Elementær sandsynlighedsregning

Transkript

1 Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en funktion P, der afbilder hændelser ind i intervallet [; ]. Funktionen P skal opfylde P(S) = P(A) A B = P(A B) = P(A) + P(B) Der gælder blandt andet P( ) = P(A c ) = P(A) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Betinget sandsynlighed: P(A B) P(A B) =, P(B) > P(B) A og B er uafhængige, hvis P(A B) = P(A)P(B) for alle A, B Uafhængighed medfører, at P(A B) = P(A) og P(B A) = P(B) Lad E,E,...,E k være en klassedeling af S, dvs. E,E,...,E k opfylder E i E j = for alle i j E E E k = S Loven om total sandsynlighed: k P(A) = P(A E i )P(E i ) i= Definitionen kan udvides til at gælde tælleligt mange hændelser, dvs. E E = S.

2 Bayes formel: P(E j A) = P(A E j )P(E j ) P(A) = P(A E j )P(E j ) k i= P(A E, j =,...,k i )P(E i ) Symmetrisk sandsynlighed: Når alle udfald i S har samme sandsynlighed, kan sandsynligheden for en hændelse A udregnes ved at tælle, hvor mange udfald der hører til A, og dividere med antallet af udfald i S. Altså P(A) = # gunstige # mulige Stokastisk variabel En stokastisk variabel X er en reel funktion defineret på udfaldsrummet S, dvs. X : S R, X (s) = x, s S X er diskret, når X antager endeligt mange værdier eller højst tælleligt mange værdier. X er kontinuert, når X antager flere end tælleligt mange værdier. Diskrete fordelinger Sandsynlighedsfunktion for en diskret stokastisk variabel: p(x k ) = P(X = x k ) Når X er heltallig, dvs. når X kun antager hele tal som værdier, kan sandsynlighedsfunktionen skrives p(k) = P(X = k) Fordelingsfunktion: F (x) = P(X x) = x k x p(x k ), Middelværdi af X : E[X ] = k x k p(x k ) = µ Middelværdi af en afledt stokastisk variabel g (X ): E[g (X )] = k g (x k ) p(x k ) Varians af X : Var(X ) = E[(X E[X ]) ] = E[X ] (E[X ]) = σ Spredning: σ = Var(X ) Formlerne modificeres, når S består af tælleligt mange hændelser.

3 Eksempel. Kast med en terning. Lad X betegne antal øjne. p(k) =, k =,,..., E[X ] = k=k = ( + ) = 7 E[X ] = k=k = 7 = 9 Var(X ) = 9 ( 7 ) 8 7 = = Lad Y betegne antal kast, der medgår, indtil en sekser fremkommer. p(k) = ( ) k, k =,,... E[Y ] = k=k ) k = ( ( = ) E[(Y + )Y ] = + )k k=(k ( ) k = ( = 7 ) E[Y ] = E[(Y + )Y ] E[Y ] = 7 = Var(Y ) = E[Y ] (E[Y ]) = = Indikatorvariabel. Lad I A betegne indikatorvariabel for hændelsen A, dvs. I A antager værdien, når A forekommer, og værdien, når A c forekommer. Sæt P(A) = p. E[I A ] = p, Var(I A ) = p( p) Binomialfordelingen. Lad X være antal gange en hændelse A forekommer blandt n uafhængige gentagelser af et forsøg. Sæt P(A) = p. Bemærk, at X kan opfattes som en sum af indikatorvariable for hændelsen A, dvs. X = I A + I A I An. ( ) n p(k) = p k ( p) n k, k k =,,...,n E[X ] = np, Var(X ) = np( p) At X er binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p, skrives kort X b(n, p). Poissonfordelingen. Lad λ være det gennemsnitlige antal begivenheder, der indtræffer i et område (interval), og lad X være det antal begivenheder, der indtræffer. p(k) = e λ λ k, k! k =,,,... E[X ] = λ, Var(X ) = λ At X er Poissonfordelt med parameter λ, skrives kort X p(λ). Vedr. summationer, se baggrundsnote til sandsynlighedsregning side Vedr. summationer, se baggrundsnote til sandsynlighedsregning side

4 Kontinuerte fordelinger Fordelingsfunktion: F (x) = P(X x), Bemærk, at der gælder lim F (x) =, lim x F (x) = x Hvis der findes en stykkevis kontinuert funktion f, der opfylder x f (x), f (u)du = F (x), så kaldes f tæthedsfunktion for X. Der gælder blandt andet P(a < X x) = f (x)dx = P(X = x) =, b a f (x)dx = F (b) F (a) Middelværdi af X : E[X ] = x f (x)dx = µ Middelværdi af en afledt stokastisk variabel g (X ): E[g (X )] = g (x) f (x)dx Varians af X : Spredning: Var(X ) = E[(X E[X ]) ] = E[X ] (E[X ]) = σ σ = Var(X ) Eksempel. Lad X være en stokastisk variabel med tæthedsfunktion f (x) = x, x. E[X ] = E[X ] = Var(X ) = ( x x ] dx = = x x ] dx = = ) 8 = 8 = 8 =.7 Lad Y = X være en afledt stokastisk variabel. [ ] E[Y ] = x x dx = 7 x 7 = 7 E[Y ] = Var(Y ) = ( 7 ( x) x dx = ) = 7 9 = 9.

