Opgaver til f(z) = 1 z 4 1, g(z) = 1
|
|
- Laura Nielsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1.17 Opgaver til Vis, at f(z) = er vilkårligt ofte differentiabel i C \ {, 1}, og z(1 z) find et udtryk for f (n) (z) for alle n. (Vink. Skriv f(z) = 1 z z ) Beskriv billedkurverne under f(z) = z 2 af C ind i C af følgende kurver i planen a) Halvlinjer startende i. b) Cirklerne z = r. c) Den vandrette linje x i. d) De lodrette linjer a + iy, hvor a > er fast. Forklar at alle billedkurverne fra d) skærer billedkurven fra c) i rette vinkler Beskriv billedet af vandrette og lodrette linjer i C under expz = e x e iy, z = x + iy, og gør rede for at billedkurverne er ortogonale Betragt funktionerne f(z) = 1 z 4 1, g(z) = 1 (z 2 2z + 4 4i) 2. Gør rede for, at f er holomorf i C \ {±1, ±i} og find f. Gør rede for, at g er holomorf i C \ { 2i, 2 + 2i} og find g Vis, at funktionerne z Re z og z z ikke er differentiable i nogen punkter i C Vis, uden at differentiere, at x u(x, y) = x 2, v(x, y) = y + y2 x 2 + y 2, for (x, y) R2 \ {(, )}, tilfredsstiller Cauchy-Riemanns differentialligninger Lad f : G C være holomorf på området G og antag, at f er konstant. Vis, at f er konstant. Vink. a) Skriv f = u + iv og bemærk, at forudsætningen siger, at u 2 + v 2 er konstant, altså u 2 + v 2 = k i G. Vi kan så antage k > for ellers er u = v = f =. b) Udnyt at x (u2 + v 2 ) = y (u2 + v 2 ) = og brug Cauchy-Riemannligningerne til at opnå ligningssystemet u u x v u y = v u x + u u y =. ( ) c) Ligningssystemet ( ) med u x, u y u 2 + v 2 og slut, at u x = u y =. 27 som ubekendte har determinanten
2 Vis, at hvis f : C C er holomorf og af formen f(x+iy) = u(x)+iv(y), hvor u og v er reelle funktioner, så er f(z) = λz + c med λ R, c C Vis formlerne for n N, θ R: [n/2] ( ) n cos(nθ) = ( 1) k cos n 2k θ sin 2k θ 2k sin(nθ) = k= [(n 1)/2] k= ( ) n ( 1) k cos n 2k 1 θ sin 2k+1 θ. 2k + 1 ([a] betyder den hele del af a, dvs. [a] er det tal p Z som opfylder a 1 < p a.) 1.1. Vis additionsformlerne samt sin(z 1 + z 2 ) = sin z 1 cos z 2 + cos z 1 sinz 2 cos(z 1 + z 2 ) = cos z 1 cos z 2 sin z 1 sinz 2 (sinz) 2 + (cos z) 2 = 1 for alle z 1, z 2, z C. (Vink. Eulers formler) Bestem løsningsmængden af z C til ligningerne sinz = 1, sinz = Vis, for eksempel ved at benytte Euler s formler, at der for x og y R gælder: sin(x + iy) = sin x coshy + i cos x sinhy, og benyt dette til at vise, at sin er holomorf med d sin z = cos z. dz Beskriv billedet af vandrette og lodrette linier i C ved sinus afbildningen. (Ligningen x2 a 2 y2 x2 = 1 fremstiller en hyperbel, og ligningen b2 a 2 + y2 b 2 = 1 fremstiller en ellipse.) Vis, at sinus afbilder strimlen {x + iy π 2 < x < π } 2, y R bijektivt på C \ (], 1] [1, [) Vis, at Cauchy-Riemanns differentialligninger for f = u+iv kan skrives som en enkelt ligning: f x + i f y =. 28
3 1.19 Ved indførelse af udtrykkene = 1 ( 2 x i ), = 1 ( y 2 x + i ) y skal man vise, at f = og f (z) = f(z) for en holomorf funktion f Vis, at for z = x + iy C \ { π 2 + πz} sin(2x) 2 tan(x + iy) = cos 2 x + sinh 2 y + i sinh(2y) cos 2 x + sinh 2 y tan z = 1 e 2iz 1 i e 2iz Vis, at potensrækken n= a nz n har konvergensradius ρ = hvis og kun hvis lim n n a n = Antag, at f, g : G C er n gange differentiable i den åbne delmængde G i C. Bevis Leibniz formel for den n te afledede af et produkt: (fg) (n) = n k= ( ) n f (k) g (n k). k Vis, at funktionen tanz opfylder tan z = 1+tan 2 z, tan z = 2 tanz+ 2 tan 3 z og generelt n+1 tan (n) z = a n,k tan k z, n =, 1,..., k= hvor a n,k er ikke-negative hele tal. Vis, at a n,k = når n, k enten begge er lige eller begge er ulige. Konkludér, at Taylorrækken for tan omkring har formen n= t nz 2n+1, hvor t n = a 2n+1, /(2n + 1)!. Vis, at Taylorrækken starter tanz = z z z5 +. (Koefficienterne i potensrækken for tan kan udtrykkes ved Bernoullitallene, se opg ) 29
