Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Transkript

1 Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1

2 Ventetider i en Poissonproces Antallet af ankomster følger en Poissonproces med i gennemsnit 5 ankomster pr. time Antalankomsteritidsintervalaflængdet (målt i timer): Y t Poiss(5t) Antal ankomster pr. time: Y 1 Poiss(5) Antal ankomster pr. 5. time: Y 5 Poiss(25) Antal ankomster pr. kvarter: Y.25 Poiss(1.25) Fordelingen af Y t er givet ved: P (Y t = y) = (5t)y y! exp ( 5t) 2

3 (Y t =)er hændelsen, at der er ankomster i tidsinterval af længde t : P (Y 1 =) = exp( 5).67 P (Y 5 =) = exp( 25). P (Y.25 =) = exp( 1.25)

4 T : Ventetid til første kunde (i timer) Ventetiden til første kunde er højst t timer: (T t) Ventetiden højst 1 time: P (T 1) = 1 P (T >1) = 1 P (Y 1 =)=1 exp ( 5).9933 Ventetiden højst 5 timer: P (T 5) = 1 P (T >5) = 1 P (Y 5 =)=1 exp ( 25) 1. Ventetiden højst et kvarter: P (T.25) = 1 P (T >.25) = 1 P (Y.25 =)=1 exp ( 1.25)

5 Fordelingsfunktionen for T : F (t) =P (T t) =1 P (Y t =)=1 exp ( 5t) for t Tætheden for T : f (t) =F (t) =5exp( 5t) for t Hvilken diskret fordeling svarer denne ventetidsfordeling til? 5

6 Figur 1: Fordelingsfunktionen F (t) = 1 exp ( 5t) 6

7 Figur 2: Tætheden f (t) =5exp( 5t) 7

8 Beskrivelse af kontinuerte fordelinger Median og kvartiler Middelværdi Varians 8

9 Fraktiler X kontinuert stokastisk variabel med fordelingsfunktion F (x) Definition: Medianen x.5 i fordelingen af X er givet ved F (x.5 )=.5 Bemærk: P (X x.5 )=.5 og P (X x.5 )=.5 Medianen er fordelingens midtpunkt 9

10 Definition: Den p te fraktil x p i fordelingen af X er givet ved F (x p )=p Engelsk: Quantiles Bemærk: P (X x p )=p og P (X x p )=1 p Medianen kaldes også 5% fraktilen 25% fraktilen kaldes 1. kvartil 75% fraktilen kaldes 3. kvartil Hvis fordelingen er symmetrisk omkring c, daerc medianen 1

11 Eksempel 1: Ventetider Fordeling med fordelingsfunktion: F (t) = 1 exp ( 5t) for t Medianen: F (t) = 1 exp ( 5t) =.5 exp ( 5t) =.5 dvs. 5t = ln(.5) dvs. ln (.5) t =.14 5 dvs. 1. kvartil: F (t) =.25 dvs. t.5 3. kvartil: F (t) =.75 dvs. t.28 11

12 Figur 3: Fordelingsfunktionen F (t) =1 exp ( 5t) samt median og 1. og 3. kvartil 12

13 Figur 4: Tætheden f (t) =5exp( 5t) samt illutration af 1. kvartil 13

14 Middelværdi (forventet værdi) X kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion f (x). Definition: Middelværdien af X er givet ved E (X) = Z xf (x) dx 14

15 Eksempel 1: Ventetider, (fortsat) Den gennemsnitlige eller forventede ventetid til første kunde (i timer): E (T )= Z tf (t) dt = Z t 5exp( 5t) dt =1/5 =.2 Dvs. den forventede ventetid til første kunde er 12 minutter. Fordelingen af T : Er ikke symmetrisk Er højreskæv idet medianen er mindre end middelværdien Resultat: For en symmetrisk fordeling gælder der, at middelværdien er lig med medianen. 15

16 Eksempel 1: Ventetider, (fortsat) Diskrete tilfælde: Opdeling i tidsinterval (timer) i n lige store intervaller af længde 1/n X i = ½ 1 hvis der kommer en kunde i i te delinterval ellers P (X i =1)=5/n og X i erne er uafhængige Intervalnummer på første ankomst: X Geo(5/n) (X kan antage værdierne 1, 2,...) Tidsinterval med første ankomst: Y = X/n P (Y = x/n) = P (X = x) =(5/n)(1 5/n) (x 1) = 1/n 5(1 5/n) (x 1) 1/n 5 exp ( 5x/n) Kontinuert: P ((x 1) /n < T x/n) 1/nf (x/n) =1/n 5exp( 5x/n) 16

17 Middelværdi af g (X) Kvantitative Metoder 1 - Forår 27 Resultat: X stokastisk variabel med tæthed f (x) da gælder E [g (X)] = Z g (x) f (x) dx 17

18 Eksempel 5.5a i bogen X er ligefordelt på intervallet [, 1] -detteskrivesogsåx U (, 1) Fordelingsfunktionen for X : F (x) = for x< x for x 1 1 for x>1 Tætheden for X : f (x) =1for x 1 og ellers Da har vi E (X) = E X 2 = Z 1 Z 1 xf (x) dx = x 2 f (x) dx = Z 1 Z 1 xdx = x 2 dx = x2 =1/ x3 =1/3 18

