PUUDE LOENDAMINE. Teema 7.3 (Lovász: Ch 8) Jaan Penjam, Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 1 / 55

Transkript

1 PUUDE LOENDAMINE Teema 7.3 (Lovász: Ch 8) Jaan Penjam, Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 1 / 55

2 Loengu kava 1 Märgendatud ja märgendamata puud 2 Puude esitamine arvuti mälus 3 Prüferi kood 4 Märgendamata puude loendamine Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 2 / 55

3 Järgmine punkt 1 Märgendatud ja märgendamata puud 2 Puude esitamine arvuti mälus 3 Prüferi kood 4 Märgendamata puude loendamine Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 3 / 55

4 Märgendatud graaf Olgu M N lõplik hulk. Märgendatud graaf märgendite hulgaga M on kolmik G M = (V,E, µ), kus G = (V,E) on graaf µ : V M on bijektiivne kujutus. Märgendatud graaf märgendite hulgaga {2, 4, 5, 6} Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 4 / 55

5 (Märgendamata) graafide isomorfism Graafid G ja H on isomorfsed (tähist. G = H), kui nende tipuhulkade vahel leidub selline bijektsioon f : V (G) V (H), et tipud u ja v on naabrid graafis G parajasti siis, kui tipud f (u) ja f (v) on naabrid graafis H. Näide: isomorfsed graafid Näide: mitte-isomorfsed graafid Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 5 / 55

6 Märgendatud graafide isomorfism Märgendatud graafid G M = (V 1,E 1, µ 1 ) ja H M = (V 2,E 2, µ 2 ) on isomorfsed (tähist. G M = HM ), kui leidub kujutus ϕ : V 1 V 2, nii et ϕ on graafide G = (V 1,E 1 ) ja H = (V 2,E 2 ) isomorfism; iga v V 1 korral µ 1 (v) = µ 2 (ϕ(v)). Näide: mitte-isomorfsed kolmetipulised märgendatud puud Kui palju on neljatipulisi puid ja märgendatud puid (märgenditega {1,2,3,4})? Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 6 / 55

8 Puude esitamine arvuti mälus A. Naabrusmaatriksina Näide (üldine meetod kõigi graafide jaoks) A = Näide: leida etteantud pikkusega teed 2 A 2 = = C = A B c ij = a ik b kj või c ij = a ik b kj k k Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 8 / 55

9 Puude esitamine arvuti mälus A. Naabrusmaatriksina Näide (üldine meetod kõigi graafide jaoks) A = Näide: leida etteantud pikkusega teed 2 A 2 = = C = A B c ij = a ik b kj või c ij = a ik b kj k k Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 8 / 55

10 Puude esitamine arvuti mälus B. Servade loendina Näide Vajadus mälu järele: 2n log 2 n (servade loendi korral) (n 2 n)/2 (naabrusmaatriksi korral) ( ) Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 9 / 55

11 Puude esitamine arvuti mälus C. Alluvussuhtena Näide ( ehk lihtsamalt ( ) ) Vajadus mälu järele: (n 1) log 2 n Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 10 / 55

12 Puude esitamine arvuti mälus D. Prüferi koodina 1 Panna kirja (analoogiliselt alluvussuhte esitusega) vähima positiivse märgendiga lehega intsidentne serv ning kustutada nii leht kui serv graafist; 2 Korrata eelmist punkti, kuni puu kõik servad on kustutatud; 3 Kustutada puu esituse esimene rida (teine rida ongi puu Prüferi kood 4 Kustutada ka koodi viimane element (kuna see on alati 0) Näide Vahetulemus ehk Prüferi laiendatud kood: ( Puu esitus Prüferi koodina: ( ) ) Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 11 / 55

14 Formaalne definitsioon Definitsioon Olgu T = (V,E, µ) märgendatud puu märgendite hulgaga M. Tema Prüferi kood P(T ) on märgendite järjend, mis rahuldab järgmisi tingimusi: Kui V = 2, siis P(T ) = [ ] (tühi järjend). Kui V > 2, siis P(T ) = µ(w) P(T ), kus w on vähima märgendiga lehe v V naabertipp; T = (V \ {v},e \ {(v,w)}, µ V \{v} ) märgendatud puu märgendite hulgaga M \ {µ(v)} Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 13 / 55

15 Näide: Prüferi koodi genereerimine (1) c Peeter Laud Kood: Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 14 / 55

17 Näide: Prüferi koodi genereerimine (3) c Peeter Laud Kood: 9 Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 16 / 55

26 Näide: Prüferi koodi genereerimine (tulemus) c Peeter Laud Kood: Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 25 / 55