4 Udregn kurveintegralerne Opgaver til 2. i dz (1 z) 2, 2i i cos z dz og iπ e z dz ved brug af definitionen på kurveintegral, idet det er underforstået, at der skal integreres langs linjestykket fra nedre grænse til øvre grænse. Find derefter værdien af de tre integraler ved stamfunktionsbestemmelse og Sætning dz 2.2. Udregn γ n z, idet γ n : [, 2π] C er en parameterfremstilling for enhedscirklen med n Z \ {} gennemløb: γ n (t) = e itn Vis, at γ z (z 2 + 1) 2 dz =, når γ betegner en lukket vej i C \ {±i} Vis, at γ P(z)dz = for ethvert polynomium P og enhver lukket vej γ i C Vis, at A(γ) = 1 2i z dz er et reelt tal for enhver lukket vej γ i C. γ Vink. Hvis γ(t) = x(t) + iy(t), t [a, b], skal man vise at A(γ) = 1 2 b a x(t) y(t) x (t) y (t) dt. Udregn A(γ n ) for γ n (t) = e int, t [, 2π], n = ±1. Gør rede for, at for en simpel lukket vej γ kan A(γ) fortolkes som arealet omsluttet af γ med fortegn ± afhængig af positiv/negativ omløbsretning Vis, at når f og g er holomorfe i et område G, med kontinuerte afledede f og g, så gælder for enhver lukket vej γ i området: γ f (z)g(z)dz = f(z)g (z)dz. γ (Vink. Bemærk at f g + fg har en stamfunktion i G.) 41
5 Udregn Opgaver til 3. K(,1) dz (z a)(z b), når (i) a, b < 1, (ii) a < 1, b > 1, (iii) a, b > Udregn K(,2) e z z 1 dz og K(,2) e z πi 2z dz Vis, at et konvekst område er enkeltsammenhængende Vis, at ethvert stjerneformet område G C (dvs. der findes mindst et a G så G er stjerneformet omkring a) er enkeltsammenhængende. (Vink. Gør rede for, at det er nok at vise påstanden for et område, der er stjerneformet omkring. Lad G være et sådant område og lad γ være en kontinuert kurve i G fra a G til b G, med parameterinterval [, 1]. Vis, at udtrykket H(s, t) defineret ved (1 2t)a, for t [, 1 2 ( ) s], t 1 2 H(s, t) = (1 s)γ s 1 s, for t [ 1 2 s, s[, (2t 1)b, for t [1 1 2s, 1], er en homotopi, der deformerer γ kontinuert over i kurven γ 1 (t) = og afslut derefter beviset for påstanden.) { (1 2t)a, for t [, 1 2 ], (2t 1)b, for t [1 1 2, 1] ; 3.5. Brug Goursats lemma til at vise følgende: Lad G være et område som er stjerneformet omkring z. For hvert z G betegner [z, z] linjestykket fra z til z med parameterfremstillingen γ(t) = (1 t)z + tz. Gør rede for, at for f H(G) er F : G C defineret ved F(z) = [z,z] den stamfunktion til f, som opfylder F(z ) =. 54 f
6 Lad G = C\], ] som er stjerneformet omkring 1. Ifølge opgave 3.5 definerer udtrykket dt Logz = t, z G [1,z] en stamfunktion til 1 z i G. Hvis z = re iθ, θ ] π, π[, r > skal det vises, at Log(re iθ ) = log r + iθ. Vink. Brug vejen fra 1 til r og fra r til re iθ langs cirklen z = r) Lad G være en åben cirkelskive, lad a G og lad b, c være to forskellige punkter på periferien. Lad U være området begrænset af linjestykkerne [a, b], [a, c] og en af de to buer mellem b og c. Vis, at området U er konvekst, hvis vinklen ved a er π. Vis, at området U er stjerneformet og ikke konvekst, hvis vinklen ved a er > π. (U er et lagkagestykke). Brug et sådant område U til at vise, at man kan klare sig med 2 småveje i eksempel Betragt området G = C \ {iy y R, y 1}. Gør rede for, at G er stjerneformet omkring og definer funktionen Arctan : G C ved 1 zdt Arctanz = 1 + t 2 z 2. Vis, at Arctan er holomorf på G med den afledede d dz Arctan z = z. 2 Gør rede for, at Arctan R er den omvendte funktion til tan : ] π 2, π 2[ R. (Man kan vise, at Arctan afbilder G bijektivt på strimlen { z = x + iy π 2 < x < π }, 2 og at den er invers til tan.) Vis, at Arctanz = z z3 3 + z for z < 1.
