En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

Transkript

1 Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant... 5 Om E-opgaver_ Formler:... 7 Definition: En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller = b a x, idet a og b er positive tal. Eksempel 1: Indiens befolkning var i 1900 ca. 138 millioner, og er siden vokset med ca. 2% om året.. Vi siger, at befolkningstallet hvert år fremskrives med 2%. Den årlige fremskrivningsfaktor er 1,02 Efter 1 år er befolkningstallet: 138 mio 1,02 = 140,8 mio Efter 2 år er befolkningstallet: 138 mio 1,02 2 = 143,6 mio Efter 3 år er befolkningstallet: 138 mio 1,02 3 = 146,4 mio Efter 4 år er befolkningstallet: 138 mio 1,02 4 = 149,4 mio Efter x år er befolkningstallet: 138 mio 1,02 x Befolkningstallet kan beskrives med funktionen f(x) = 138 1,02 x Hvor x er antal år efter 1900 Vi læger mærke til, at befolkningstallet i Indien vokser eksponentielt (næsten). Vi siger, at befolkningstallet kan beskrives med den eksponentielle model: f(x) = 138 1,02 x. Dette minder meget om kapitalfremskrivning, hvor formlen er: K = K 0 (1+r) n Læg mærke til, at n er et helt tal. I regneforskriften for Indiens befolkning behøver x ikke at være et helt tal. PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf 6.9 Kan frit printes og kopieres af institutioner, der har aftale med CopDan side 1 / 7

2 Om a og b b i regneforskriften kaldes begndelsesværdien, fordi f(0) = b a 0 = b 1 = b a i regneforskriften kaldes fremskrivningsfaktoren svarende til en tilvækst i x på1. Ofte siges blot fremskrivningsfaktoren. Hvis a er mellem 0 og 1, er f aftagende. I den eksponentielle model for Indiens befolkning er a = 1,02. Hver gang, der går ét år, fremskrives Indiens befolkning med 2%. Man beregner en fremskrivning på 2% ved at gange med 1,02, nemlig den årlige fremskrivningsfaktor. Den 2-årige fremskrivningsfaktor er 1,02 1,02 = 1,02 2. Den 7-årige fremskrivningsfaktor for Indiens befolkning er 1,02 7 Eksempel 2: 50g radioaktivt stof, der henfalder med 5% om dagen kan beskrives med en eksponentiel funktion. Der er en daglig tilvækst på -5% uanset hvilken dag, der betragtes. Det er en eksponentielt aftagende funktion og regneforskriften er. = 50 0,95 x, hvor x er antal dage siden begndelsen, da der var 50g. Hvis man kender 2 funktionsværdier, kan man beregne a ved formlen: a = Herefter kan b findes ved hjælp af formlen: x 2 x b = 1 a -x 1 eller b = 1 / a x 1 PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf 6.9 Kan frit printes og kopieres af institutioner, der har aftale med CopDan side 2 / 7

3 Eksempel 3: x Y 11 0,9 = 19 0,9 = 0,8766 = 0, ( 2) 0,9 a b = 11 0, (-2) = 11 0,8766 -(-2) = 11 0, = 8,4519 = 8,452 Regneforskriften bliver således: = 8,452 0,877 x Eksempel 4: Vi betragter 2 funktionsværdier 1 og 2, svarende til x-værdierne x 1 og x 2. x a = 4 = 3 1, 5 = 1,5 (1/3) = 1,1447 = 1,145 b = 4 / 1, = 2,0350 = 2,035 og regneforskriften bliver f(x) = 2,035 1,145 x Herefter kan vi fx beregne f(10) = 2,035 1, Tegning af graf for en eksponentiel funktion Hvis man vil tegne en eksponentiel funktion kan man med fordel bentte et såkaldt enkeltlogaritmisk koordinatsstem. Hertil benttes enten enkeltlogaritmisk papir eller regneark. Hvis støttepunkterne flugter en linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsstem, kan man konkludere, der med god tilnærmelse er tale om en eksponentiel funktion. Enkelt-logaritmisk koordinatsstem vil blive forklaret lidt senere. PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf 6.9 Kan frit printes og kopieres af institutioner, der har aftale med CopDan side 3 / 7

