Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater
|
|
- Einar Andreas Lindegaard
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35
2 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H 0 : β j = 0 H 1 : β j 0 Teststørrelsen er t = ˆβ j se[ ˆβ j ] p-værdien: Hvis T t n k 1 så er p-værdien P[ T > t ]. Beslutning: Hvis p-værdien er mindre end α (signifikans-niveauet), så afviser vi H 0 ellers er konklusionen, at vi ikke kan afvise H 0. 2 / 35
3 En god model En god statistisk model skal kunne forklare relevante aspekter af data uden at være unødigt kompliceret. Har vi to eller flere modeller, der forklarer data lige godt, så vælger vi den simpleste. Kan vi ikke afvise nul-hypotesen H 0 β j = 0, så kan vi sætte β j = 0, dvs. fjerne den forklarende variabel x j fra modelle. Dog skal man sikre sig at det giver mening at fjerne x j fra en økonomisk synspunkt. 3 / 35
4 Eksempel: Forbruget af naturgas i USA Model: consumption = β 0 + β 1 income + β 2 price + β 3 lprice + u consumption income price lprice eprice oprice forbruget af naturgas per capita indkomst prisen for naturgas prisen for LPG (flaskegas) prisen for elektricitet prisen for fyringsolie Kilde: NaturalGas data i AER pakken 4 / 35
5 Hypotese for mere end én aprameter Model consumption = β 0 + β 1 income + β 2 price + β 3 lprice + u Eksempler på hypoteser Er modellen besværet værd? H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0 Ingen af de forklarende variable forklarer noget... Er en delmodel nok? H 0 : β 2 = β 3 = 0 Prisen på naturgas og LPG er ikke nødvendige. Lineære hypoteser H 0 : β 2 = β 3 Prisen på naturgas og LPG har samme effekt på forbruget. 5 / 35
6 Er modellen besværet værd? Antag vores model er den sædvanlige: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β k x k + u R tester automatisk nul-hypotesen: H 0 : β 1 = β 2 = = β k = 0 Dvs. en nul-hypotese om at alle forklarende variable kan undværes. Med andre ord tester man om modellen er besværet værd. Alternativ-hypotesen er H 1 : β j 0 for mindst ét j Dvs. mindst en af de forklarende variabel har en signifikant lineær sammenhæng med den afhængige variabel. 6 / 35
7 Eksempel Model: consumption = β 0 + β 1 income + β 2 price + β 3 lprice + u Summary fra R Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) income price lprice Residual standard error: on 134 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 3 and 134 DF, p-value: < 2.2e-16 Her er F -teststørrelsen lig 118.3, og under H 0 følger den en F -fordeling med 3 og 134 frihedsgrader. p-værdien er mindre end Vi kan altså afvise H 0 modellen er besværet værd. 7 / 35
8 Sammenligne model og delmodel Vi ønkser at sammenligne to modeller: En urestringeret model: En restringeret model: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β k x k + u y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β k q x k q + u Den restringerede model er en delmodel af den urestringerede model, da den er opnået ved at fjerne q forklarende variable fra den urestringerede model. Hypotese af interesse: H 0 : β k q+1 = = β k = 0 H 1 : Mindst én af β k q+1,..., β k er forskellig fra nul. 8 / 35
9 Hypotesetest Hypotese af interesse: H 0 : β k q+1 = = β k = 0 H 1 : Mindst én af β k q+1,..., β k er forskellig fra nul. Hvis vi ikke kan afvise H 0, så kan vi lige så godt nøjes med den simplere delmodel. Hvorfor døje med en unødvendigt kompliceret model. Dårlig ide: Vi udfører et t-test for hver af x k q+1,..., x k. Hvis alle test har p-værdi over α, så kan vi ikke afvise H 0... NIKS!! Den går ikke! 9 / 35
10 Sums of squares Husk at vi generelt har SST = SSR + SSE Den totale variation (SST ) splitter op i en uforklaret del (SSR) og en forklaret del (SSE). For den urestinerede model har vi SST = SSR ur + SSE ur For den restinerede model har vi SST = SSR r + SSE r Bemærk: Der må gælde SSR r SSR ur, hvorfor? 10 / 35
11 F -testet Vi har altså SSR r SSR ur og H 0 : β k q+1 = = β k = 0 Hvis H 0 er sand så gælder F = (SSR r SSR ur )/q SSR ur /(n k 1) F q,n k 1 Intuition: Hvis de ekstra q variable ikke bidrager med noget, så må SSR r SSR ur. Dvs. kun store værdier af F er kritiske for H / 35