7 (Fresnels integraler). Udregn sin(x 2 )dx = cos(x 2 )dx = π 2 2, r idet integralerne skal forstås som lim r. Vink. a) Udnyt at γ r exp(iz 2 )dz =, idet γ r for r > betegner vejen rundt om cirkeludsnittet begrænset af x-aksen, vinkelhalveringslinjen y = x og buen re it, t [, 4] π. b) Lad r og udnyt (eksempel 3.11), r lim e x2 dx = 1 π r 2 samt sin 2t t for t [, 4] π (jf. c)) til at opnå resultatet. c) Vis, at min{ sin2t t t ] ], π 4 } = 4 π > Betragt mængden G = C \ Z. 1) Vis, at G er et område, altså at G er åben og at to vilkårlige punkter kan forbindes med en trappelinje. 2) Er G konveks?, stjerneformet?, enkeltsammenhængende? 3) Betragt f(z) = 1/ sin(πz), z G og gør rede for, at den er holomorf i G. 4) Sæt γ T (t) = it, δ T(t) = 3 + it, t [ T, T]. Vis, at 2 dt lim f(z) dz = i T γ T cosh(πt), lim dt f(z) dz = i T δ T cosh(πt) 5) Sæt γ T,a (t) = a + it, t [ T, T], hvor a R \ Z. Vis, at ϕ(a) := lim f(z) dz T γ T,a er konstant i hvert af intervallerne ]n, n + 1[, n Z. (Læg mærke til at ϕ(a) skifter fortegn når a hopper fra ], 1[ til ]1, 2[.) Vink: For n < a < b < n + 1 brug Cauchys integralsætning på rektanglet med hjørner a ± it, b ± it og lad T. 56
8 4.16 Opgaver til Antag at G er en åben delmængde af den komplekse plan og at a G. Lad f H(G), og antag f (a). Vis, at der findes r >, så f (z) f (a) < f (a) for z K(a, r) G. Vis, at for z 1, z 2 K(a, r) gælder 1 f (tz 2 + (1 t)z 1 )dt f (a) < f (a), f(z 2 ) f(z 1 ) = (z 2 z 1 ) 1 f (tz 2 + (1 t)z 1 ) dt, og slut, at f K(a,r) er injektiv. Vi har altså vist: f er injektiv i en passende lille omegn af et punkt a hvor f (a). Giv et eksempel på en ikke injektiv holomorf funktion f på C med f (z) for alle z C Find Taylorrækken med centrum π/4 for sinus på følgende to måder: (i) Brug additionsformlen. (ii) Bestem koefficienterne ved differentiation Hvad er det største område G i hvilket f(z) = 1/(1 z+z 2 ) er holomorf? Vis, at f(z) = a nz n for z < 1, og at a = a 1 = 1, a 2 =, og a n+3 = a n for n. Vink. Udnyt at 1 = (1 z + z 2 ) a nz n og brug Sætning Udregn K(i,2) e z dz for n 1. (z 1) n 4.5. Lad u : G R være en harmonisk funktion i en åben mængde G C. Vis, at hvis K(a, r) G, så er 4.6. Vis, at u(a) = 1 2π u(x, y) = 2π u(a + re iθ ) dθ. x x 2 + y 2 og u(x, y) = x2 y 2 er harmoniske funktioner i R 2 \{(, )} henholdsvis R 2, og find de konjugerede harmoniske funktioner Lad (f n ) være en følge af holomorfe funktioner i en åben mængde G og antag, at sup f n (z) <, K n=1 72
9 4.17 for enhver afsluttet begrænset mængde K G. Vis, at f(z) = er holomorf i G, og at f (z) = uniformt på G. f n (z) n=1 1 f n (z), idet rækken konvergerer lokalt 4.8. Lad K og L være afsluttede og begrænsede mængder i C så at K og K L, og lad d være afstanden mellem K og C \ L, dvs. d = inf{ x y x K, y C \ L }. Gør rede for, at d >, og at der for enhver åben mængde G L og for enhver f H(G) gælder sup K f (z) 1 d sup f(z). L Vink. Gør rede for, at man kan bruge Cauchys integralformel f (a) = 1 2πi K(a,d) f(ξ) dξ for a K. (ξ a) Lad f være en hel funktion, og antag at f(z) A + B z n for z C, hvor A, B, og n N. Vis, at f er et polynomium af grad n Lad f være en ikke konstant hel funktion. Vis (uden at benytte Picard s sætning), at f(c) = C. (Vink. Antag f(c) C, og forsøg at anvende Liouvilles sætning.) Vis, at hvis f er en hel funktion som opfylder f = af for et a C, så findes et c C så at f(z) = c exp(az), z C Lad ϕ H(G). Vis, at rækken f(z) = ( ) ϕ(z) sin n=1 73 n 2
