Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Transkript

1 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Hjælpedefinitioner 1 3 Grafmanipulation Forskydning langs y-aksen Forskydning langs x-aksen Strækning langs y-aksen Strækning langs x-aksen Harmoniske svingninger et eksempel 11 5 Andre manipulationer Fortegnsskift Nummerisk værdi Lige og ulige funktioner Lige funktioner ulige funktioner Egenskaber ved lige og ulige funktioner

3 Resumé I dette lille dokument ser vi på hvordan man kan ændre grafen for en funktion ved at ændre funktionen på nogle ganske simple måder. Til sidst indfører vi begreberne lige og ulige funktioner. 1 Introduktion Grafmanipulation er præcis hvad det lyder som: Hvis man har en funktion, f, med en bestemt graf, har man nogle gange brug for en funktion hvis graf er en lille smule anderledes. Vi skal her se, hvordan man kan lave nogle nye funktioner som har næsten de samme grafer som f, blot forskudt eller strakt langs akserne. En kæmpe fordel ved at forstå grafmanipulation er at både harmoniske svingningsfunktioner og andengradspolynomier bliver meget nemmere at forstå. Forudsætninger For at kunne følge med, er det nødvendigt, at du kender til funktioner og deres grafer 1. Især er det vigtigt at du er fortrolig med sammensætning af funktioner 2. 2 Hjælpedefinitioner Til brug i hele dokumentet definerer vi to meget simple typer af funktioner. 1 Læs om funktioner og deres grafer her 2 Læs om sammensatte funktioner her side 1

4 Definition 1 For hvert reelt tal, a, definerer vi en funktion p a : R R ved: p a : x x + a Altså: p a er ganske enkelt den funktion som lægger a til det man tager den i. (Bogstavet p er naturligvis valgt som en forkortelse af plus.) Eksempel 1 En af de ovenfor definerede funktioner er f.eks. p 4. Den opfylder at: p 4 (0) = = 4 p 4 (17) = = 21 p 4 (4) = = 8 Definition 2 For hvert positivt reelt tal, b, definerer vi en funktion g b : R R ved: g b : x b x Altså: g b er ganske enkelt den funktion som ganger alting med b. Eksempel 2 En af de ovenfor definerede funktioner er f.eks. g 2. Den opfylder at: side 2

5 g 2 (0) = 2 0 = 0 g 2 (17) = 2 17 = 34 g 2 (4) = 2 4 = 8 3 Grafmanipulation 3.1 Forskydning langs y-aksen Sætning 1 Hvis f er en hvilken som helst funktion, og a R så er den sammensatte funktion: p a f givet ved: (p a f)(x) = p a (f(x)) = f(x) + a Denne funktion har næsten samme graf som f, blot forskudt afstanden a opad langs y-aksen. Bemærkninger På sloganform siger denne sætning at: sammensætning med p a fra venstre forskyder grafen langs y-aksen. Når a er positiv, forskydes grafen opad, og når a er negativ forskydes grafen nedad. side 3

6 Eksempel 3 Lad f.eks. f være funktionen: f(x) = sin(x) og lad a = 4. Da er sammensætningen p a f givet ved: (p a f)(x) = sin(x) + 4 Grafen for f og grafen for p a f er indtegnet i samme koordinatsystem på figur 1. Figur 1: Grafen for sinus, forskudt langs y-aksen Bevis. Betragt en situation hvor vi har en konkret funktion f og en konkret værdi af a. Lad os forestille os at vi tegner graferne for f og p a f. De har præcis samme definitionsmængde, så vi kan tage et x Dm(f) af gangen. For hvert sådant x får man et punkt på grafen for f, givet ved: (x; f(x)) side 4

