Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
|
|
- Ingvar Therkildsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system er x (t= x (t x 2 (t x 2(t=2x (t+4x 2 (t (4. Beskriver man de ukendte funktioner x og x 2 i samlet i en vektorfunktion x(t=(x (t,x 2 (t kan systemet (4. skrives på matrixform x (t=ax(t (4.2 med en matrix A givet ved A= ( 2 4 (4.3 Vi minder om, at vektorer almindeligvis forstås som søjlevektorer, men at vi ofte af typografiske grunde skriver disse som vist ovenfor for vektoren x(t. Vi vil nu gå generelt til værks, idet vi vil se på et system med n ligninger med n ukendte funktioner x (t, x 2 (t,..., x n (t x (t=a x (t+a 2 x 2 (t+ + a n x n (t x 2(t=a 2 x (t+a 22 x 2 (t+ + a 2n x n (t x n(t=a n x (t+ a n2 x 2 (t+ + a nn x n (t (4.4
2 2 CHAPTER 4. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER Her er a erne kendte konstanter, som vi som sædvanlig samler i matricen A. Idet vi desuden indfører betegnelserne x (t x x 2 (t (t x(t=. og x x 2 (t= (t. x n (t x n(t kan også (4.4 skrives på formen (4.2, der jo ikke røber noget om størrelsen af vektorerne og matricen. For simpelheds skyld benytter man (med mindre der er risiko for misforståelse ofte følgende lidt løsere skrivemåde, idet man undlader at præcisere, at x erne er funktioner af t x = Ax (4.5 En af typen (4.5, hvor x=x(t er en n-dimensional vektor af funktioner, og A er en n n matrix med elementer, der er konstante og ikke afhænger af t, kaldes et homogent system af lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Inden vi beskriver en metode til løsning af dette system, noterer vi os nogle grundlæggende egenskaber. Sætning 4... Hvis x er en løsning til (4.5, så er cx, hvor c er en vilkårlig konstant, også en løsning. 2. Hvis x og x 2 er to løsninger til (4.5, er x + x 2 også en løsning. For at bevise den første egenskab antages nu, at x er en løsning til (4.5. Heraf følger, at x = Ax. Ganger man i denne ligning med c på begge sider af lighedstegnet, så fås cx = cax. Ved brug af velkendte regneregler kan dette omskrives til (cx = A(cx. Denne sidste ligning udtrykker netop, at cx er en løsning til (4.5. Den anden egenskab vises på lignende måde (hvilket overlades til læseren. Hvis systemet kun består af én ligning, x = ax, så ved vi, at den fuldstændige løsning er x=ce at, hvor c er en vilkårlig konstant. Inspireret af dette vil vi for (4.5 gætte på en løsning af formen x=ve λt, hvor v er en konstant n-dimensional vektor. Indsættes dette i (4.5 fås vλe λt = Ave λt (4.6 Forkortes med e λt på begge sider af lighedstegnet fås λv = Av. Dette genkender vi som et egenværdiproblem, og vi har således