12 F -testet og R 2 Da har vi R 2 = SSE SST = 1 SSR SST SSR = SST (1 R 2 ). Indsætter vi i formel for F -teststørrelsen får vi F = (SSR r SSR ur )/q SSR ur /(n k 1) = (R 2 ur R 2 r )/q (1 R 2 ur )/(n k 1) F q,n k 1 12 / 35
13 F -testet For at kunne konkluderer på F -testet skal vi bruge en p-værdi. Antag F F q,n k 1, dvs. F følger en F -fordeling med q og n k 1 frihedsgrader. Da er p-værdien givet ved P[F > F ] Eksempel: F 3,100 og F = 2: p-værdi er / 35
14 Eksempel Urestringeret model: consumption = β 0 + β 1 income + β 2 price + β 3 lprice + u Hypotese: Når vi har kontrolleret for income har price og lprice ingen betydning. Dvs. H 0 : β 2 = β 3 = 0 Restringeret model: consumption = β 0 + β 1 income + u 14 / 35
15 For den urestingerede model har vi: model.ur = lm(consumption ~ income + price + lprice,data=naturalgas) hvor summary(model.ur) bl.a. giver Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: For den restingerede model har vi: model.ur = lm(consumption ~ income,data=naturalgas) hvor summary(model.r) bl.a. giver Multiple R-squared: 0.312, Adjusted R-squared: Dvs F = ( )/2 ( )/134 = p-værdien finder vi vha. pf kommandoen > pf( , 2, 134, lower.tail=false) [1] e-27 Da p-værdien mindre end 0.05 afviser vi H / 35
16 Genvej med R Vi kan sammenligne de to modeller vha. en F -test direkte i R vha. kommandoen anova: > anova(model.r,model.ur) Analysis of Variance Table Model 1: consumption ~ income Model 2: consumption ~ income + price + lprice Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) e e e < 2.2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Beslutning: Da p-værdien er meget mindre end 0.05 afviser vi H 0 dvs. vi bør ikke fjerne de to priser fra modellen. 16 / 35
17 Opsummering af model Model: consumption = β 0 + β 1 income + β 2 price + β 3 lprice + u Summary fra R (uddrag) Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e e <2e-16 *** income 1.093e e <2e-16 *** price e e lprice e e * Multiple R-squared: ,Adjusted R-squared: Fortolkning? Vi vil gerne teste om effekten af prisen på naturgas og flaskegas på forbruget af naturgas er den samme: Hypoteser: H 0 : β 2 = β 3 vs H 1 : β 2 β 3 17 / 35
18 Lineær hypotese et eksempel Antag vi har model Vi ønsker at teste hypotesen H 0 : β 1 = β 2 H 1 : β 1 β 2 Teststørrelsen er y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + u. t = ˆβ 1 ˆβ 2 se[ ˆβ 1 ˆβ 2 ] p-værdien: Hvis T t n k 1 så er p-værdien P[ T > t ]. Beslutning: Hvis p-værdien er mindre end α så afviser vi H 0. Spørgsmål: Hvad er se[ ˆβ 1 ˆβ 2 ]...? 18 / 35
19 Variansen af ˆβ 1 ˆβ 2 Sædvanlige regneregel for varians Var[ ˆβ 1 ˆβ 2 ] = Var[ ˆβ 1 ] + Var[ ˆβ 2 ] 2Cov[ ˆβ 1, ˆβ 2 ] Standardfejlen får vi ved at tage kvadratroden: se[ ˆβ 1 ˆβ 2 ] = Var[ ˆβ 1 ] + Var[ ˆβ 2 ] 2Cov[ ˆβ 1, ˆβ 2 ] Problemet er at få fingre i Cov[ ˆβ 1, ˆβ 2 ]...? R løsning: Antag at jeres model i R hedder min.model. I can nu få den estimerede varians kovarians matrix for ˆβ vha. kommadoen vcov(min.model). Der er en endnu smartere løsning / 35
20 Lineær hypotese: Matrix vejen Vi ønsker at teste den hypotesen H 0 : β 2 = β 3 Bemærk at vi kan omskrive nul-hypotesen β 2 = β 3 β 2 β 3 = 0 0 β β β β 3 = 0 Rβ = r, hvor R = [ ] og r = 0. Vi kan teste hypotesen vha. linearhypothesis(model,r,r). 20 / 35
21 Resultat af Linear hypothesis Vores hypotese: H 0 : β 2 = β 3 Fra R-commander får vi Linear hypothesis test Hypothesis: price - lprice = 0 Model 1: Model 2: consumption ~ income + price + lprice restricted model Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) e e e Da p-værdier er kan vi ikke afvise H / 35
22 Lineær hypotese: Generelt En lineær hypotese er en hypotese, der kan formuleres som H 0 : Rβ = r, hvor R er m (k + 1) matrix og r er en m dimensional søjlevektor. Opgave: Find R og r der svarer til den lineære hypotese H 0 : β 1 = 1, β 2 = 0 and β 3 = 0 R trick: Man kan faktisk formulere hypoteserne i ord, fx linearhypothesis(model,c("price = lprice")) Se hjælpefilen vha.?linearhypothesis 22 / 35
