Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008

Transkript

1 Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels en slags formelsamling dels en opskrivning af bemærkninger og tricks. Jeg har samlet tingene som en del af min eksamenslæsning, så det er muligt, at det ikke er brugbart til andet end processen :) Numrene lige efter ætning, enition mv. samt sidetal henviser til James tewart's alculus: oncepts and ontexts, 3rd edition metric international edition. Noten er indtil videre at nde på min hjemmeside jkbj06, og et link til den ligger på Kommentarer, rettelser og tilføjelser er velkomne ( til jkbj06@phys.au.dk)! Indhold 1 Integraltricks 1 2 Kurveintegraler 2 3 Kurveintegraler og konservative vektorfelter 2 4 Green's sætning 3 5 url og divergens 4 6 Overadeintegraler 5 Parameterfremstillinger for forskellige overader tokes' sætning 7 8 ivergenssætningen 7 1 Integraltricks Et par grundlæggende, men meget brugbare tricks: inus eller cosinus integreret over en hel periode giver nul. 1

2 Hvis en funktion er ulige omkring mht. en variable omkring en bestemt værdi, og den integreres over et symmetrisk område omkring denne værdi, er resultatet nul. Eksempel: Integration af en funktion som er ulige i z omkring z = 0, så f(x, y, z) = f(x, y, z) over et område, der er invariant under afbildningen (x, y, z) (x, y, z). 1d = A() og 1dV = V (E), se kapitel 8 for udregning af volumener. E 2 Kurveintegraler Lad f være en kontinuert skalarfunktion deneret på en glat kurve, der er parametriseret ved x = x(t), y = (t), z = z(t) for a t b å udregnes kurveintegralet mht buelængde (arc lenght) som b (dx ) 2 f(x, y, z) ds = f(x(t), y(t), z(t)) + dt a ( ) 2 dy + dt ( ) 2 dz dt. dt Alle kurveintegraler er uafhængige af parametriseringen af, hvis gennemløbes præcis en gang når t går fra a til b. Kurveintegralet mht buelængde (repræsenteret ved ds) er uafhængigt af gennemløbsretningen. Kurveintegralet mht x (tilsvarende for andre koordinater) er afhængigt af gennemløbsretningen og udregnes som b f(x, y) dx = f(x(t), y(t))x (t) dt a Lad F være et kontinuert vektorfelt deneret på en glat kurve i R n for n {2, 3}. Lad γ : R R n være så γ(t) parametriserer kurven for a t b. å udregnes kurveintegralet, idet T er enhedstangenten til, som b F dr = F T ds = F(γ(t)) γ (t) dt. Et kurveintegral af et vektorfelt (her i R 3 ) kan også skrives som F dr = P dx + Q dy + R dz hvis F = P i + Qj + Rk. Et liniestykke fra r 0 R n til r 1 R n kan parametriseres ved r(t) = (1 t)r 0 + tr 1 for 0 t 1 a 3 Kurveintegraler og konservative vektorfelter ætning (13.3.2). Lad være en glat kurve givet ved en vektorfunktion r(t) for a t b. Lad f være en dierentiabel funktion således at f er kontinuert på. å er f dr = f(r(b)) f(r(a)). 2