3 4.. HOMOGENE SYSTEMER 3 Vektorfunktionen x=ve λt er løsning til differentialligningssystemet x = Ax, hvis og kun hvis v er en egenvektor for A med tilhørende egenværdi λ. Ved at bestemme egenværdierne og egenvektorerne for A kan vi således finde en række løsninger til differentialligningssystemet (4.5. Løsningerne kan ganges med konstanter og lægges sammen, og herved fås ifølge linearitetsegenskaben (sætning 6. også løsninger. I langt de fleste tilfælde har man på denne måde fundet samtlige løsninger. Der gælder nemlig Sætning 4.2. Hvis n n matricen A har n forskellige egenværdier λ,λ 2,...,λ n og v,v 2,...,v n er tilhørende egenvektorer, er den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet x = Ax x=c v e λt + c 2 v 2 e λ2t + +c n v n e λ nt (4.7 hvor c,c 2,...,c n er arbitrære (dvs. vilkårlige konstanter. Eksempel 4.. For matricen (4.3 er egenværdierne λ = 2 og λ 2 = 3 (regn efter! Da egenværdierne er forskellige, kan vi finde samtlige løsninger til (4. udfra egenværdierne og egenvektorerne. Svarende til egenværdien λ får man en uendelighed af egenvektorer s (,, s R\{0}, og svarende til egenværdien λ 2 får man en uendelighed af egenvektorer s 2 (, 2, s 2 R\{0}. Vi skal vælge en egenvektor til hver egenværdi og kan bruge alle værdier af s henholdsvis s 2 undtagen 0. For nemheds skyld vælger vi s = og s 2 = og får da Den fuldstændige løsning til er derfor ( ( x=c e 2t + c 2 e 3t (4.8 2 eller skrevet ud x (t= c e 2t + c 2 e 3t x 2 (t= c e 2t 2c 2 e 3t } (c,c 2 R 2 (4.9 Hvis A ikke har n forskellige egenværdier, kan man i nogle tilfælde alligevel finde samtlige løsninger til (4.5 på formen (4.7. Sætningen gælder nemlig, blot A har n lineært uafhængige egenvektorer, altså hvis A er diagonaliserbar. Vælges v-vektorerne, så de er lineært uafhængige,
4 4 CHAPTER 4. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER er (4.7 også i dette tilfælde den fuldstændige løsning. Eksempel 4.2. Vi vil i dette eksempel løse følgende system med 3 ukendte funktioner x (t= x (t 2x 3 (t x 2(t=2x (t+2x 2 (t+4x 3 (t x 3(t= x (t + 4x 3 (t (4.0 Matricen bliver i dette tilfælde 0 2 A= ( Vi finder det karakteristiske polynomium ved at trække λ fra i diagonalen og udregne determinanten: (2 λ(( λ (4 λ ( 2 =(2 λ(λ 2 5λ + 6=(2 λ(λ 2(λ 3 Rødderne i dette polynomium er egenværdierne, og matricen har altså to forskellige egenværdier λ = 3 og λ 2 = 2 (dobbeltrod. Egenvektorerne bestemmes efter lidt udregning til 2 0 λ : 2 s, s 0 λ 2 : 0 s + s 2, hvor s og s 2 ikke begge er 0 (4.2 0 Ud af disse kan der vælges tre lineært uafhængige egenvektorer. Hørende til egenværdien λ vælger vi egenvektoren med s=, og til egenværdien λ 2 finder vi to egenvektorer ved først at vælge s =,s 2 = 0 og derefter s = 0,s 2 =. Fra disse vektorer kan vi konstruere løsninger til x = Ax af formen 2 0 x=c 2 e 3t + c 2 0 e 2t + c 3 e 2t. (4.3 0 Dette er den fuldstændige løsning. Hvis der ikke findes n lineært uafhængige egenvektorer til A, altså hvis matricen ikke er diagonaliserbar, fanger (4.7 kun nogle af løsningerne, men ikke dem alle. Det kan vises, at løsningsmængden altid vil være en linearkombination af n funktioner, men vi vil ikke her gå yderligere ind på dette. I afsnit 4.4 vises en metode til at finde de løsninger, der mangler.