19 Ved udregning af middelværdien af X 2 kunne vi i stedet have regnet på følgende måde: Hvad er fordelingsfunktionen for Y = X 2 : For <y 1 gælder der: G (y) =P (Y y) =P X 2 y = P (X y)=f ( y)= y Tætheden for Y : g (y) =G (y) = 1 2 y 1/2 for <y 1 E (Y )= Z 1 yg (y) dy = Z 1 y 1 2 y 1/2 dy = Z y1/2 dy = y3/2 =1/3 19

20 Figur 5: Tætheden g (y) = 1 2 y 1/2 for fordelingen af Y = X 2 når X er ligefordelt på [, 1] 2

21 Varians X kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion f (x) Definition: Variansen af X er givet ved σ 2 X =Var(X) =E (X μ X ) 2 = Z (x μ X ) 2 f (x) dx Der gælder Var (X) =E X 2 (E (X)) 2 = E X 2 μ 2 X Der gælder altid: Var (X) Hvis Var (X) =betyder det at X = μ X med sandsynlighed 1. 21

22 Eksempel 5.6a i bogen X er ligefordelt på intervallet [, 1] Variansen: Var (X) =E X 2 E (X) 2 =1/3 (1/2) 2 = =

23 Middelværdi og varians af a + bx X stokastisk variabel (kontinuert eller diskret) med middelværdi μ X og varians σ 2 X. Ny stokastisk variabel Y = a + bx E (Y )=a + be (X) =a + bμ X Var (Y )=b 2 Var (X) =b 2 σ 2 X Normeret (eller standardiseret) stokastisk variabel: Da gælder E (Z) =og Var (Z) =1. Z = X μ X σ X X = μ X + σ X Z 23

24 Eksempel 2, Ligefordelinger X er ligefordelt på intervallet [, 1] E (X) =1/2 og Var (X) =1/12 Y =5+2X E (Y )=5+2E (X) =5+1=6 Var (Y )=2 2 Var (X) =4/12 = 1/3 Hvordan ser fordelingen af Y ud? 24

25 Simultane fordelinger Kvantitative Metoder 1 - Forår 27 Fordelingen af to kontinuerte stokastiske variabler er givet ved tætheden f (x, y) Koncentration af sandsynlighed i lille område omkring (x, y) :f (x, y) Der gælder: f (x, y) for alle (x, y) R R f (x, y) dxdy =1 25

26 Sandsynligheden for at x 1 X x 2 og y 1 Y y 2 er givet ved Z x2 Z y2 x 1 y 1 f (x, y) dxdy Sandsynligheden for at X x 2 er givet ved Z x2 Z f (x, y) dxdy 26

27 Marginale fordelinger: Tætheden for X : f X (x) = Tætheden for Y : f Y (y) = Z Z f (x, y) dy f (x, y) dx Fordelingsfunktionen for X : F X (x 1 )= Fordelingsfunktionen for Y : F Y (y 1 )= Z x1 Z y1 f X (x) dx = f Y (y) dy = Z x1 Z y1 Z Z f (x, y) dydx f (x, y) dxdy 27

28 Eksempel 5.7a: Tæthedsfunktionen for (X, Y ) (Se figur 5-22 i bogen) ½ 1 for x ], 1[ og y ], 1[ f (x, y) = ellers Den marginale fordeling af X : f X (x) = Z 1 f (x, y) dy = Z 1 1dy =[y] 1 =1 Dvs. X er ligefordelt på intervallet [, 1]. DetsammegælderforY. 28

29 Hvad er middelværdien af X 2 + Y 2 : E X 2 + Y 2 Z 1 Z 1 = x 2 + y 2 Z 1 f (x, y) dxdy = = = = = Z 1 Z 1 Z 1 µz 1 Ã 1 x 2 + y 2 dx dy 3 x3 + xy 2 1! dy µ y2 dy 1 3 y y3 = = 2 3 Z 1 x 2 + y 2 dxdy 29

30 Lineære transformationer: Lad X 1,..., X n være stokastiske variabler og a 1,..., a n konstanter, da gælder: Ã n! X nx E a i X i = a i E (X i ) i=1 i=1 Specielt gælder der, hvis X 1,..., X n er identisk fordelte med E (X i )=μ X : Ã! 1 nx E X i = 1 nx E (X i )= 1 nx μ n n n X = 1 n nμ X = μ X i=1 i=1 i=1 3

31 Opsummering Eksempel på kontinuert fordeling: Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median: Midtpunkt - Middelværdi: Balancepunkt - Varians: Variation eller spredning Middelværdi af funktioner af en stokastisk variabel Middelværdi af en lineær transformation Middelværdi og varians i ligefordelinger Simultane fordelinger af kontinuerte stokastiske variabler 31

32 Næste gang Mandag gennemgåes: Afsnit Kontinuerte fordelinger Afsnit 5.12 er ikke pensum Husk: - Der er stedprøve torsdag den 22. marts (med alle hjælpemidler) - Tilmelding til eksamen i uge Intern eveluering i uge Bytning af timer: Onsdag d. 21/ (HO1) forelæser Peter Birch i Makro 1 Torsdag d. 22/ (HO6) forelæser jeg i Kvantitative Metoder 1. 32