Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Transkript

1 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller princippet Beregn invers matrix To ubekendte grafisk Figur y x y, skæringspunkt x x + y To ligninger i to ubekendte Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge Ligninger på matrix form Koefficient matrix Definition 6.-3 Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a x a n x n b a x a n x n b. a m x a mn x n b m På matrix form A a ij m n-matrix, b b i m-søjle, x x j n-søjle Ax b Definition 6.4 Givet ligningssystemet. A koefficientmatrix. b homogent system 3. b inhomogent system Ax b 4. Partikulær løsning en funden løsning, fuldstændig løsning mængden af alle løsninger Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge srummet Uendelig mange løsninger Sætning smængden til et homogent lineært ligningssystem med n ubekendte Ax er et lineært underrum N A R n kaldet løsningsrummet eller nulrummet. Dimensionen dim N A Sætning 6. For et homogent ligningssystem Ax er følgende ækvivalent:. Der er en løsning.. Der er uendelig mange løsninger. 3. Nulrummet N A. 4. Antallet af frihedsgrader er >. Benyt, at et ikke-nul underrum er en uendelig mængde. er antal frihedsgrader. Ax, Ay Ax + y Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge ligninger 4 ubkendte Eksempel 6.. og x.. og kan vælges frit. x + + ligninger 4 ubkendte Eksempel 6.- fortsat x + x srummet er span af vektorerne, Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge

2 Uafhængige søjler er og nulrum Sætning 6.3 Søjlerne a,..., a n i en m n-matrix A er lineært uafhængige, hvis og kun hvis nulrummet N A. Matrixmultiplikationen giver Sætning 6.5 Givet en partikulær løsning u til det lineære ligningssystem med n ubekendte Ax b så er løsningsmængden Ax j x j a j {x R n Ax b} u + N A Så x N A er, når søjlerne er lineært uafhængige. Simple regneregler for matrix multiplikationen giver Au b, Ax Au + x b Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge Test smængde ligninger 4 ubkendte Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x b b. Hvilket af følgende udsagn er sandt uanset hvordan A ser ud a er altid en løsning. b er aldrig en løsning. c b er altid en løsning. Gør prøve Afkryds det sande: A b a b c Eksempel 6.7 x + +., x og. Giver en partikulær løsning x,,,,,, Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge ligninger 4 ubkendte Konsistens Eksempel fortsat + x + x smængden er,,, plus en vilkårlig vektor fra underrummet af alle linearkombinationer af vektorerne Sætning 6.8 Det lineære ligningssystem med n ubekendte Ax b har en løsning, hvis og kun hvis b Spana,..., a n, altså b er en linearkombination af søjlerne i koefficientmatricen. Matrixmultiplikationen giver en linearkombination af søjler,,,,,,, Ax j x j a j b Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge Søjlerum og rang 3 ligninger 4 ubekendte Definition 6.- For en m n-matrix A er søjlerummet R A Spana,..., a n underrummet i R m udspændt af søjlerne i A og rækkerummet R A T Spana,..., a m underrummet i R n udspændt af rækkerne i A. Dimensionen af søjlerummet kaldes rangen Eksempel 7. - rækkereduktion 3x 4 3 x x rang A dim Spana,..., a n Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge

3 Eliminer en ubekendt Eliminer endnu en Eksempel 7. - fortsat Eksempel 7. - fortsat x Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge En ubekendt er fri Brug matrixform Eksempel 7. - fortsat Heraf x Eksempel 7. - fortsat x 4 3 På matrix form x x x Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge Eliminations strategi Skalpellen frem, fjern ubekendte Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal Addition af et multiplum af en ligning til en anden. Bevarer løsningsmængden.. Bringer ligningssystemet på række-echelon form, trappeform. 3. smængden kan opskrives ved baglæns substitution. Eksempel 7.4 3x 4 3 x x Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge Skær videre Videre x Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge

4 Afslut bagfra En fri tre bundne Heraf x x 6 x På matrix form x 3 Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge Rækkeoperationer reduceret matrix Strategi på matrix form Definition 7.5 Rækkeoperationer på en matrix Ombytning af to rækker Multiplikation af række med tal Addition af et multiplum af en række til en anden Bringer matricen på reduceret række-echelon form trappeform, på pivot indgange?????? Bemærkning 7.6 Fra et lineært ligningssystem tilordnes en augmenteret matrix Ax b A b Rækkeoperationer på et ligningssystem svarer til rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Det reducerede ligningssystem opskrives fra den reducerede matrix. Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge Strategi på matrix form Øvelse gør mester Eksempel igen 3x 4 3 x Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge Atter øvelse Afslut elegant Det reducerede ligningssystem 6 x + 6 Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge

5 En fri tre bundne Struktur er sagen x 6 x På matrix form x 3 hvor vælges frit. Calculus - 6 Uge Sætning 7.8 Givet et ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end ligninger.. Hvis systemet er homogent, så har det uendelig mange løsninger.. Hvis systemet er konsistent, så har det uendelig mange løsninger. Den reducerede koefficientmatricen har mindst pivotfri søjle.?????? Calculus - 6 Uge Konsistens Test ligningssystem Sætning 7. Det inhomogene ligningssystem Ax b er konsistent, hvis og kun hvis række-echelon formen af den augmenterede matrix A b ikke har en pivot i sidste søjle. Række-echelon formen???? c?? c c r giver løsning x ji c i og øvrige x j. Calculus - 6 Uge Test Et homogent lineært ligningssystem med 4 ubekendte og 3 ligninger har: a Altid højst løsning. b Altid uendelig mange løsninger. c Undertiden ingen løsninger. d Mindst løsning. Afkryds de to rigtige: Sætning 7.8 sikrer uendelig mange løsninger. a b c d Calculus - 6 Uge En sjov variation Eksempel 7. Løs matrixligningen x x 5 3 Skrives som ligningssystemet x + 5x + 3 x + 5x + 3 Det er rigtig sjovt , x x 3 5 Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge Operationer og multiplikation Smart overbevisende Sætning 8.3 Rækkeoperationer på en m n-matrix A fremkommer ved Udfør rækkeoperationen på m m-enhedsmatricen og få en elementærmatrix E Venstre multiplicer den oprindelige matrix med den fremkomne elementærmatrix EA. Ombytning af to rækker a a a a a a a a Multiplikation af række med tal r a a a a r a a ra ra Addition af et multiplum af en række til en anden r a a a + ra a + ra a a a a Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge

6 Rangformlen Enten-eller Sætning 8.4 For en m n-matrix A gælder:. Antal pivot er er rangen rang A.. Antal pivot er dimensionen af rækkerummet rang A T. 3. Antal af søjler uden pivot er er antal af frihedsgrader dim N A. 4. Antal frihedsgrader plus antal pivot er er antal søjler, rangformlen dim N A + rang A n Sætning 8.7 En kvadratisk matrix kan ved rækkeoperationer enten føres over i identitetsmatricen eller føres over i en matrix med en nulrække nederst Matricen på reduceret trappeform? Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge Ensidig invers er tosidig Invertibel som produkt Sætning 8.8 Lad A, B være kvadratiske matricer af samme størelse. Så gælder AB I BA I En højre invers er også en venstre invers. Hvis AB I har alle ligningssystemer Ax b en løsning x Bb. Den reducerede form af A kan da ikke have en -række og er derfor enhedsmatricen I. Altså findes en matrix C så CA I. Til slut er C CAB CAB B. Sætning 8. En invertibel matrix kan skrives som et produkt af elementærmatricer. Hvis E,..., E k er elementærmatricer svarende til rækkeoperationer, som fører en matrix A i identitetsmatricen, så er A E E k Der findes en følge af elementærmatricer E,..., E k så produktet E k E A I. Så fås, at A E E k og da de inverse til elementærmatricer igen er elementærmatricer haves produktfremstillingen. Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge Invers ved operationer Invers x-matrix Sætning 8.3 En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis dens reducerede form er enhedsmatricen I. I så fald er den augmenterede matrix A I I A Den inverse matrix beregnes ved rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Eksempel 8.4 Løs matrixligningen, i.e. beregn invers, x x Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge Invers x-matrix Invers x-matrix Eksempel fortsat Rækkereduktionen giver den inverse Eksempel - forsat Gør prøve 5 3 Udregn Calculus - 6 Uge Calculus - 6 Uge