5 4.. HOMOGENE SYSTEMER 5 Når den fuldstændige løsning til et differentialligningssystem er bestemt, er man ofte interesseret i at bestemme de løsninger, der opfylder yderligere betingelser. En typisk problemstilling er, at man kender systemets begyndelsestilstand, f.eks. for t = 0. Det er altså givet, at x(0=x 0, hvor x 0 er en kendt vektor. Indsættes t = 0 i (4.7 fås x 0 = c v + c 2 v 2 + +c n v n (4.4 og vi ønsker at bestemme c erne, så denne vektorligning er opfyldt. Vi kan også formulere dette som, at vi skal skrive x 0 som en linearkombination af de n vektorer v,v 2,,v n. Vi har tidligere set, at dette fører til et lineært ligningssystem, hvor koefficientmatricens søjler netop er disse v-vektorer. Vi danner derfor koefficientmatricen matrix S = (v v 2 v n og samler de ukendte i en søjle-vektor c=(c,c 2,,c n. Denne vektor bestemmes da som løsningen til ligningssystemet Sc=x 0. (4.5 Da søjlerne i S er lineært uafhængige, er matricen invertibel, og (4.5 har derfor altid netop én løsning, c=s x 0 Eksempel 4.3. Vi vil bestemme den løsning til (4., der opfylder begyndelsesbetingelsen x(0 =(, 2. Indsættes t = 0 i den fuldstændige løsning (4.8 fås ( ( ( ( ( ( c = c 2 + c 2 eller = ( Dette ligningssystem har løsningen ( c c 2 = ( 4 3 og den søgte løsning til differentialligningssystemet er derfor ( ( ( x=4 e 2t 3 e 3t 4e = 2t 3e 3t 2 4e 2t + 6e 3t c 2
6 6 CHAPTER 4. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 4.2 Komplekse egenværdier Da egenværdierne for en matrix findes som rødderne i et polynomium, kan de blive komplekse, selv om matricen er reel. Til en kompleks egenværdi λ = α+ iβ hører en kompleks egenvektor v=v + iv 2. Der gælder stadigvæk, at x=ve λt er en løsning til x = Ax. Dette bliver nu bare en kompleks løsning, idet vi minder om definitionen på den komplekse eksponentialfunktion e λt = e (αt+iβt = e αt (cosβt+ isinβt. (4.7 Vi kan herefter opskrive den komplekse løsning, idet realdelen og imaginærdelen hver for sig er reelle vektorfunktioner x(t=ve λt =(v + iv 2 e αt (cosβt+ isinβt = e αt (v cosβt v 2 sinβt+ie αt (v 2 cosβt+ v sinβt. Det følger af linearitetsegenskaben og er ikke svært at eftervise ved at gøre prøve at realdelen og imaginærdelen hver for sig er løsninger, som også er lineært uafhængige. Der gælder derfor følgende Sætning 4.3. Hvis λ = α + iβ er en kompleks egenværdi til A med tilhørende kompleks egenvektor v=v + iv 2, er lineært uafhængige løsninger til x = Ax x (t=e αt (v cosβt v 2 sinβt x 2 (t=e αt (v 2 cosβt+ v sinβt Bemærk: Vi vælger altså én af de to (kompleks konjugerede egenværdier, og danner ud fra denne to reelle løsninger. Man kunne tro, at der på den måde fremkom for mange løsninger. Men for reelle matricer kommer komplekse egenværdier i par; hvis λ = α+ iβ er egenværdi, er den kompleks konjugerede λ = α iβ det også. De løsninger, der findes ved ovenstående metode kunne dannes udfra λ, er de samme, så samlet set kommer der ikke flere løsninger ved komplekse egenværdier end ved reelle.
7 4.2. KOMPLEKSE EGENVÆRDIER 7 Eksempel 4.4. Lad et differentialligningssystem være givet ved x (t=4x (t 3x 2 (t x 2(t=3x (t+4x 2 (t (4.8 Koefficientmatricen A= ( har det karakteristiske polynomium p(λ= 4 λ λ =(4 λ2 + 9 der har rødderne λ = 4+3i og λ = 4 3i. En egenvektor til λ findes ved at løse et ligningssystem med totalmatrix Vi laver Gauss elimination og får ( 4 (4+3i (4+3i 0 = ( 3i i 0 (4.9 ( 3i i 0 r =ir /3 r 2 = ir +r 2 ( i Der er uendelig mange løsninger hertil, n af dem er ( ( ( i 0 v= = + i 0 Vi har altså α = 4, β = 3, v = ( 0, v 2 = ( 0 Der fremkommer dermed følgende to løsninger til differentialligningen x = Ax ( ( x (t=e 4t sin3t, x cos3t 2 (t=e 4t cos3t sin3t og den fuldstændige løsning til systemet er således x(t=c x (t+c 2 x 2 (t, (c,c 2 R 2