7 Samtidigt får man også et punkt på grafen for p a f, givet ved: (x; f(x) + a) Det sidste af disse punkter ligger forskudt med a op ad y-aksen i forhold til det første. (Hvis a er negativ er det forskudt nedad). Idet dette gentager sig for alle x Dm(f) får vi tegnet hele grafen for p a f forskudt med a op ad y-aksen. 3.2 Forskydning langs x-aksen Sætning 2 Hvis f er en hvilken som helst funktion, og a R så er den sammensatte funktion: f p a givet ved: (f p a )(x) = f(p a (x)) = f(x + a) Denne funktion har næsten samme graf som f, blot forskudt afstanden a mod venstre langs x-aksen. Bemærkninger På sloganform siger denne sætning at: sammensætning med p a fra højre forskyder grafen mod venstre. Når a er positiv forskydes grafen mod venstre, og når a er negativ forskydes grafen mod højre. Bemærk at dette er lige omvendt af hvad man intuitivt ville gætte på! side 5

8 Eksempel 4 Lad f.eks. f være funktionen: f(x) = x 2 og lad a = 3. Da er sammensætningen f p a givet ved: (f p a )(x) = (x + 3) 2 Grafen for f og grafen for f p a er indtegnet i samme koordinatsystem på figur 2. Figur 2: Grafen for funktionen f(x) = x 2 forskudt langs x-aksen Bevis. Betragt en situation hvor vi har en konkret funktion f og en konkret værdi af a. Lad os forestille os at vi tegner graferne for f og f p a. Definitionsmængden for f p a består af de reelle tal x, hvor p a (x) = x + a ligger i Dm(f). For hvert sådant x får man et punkt på grafen for f p a, givet ved: (x; f(x + a)) side 6

9 Samtidigt får man også et punkt på grafen for f, idet x + a ligger i Dm(f). Dette punkt er givet ved: ((x + a); f(x + a)) Det sidste af disse punkter ligger forskudt med a hen ad x-aksen i forhold til det første. (Hvis a er negativ er det forskudt mod venstre). Idet dette gentager sig for alle x Dm(f p a ) får vi tegnet hele grafen for f forskudt med a langs x-aksen i forhold til grafen for f p a. Dette kan også siges som at grafen for f p a er forskudt baglæns langs x-aksen i forhold til grafen for f. 3.3 Strækning langs y-aksen Sætning 3 Hvis f er en hvilken som helst funktion, og b R + så er den sammensatte funktion: g b f givet ved: (g b f)(x) = g b (f(x)) = b f(x) Denne funktion har næsten samme graf som f, blot strakt med en faktor b langs y-aksen, med udgangspunkt i x-aksen. Bemærkninger På sloganform siger denne sætning at: sammensætning med g b fra venstre strækker grafen lodret. Når b er større end 1 strækkes grafen væk fra x-aksen, og når b er mindre end 1 mases den sammen. side 7

10 Vi beskæftiger os ikke med hvad der sker når b er negativ. Det er fordi multiplikation med et negativt tal kan ses som en multiplikation med det tilsvarende positive tal, efterfulgt af et fortegnsskift. Vi skal senere se hvad et fortegnsskift gør ved grafen. Eksempel 5 Lad f.eks. f være funktionen: f(x) = cos(x) og lad b = 4. Da er sammensætningen g b f givet ved: (g b f)(x) = 4 cos(x) Grafen for f og grafen for g b f er indtegnet i samme koordinatsystem på figur 3. Figur 3: Grafen for cosinus strakt langs y-aksen side 8

11 Bevis. Betragt en situation hvor vi har en konkret funktion f og en konkret værdi af b. Lad os forestille os at vi tegner graferne for f og g b f. De to funktioner har præcis samme definitionsmængde, så vi kan tage et x Dm(f) af gangen. For hvert sådant x får man et punkt på grafen for f, givet ved: (x; f(x)) Samtidigt får man også et punkt på grafen for g b f, givet ved: (x; b f(x)) Det sidste af disse punkter har en y-koordinat som er b gange så stor som det første punkts y-koordinat: Hvis det første punkt ligger på x- aksen, så ligger det andet punkt præcis samme sted. Hvis det første punkt har en positiv y-koordinat, så ligger det andet punkt b gange så højt oppe. Og hvis det første punkt har en negativ y-koordinat, så ligger det andet punkt b gange så langt nede. Idet dette gentager sig for alle x Dm(f) får vi tegnet hele grafen for g b f som så bliver strakt med en faktor b langs y-aksen med udgangspunkt på x-aksen. 3.4 Strækning langs x-aksen Sætning 4 Hvis f er en hvilken som helst funktion, og b R + så er den sammensatte funktion: f g b givet ved: (f g b )(x) = f(g b (x)) = f(b x) Denne funktion har næsten samme graf som f, blot sammentrukket med en faktor b langs x-aksen med udgangspunkt i y- aksen. side 9