10 4.18 definerer en holomorf funktion i G (Bygger på 3 MI). Lad (X, E, µ) være et målrum og G C en åben mængde. Antag at f : X G C opfylder (i) x X : f(x, ) H(G). (ii) z G : f(, z) L(X, E, µ). (iii) g M + (X, E) med g dµ <, så Vis, at er holomorf i G, og F (n) (z) = f(x, z) g(x) for x X, z G. F(z) = X X f(x, z) dµ(x), z G, d n f(x, z) dµ(x), z G, n = 1, 2,.... dzn Vis herved, at hvis f : [a, b] G C er kontinuert og f(x, ) H(G) for alle x [a, b], så er holomorf i G, og F(z) = b a F (n) (z) = f(x, z) dx, z G, b a d n f(x, z) dx. dzn Potensrækken n= zn konvergerer uniformt mod 1 1 z på K(, r) for hvert r < 1. Vis, at rækken ikke konvergerer uniformt på K(, 1) Lad p(z) = a + a 1 z + + a n z n være et polynomium af grad n 1 med reelle koefficienter. Vis, at hvis z = a er en rod i p så er z = a også en rod af samme multiplicitet. Vis, at hvis n er ulige, så har p mindst én reel rod Antag, at f H(K(, r)) har potensrækken f(z) = 1 + a 1 z + a 2 z 2 + for z < r. Vis, at der findes ρ > så 1/f H(K(, ρ)), og at der om koefficienterne (b n ) i potensrækken 1 f(z) = b n z n, z < ρ n= 74
11 4.19 gælder b = 1, b 1 = a 1, b 2 = a 2 1 a Lad p(z) = n k= a n kz k være et polynomium af grad n 1, dvs. a, og antag at a n k = a k, k =, 1,..., n. Vis, at hvis z er en rod i polynomiet p, så er z og 1/z er også rod i p. Find rødderne i polynomiet 2z 4 3z 3 z 2 3z + 2, idet det oplyses, at z = 2 er rod Vis, at funktionerne u(x, y) = e x cos y, u(x, y) = sin x cosh y, u(x, y) = cos x cosh y er harmoniske i R 2 og find hele holomorfe funktioner, hvis realdel er disse harmoniske funktioner. 75
12 5.21 Opgaver til Lad G C være en åben mængde og definer en relation i G ved P, Q G : P Q P kan forbindes med Q med en trappelinje fra G Vis, at er en ækvivalensrelation, dvs. har egenskaberne (i) P P (ii) P Q = Q P (iii) P Q Q R = P R For P G sæt [P] = {Q G P Q}. Vis, at [P] er et område for hvert P G. Vis, at hvis [P 1 ] [P 2 ], så gælder [P 1 ] = [P 2 ]. Mængderne [P], P G kaldes G s komponenter. Giv eksempler på åbne mængder G C, hvor antallet af komponenter er n = 1, 2,...,. Vis, at antallet af komponenter er tælleligt Idet summen af to delmængder A, B C defineres som A + B = {a + b a A, b B}, skal man vise, at der for z 1, z 2 C \ {} gælder Vis, at hvis Re z 1 og Re z 2 >, så er arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2, log(z 1 z 2 ) = log z 1 + log z 2. Arg(z 1 z 2 ) = Arg z 1 + Arg z 2, Log (z 1 z 2 ) = Log z 1 + Log z 2, og vis ved eksempler, at de to sidste ligninger ikke kan opretholdes for vilkårlige z 1, z 2 C \ {} Vis, at log(x 2 + y 2 ) er harmonisk i R 2 \ {(, )}, og at Arctan y x er harmonisk i { (x, y) R 2 x > } Vis, at T = {z C z = 1} ikke har nogen kontinuert argumentfunktion. Vink: Antag at θ : T R er en kontinuert argumentfunktion med θ(1) =. Vis, at Arg(z) = θ(z) for z T C π. Brug dette til at finde grænseværdien af θ(z) når z = x + iy T nærmer sig 1 via y > og via y <. 97
13 Lad γ : [a, b] C \ {}, δ : [b, c] C \ {} være kontinuerte kurver med γ(b) = δ(b), så γ δ har mening. Vis, at argvar (γ δ) = argvar(γ) + argvar(δ) Beregn Arg z og Log z for følgende z C: 1 + i, 3 + i, ( 3 + i) Lad γ a : [, 1] C \ {} være givet ved γ a (t) = e ita, hvor a R. Find argvar (γ a ). Vis, at γ a er lukket netop hvis a = 2πp, p Z og vis, at ω(γ a, ) = p når a = 2πp, p Z Find billedet af den opskårne plan C π = C \ { x R x } under den holomorfe gren af z α = exp(αlog z) når < α < 1. Vis, at Arg(z α ) = α Arg(z), z