8 8 CHAPTER 4. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 4.3 Systemer af inhomogene lineære differentialligninger Et system af differentialligninger af formen x = Ax+b(t (4.20 hvor b(t er en given vektorfunktion af den uafhængige variabel t, kaldes et inhomogent system af lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Det homogene system x = Ax, der fremkommer, når b(t fjernes fra ligningerne, kaldes det tilhørende homogene system. Strukturen af løsningen til (4.20 er den samme som strukturen af løsningen til et lineært, inhomogent ligningssystem. Der gælder Sætning 4.4. Den fuldstændige løsning til det inhomogene differentialligningssystem (4.20 har formen x=x h + x p, (4.2 hvor x h er den fuldstændige løsning til det tilhørende homogene system og x p er en partikulær løsning til det inhomogene system Til bestemmelse ef en partikulær løsning kan man benytte gættemetoden. Ideen er at gætte på en løsning x af samme familie af funktioner som b(t, men med nogle ukendte koefficienter. Gættet indsættes i det inhomogene system, og man forsøger at bestemme de ukendte koefficienter, så ligningen bliver opfyldt. Vi vil her vise, hvordan gættemetoden kan benyttes, hvis det inhomogene led er en konstant vektor, b(t=b med givne værdier(b,,b n. Vores gæt er da også en konstant vektor, x p = c, men med ukendte værdier(c,,c n, der skal bestemmes. Indsættes dette i (4.20 fås 0=Ac+b da differentialkvotienten af en konstant vektor er 0. bestemmes af det lineære ligningssystem Den søgte løsning x p = c skal derfor Ac= b. (4.22 Hvis A er invertibel, er løsningen c= A b. Hvis A ikke er invertibel, er der enten uendelig mange løsninger eller ingen løsninger til (4.22. I det første tilfælde kan vi bare vælge én af løsningerne som en partikulær løsning x p. I det andet tilfælde virker gættet åbenbart ikke, og man må finde på et andet. Vi vil ikke her komme yderligere ind på denne situation.
9 4.3. SYSTEMER AF INHOMOGENE LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER 9 Eksempel 4.5. Vi betragter differentialligningssystemet ( x = Ax+b med A=, b= 2 4 Da A =6 0 er A invertibel, og en partikulær løsning er ( ( x p = A 2/3 /6 3 b= = /3 /6 2 ( 3 2 ( 4 (4.23 (4.24 Den fuldstændige løsning til det tilhørende homogene system fandt vi i (4.8. Den fuldstændige løsning til det inhomogene system er derfor ( ( ( x=x h + x p = c e 2t + c 2 e 3t 4 + ( Vi bestemmer nu den løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen x(0 =(, 2. Indsættes t = 0 i 4.25 fås ( ( ( ( 4 = c 2 + c 2 + ( eller ( 2 ( c c 2 = ( 5 3 (4.27 Løsningen til dette ligningssystem er (c,c 2 = (3, 8, og løsningen til differentialligningssystemet bliver således ( ( ( ( x=3 e 2t 8 e 3t 4 3e + = 2t 8e 3t 4 2 3e 2t + 6e 3t (4.28
Lineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 5. december 2016.
Mat. -timersprøve den 5. december 6. JE 4..6 Opgave > restart;with(linearalgebra): Et inhomogent lineært ligningssystem bestående at tre ligninger med fire ubekendte, x og x 4 har totalmatricen T = [A
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mereLotka-Volterra modellen
Lotka-Volterra modellen G4-105 Matematik Aalborg Universitet 20. december 2016 School of Engineering and Science Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst www.ses.aau.dk Titel: Lotka-Volterra modellen Tema:
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereDIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereNoter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER
UDKAST 7122009 Noter til An0 Inst f Matematiske Fag Gerd Grubb December 2009 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 1 Generelle resultater 11 Introduktion I tidligere kurser er der gennemgået
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 6 1 enote 6 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereDifferentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve.
Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Tangenthældninger langs en kurve x Retningsfelter x x(t) sin(π t) + x / π cos(π t) Jeppe Revall Frisvad
Læs mereHans J. Munkholm: En besvarelse af
Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereLineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed
Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereBiologisk model: Epidemi
C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereForelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereMatematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed
Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereOpgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs mereLiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5
LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereVektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mere