Om første og anden fundamentalform

Transkript

1 Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt på fladen; tangentrummet T P er vektorunderrummet bestående af alle tangentvektorer til S i P, dvs. underrummet udspændt af vektorerne σ u og σ v udregnet i P eller mere præcist udregnet i punktet u 0, v 0. En vektor t T P kan på entydig måde skrives som t = ξσ u + σ v 1 ξ hvor er koordinaterne for t i forhold til basen {σ u, σ v } for T P. Hvis vi med Dσ betegner 3 2-matricen af partielle afledede af koordinatfunktionerne i σ med hensyn til hhv. u og v, dvs. de to søjler i Dσ er σ u og σ v, så kan 1 også skrives som matrixproduktet ξ t = Dσ. 2 Vi kan udtrykke det indre produkt af to vektorer i T P ved deres koordinater i basen {σ u, σ v }: side 132 hvis t 1 = ξ 1 σ u + σ v og t 2 = ξ 2 σ u + σ v, så er altså hvor t 1 t 2 = ξ 1 σ u + σ v ξ 2 σ u + σ v = ξ 1 ξ 2 σ u σ u + ξ 1 σ u σ v + ξ 2 σ v σ u + σ v σ v t 1 t 2 = T F F = Dσ T σu σ Dσ = u σ u σ v σ u σ v σ v σ v er matricen hørende til fladens første fundamentalform. Traditionelt betegnes elementerne E F i F med E, F og G, dvs. man har F =. F G Af 3 følger at T ξ ξ t 2 = t t = F, 4 3

2 Om 1. og 2. fundamentalform Side 2 af 7 og da t 2 0 med lighedstegn hvis og kun hvis t = 0, dvs. hvis og kun hvis ξ = = 0, så er F positivt definit. ξ Hvis vi ganger på begge sider af 2 med Dσ T, får vi Dσ T t = F, og da F er bijektiv fordi den er positivt definit, er dette ensbetydende med at ξ = F 1 Dσ T t. 5 Formlerne 1 og 5 er hinandens inverse: den første viser hvordan t bestemmes ud fra ξ og, og den anden hvordan ξ og bestemmes ud fra t. 2 sometrier og konforme afbildninger Vi betragter nu en kurve γ som forløber på fladen S, og som går gennem P. Vi kan jf. bogens afsnit 4.3 antage at γ er af formen γt = σut, vt for velvalgte glatte funktioner u og v, og at ut 0 = u 0, vt 0 = v 0 og dermed γt 0 = P. følge kædereglen er γt = ut σ u ut, vt + vt σ v ut, vt eller kort Kurvens buelængde regnet fra γt 0 er st = γ 2 = γ = uσ u + vσ v. 6 T u u F v v t t 0 γu du, og ifølge 4 er side 98 = E u 2 + 2F u v + G v 2, dvs. buelængden afhænger dels af fladens første fundamentalform, dels af tangentvektorerne for kurven t ut, vt. En diffeomorfi f : S S kaldes en isometri hvis det for enhver kurve γ på S gælder at Def. 5.1 kurven f γ på S har samme buelængdefunktion som kurven γ. Af de foregående betragtninger følger umiddelbart at hvis der for ethvert kort patch Thm. 5.1 σ på S gælder at σ og f σ [som er et kort en patch på S] har samme første fundamentalform, så er f en isometri. Det omvendte gælder også: hvis f er en isometri, så har σ og f σ samme første fundamentalform. Det indses således: På grund af isometrien er for enhver kurve T u u F v v = T u u F v v hvor F er første fundamentalform for f σ. Da man til enhver given vektor ut0 ξ en kurve t ut, vt således at =, kan vi konkludere at vt 0 T ξ ξ F = ξ T ξ F ξ kan finde

3 Om 1. og 2. fundamentalform Side 3 af 7 for alle ξ R 2, og deraf følger ved brug af nedenstående lemma 1 at F = F. Hvis t 1 = ξ 1 σ u + σ v og t 2 = ξ 2 σ u + σ v er to vektorer i T P, så gælder om vinklen θ mellem dem at T F cos θ = t 1 t 2 t 1 t 2 = T T F F 7 Hvis to kurver på S skærer hinanden, så er skæringsvinklen vinklen mellem kurvernes tangentvektorer i skæringspunktet. En diffeomorfi f : S S kaldes en konform afbildning hvis det er sådan at skæringsvinklen Def. 5.2 mellem γ 1 og γ 2 er lig skæringsvinklen mellem f γ 1 og f γ 2 for alle kurver γ 1 og γ 2 [på S] der skærer hinanden. Af formel 7 følger umiddelbart at hvis der findes en skalarfunktion λ således at F = λf, så er f konform. Her er som før F første fundamentalform for f σ; både F, F og λ afhænger af u, v. Det omvendte gælder også: Hvis f er konform, så er første fundamentalformerne proportionale, thi da der findes kurver på S der skærer hinanden og har vilkårlige vektorer t 1 og t 2 som tangentvektorer i skæringspunktet, får vi ved hjælp af 7 at T F T F T T = F F T T F F for alle og i R 2. Herefter følger det ønskede af lemma 2. Lemma 1 Hvis A er en symmetrisk n n-matrix, så er x T Ay = x + y T Ax + y x y T Ax y /4 for alle x, y R n. Bevis Gang ud på højresiden og reducér. Lemma 2 Lad A og B være positivt definitte n n-matricer om hvilke det gælder at x T Ay xt Axy T Ay = x T By xt Bxy T By 8 for alle x, y R n. Så findes et tal λ > 0 således at B = λa.