27 Märgendite esinemine Prüferi koodis Lemma Märgendatud puu T = (V,E, µ) tipu v V märgend µ(v) esineb koodis P(T ) täpselt deg(v) 1 korda. Tõestus. Induktsioon üle tippude arvu. Baas. Olgu V = 2. Siis on kummagi tipu aste 1 ning kummagi tipu märgend esineb koodis P(T ) null korda. Samm. Olgu V = n ja P(T ) = [m 1 m 2...m n 2 ]. Olgu u V vähima märgendiga leht puus T. Olgu w tema naabertipp. Olgu T saadud puust T, tipu u eemaldamise tulemusena (tähistame T = T u). T on (n 1)-tipuline märgendatud puu märgendite hulgaga M \ {µ(u)}. Tema Prüferi kood on [m 2...m n 2 ]. Induktsiooni eelduse järgi esineb suvalise tipu v V \ {u} märgend selles koodis deg T (v) 1 korda. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 26 / 55

28 Märgendite esinemine Prüferi koodis (2) Tõestuse jätk Olgu v V. Vaatame kolme varianti: v = u. Siis deg T (v) = 1. Märgend µ(u) ei esine koodis P(T ) ning m 1 = µ(w). Seega ei esine µ(u) koodis P(T ). v = w. Siis deg T (v) = deg T (v) + 1. Märgend µ(w) esneb koodis P(T ) üks kord rohkem kui koodis P(T ), sest m 1 = µ(w). v on mingi muu tipp. Siis deg T (v) = deg T (v). Ka v märgendi esinemiste arv koodides P(T ) ja P(T ) on sama. m.o.t.t. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 27 / 55

29 Prüferi koodi ühesus Teoreem Olgu T 1 = (V 1,E 1, µ 1 ) ja T 2 = (V 2,E 2, µ 2 ) märgendatud puud märgendite hulgaga M. Kui P(T 1 ) = P(T 2 ), siis T 1 = T2. Tõestus. Induktsioon üle tippude arvu. Baas. Olgu V = 2. Siis leidub ainult üks kahetipuline märgendatud puu märgendite hulgaga M = {m 1,m 2 }: m 1 m 2 Samm. Olgu V = n ja P(T 1 ) = P(T 2 ) = [m 1 m 2...m n 2 ]. P(T i ) analüüsimise tulemusena saab kindlaks teha puu T i lehtede märgendid eelmise Lemma põhjal on need märgendid, mis P(T i )-s ei esine. Seega on puude T 1 ja T 2 lehtede märgendite hulgad võrdsed. Olgu m M vähim lehe märgend. Olgu v 1 V 1 ja v 2 V 2 sellised, et µ 1 (v 1 ) = µ 2 (v 2 ) = m. Olgu T 1 = T 1 v 1 ja T 2 = T 2 v 2. Vastavalt Prüferi koodi konstruktsioonile P(T 1 ) = P(T 2 ) = [m 2...m n 2 ]. Induktsiooni eelduse järgi T 1 = T 2. Olgu ϕ : V 1 \ {v 1 } V 2 \ {v 2 } nendevaheline isomorfism. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 28 / 55

30 Prüferi koodi ühesus (2) Tõestuse jätk Näitame, et kui me täiendavalt defineerime ϕ(v 1 ) = v 2, siis on ϕ märgendatud puude T 1 ja T 2 vaheline isomorfism. ϕ jätab märgendid paika: µ(v 1 ) = µ(v 2 ). Tuleb veel näidata, et ϕ on puude T 1 ja T 2 vaheline isomorfism, selleks näitame, et u,u V 1 korral on u ja u naabrid parajasti siis, kui ϕ(u) ja ϕ(u ) on naabrid. Kui u v 1 ja u v 1, siis järeldub viimane väide asjaolust, et ϕ on T 1 ja T 2 vaheline isomorfism. Olgu u = v 1. Tipud v 1 ja v 2 on lehed. Olgu w 1 V 1 ja w 2 V 2 tippude v 1 ja v 2 ainsad naabrid. Vastavalt Prüferi koodi konstruktsioonile µ 1 (w 1 ) = µ 2 (w 2 ) = m 1. Kuna ϕ on märgendatud puude T 1 ja T 2 vaheline isomorfism, siis ϕ(w 1) = w 2. Seega on u tipu u = v 1 naabertipp parajasti siis, kui ϕ(u ) on tipu ϕ(u) = v 2 naabertipp. m.o.t.t. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 29 / 55