12 Bemærkninger På sloganform siger denne sætning at: sammensætning med g b fra højre trækker grafen sammen langs x-aksen. Når b er større end 1 bliver grafen trukket sammen, ind imod y-aksen. Når b er mindre end 1 bliver grafen strakt ud. Bemærk at dette er lige omvendt af hvad man intuitivt ville gætte på! Eksempel 6 Lad f.eks. f være funktionen: f(x) = sin(x) og lad b = 5. Da er sammensætningen f g b givet ved: (f g b )(x) = sin(5x) Grafen for f og grafen for f g b er indtegnet i samme koordinatsystem på figur 4. Bemærk at den nye graf gennemfører fem hele svingninger på den tid som den oprindelige graf gennemfører en enkelt svingning. Bevis. Betragt en situation hvor vi har en konkret funktion f og en konkret værdi af b > 0. Lad os forestille os at vi tegner graferne for f og f g b. Definitionsmængden for f g b består af de reelle tal x, hvor g b (x) = b x ligger i Dm(f). For hvert sådant x får man et punkt på grafen for f g b, givet ved: (x; f(b x)) Samtidigt får man også et punkt på grafen for f, idet b x ligger i side 10

13 Figur 4: Grafen for sinus sammentrukket langs x-aksen Dm(f). Dette punkt er givet ved: ((b x); f(b x)) Det sidste af disse punkter ligger b gange så langt henne ad x-aksen som det første. Idet dette gentager sig for alle x Dm(f g b ) får vi tegnet hele grafen for f strakt med en faktor b langs x-aksen i forhold til grafen for f g b. Dette kan også siges som at grafen for f g b er en sammentrækning af grafen for f langs x-aksen. 4 Harmoniske svingninger et eksempel Nu vil vi begynde at bruge de foregående observationer i praksis. Nemlig til at forstå en meget vigtig type af funktioner, kendt under navnet harmoniske svingninger. side 11

14 Definition 3 En harmonisk svingning er en funktion af typen: f(x) = A sin(ω x + φ) + k hvor A og ω er positive konstanter, og φ og k er vilkålige konstanter. Vi laver en uskyldig teknisk omskrivning af udtrykket for en sådan funktion: f(x) = A sin(ω (x + φ ω )) + k Set i lyset af de foregående afsnit, kan vi betragte en sådan funktion som en stor sammensætning: f = p k g A sin g ω p φ ω Dermed kan man danne sig et billede af grafen i hovedet, idet man læser sammensætningen skridt for skridt: 1. Start med grafen for sinus. 2. Sammensæt sinus med g A fra venstre. Dette strækker grafen langs y-aksen. 3. Sammensæt dette med p k fra venstre. Dette forskyder grafen med k op langs y-aksen. 4. Sammensæt dette med g ω fra højre. Dette sammentrækker grafen med en faktor ω langs x-aksen. 5. Sammensæt dette med p φ φ ω mod venstre. ω fra højre. Dette forskyder grafen med side 12

15 Eksempel 7 Betragt eksemplet, hvor A = 4, k = 5, ω = 2 og φ = 3. Funktionen kommer da til at se ud som følgende: f(x) = 4 sin(2x + 3) + 5 Dens graf er angivet på figur 5. Prøv at identificere alle de skridt som er foretaget for at komme fra grafen for sinus til denne graf. Figur 5: Grafen for den harmoniske svingning fra eksempel 7 Konstanterne A, ω, φ og k har hver sin betydning for grafen for den harmoniske svingning. For bedre at huske disse betydninger, har man givet hver af konstanterne et navn. side 13

