Bayes sætning PBA P AI B PA PA I B PA IB PA IB PABPB PABPB PABPB Bemærk: Vi har vendt de betingede sandsynligheder!

9 Bayes sætning Eksempel -0 En test for en sjælden sygdom, der rammer 0,% af befolkningen PI0,00, er upræcis. Lad i det følgende: I syg og I Z positiv test ikke syg og Z negativ test Sandsynligheden for at testen er positiv når man er syg: P Z I.9 Sandsynligheden for at testen er positiv, når man er rask: P Z I 0.04 Hvad er så sandsynligheden for at man er syg, givet at testen var positiv? P I Z

10 Stokastisk Variabel: Et eksempel Betragt de forskellig mulige ordninger af drenge B og piger G i fire fødsler. Der er *** 4 6 muligheder og udfaldsrummet er: BBBB BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG GBBG GGBG BBGB BGGB GBGB GGGB BBGG BGGG GBGG GGGG Hvis pige og dreng er lige sandsynlige, [PG PB /], og kønnet af hvert barn er uafhængig af kønnet på det foregående barn, så er sandsynligheden for hver af disse 6 muligheder: //// /6.

11 Eksempel - fortsat Tæl antallet af piger i hver af de fire fødsler: BBBB 0 BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG GBBG GGBG 3 BBGB BGGB GBGB GGGB 3 BBGG BGGG 3 GBGG 3 GGGG 4 Bemærk at: hvert mulig udfald tildeles en enkelt værdi værdierne, der tildeles varierer over de forskellige udfald Antallet af piger er en stokastisk variabel: En stokastisk variabel,, er en funktion, der tildeler en enkelt, men variabel værdi til hvert element i udfaldsrummet.

12 Eksempel - fortsat BBBB BGBB GBBB BBBG BBGB GGBB GBBG BGBG BGGB GBGB BBGG BGGG GBGG GGGB GGBG GGGG Udfalds rum Punkter på den reelle linie

13 Stokastisk variabel En stokastisk variabel er en funktion defineret på S udfaldsrummet, der antager værdier på R reelle tal : S R I eksperimenter knyttes en talværdi til hvert udfald: Stokastiske variable kan enten være diskrete eller kontinuerte. S o i R 0 o i Diskrete: Antager et endeligt antal værdier Kontinuerte: Antager værdier i en mængde af reelle tal

14 Eksempler på diskrete og kontinuerte variable Eksperiment Stokastisk variabel Type Kast med terning Antal øjne Diskret Kast med terninger Sum af antal øjne Diskret Familie i Danmark Antal børn Diskret Familie i Danmark Indkomst Kontinuert Kvinder i Danmark Højde Kontinuert Baby Fødselsvægt Kontinuert Resten af denne forelæsning ser vi på diskrete stokastiske variable

15 Eksempel - fortsat Eksempel: Den stokastisk variabel 3 når de følgende fire hændelser BGGG, GBGG, GGBG, eller GGGB forekommer, P 3 PBGGG PGBGG PGGBG PGGGB 4/6 Sandsynligheds fordelingen af en stokastisk variabel er en tabel, der opskriver alle de mulige værdier af en stokastisk variabel og deres tilknyttede sandsynligheder. x Px For eksemplet: 0 /6 4/6 6/6 3 4/6 4 /6 6/6

16 Eksempel - fortsat Probability Probability Distribution Distribution of of the the Number Number of of Girls Girls in in Four Four Births Births 6/6 6/ Probability, Probability, P P /6 4/6 4/6 4/ /6 /6 /6 / Number Number of of Girls, Girls,

17 Sandsynligheds fordeling Definition: Lad :S R være en diskret stokastisk variabel. Px Px er en sandsynligheds-fordeling -funktion for, hvis:. P x 0 for alle værdier af x.. P x alle x

18 Kumulativ fordelingsfunktion Den kumulative fordelingsfunktion, Fx, for en diskret stokastisk variabel er: F x P x P i Kumulative fordelingsfunktions for antallet af piger ved 4 fødsler: i x x Px Fx 0 /6 /6 4/6 5/6 6/6 /6 3 4/6 5/6 4 /6 6/6.00 Fx x 3 4

19 Eksempel - fortsat x Px Fx 0 /6 /6 4/6 5/6 6/6 /6 3 4/6 5/6 4 /6 6/6.00 P F /6 P F 5/ 6 / 6 P 3 F 3 F 0 5/ 6 /6 4/6

20 Middelværdi Middelværdien af en diskret stokastisk variabel er givet ved: μ E xp x Dvs. summen af værdien gange sandsynligheden for værdien et vægtet gennemsnit. Bemærk! Middelværdi kaldes også den forventede værdi. x

21 Middelværdi - Eksempel x Px xpx 0 /6 4/6 6/6 3 4/6 4 /6 6/6 Eksempel: er antal øjne ved terningkast. Dvs. P P P6 /6. Middelværdien er da: 6 E xp x x 6 x x , 5

22 Variansen er den vægtede gennemsnitlige kvadrerede afvigelse af værdierne af en stokastisk variabel fra gennemsnittet. Standard afvigelsen er kvadratroden af variansen: Varians ] [ ] [ x x x x xp x P x E E x P x E V μ μ σ V SD σ

23 Varians - eksempel x x Px x Px xpx 0 0 / /6 4/6 4/6 4 6/6 4/6 / /6 36/6 /6 4 6 /6 6/6 4/6 80/6 3/6 σ V E [ E ] x P x xp x x x

24 Chebyshevs Sætning For en stokastisk variabel med middelværdi μ og varians σ og ethvert tal k> gælder: P μ < kσ k Ex: k: P μ < σ 3 4 Dvs. at med mindst 75% sandsynligheden er mindre end to standardafvigelser fra μ.

25 Regneregler for middelværdi og varians Hvis er en diskret stokastisk variabel, da er middelværdien for en funktion h givet ved E h h x P x x Regneregler for en lineær funktion af : E a b ae b V a b a V x

26 Regneregler for middelværdi og varians k k k k k k E a E a E a a a a E E E E E L L L L Middelværdien af en linearkombination af stokastiske variable,,, k. k k k k k k V a V a V a a a a V V V V V L L L L Hvis,,, k er indbyrdes uafhængige, så:

Relaterede dokumenter

Sandsynligheder og diskrete stokastiske variable

Sandsynligheder og diskrete stokastiske variable Sndsynligheder og disrete stostise vrible Regler for sndsynligheder Byes sætning Stostis vribel disret Sndsynligheds fordeling Kumultiv fordeling Middelværdi, vrins, stndrd fvigelse Sidste gng Mængder