23 Sammenhængen mellem t- og F -fordelingen Hvis T t k, dvs. T følger en t-fordeling med k frihedsgrader, så gælder at T 2 F 1,k, dvs. at T 2 følger en F fordeling med 1 og k frihedsgrader. Konsekvens: Hvis vi tester H 0 : β j = 0 så er det altså lige meget om vi bruger en t-test eller en F -test. 23 / 35
24 Sammenligning af to modeller vha. R 2 Hvis vi vil sammenligne to modeller, hvor den ene model ikke er en delmodel af den anden kan vi ikke bruge et F -test. Ide: Vi kunne sammenligne R 2 for de to modeller og vælge den med højest R 2 den model der forklarer mest. R 2 = SSE SST = 1 SSR SST = 1 SSR/n SST /n Problem: Jo flere forklarende variable jo højere R 2. Dvs. vi vil have tendens til at vælge den mere komplicerede model dvs. vi risikerer at vælge en udnødigt kompliceret model. 24 / 35
25 Justeret R 2 Alimindelig R 2 R 2 = 1 SSR/n SST /n Ide: Vi justerer R 2, så den tager højde for antallet af parametre: R 2 = 1 SSR/(n k 1) SST /(n 1) = 1 ˆσ 2 SST /(n 1) Hvis vi udvider en model ved at tilføje flere forklarende variable (større k), men der ikke sker en øgning i SSR (dvs. den forklarer ikke mere), så falder R 2. Bemærk: Hvis stikprøvestørrelsen n er stor i forhold til antallet af parametre k, så har vi R 2 R / 35
26 Eksempel: R2 falder! Betragt følgende modeller: consumption = β 0 + β 1 income + β 2 eprice + u Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: Og den udvidede model: consumption = β 0 + β 1 income + β 2 eprice + β 3 oprice + u Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: Bemærk: R 2 er stort set uændret, men R 2 falder! 26 / 35
27 Asymptotiske egenskaber Antagelse MLR.1 til MLR.5 medfører at OLS estimatorerne er unbiased. Antagelse MLR.6 (normalfordelte fejlled) giver desuden at t- og F -teststørrelserne er t- og F -fordelte. Hvis MLR.6 ikke er opfyldt, men stikprøven er tilstrækkelig stor opnår vi at t og F -teststørrelserne er tilnærmelsesvis t- og F -fordelte. 27 / 35
28 Konsistens Definition: Konsistent estimator Lad β være en estimator for β baseret på en stikprøve Y 1, Y 2,..., Y n af størrelse n. Da er β en konsistent estimator for β, hvis for alle ɛ > 0 der gælder ( ) P β β > ɛ 0 når n. Intuition: Jo større stikprøve, jo mere sandsynligt er det at vores estimat er tæt på den sande værdi. Notation: Grænseovergangen kan også skrives som plim( β) = β. 28 / 35
29 Sætning 5.1 Konsistente OLS estimatore Under antagelse ML.1 til MLR.5 er OLS estimatoren ˆβ j en konstitent estimator for β j, for alle j = 0, 1,..., k. For simpel lineær regression y i = β 0 + β 1 x i1 + u i gælder ˆβ 1 = n i=1 (x i1 x 1 )y i n i=1 (x i1 x 1 ) 2 = β n n i=1 (x i1 x 1 )u i n i=1 (x i1 x 1 ) 2 1 n Man kan vise at plim ( 1 n n i=1 (x i1 x 1 )u i ) = Cov(x1, u) 29 / 35
30 Asymptotisk Normalfordelt Lad Φ(x) = P(Z z), hvor Z N (0, 1), dvs. Φ er fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt stokastisk variabel. Asymptotisk normalfordelt Antag Z 1, Z 2, Z 3,... er en følge af stokastiske variable. Da siges Z n are være asymptotisk normalfordelt, hvis Notation: Z n a N (0, 1) P(Z n z) Φ(z) for n. Eksempel: Ifølge Central grænseværdi sætning (CLT) har vi X / n a N (0, 1) (under visse antagelser). 30 / 35
31 Asymptotisk normalfordelte estimatore Sætning 5.2: Asymptotisk normalfordelte OLS estimatore Under antagelse MLR.1 til MLR.5 gælder (i) ˆβ j er asymptotisk normalfordelt: n( ˆβj β j ) a N (0, σ 2 /aj 2 ), hvor σ 2 /aj 2 > 0 er den asymptotiske varians af n( ˆβ j β j ), hvor aj 2 = plim(n 1 n i=1 ˆr ij 2), hvor ˆr ij er residualerne man opnår ved en regression af x j mod de andre forklarende variable. (ii) σ 2 er en konsistent estimator af σ 2. (iii) For alle j gælder ( ˆβ j β j )/se( ˆβ j ) a N (0, 1) 31 / 35
32 Bemærkninger Bemærk: Med Sætning 5.2 har vi (aysmptotisk) undgået antagelse MLR.6 (normalfordelte fejlled), men vi har ikke undgået MLR.5 (homoskedastiske fejlled). 32 / 35