5 Ligefordeling på interval. X U [a; b]. f (x) = b a, E[X ] = a + b Eksponentialfordelingen. X e(λ). a < x < b, Var(X ) = b a f (x) = λe λ x, x E[X ] = λ, Var(X ) = λ Normalfordelingen. X N (µ,σ ). f (x) = πσ e (x µ) σ, < x < E[X ] = µ, Var(X ) = σ Todimensional stokastisk variabel Diskrete fordelinger Den simultane sandsynlighedsfunktion for en todimensional diskret variabel (X,Y ): p(x j, y k ) = P(X = x j,y = y k ) = P(X = x j Y = y k ) Marginal sandsynlighedsfunktion for X : for Y : p X (x j ) = P(X = x j ) = k p Y (y k ) = P(Y = y k ) = j p(x j, y k ) p(x j, y k ) Middelværdi af en afledt endimensional stokastisk variable g (X,Y ): E[g (X,Y )] = g (x j, y k ) p(x j, y k ) j X og Y er uafhængige, hvis p(x j, y k ) = p X (x j ) p Y (y k ) for alle j og k. k Eksempel. Kast med to terninger. Lad X betegne det største antal øjne, der fremkommer, og lad Y betegne summen af antal øjne. Bemærk, af X kan antage værdierne,,...,, og at Y kan antage værdierne,,...,,. Vi udregner værdierne af den simultane sandsynlighedsfunktion: P(X = x,y = y) 7 8 9

6 Marginalfordelingen for X : for Y : x P(X = x) y P(Y = y) 7 9 Bemærk, at marginalfordelingerne fremkommer ved simpel addition af henholdsvis rækker og søjler i skemaet for den simultane sandsynlighedsfunktion. Udregning af middelværdi og varians af henholdsvis X og Y : E[X ] = = + 9 E[X ] = Var(X ) = 79 ( ) = = 79 = 9.97 E[Y ] = = = 7 E[Y ] = = Var(Y ) = 7 7 = = 9 = =.8 Kontinuerte fordelinger Den simultane fordelingsfunktion for den todimensionale kontinuerte variabel (X,Y ): F (x, y) = P(X x, Y y), (x, y) R Hvis der findes en stykkevis kontinuert funktion af to reelle variable, som opfylder x f (x, y), (x, y) R y f (u, v)dudv = F (x, y) så kaldes f (x, y) den simultane tæthedsfunktion for (X,Y ). Marginale tætheder: f X (x) = f Y (y) = f (x, y)d y f (x, y)dx X og Y er uafhængige, hvis tæthedsfunktionerne opfylder f (x, y) = f X (x) f Y (y). Middelværdi af en afledt endimensional stokastisk variabel g (X,Y ): E[g (X,Y )] = g (x, y) f (x, y)dxd y

7 Eksempel. Lad den simultane tæthedsfunktion for (X,Y ) være givet som f (x, y) = x, x, y x De marginale tætheder bliver f Y (y) = f X (x) = y x Bemærk, at X og Y er afhængige. x d y = x ( x) = (x x ), x x dx = ] y = ( y + y y ), y Udregning af middelværdi og varians af henholdsvis X og Y : E[X ] = E[X ] = E[Y ] = E[Y ] = x (x x )dx = x x (x x )dx = x Var(X ) = ( ) 9 = [ y y ( y + y y )d y = ( = + = ) ] ) = ( = ) = = ( ] = = [ y y ( y + y y )d y = ( = + = ) Var(Y ) = ( ) = 7 = 7 y + y y y + y y ] ] Kovarians og korrelation Kovariansen mellem to stokastiske variable X og Y er givet ved Cov(X,Y ) = E[(X E[X ])(Y E[Y ])] = E[X Y ] E[X ]E[Y ] = σ X Y Bemærk, at X,Y uafhængige E[X Y ] = E[X ]E[Y ] Cov(X,Y ) = Når Cov(X,Y ) >, så siges X og Y at være positivt korrelerede, og når Cov(X,Y ) <, så siges X og Y at være negativt korrelerede. Korrelationskoefficienten, eller blot korrelationen, er en dimensionsløs udgave af kovariansen: Cov(X,Y ) ρ(x,y ) = = σ X Y Var(X ) Var(Y ) σ X σ Y Egenskaber ved korrelation: ρ(x,y ) ρ(x,y ) = ± α, β : Y = α + βx 7

8 Eksempel fortsat. Udregning af kovarians og korrelation: E[X Y ] = = = 8 9 Cov(X,Y ) = = = =.97 ρ(x,y ) = 9 =.8 Eksempel fortsat. Udregning af kovarians og korrelation: x 7 ] x E[X Y ] = x y x d ydx = x [ y dx = = x x + x dx = x + x ] ( = + Cov(X,Y ) = = = ρ(x,y ) = = = ) = x ( x + x )dx + =. Regneregler Regneregler for middelværdi P(X = c) = E[X ] = c E[aX + by ] = a E[X ] + b E[Y ] n n E[ a i X i ] = a i E[X i ] i= i= X X E[X ] E[X ]. E[X ] E[ X ]. Regneregler for varians P(X = c) = Var(X ) =. Var(aX + by ) = a Var(X ) + ab Cov(X,Y ) + b Var(Y ) n n Var( a i X i ) = a i Var(X i ) + a i a j Cov(X i, X j ) i= i= i<j Regneregler for kovarians X og Y uafhængige Cov(X,Y ) = Cov(X,Y ) = Cov(Y, X ) 8

9 Cov(X, X ) = Var(X ) Cov(aX,bY ) = ab Cov(X,Y ) Cov(X + Y, Z ) = Cov(X, Z ) + Cov(Y, Z ) Cov(X,Y + Z ) = Cov(X,Y ) + Cov(X, Z ) Cov( a i X i, b j Y j ) = a i b j Cov(X i,y j ) i j i j Udregning af højere ordens momenter Det n te moment for en stokastisk variabel x n k p(x k) E[X n x k ] = x n f (x)dx Det n te centrale moment: (x k µ) n p(x k ) E[(X E[X ]) n x k ] = (x µ) n f (x)dx hvor µ = E[X ]. 9.. Bo Rosbjerg 9