3 Korollar (s. 925 nederst). Hvis vektorfeltet F : R n R n for n {2, 3} er konservativt, er F dr uafhængigt af vejen. ætning (13.3.3). Lad F være et kontinuert vektorfelt med denitionsmængde. Kurveintegralet F dr er uafhængigt af vejen hvis og kun hvis F dr = 0 for enhver lukket kurve i. Lemma (13.3.4). Antag at F er kontinuert vektorfelt på en åben og sammenhængende region. Hvis F dr er uafhængigt af vejen i, så er F konservativ på. Lemmaet er vanskeligt at benytte i praksis, men nogle gange kan man nøjes med at vise det for bestemte kurvetyper. ætning (13.3.5). Hvis F = P (x, y)i + Q(x, y)j er konservativ og P, Q har kontinuerte partielle aedede af første orden på et område, så er P = Q x på. enition (impel lukket, enkeltsammenhængende). En simpel lukket kurve (også kaldet en Jordan kurve) er en lukket kurve, der ikke skærer sig selv. En enkeltsammenhængende region er en sammenhængende region, sådan at enhver simpel lukket kurve i kun omslutter punkter i. ætning (13.3.6). Lad F = P i + Qj være deneret på en enkeltsammenhængende region. Antag P, Q har kontinuerte første ordens partielt aedede og å er F konservativ (på ). P = Q x på. 4 Green's sætning ætning (Green's sætning). Lad være en positivt orienteret, stykkevist glat, simpel lukket kurve i planen og lad være området begrænset af. Hvis P og Q har kontinuerte partielt aedede i en åben omegn, der indeholder. å er ( Q P dx + Q dy = x P ) da. Bemærkninger. Positiv orienteret betyder, at er orienteret mod uret, så ligger til venstre. Antag at P og Q har kontinuerte andenordens partielle aedede. Hvis vi så sætter P = P + P x, Q = Q + Q Q, så er x P = Q x P. Korollar. Bemærkningerne på s. 937 giver, at Greens sætning også gælder for regioner med huller, dvs regioner, der ikke er enkeltsammenhængende. Hvis er begrænset af kurverne 1 og 2, der begge er orienteret positivt ifht, således at hele tiden ligger til venstre for, er ( Q P dx + Q dy + P dx + Q dy = 1 2 x P ) da. 3

4 Bemærkninger. Hvis vi skal udregne arealet af en region kan vi benytte Greens sætning som på s Hvis en kurve 1 omslutter en singularitet kan det ofte være smart at indlægge en (pæn) kurve 2 som omslutter singulariteten og så anvende den generelle version af Greens sætning på regionen mellem kurverne. Green's første og anden identitet (s. 947) er f 2 g da = f g n ds og (f 2 g g 2 f) da = Greens sætning kan også formuleres på vektorform: f g da (f g g f) n ds ætning ( ). Antag at F = P i + Qj er deneret på en åben omegn af, så,, P og Q opfylder forudsætningerne i Greens sætning. Vi kan betragte F som en vektorfunktion på R 3, hvor z-koordinatfunktion er 0. å giver Greens sætning at F dr = (curlf) k da Hvis n er den enhedsnormalvektor til, der peger væk fra, er F n ds = divf(x, y) da 5 url og divergens enition (url). Hvis F = P i + Qj + Rk er et vektorfelt på R 3 så er ( R curlf = F = Q ) ( P i + z z R ) ( Q j + x x P ) k (Huskeregel: en positive dierentieres mht til y-z-x.) Bemærkning. På s. 946f er forskellige regneregler for kombinationer af div, curl og gradient. ætning (13.5.3). Hvis f : R 3 R har kontinuerte andenordens aedede, så er curl( f) = 0. å hvis F : R 3 R 3 er konservativ med kontinuerte partielle aedede, så er curl(f) = 0. Når curl(f) = 0 siger vi, at vektorfeltet er rotationsfrit. ætning (13.5.4). Lad F være et vektorfelt deneret på en enkeltsammenhængende region R 3. Hvis F's koordinatfunktioner har kontinuerte partielle aedede og curlf = 0, så er F konservativ (på ). Bemærkning (Fra en forelæsning). behøver ikke være enkeltsammenhængende. Man kan fjerne kugler, men ikke fx torusser. Helt specikt skal en bestemt topologi være 0, men til husbehov ved vi, at det fx er ok, hvis der er fjernet et endeligt antal punkter. 4