33 Angående estimator-variansen Var[ ˆβ j ]: Vi har fra tidligere at Var[ ˆβ j ] = ˆσ 2 SST j (1 R 2 j ). Asymptotisk (dvs. efterhånden som stikprøven vokser), så konvergerer ˆσ 2 mod σ 2 og R 2 konvergerer mod en konstant mellem 0 og 1. Samtidigt konvergerer SST j /n mod Var[x j ], dvs. SST j nσ 2. Alt dette giver at Var[ ˆβ j ] = se( ˆβ j ) c j n, hvor c j er en ukendt, men fast konstant. 33 / 35
34 Lagrange multiplier test Antag vi har model: y = β 0 + β 1 x β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H 0 : β k q+1 = = β k = 0 En Langrange muliplier test indeholder følgende trin: 1. Først estimerer vi den restringerede model: y = β 0 + β 1 x β k q x k q + ũ. Intuition: Hvis H 0 er falsk, så vil variationen i ũ være (delvist) forklaret af de udeladte variable x k q+1,..., x k. 34 / 35
35 Langrange multiplier test fortsat 2. Først estimerer vi den restringerede model: Udfør en regression af ũ mod alle variable x 1,..., x k. Den resulterende determinationskoefficient betegnes R 2 u. Intuition: Hvis H 0 er sand, så vil R 2 u 0. Man kan vise at nru 2 a χ 2 q. 3. Afvis H 0 hvis nru 2 > χ 2 q,α. Alternativt kan man finde en p-værdi. 35 / 35
Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mereØkonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31
Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen
Læs mereØkonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet
Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 34 Lagrange multiplier test Et alternativ til F -testet af en eller flere parametre. Antag vi har model: Vi ønsker at teste hypotesen y = β 0 + β 1 x
Læs mereLagrange multiplier test. Økonometri: Lektion 6 Håndtering ad heteroskedasticitet. Konsekvenser af Heteroskedasticitet
Lagrange multiplier test Et alternativ til F -testet af en eller flere parametre. Økonometri: Lektion 6 Håndtering ad heteroskedasticitet Antag vi har model: y = β 0 + β 1 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereSimpel Lineær Regression
Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere
Læs mereØkonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet
Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 32 Konsekvenser af Heteroskedasticitet Antag her (og i resten) at MLR.1 til MLR.4 er opfyldt. Antag MLR.5 ikke er opfyldt, dvs. vi har heteroskedastiske
Læs mereAppendiks Økonometrisk teori... II
Appendiks Økonometrisk teori... II De klassiske SLR-antagelser... II Hypotesetest... VII Regressioner... VIII Inflation:... VIII Test for SLR antagelser... IX Reset-test... IX Plots... X Breusch-Pagan
Læs mereØkonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol
Økonometri: Lektion 5 Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol 1 / 35 Veksekvirkning: Motivation Vi har set på modeller som Price
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 +β 1 x +u, hvor fejlledet u,
Læs mereØkonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression. Inferens Modelkontrol Prædiktion
Økonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression Inferens Modelkontrol Prædiktion Multipel Lineær Regression Data: Sæt af oservationer (x i, x i,, x ki, y i, i,,n y i er den afhængige variael x i, x i,,
Læs mereSimpel Lineær Regression: Model
Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mereProgram. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data
Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration
Læs mereModule 3: Statistiske modeller
Department of Statistics ST502: Statistisk modellering Pia Veldt Larsen Module 3: Statistiske modeller 31 ANOVA 1 32 Variabelselektion 4 321 Multipel determinationskoefficient 5 322 Variabelselektion med
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele
Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen T-test Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereEksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning
1 Multipel regressions model Eksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning PSE (I17) ASTA - 11. lektion
Læs mereβ 2 : forskel i skæring polymer 1 og 2. β 3 forskel i skæring polymer 1 og 3.