16 5 Andre manipulationer 5.1 Fortegnsskift Lad m betegne funktionen: m : { R R x x Altså den funktion som skifter fortegn på alting. Øvelse 1 Formuler selv to sætninger om hvad der sker med grafen for en funktion f, hvis man sammensætter den med m fra henholdsvist højre og venstre. Bevis disse sætninger. Giv passende eksempler, idet du vælger en funktion f, hvor man tydeligt kan se hvordan grafen ændrer sig ved de to sammensætninger. 5.2 Nummerisk værdi Lad n betegne funktionen: n : { R R x x Altså den funktion som tager den nummeriske værdi. Vi minder lige om at nummerisk værdi er defineret ved: { x hvis x 0 x = x hvis x < 0 side 14

17 Øvelse 2 Formuler selv to sætninger om hvad der sker med grafen for en funktion f, hvis man sammensætter den med n fra henholdsvist højre og venstre. Bevis disse sætninger. Giv passende eksempler, idet du vælger en funktion f, hvor man tydeligt kan se hvordan grafen ændrer sig ved de to sammensætninger. 6 Lige og ulige funktioner Vi definerer nu to nye begreber, nemlig at en funktion kan være lige eller ulige. Begreberne har mange ligheder med de tilsvarende begreber for reelle tal, men der er også masser af forskelle. (F.eks. kan en funktion godt være både lige og ulige, og der findes masser af funktioner som hverken er lige eller ulige. 6.1 Lige funktioner Definition 4 En funktion, f : R R kaldes en lige funktion hvis f( x) = f(x) for alle x Dm(f). Sagt med notationen fra afsnit 5.1, kan dette formuleres som at: f m = f side 15

18 Eftersom sammensætning med m fra højre giver en spejling af grafen omkring y-aksen (se opgave 1), kan man se at en funktion er lige præcis hvis dens graf er symmetrisk omkring y-aksen. Eksempel 8 Funktionen f givet ved: f(x) = x n er en lige funktion præcis hvis n er et lige tal. Eksempel 9 Cosinus er en lige funktion. 6.2 ulige funktioner Definition 5 En funktion, f : R R kaldes en ulige funktion hvis f( x) = f(x) for alle x Dm(f). Sagt med notationen fra afsnit 5.1, kan dette formuleres som at: f m = m f Eftersom sammensætning med m fra højre giver en spejling af grafen omkring y-aksen, og sammensætning med m fra venstre giver en spejling omkring x-aksen (se opgave 1), kan man se at en funktion side 16

19 er lige præcis hvis dens graf er ændrer sig på samme måde når man spejler den i henholdsvist x-aksen og y-aksen. Eksempel 10 Funktionen f givet ved: f(x) = x n er en ulige funktion præcis hvis n er et ulige tal. Eksempel 11 Sinus er en ulige funktion. 6.3 Egenskaber ved lige og ulige funktioner Det er vigtigt at indse at det langtfra er alle funktioner som enten er lige eller ulige! Den lineære funktion, f, givet ved: f(x) = 2x + 1 er f.eks. hverken lige eller ulige. Der findes sågar en enkelt funktion som både er lige og ulige. (Kan du se hvilken?) Udover disse særheder er der mange fællestræk mellem begrebet lige og ulige tal og begrebet lige og ulige funktioner. Vi formulerer nogle af disse egenskaber i en sætning. Sætning 5 Hvis f og g er lige funktioner, så er funktionerne: f + g side 17

20 f g f g også lige funktioner. Hvis f og g er ulige funktioner, så er funktionerne: f + g f g f g også ulige funktioner. Hvis f er en lige funktion og g er en ulige funktion, så er f g en lige funktion. (Derimod er f + g og f g som regel hverken lige eller ulige!) Øvelse 3 Bevis disse påstande! Prøv også at formulere andre påstande og undersøg om de er rigtige! Kan man f.eks. sige hvad der sker når man sammensætter lige/ulige funktioner med hinanden? side 18