5 ætning ( ). Hvis F = P i + Qj + Rk er et vektorfelt på R 3 og P, Q, R har kontinuerte anden ordens partielle aedede så er enition (Laplace operatoren). div(curlf) = 0 2 f = f = div( (f)) = 2 f x f f z 2. 2 F = 2 P i + 2 Qj + 2 Rk. 6 Overadeintegraler ætning (13.6.2). Antag at overaden er givet ved vektorfremstillingen Vi denerer r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k for (u, v). r u = x u i + u j + z u k, r v = x v i + v j + z v k. Hvis de partielle aedede (komposanterne i r u og r v ) er kontinuerte, og r u og r v er forskellige fra 0 og ikke parallelle i (det indre af ), så er f(x, y, z) d = f(r(u, v)) r u r v da Parameterfremstillinger for forskellige overader En kugle med centrum i origo og radius ρ (example ) (husk faktoren ρ 2 sin φ i sfæriske integraler): r(φ, θ) = (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ), 0 φ π, 0 θ 2π r φ r θ = ρ 2 (sin 2 φ cos θ, sin 2 φ sin θ, sin φ cos φ) r φ r θ = (sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ) r φ r θ En cylinder med radius ρ langs eks. z-aksen (example ) (husk en faktor r i cylindriske integraler): r(θ, z) = (ρ cos θ, ρ sin θ, z), 0 θ 2π, a z b r θ r z = (ρ cos θ, ρ sin θ, 0) Omdrejningsade (fra Natalias forelæsningsnotater): Antag at kurven er parametriseret ved γ(t) = (f(t), g(t)), der er kontinuert dierentiabel med γ (t) (0, 0) og f(t) > 0 for a t b. Lad være omdrejningsaden for. En parametrisering af er givet ved r(θ, t) = (f(t) cos θ, f(t) sin θ, g(v)) r θ r t = f(t)g (t) cos θi + f(t)g (t) sin θj f(t)f (t)k r θ r t = f(t) γ (t). 5

6 En overade i en plan A: Lad n = (α, β, γ) være en normalvektor til A og (x 0, y 0, z 0 ) A. å er 0 = α(x x 0 ) + β(y y 0 ) + γ(z z 0 ) en ligning for planen. Hvis vi isolerer en af koordinatorne, eks. z = g(x, y), kan vi se en ade i A som grafen for g over projektionen af i xy-planen. En normalvektor kan konstrueres vha to ikke-parallelle, ikke-nul vektorer a, b A, idet n = a b er en normalvektor for A. ætning ( ). Hvis en overade er grafen for en funktion, så eks. z = g(x, y), har vi en parametrisering af overaden. Vi kan så vise, at ( ) 2 ( ) 2 g g f(x, y, z) d = f(x, y, g(x, y)) da x enition (s. 953øv). En overade er orienterbar hvis det er muligt at tilegne en enhedsnormalvektor n til ethvert punkt på, således at n varier kontinuert over. ætning ( ). Hvis er glat og orienterbar så har vi generelt de to orienteringer n = r u r v r u r v og n = r v r u r u r v Hvis er grafen for en funktion z = g(x, y), er den opad orienterede (da k positiv) enhedsnormalvektor givet ved n = g x i g j + k ( ) 2 ( ) 2 g x + g + 1 Randen af en lukket overade E er orienteret positivt, når normalvektoren peger væk fra E. enition (13.6.8). Hvis F er et kontinuert vektorfelt deneret på en orienteret overade med enhedsnormalvektor n, så er uxen af F gennem i retningen n (også kaldet overadeintegralet af F over ) givet ved F d = F n d Bemærk at integralet afhænger af orienteringen af. ætning (13.6.9). Hvis er givet ved en vektorfunktion r(u, v) for (u, v), så er r u r v F n d = F(r(u, v)) r u r v d = F(r(u, v)) (r u r v ) da. Hvis n skal pege i den anden retning, kan man lade u og v bytte rolle. Korollar ( ). Hvis er givet ved en opad orienteret graf z = g(x, y), er ( F d = P g x Q g ) + R da, hvor parametriseringen (x, y, z, ) (x, y, g(x, y)) er indsat i P, Q, R. Hvis er orienteret nedad ganges højre side med 1. 6