α = z α for z C π Lad G være åben, og antag at f H(G) er nulpunktsfri. Vis, at log f er en harmonisk funktion i G Gør rede for, at z = z 1/2 har to værdier for alle z C \ {}, og at cos z fastlægger en afbildning af C ind i C. Gør rede for, at denne afbildning er holomorf, og angiv dens potensrække med centrum For n 2, a C og α R betragtes halvlinjerne { } k2π i(α+ L k = a + re n ) r, k =, 1,..., n 1, som opdeler C \ {a} i n vinkelrum { V k = z = a + re iθ r >, α + 2π k 1 n < θ < α + 2πk }, n k = 1,..., n. Skitser disse halvlinjer og mængder. Vis, at z (z a) n afbilder hvert V k bijektivt på C nα og find den tilhørende inverse funktion Lad n= a nz n, n= b nz n være to potensrækker, som begge antages konvergente for z < ρ. 1. Gang rækkerne sammen ved at gange hvert led i den ene med hvert led i den anden og saml leddene, der har faktoren z n, n =, 1, 2,.... Vis, at man derved får rækken a b + (a b 1 + a 1 b )z + (a b 2 + a 1 b 1 + a 2 b )z 2 +, 98
14 5.23 som også kan skrives c n z n hvor c n = n= n a k b n k, n =, 1,.... k= Man siger, at potensrækken n= c nz n er fremkommet ved Cauchy multiplikation af de givne potensrækker. 2. Bevis, at potensrækken n= c nz n også er konvergent for z < ρ, og at der for sådanne z gælder c n z n = ( a n z n )( b n z n ). n= n= Vink til 2 : Gør rede for, at funktionen f(z) = ( n= a nz n )( n= b nz n ) er holomorf i i K(, ρ), og vis under brug af opg. 1.16, at f (n) () n! = n= n a k b n k. k= 3. Anvend Cauchy multiplikation af to eksemplarer af binomialrækken (α C) ( ) α (1 + z) α = z n, z < 1, n og vis derved formlen hvor α, β C, n =, 1,.... ( ) α + β = n n= n k= ( )( ) α β, k n k Lad γ være en lukket vej i {z C z r}. Vis, at ω(γ, z) er konstant i K(, r) Verificer, at omløbstallet er som anført på figuren side Lad G være en åben kurvesammenhængende delmængde af C og lad P G være diskret i G. 1. Vis, at for en kontinuert kurve γ : [a, b] G er γ P en endelig mængde. 2. Vis, at hvis L er en trappelinje i G med endepunkter a, b G \ P og for hvilket L P = {p 1,..., p n }, så findes en kontinuert kurve fra a til b i G \ P og som består af linjestykker og cirkelbuer. 3. Vis, at G \ P er kurvesammenhængende. 99
15 6.22 Opgaver til Lad G være et område i C og antag, at f H(G) kun har endeligt mange nulpunkter i G. Vis, at der findes et polynomium p(z) og en nulpunktsfri funktion ϕ H(G), så f(z) = p(z)ϕ(z) for z G Lad G C være åben. Vis, at ringen H(G) er et integritetsområde hvis og kun hvis G er kurvesammenhængende. (En kommutativ ring kaldes et integritetsområde, hvis man af ab = kan slutte at a = eller b =.) 6.3. Spejlingsprincippet. 1 Lad G C være åben, og f H(G). Den i x-aksen spejlede mængde og spejlede funktion defineres ved G = { z C z G } f : G C, f (z) = f( z), z G. Vis, at f H(G ) og at (f ) = (f ). 2 Lad G C være et område som er spejlingsinvariant, dvs. G = G. Vis, at G R. Vis, at f H(G) er reel på G R hvis og kun hvis f er spejlingsinvariant, dvs. f = f eller f( z) = f(z) for alle z G. (Vink. Udnyt identitetssætningen). 3 Vis, at en hel funktion f(z) = a nz n er spejlingsinvariant hvis og kun hvis a n R for n =, 1, Bestem a C så at sin z z(1 + az 2 ) cosz får et nulpunkt af femte orden for z = Antag, at h : C C { } er meromorf med endeligt mange poler z 1,..., z n og antag, at der findes k >, N N og R > så h(z) k z N for z > R. Vis, at h er en rational funktion. (Vink. Benyt Opg. 4.9.) 6.6. Vis, at 4z 3 (z 2 + 1) 2 = 2 z + i i (z + i) z i i (z i) 2.