Program suspended 200 250 300 350 400 1 2 3 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 1. kategoriske variable - kodning som indikator variable. 2. model selektion, R 2, F-test samt eksempler. ph Model: forskellig skæring
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2008 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereTo-sidet varians analyse
To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereReferat : af Gruppearbejde Økonometri1 øvelsestime ugeseddel 7 dato 26/3 2003, Hold 4
Referat : af Gruppearbejde Økonometri1 øvelsestime ugeseddel 7 dato 26/3 2003, Hold 4 Spm1 Den udvidede model med de to strukturelle variable sk og sh: g i (60-00) = B 0 + B 1 *log(y i ) + B 2 [ log(sk
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober Økonometri 1: F8 1
Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober 2006 Økonometri 1: F8 1 Dagens program Opsamling om asymptotiske egenskaber: Asymptotisk normalitet Asymptotisk efficiens Test af flere lineære
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder 2 Den multiple regressionsmodel 5. marts 2007 regressionsmodel 1 Dagens program Emnet for denne forelæsning er stadig den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 3.4-3.5, E.2) Variansen
Læs mereLineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:
Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder Heteroskedasticitet 11. april 007 KM: F18 1 Oversigt: Heteroskedasticitet OLS estimation under heteroskedasticitet (W.8.1-): Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS Gyldige test
Læs mereStatistik Lektion 16 Multipel Lineær Regression
Statistik Lektion 6 Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereMultipel Linear Regression. Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression
Multipel Linear Regression Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression Test for en eller alle parametre I jagten på en god statistisk model har vi set på følgende to hypoteser og tilhørende
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereModel. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3.
Model Program (8.15-10): 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. Bruger nu to indices: i = 1,...,k for gruppenr. og j = 1,...,n i for observation indenfor gruppe. k = 3 grupper: µ 1
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006
Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske
Læs mereMultipel Lineær Regression
Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk model Specificer
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006
Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 8. september 006 Opsamling af statistiske resultater om den simple lineære regressionsmodel (W kap..5). Den multiple lineære regressionsmodel (W
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14
Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden
Læs mereDagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22
Dagens Emner Likelihood teori Lineær regression (intro) p. 1/22 Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 ) = ( 1 2πσ 2)n/2 e 1 2σ 2 P n (x i µ) 2 er tætheden som
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Estimation: Kapitel 9.1-9.3 Estimation Estimationsfejlen Bias Eksempler Bestemmelse af stikprøvens størrelse Konsistens De nitioner påkonsistens Eksempler på konsistente og middelrette estimatorer
Læs mereSide 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereMuligheder: NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling.
Eksempel: dæktyper og brændstofforbrug (opgave 25 side 319) Program: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8... Muligheder: 1. vi starter med at gennemgå opgave 7 side
Læs mereForelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereTo samhørende variable
To samhørende variable Statistik er tal brugt som argumenter. - Leonard Louis Levinsen Antagatviharn observationspar x 1, y 1,, x n,y n. Betragt de to tilsvarende variable x og y. Hvordan måles sammenhængen
Læs mere! Variansen på OLS estimatoren. ! Multikollinaritet. ! Variansen i misspecificerede modeller. ! Estimat af variansen på fejlleddet
Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 4. februar 003 regressionsmodel Emnet for denne forelæsning er stadig den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 3.4-3.5)! Opsamling fra sidst
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs mereØkonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2
Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1
Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006 Økonometri 1: F6 1 Oversigt: De næste forelæsninger Statistisk inferens: hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan
Læs mereØkonometri: Lektion 7 Emne: Prædiktionsintervaller, RESET teset, proxy variable og manglende data.
Økonometri: Lektion 7 Emne: Prædiktionsintervaller, RESET teset, proxy variable og manglende data. 1 / 32 Motivation Eksempel: Savings = β 0 + β 1 Income + u Vi ved allerede, hvordan vi estimerer regresseionlinjen:
Læs mereModul 11: Simpel lineær regression
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 11: Simpel lineær regression 11.1 Regression uden gentagelser............................. 1 11.1.1 Oversigt....................................