7 7 tokes' sætning enition. Hvis overaden er orienteret efter enhedsnormalvektoren n, inducerer orientering af den positive orientering af grænsekurven =. Lad T være tangenten til i gennemløbsretningen. er orienteret positivt hvis n T peger mod. ætning (tokes' sætning). Lad være en orienteret stykkevist glat over- ade der er begrænset af en lukket, simpel, stykkevist glat kurve = med positiv orientering. Lad F være et vektorfelt hvor komposanternerne er denerede og har kontinuerte partielle aedede på en åben region i R 3 som indeholder. å er F dr = (curlf) d. I det specielle tilfælde, hvor er grafen for en funktion, er meget af arbejdet lavet for os. Korollar (tokes' sætning for =graf, ). Antag foruden betingelserne i tokes' sætning at er givet ved z = g(x, y) for (x, y), hvor g har kontinuerte partielle aedede af anden orden, og er en simple region i planen, hvor = er projiceret ned i (x,y)-planen. Hvis er orienteret opad, er den positive orientering af den samme som for. Antag desuden at F = P i + Qj + Rk, hvor komposantfunktionerne har kontinuerte partielle aedede. Vi har så [ ( R F dr = Q ) ( g P z x z R ) ( g Q x + x P )] da Bemærkninger. Hvis tokes' sætning benyttes på en lukket ade kan man ofte udnytte at modsat orienterede kurveintegraler går ud. Hvis to ader har samme rand og 1 F d 2 F d, har F intet vektorpotential (dvs der eksisterer ikke et vektorfelt G, så F = curlg). Hvis vi ønsker at udregne curlf d, kan vi vha tokes' gøre det for en vilkårlig overade med samme rand. Hvis curlf n og 1 2 =, er 1 F dr = 2 F dr. 8 ivergenssætningen enition (s. 966). En simpel massiv region (simple solid region) er en region, der samtidig er af type 1, 2 og 3. Jf. denitionerne fra afsnit 12.7 (s. 873 og 875) er en region i R 3 af type 1 hvis den ligger mellem graferne for to kontinuerte funktioner af x og y. For type 2 og 3 er det funktioner af y og z hhv x og z. ætning (ivergenssætningen for endelig forening af simple massive regioner, ). Lad E være foreningen af et endeligt antal simple massive regioner, og lad = E være rand-overaden for E, så er orienteret positivt (væk 7

8 fra E). Lad F være et vektorfelt hvor komposantfunktionerne har kontinuert partielle aedede på en åben omegn, der indeholder E. å er F d = divf dv Bemærkninger. en åbne region R, hvorpå F er deneret, må gerne indeholde huller (såfremt vi stadig har E R). Vær opmærksom på orienteringen af de overadestykker, består af. Hvis en overade indgår som rand for ere legemer, kan orienteringen nemt variere. et kan være smart at kunne udregne volumener af forskellige legemer. Hvis der er tale om en stub (fx en keglestub) udregnes volumenet som forskellen mellem et stort legeme (som om der ikke var skåret noget væk) og et småt legeme (det der er skåret væk). er kan evt være noget i kap 6.2. Volumenet af et omdrejningslegeme (s. 455) om fx z-aksen med a z b, udregnes som V = b A(z) dz, hvor A(z) er tværsnitsarealet som funktion a af z. et er ofte en cirkel eller en ring (cirkel med hul). ætning (12.7.6). Antag at E er en massiv region af type 1 (der gælder helt analoge resultater for de andre typer), således at der eksisterer kontinuerte funktioner h 1, h 2 så E = {(x, y, z) (x, y), h 1 (x, y) z h 2 (x, y)}, hvor er projektionen af E ned i xy-planen. å er [ ] z=h2(x,y) f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dz da. E E z=h 1(x,y) 8