16 Dekomponér den rationale funktion f(z) = 2z (2 + i) z 2 (2 + i)z + 2i og find dernæst dens Laurentrække i ringområdet 1 < z < Lad f være holomorf i ringområdet G = {z C R 1 < z a < R 2 }, og lad f i, f e være de holomorfe funktioner fra Bemærkning Vis, at f e (z) for z a. Antag dernæst, at der findes en holomorf funktion φ i i K(a, R 2 ) og en holomorf funktion φ e i området {z C z a > R 1 } så og så φ e (z) for z a, f(z) = φ i (z) + φ e (z) for z G. Vis, at f i (z) = φ i (z), z K(a, R 2 ), f e (z) = φ e (z) for z a > R 1. Vink. Brug Liouvilles sætning på funktionen { fi (z) φ i (z), z a < R 2 g(z) = φ e (z) f e (z), z a > R Lad f H(G), hvor G er et enkeltsammenhængende område. Lad γ være en lukket vej i G. Vis følgende udvidelse af Cauchys integralformel ω(γ, z )f(z ) = 1 f(z) dz, z G \ γ. 2πi z z γ Vink. Udnyt at funktionen z (f(z) f(z ))/(z z ) har en hævelig singularitet i z Lad a C. Find Laurentrækken i ringområdet < z a < for funktionen f(z) = exp(z) (z a) For z C betragtes funktionen ( ( z f(ω) = exp ω 1 )) 2 ω 123, ω C \ {},
17 6.24 som er holomorf i C \ {}. Vis, at Laurentrækken har formen hvor J n (z) = 1 2π ( ( z exp ω 1 )) = 2 ω π π n= e i(z sin t nt) dt = 1 π J n (z)ω n, ω C \ {}, π cos(z sin t nt)dt, n Z. Funktionen J n : C C kaldes Besselfunktionen af orden n. Vis, at z(j n 1 (z) + J n+1 (z)) = 2nJ n (z) Gør rede for at f(z) = z/(e z 1) har en hævelig singularitet for z = og er holomorf i cirkelskiven K(, 2π). Dens potensrække omkring z = skrives z e z 1 = n= B n n! zn, altså B n = f (n) (). Gør rede for at konvergensradius er 2π, og at Bernoullitallene B n er fastlagt ved ligningerne B = 1, n k= ( ) n + 1 B k =, n = 1, 2,.... k Vis, at hvert B n er rationalt og verificer værdierne Vis, at funktionen B 1 = 1 2, B 2 = 1 6, B 3 =, B 4 = 1 3. g(z) = z e z z 2 er lige (i.e. g( z) = g(z)) og slut, at B 2n+1 = for n Vis, at Laurentrækken for cotz, < z < π, er givet som cot z = 1 z + ( 1) k B 2k (2k)! 22k z 2k 1, k=1 hvor B n er tallene fra opg Vink. Brug Eulers formler fra Sætning
18 Lad z 1,..., z n K(, r) være indbyrdes forskellige, lad α 1,..., α n C og betragt den rationale funktion f(z) = n j=1 α j z z j, som er holomorf i C \ {z 1,..., z n }. Vis, at f har en stamfunktion i området {z C z > r} hvis og kun hvis n α j =. j=1 Vink. Brug Sætning 2.13 og opg Vis, at funktionen 1/(1 z z 2 ) har simple poler i z = ( 1 ± 5)/2 og find konvergensradius for dens potenrække i omegnen af : 1 1 z z 2 = F n z n. Vis, at F = F 1 = 1, F n = F n 1 +F n 2, n 2. (Dette er følgen af Fibonaccital: 1, 1, 2, 3, 5, 8,...). Dekomponér den rationale funktion og udnyt dette til at vise formlen ( F n = ) n+1 ( ) n Udled Picards lille sætning (Sætning 4.19) fra Picards store sætning p Vink. Lad f være en hel funktion. Se på f(1/z) i C \ {}. 125
19 7.19 Opgaver til Find polerne, deres orden og de tilhørende residuer for f(z) = 1 z(z 1) 2, f(z) = 1 z(z + 1) 3, f(z) = 1 e z (Opgaven bygger på opg. 6.3.) Lad h : C C { } være en meromorf funktion med polmængde P. 1 Vis, at den spejlede funktion h : C C { } defineret ved { h( z), for z / P h (z) =, for z P er en meromorf funktion med polmængde P = {p p P }. 2 Hvis a er en pol af orden m for h med den principale del m j=1 c j (z a) j, så er ā en pol for h af samme orden og med principal del m j=1 c j (z ā) j, og specielt er Res(h, ā) = Res(h, a) for a P. 3 Vis, at C \ (P P ) er et spejlingsinvariant område (her bruges opg. 5.15). 4 Vis, at h(r \ P) R hvis og kun hvis P = P og h = h Lad f, g H(G) og antag, at f har et nulpunkt af orden n > i a G, og at g har et nulpunkt af orden n + 1 i a. Vis, at ( ) f Res g, a = (n + 1) f(n) (a) g (n+1) (a) Lad h : G C { } være meromorf i det enkeltsammenhængende område G, og lad ϕ H(G). Lad γ være en positivt orienteret simpel lukket 145
20 7.2 vej i G, der ikke går gennem nogen af h s nulpunkter og poler, og antag, at γ omslutter nulpunkterne a 1,..., a p og polerne b 1,..., b q for h, hver angivet så ofte som ordenen angiver. Vis, at 1 h (z) p 2πi γ h(z) ϕ(z)dz = ϕ(a j ) j=1 q ϕ(b j ). j= Vis, at for n, k N. 1 z 2k cot(πz)dz = 2 2πi K(,n+ 1 2 ) π n j 2k. j= Vis, at dx 1 + x 4 = π 2, xdx 1 + x 4 = π Udregn, at 7.8. Udregn, at 7.9. Vis, at 2π x 2 (x 2 + 1)(x 2 + 4) dx = π 3. e iπx x 2 2x + 2 dx = πe π. ( cos x dx = 2π 1 a + cos x ) a for a > 1. a Vis, at x p x dx = π 2n 2n sin pπ, p, n N, 1 p < 2n. 2n Vink. Integrer langs randen af et cirkeludsnit z = z e iθ, z R, θ π n ) Udregn, at e ax 1 + e x dx = π sin(aπ) for < a < 1. Vink. Integrer langs randen af et rektangel med vinkelspidser i punkterne z = ±R, z = ±R + 2πi. 146