4 Om 1. og 2. fundamentalform Side 4 af 7 Bevis Fra lineær algebra vides at der findes en positivt definit matrix A 1/2 med den egenskab at A 1/2 A 1/2 = A. Hvis vi i 8 erstatter x med A 1/2 1 x og y med A 1/2 1 y, får vi x T y x y = x T Cy xt Cxy T Cy 9 hvor C = A 1/2 1 BA 1/2 1. Da C er positivt definit, findes der en ortonormalbasis af egenvektorer for C, og hvis vi opererer i denne basis, bliver C en diagonalmatrix med egenværdierne λ 1, λ 2,..., λ n som alle er positive i diagonalen. Hvis vi da i 9 indsætter den vektor x som har 1/ n på alle koordinatpladserne, og den vektor y som har 0 på alle pladser undtagen nr. i hvor der står et 1, så får vi 1/ n = λ i / n 1, n n j=1 λ jλ i der medfører at λ i = 1 n n j=1 λ j, dvs. alle λ i -erne er ens. Kald den fælles værdi for λ. Så er C = λ, og da også C = A 1/2 1 BA 1/2 1, kan vi eliminere C og får at B = λa. 3 Anden fundamentalform Vi vil beskrive fladens krumning, og det vil vi gøre ved at beskrive hvordan fladens enhedsnormalvektor N = NP ændrer sig ved infinitesimale ændringer af P. N er pr. definition σ u σ v / σ u σ v. Betragt en kurve γt = σut, vt på S gennem P. Da Nγt = N γut, vt, er ifølge kædereglen d dt N γ = u N σ u + v N σ v. 10 Antag at vi har endnu en kurve γt = σũt, ṽt på S således at γt 0 = γt 0 = P, og således at γ har samme tangentvektor som γ i P, dvs. γt 0 = γt 0. Dermed er jf. 6 uσ u + vσ v = ũσ u + ṽσ v hvor alle størrelserne udregnes i t 0, og da {σ u, σ v } er en basis, medfører dette at u = ũ og v = ṽ i t 0 ; formel 6 viser da at d dt N γt 0 = d dt N γt 0, d dvs. dt N γ afhænger kun af γ via γ. Da der til enhver vektor t T P \ {0} findes en kurve γ som går gennem P og som i P har t som tangentvektor, har det alt i alt mening at definere en afbildning dn P : T P R 3 ved at sige at dn P t skal betyde d dt N γt 0 for en eller anden kurve γ på S med den egenskab at γt 0 = P og γt 0 = t. Der er ingen regulær kurve der har nul-vektoren som tangentvektor, så ovenstående forudsætter at t 0; vi sætter dn P 0 = 0. Da N er en enhedsvektor, vil dn P t stå vinkelret på N Proposition 1.2, dvs. dn P t ligger i tangentrummet. dn P afbilder altså T P ind i sig selv. Hvis t = ξσ u + σ v er en vilkårlig vektor i T P, så er jf. ligning 10 dn P t = ξ N σ u + N σ v = ξ N u + N v = N u N v ξ hvor N u = N σ u og N v = N σ v. Heraf ses at afbildningen t dn P t er lineær.