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder 2 Inferens i den lineære regressionsmodel 7. marts 2007 regressionsmodel 1 Opgave fra sidst (Gauss-Markov teoremet) Opgave: Vis at hvis M = I X X X X 1 ( ' ) ' er M idempoten dvs der
Læs mereMultipel regression. M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model
Multipel regression M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model Y j 1 X 1j 2 X 2j... m X mj j eller m Y j 0 i 1 i X ij j BEMÆRK! j svarer til individ
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. IH kapitel 12. Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 12 Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge 1 Fordelingen af én (1): Regressionsanalyse udfaldsvariabel responsvariabel afhængig variabel Y variabel 2
Læs mereØkonometri 1. Dummyvariabler 13. oktober Økonometri 1: F10 1
Økonometri 1 Dummyvariabler 13. oktober 2006 Økonometri 1: F10 1 Dagens program Dummyvariabler i den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 7.3-7.6) Dummy variabler for kvalitative egenskaber med flere
Læs mereStatistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen 4 Hypotesetest (F-test)
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dnamiske Sstemer Bgning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lngb Danmark e-mail:
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereKlasseøvelser dag 2 Opgave 1
Klasseøvelser dag 2 Opgave 1 1.1. Vi sætter først working directory og data indlæses: library( foreign ) d
Læs mereDagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at
Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af
Læs mereRettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007
Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave
Læs mereSkriftlig eksamen Science statistik- ST501
SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.
Læs mereStatistik Lektion 4. Variansanalyse Modelkontrol
Statistik Lektion 4 Variansanalyse Modelkontrol Eksempel Spørgsmål: Er der sammenhæng mellem udetemperaturen og forbruget af gas? Y : Forbrug af gas (gas) X : Udetemperatur (temp) Scatterplot SPSS: Estimerede
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination
Læs mereKursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 8: Simpel lineær regression. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereStatistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable
Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P
Læs mereMultipel regression. Data fra opgave 3 side 453: Multipel regressionsmodel: Y = α + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ǫ. hvor ǫ N(0, σ 2 ).
Program 1. multipel regression 2. polynomiel regression (og andre kurver) 3. kategoriske variable 4. Determinationkoefficient og justeret determinationskoefficient 5. ANOVA-tabel 1/13 Multipel regression
Læs mereStatistik II 4. Lektion. Logistisk regression
Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:
Læs mere(tæt på N(0,1) hvis n ikke alt for lille). t i god til at checke for outliers som kan have stor indflydelse på estimaterne s 2 og ˆσ 2 e i
Da er r i = e i ˆσ ei t(n 3) (tæt på N(0,1) hvis n ikke alt for lille). Program 1. lineær regression: opgave 3 og 13 (sukker-temperatur). 2. studentiserede residualer, multipel regression. Tommelfinger-regel:
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan
Læs mereStatikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression
Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives
Læs mereKursus 02402/02323 Introducerende Statistik
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereSide 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)
Læs mereMindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning
1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Læs mereOversigt. 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O. 2 Model og hypotese. 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Oversigt 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O 2 Model og hypotese Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik
Læs mereProgram. Sammenligning af grupper Ensidet ANOVA. Case 3, del II: Fiskesmag i lammekød. Case 3, del I: A-vitamin i leveren
Faculty of Life Sciences Program Sammenligning af grupper Ensidet ANOVA Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Sammenligning af to grupper: tre eksempler Sammenligning af mere end to grupper: ensidet
Læs mereDagens Temaer. Test for lineær regression. Test for lineær regression - via proc glm. k normalfordelte obs. rækker i proc glm. p. 1/??
Dagens Temaer k normalfordelte obs. rækker i proc glm. Test for lineær regression Test for lineær regression - via proc glm p. 1/?? Proc glm Vi indlæser data i datasættet stress, der har to variable: areal,
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff. Envejs variansanalyse - eksempel
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mere1 Regressionsproblemet 2
Indhold 1 Regressionsproblemet 2 2 Simpel lineær regression 3 2.1 Mindste kvadraters tilpasning.............................. 3 2.2 Prædiktion og residualer................................. 5 2.3 Estimation
Læs mereOversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares)
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Oversigt Motiverende eksempel: Højde-vægt 2 Lineær regressionsmodel 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Klaus
Læs mere