21 Vis, at x 4n+3 e x sin x dx = for n =, 1, 2,.... Vink. Integrer f(z) = z 4n+3 e z langs randen af cirkeludsnittet z = z e iθ, z R, θ π 4. Vis, at t n e 4 t sin 4 t dt =, n =, 1, 2,.... (For hvert c [ 1, 1] betragtes Borel målet µ c på [, [ med tæthedsfunktionen (1 + c sin 4 t)e 4 t med hensyn til Lebesgue målet. Formlen viser, at alle målene µ c har de samme momenter. Dette er Stieltjes eksempel på et indetermineret momentproblem.) Vis, at e iλx 1 + x 2 dx = πe λ, λ R Vis, at cotz 2 = cos2 x + sinh 2 y sin 2 x + sinh 2 y for z = x + iy C \ πz og slut, at cot(πz) < 2 for z F n,n med betegnelsen fra 7.4. Vis, at ( ) 1 cot(πz) k = π 2p 2 Res, p N. z 2p k=1 Udregn højresiden ved hjælp af opgave 6.13 og find dermed Eulers formel k=1 1 k 2p = ( 1)p+1 B 2p (2p)! 22p 1 π 2p Lad f H(G) være ikke konstant i området G, og lad f(z ) = w. Vis, at der findes r > så K(z, r) G, og så (i) f(z) w for z K(z, r) \ {z }. (ii) f (z) for z K(z, r) \ {z }. 147
22 7.22 Antag, at nulpunktet z for f(z) w har orden k 2. Som i beviset for Sætning 7.6 sættes Γ(t) = f(z + re it ), t [, 2π], og ρ > vælges så K(w, ρ) Γ =. Vis, at for hvert w K(w, ρ) har f(z) w ialt k simple nulpunkter i K(z, r). Gør rede for, at følgende sætning er bevist: Lad f H(G) være injektiv på området G. Så er f (z) for alle z G. (Kommentar. Sætning 7.6 giver også, at f(g) er åben og f : G f(g) er en åben afbildning. Dermed er f 1 kontinuert. I henhold til Bemærkning 1.5 er det herefter let at se, at f 1 er holomorf.) Lad f være holomorf i området G. Lad z G med f(z ) = w og antag f (z ). Vis, at der findes en åben omegn U af z, z U G og et ρ >, så f afbilder U bijektivt på K(w, ρ). Vink. Udnyt beviset fra Sætning Lad f være holomorf men ikke konstant i området G. Lad z G med f(z ) = w og antag, at f (z ) = = f (k 1) (z ) =, f (k) (z ) for k 1. Vis, at der findes en åben omegn U af z, z U G og en holomorf funktion h : U C med h (z ) så Vink. Udnyt at f(z) = w + f(z) = w + (h(z)) k for z U. n=k f (n) (z ) (z z ) n = w + (z z ) k f 1 (z) n! for z z < r med r tilpas lille, og f 1 H(K(z, r)) med f 1 (z ). Vis, at to differentiable kurver, der skærer hinanden i z under vinklen α afbildes ved f i to kurver der skærer hinanden i w under vinklen kα. Vink. Sammenlign med Lad a C opfylde a > e og lad n N. Vis, at g(z) = az n e z har præcis n forskellige nulpunkter i K(, 1). Vink. Brug Rouchés sætning med f(z) = az n Betragt polynomiet p(z) = z 7 5z 4 + z 2 2. (i) Vis, at p har 7 nulpunkter i z < 2. (ii) Vis, at p har 4 nulpunkter i z < 1. (iii) Vis, at p ikke har nogen nulpunkter på z = 1 og slut, at p har 3 nulpunkter i ringområdet 1 < z <
23 8.5 Opgaver til Lad f : G C\{} være en ikke konstant holomorf funktion i området G. Vis, at f ikke har lokalt minimum i noget punkt a G Lad f H(C) og lad G være et begrænset område i C. Antag at a) f(z) 1 for z G. 2) z G : f(z ) < 1. Vis, at f har et nulpunkt i G Lad R betegne rektanglet R = {z = x + iy x 2π, y 1}. Find M = sup{ sin(z) z R} og angiv de punkter z R, så sin(z ) = M Vis følgende udsagn om Aut(K(, 1)): (i) Hvis f Aut(K(, 1)) opfylder f() =, så er f(z) = λz med λ = 1. Vink. Brug Schwarz lemma på f og på f 1. (ii) Hvis f Aut(K(, 1)) findes z K(, 1) og λ med λ = 1 så f(z) = λf z. Vink. Lad z K(, 1) være fastlagt ved f(z ) =. Anvend (i) på f z f 1 Aut(K(, 1)) Bevis den lokale version af maksimumprincippet ved hjælp af Sætning
Kompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs mereSUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005
SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne
Læs mereMat 2KF Minilex. Henrik Dahl 2. januar Definitioner 2. 2 Sætninger 6. 3 Symboler Opskrifter og trix Gennemregnede eksempler 16
Mat 2KF Minilex Henrik Dahl 2. januar 2004 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende fejl. Jeg påtager mig intet
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereKortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017
Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereFormelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009
Formelsamling - MatF2 Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 1 Indhold 1 Kompleks variabel teori 3 1.1 Komplekse funktioner 825-830........................... 3 1.2 Powerserier af komplekse
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereKompleks funktionsteori. Christian Berg
Kompleks funktionsteori Christian Berg 2004 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 2004 Forord I 1990 udarbejdede jeg noter til kompleks funktionsteori. De indgik
Læs mereOversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1
EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2013 E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, 2011. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematiske
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014
Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereMATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1
ET,MP, FYS, NANO 29. august 202 Oversigt nr. Litteratur: I Matematik 3 bruger vi i efteråret 202 følgende bog: E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 0. udg., Wiley, 20. Beskrivelse: Kurset vil
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereLøsningsforslag til opgavesæt 5
Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereKOMPLEKS ANALYSE. noter til matematik beta H.A. NIELSEN
KOMPLEKS ANALYSE noter til matematik beta H.A. NIELSEN institut for matematiske fag aarhus universitet 23 KOMPLEKS ANALYSE H.A. NIELSEN Indhold. Komplekse tal 2 2. Elementære funktioner 3. Holomorfe funktioner
Læs mereLøsningsforslag til opgavesæt 5
Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereIdenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereEksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016
Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereMASO-Eksempler. x n. + 1 = 1 y n
3. oktober EXPL 1 Eksempel 1. Et par talfølger: (1 ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 MASO-Eksempler,,,,,,..., n =, 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., n = 1 1,, 1,, 1,, 1,..., n = (1 + ( 1 n /,, 1,,,, 3,..., n = n(1 + ( 1 n /4, 1,
Læs mereOpgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.
Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereReeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014
Reeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereKomplekse tal og rækker
Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM01 Juni 1993 marts 2006 i Forord Denne opgavesamling skal bruges med den forståelse, at pensumbeskrivelsen for kurset har undergået en række
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med
Læs merePseudospektrer og normvurderinger
master 2009/6/3 0:27 page I # Pseudospektrer og normvurderinger af Lars V. Iversen Dan V. Jensen Ove L. Sandau AALBORG UNIVERSITET d Institut for Matematiske Fag Gruppe G3-09 MAT6. februar 5. juni 2009
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereInden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015
Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med 12
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereReeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016
Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereOrdliste MM511 Kompleks Analyse
Ordliste MM511 Kompleks Analyse Jens Siegstad jesie04@student.sdu.dk A Absolute convergence = absolut konvergens Analytic = analytisk Antiderivative = stamfunktion Annulus = annulus, ringområde Argument
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereKomplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015
Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som
Læs meret a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54
Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad
Læs mereNoter til MatF2 på KU (Matematik for Fysikere 2)
Noter til MatF2 på KU (Matematik for Fysikere 2) af Nikolai Plambech Nielsen, LPK33, Version.0 8. juni 206 Resumé Dette notesæt er udarbejdet til kurset Matematik for Fysikere 2 (Forkortet MatF2). Bogen,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mere