4 Eksempel 5: Ilt-trkket falder, når man kommer op i bjergene. Her ses nogle måleresultater. Højde x Ilt-trk Disse er indtegnet nedenfor i et enkeltlogaritmisk koordinatsstem ved hjælp af regneark Excel Det ses, støttepunkterne i dette enkeltlogaritmiske koordinatsstem flugter en linje, og vi siger, at ilt-trkket som funktion af højden kan beskrives ved en eksponentiel model. Enkeltlogaritmisk koordinatsstem I et enkeltlogaritmisk koordinatsstem er tallene på -aksen placeret således, at grafen for en eksponentiel funktion bliver en ret linje. Den tal-skala, der er på -aksen kaldes en logaritmisk skala og x-aksen er helt sædvanlig. PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf 6.9 Kan frit printes og kopieres af institutioner, der har aftale med CopDan side 4 / 7

5 Logaritmisk skala En logaritmisk skala kan defineres på den måde, at den adskiller sig fra en almindelig talskala ved, at hvert tal på skalaen erstattes med 10 Den tal-skala mest til venstre er en sædvanlig tal-skala. Den midterste tal-skala er den tilsvarende logaritme-skala. Den 3. tal-skala er magen til den midterste. Tallene er blot skrevet på en anden måde. Afstanden mellem hver af ovenstående markeringer kaldes på en logaritmisk skala en dekade. Der gælder at 10 3 ligger i afstanden 3 fra 10 0, altså i afstanden 10 3 ) Man kan også sige at 1000 ligger i afstanden 3 fra 1 eller i afstanden 1000) fra 1 Fordoblings- og halveringskonstant Ved eksponentielt voksende funktioner tales også om en fordoblingskonstant (fordoblingstid) T 2. Det er den forøgelse i x, der giver anledning til en fordobling. Tilsvarende tales om en halveringskonstant (halveringstid) T ½ ved eksponentielt aftagende funktioner. Fordoblings og halveringskonstanterne kan ofte aflæses direkte af grafen ved at finde den x-tilvækst, der giver anledning til en fordobling/halvering. Der gælder følgende formler: 2) T 2 = og T ½ = 0,5) PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf 6.9 Kan frit printes og kopieres af institutioner, der har aftale med CopDan side 5 / 7

6 Om E-opgaver_14 f er navnet på den funktion, som er tegnet. Den skrå linje er grafen for f. Når der står =f(x), så betder det bare at enhver -værdi er en funktionsværdi af x: f(x). Altså =f(x). Der er benttet enkelt logaritmisk papir. Dvs, at der på 2.aksen er en logaritmisk skala. Det ses grafen i dette papir bliver en linje. Derfor er funktionen en eksponentiel funktion med regneforskriften f(x)=b x a b er begndelsesværdien og f(0) = b x 0 = b 1 = b Værdien af b aflæses på 2.aksen der, hvor grafen skærer 2.aksen. Næsten nederst i tegningen kan du til venstre aflæse 1,00 Det er ud for 1 på 2.aksen. Højere oppe kan du aflæse 10,00. Det er ud for på 2.aksen. Den vandrette streg over 1,00 er ud for 2,00 Den næste vandrette streg er ud for 3,00, og det er her grafen skærer 2.aksen, b=3 Der er link til enkelt logaritmisk papir i Fællesundervisningsrum, Peter Sørensen, print selv specialpapir. Jeg har nu derligere lagt et link på Fronter i vores eget rum. Tegningen er lavet ved hjælp af Regneark Excel. PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf 6.9 Kan frit printes og kopieres af institutioner, der har aftale med CopDan side 6 / 7

7 Formler: Vækst Lineær vækst Eksponentiel vækst Regneforskrift ax b x ba a b Fordoblingskonstant Halveringskonstant a ( ( x ) x ) 2 1 ( ) 2 a x2 x1 ( ) ) T2 0,5) T½ Anbefalet koordinatsstem Sædvanligt Enkelt logaritmisk PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf 6.9 Kan frit printes og kopieres af institutioner, der har aftale med CopDan side 7 / 7