31 Prüferi koodi üldisus Teoreem Olgu M N, nii et n = M 2 ja M = [m 1 m 2...m n 2 ], kus m 1,...,m n 2 M. Siis leidub n-tipuline märgendatud puu T = (V,E, µ) märgendite hulgaga M, nii et P(T ) = M. Tõestus. Induktsioon üle tippude arvu n. Baas. n = 2. SiisM = [ ]. Kui M = {m 1,m 2 }, siis võtame T -ks puu m 1 m 2 Samm. Olgu m M vähim selline element, mis ei esine järjendis M. Olgu M = M \ {m} ja M = [m 2...m n 2 ]. Vastavalt induktsiooni eeldusele leidub märgendatud puu T = (V,E, µ ) märgendite hulgaga M, nii et P(T ) = M Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 30 / 55

32 Prüferi koodi üldisus (2) Tõestuse jätk Olgu w V selline, et µ (w) = m 1 ja V = V {v} E = E {(v,w)} µ = µ [v m] ja olgu T = (V,E, µ). Siis T on märgendatud puu märgendite hulgaga M. Leiame P(T ). Meil on tarvis leida vähima märgendiga leht puus T. Puu T lehtede märgendid on täpselt need M-i elemendid, mis ei kuulu M -i. Vastavalt m-i definitsioonile on m vähim nende seas. Seega on vastavalt µ definitsioonile v vähima märgendiga leht puus T. Tipu v naabriks puus T on w, mille märgend on vastavalt tema definitsioonile m 1. Eemaldades puust T tipu v saame puu T märgenditega hulgast M Seega P(T ) = µ(w) P(T ) = [m 1 m 2...m n 2 ] = M. m.o.t.t. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 31 / 55

33 Märgendatud puu konstrueerimine Prüferi koodi järgi Meetod tuleneb eelmisest tõestusest. Olgu antud M = [m 1 m 2...m n 2 ] 1 Iga i {1,...,n 2} jaoks leiame järjendile [m i...m n 2 ] vastava vähima lehe märgendi l i hulgast M \ {l 1,...,l i 1 }, nii et see erineks elementidest m i,...,m n 2. 2 Loome kahetipulise märgendatud puu märgenditega hulgast M \ {l 1,...,l n 2 }. 3 Iga i {1,...,n 2} jaoks (kahanevalt): Lisame puule uue tipu, märgendame ta li -ga. Ühendame selle tipu tipuga, mis on märgendatud mi -ga. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 32 / 55

34 Näide: puu genereerimine M = {1,2,...,10}, kood ( ) Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 33 / 55

35 Näide: puu genereerimine (2) M = {1,2,...,10}, Vähima märgendiga leht: 1 Kood: Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 34 / 55

36 Näide: puu genereerimine (3) M = {1,2,...,10}, Vähima märgendiga leht: 1 2 Kood: Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 35 / 55

37 Näide: puu genereerimine (4) M = {1,2,...,10}, Vähima märgendiga leht: Kood: Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 36 / 55

52 Märgendatud puude arv Teoreem (Cayley teoreem) n-tipuliste märgendatud puude arv on n n 2. Jäeldus Prüferi koodi kohta tõestatud teoreemidest. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 51 / 55

54 Märgendamata puud Teoreem Märgendamata n-tipuliste puude arv T n rahuldab võrratust n n 2 n! T n 4 n 1 Alumine tõke tuleneb sellest, et iga n-tipulist puud saab erinevate märgenditega märgendada n! viisil: Ülemise tõkke saab tuletada juurega puude võimalike planaarkoodide arvust. n-tipulise juurega puu planaarkood on Dycki keel 2n-täheline sõna. Näiteks puu planaarkood on sõna Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 53 / 55

55 Märgendamata puud Teoreem Märgendamata n-tipuliste puude arv T n rahuldab võrratust n n 2 n! T n 4 n 1 Alumine tõke tuleneb sellest, et iga n-tipulist puud saab erinevate märgenditega märgendada n! viisil: Ülemise tõkke saab tuletada juurega puude võimalike planaarkoodide arvust. n-tipulise juurega puu planaarkood on Dycki keel 2n-täheline sõna. Näiteks puu planaarkood on sõna Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 53 / 55

56 Märgendamata puud Dycki keel 2n-täheliste sünade arv võrdub Catalani arvuga C n = 1 ( ) 2n n + 1 n Seega võiks Teoreemi tingimuse anda ka täpsemalt: n n 2 n! T n 1 ( ) 2n n + 1 n Kui n > 30, siis n n 2 on suurem kui n!2 n. Seega võib Teoreemi tingimuse anda paremini meelde jääval kujul: 2 n T n 4 n Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 54 / 55

57 Märgendamata puude arv Teoreem (Otter, 1948) Märgendamata puu tippude arvu n piiramatu kasvu korral kehtib tingimus: Cα n n 5/2 lim = 1, n T n kus C = 0, ja α = Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 55 / 55