5 Om 1. og 2. fundamentalform Side 5 af 7 Samenfattende har vi altså at dn P er en lineær afbildning af T P ind i sig selv. følge formel 5 er koordinaterne for vektoren dn P t i forhold til basen {σ u, σ v } ξ ξ F 1 Dσ T dn P t = F 1 Dσ T N u N v = F 1 F, hvor F = Dσ T N u σu N N v = u σ u N v σ v N u σ v N v er matricen hørende til fladens anden fundamentalform. Den lineære afbildning t dn P t af T P ind i sig selv har således F 1 F som tilhørende matrix når man opererer med vektorernes koordinater i forhold til basen {σ u, σ v }. Matricen F 1 F kaldes undertiden Weingarten-matricen. side 139 Af definitonen på F følger umiddelbart at F 1 F = F 1 Dσ T N u N v 11 følge formel 5 er F 1 Dσ T matricen for den afbildning der omregner til koordinater i forhold til basen {σ u, σ v }. Formel 11 fortæller derfor at søjlerne i F 1 F er koordina- Prop. 6.4 terne for vektorerne N u og N v i forhold til denne basis. Hvis man differentierer hver af de to identiteter σ u N = 0 og σ v N = 0 med hensyn til u og v, får man fire ligninger der samlet kan skrives som σu N u σ u N v σuu N σ = uv N. σ v N u σ v N v σ uv N σ vv N Heraf ses umiddelbart at F er en symmetrisk matrix. Man bruger undertiden betegnelsen L M L, M og N for elementerne i denne matrix: F =. M N 4 Krumning Lad γ være en unit-speed kurve på fladen S. Da γ er konstant, er γ og γ ortogonale. Vektorerne N og N γ udgør en ortonormalbasis for underrummet af vektorer der står vinkelret på γ, og derfor kan γ på entydig måde skrives som side 127 γ = κ n N + κ g N γ. Koefficienterne er henholdsvis kurvens normalkrumning κ n og kurvens geodætiske krumning κ g. Da der er tale om en ortonormalbasis, er κ n = γ N κ g = γ N γ κ 2 = κ 2 n + κ 2 g hvor κ = γ er den sædvanlige krumning af γ. Fladens normalvektor står vinkelret på alle tangentvektorer, specielt på γ, så N γ γ = 0. Her kan vi differentiere med hensyn til t på begge sider og får da d dt N γ γ + N γ γ = 0

6 Om 1. og 2. fundamentalform Side 6 af 7 eller dn P γ γ = κ n. 12 Denne formel viser at og hvordan κ n kan beregnes ud fra kendskab til dn P og kurvens tangentvektor. Hvis t 1 og t 2 er to vektorer i T P, så kan vi udtrykke dn P t 1 t 2 ved hjælp af deres {σ u, σ v }-koordinater jf. formel 3: altså dn P t 1 t 2 = F 1 F T dn P t 1 t 2 = F = T F T FF T 1 F,. 13 Hvis man som et specialtilfælde lader t 1 og t 2 være den samme vektor, nemlig tangentvektoren for en unit-speed kurve γt = σut, vt, får vi med brug af 12 at Prop Hovedkrumninger κ n = T u F v u = L u 2 + 2M u v + N v 2. v Da højresiden i formel 13 er symmetrisk i koordinaterne for t 1 og t 2 fordi F er symmetrisk, gælder der at dn P t 1 t 2 = t 1 dn P t 2, dvs. den lineære afbildning dn P er selvadjungeret. Derfor findes der en ortonormalbasis Prop. 6.3 {e 1, e 2 } for T P af egenvektorer for dn P, og de tilhørende egenværdier κ 1 og κ 2 er reelle. Egenvektorerne kaldes for hovedkrumningsretninger og egenværdierne kaldes for hovedkrumningerne eng.: principal curvature. Hvis egenværdierne er ens, er egenrummet todimensionalt, dvs. alle vektorer er egenvektorer man kalder da P for et navlepunkt; ellers er der to endimensionale egenrum. Egenværdierne kan findes ved at løse andengradsligningen eller ensbetydende hermed detf 1 F κ = 0 detf κf = 0. Egenvektorernes koordinater i basen {σ u, σ v } findes derefter som løsninger til F 1 ξi ξi F = κ i i i eller i = 1, 2. ξi ξi F = κ i F i i

7 Om 1. og 2. fundamentalform Side 7 af 7 Hvis t har koordinaterne a i forhold til ortonormalbasen {e 1, e 2 } af egenvektorer, er b dn P t t = dn P ae 1 + be 2 ae 1 + be 2 = aκ 1 e 1 + bκ 2 e 2 ae 1 + be 2 = κ 1 a 2 + κ 2 b 2. Hvis γ er på naturlig parameterfremstilling, er γ = 1, så man kan skrive koordinaterne cos θ for γ i {e 1, e 2 }-basen som hvor θ er vinklen mellem e 1 og γ. Formel 12 for sin θ normalkrumningen for γ antager derfor følgende udseende Eulers formel: Cor. 6.1 κ n = κ 1 cos 2 θ + κ 2 sin 2 θ. Heraf følger blandt andet at mængden af mulige normalkrumninger for kurver gennem P er Cor. 6.2 det afsluttede interval med endepunkter κ 1 og κ 2.