Ugeseddel - uge

Transkript

1 Ugeseddel - uge Tobias Markeprand 19. december 2008 Forelæsninger Vi har indtil videre analseret forbrugeren og hvordan denne træffer sit valg på markedet. Dette gav os efterspørgselskurven der angav de mængder som forbrugerne var villige til at aftage for en givet pris. Denne mængde var afledt af en rationel forbruger der valgte sit optimale varebundt under en budgetbegrænsning. Vi vender os nu mod den anden side af markedet, dvs. vi skal nu betragte virksomhederne. Hvor forbrugerne havde den fundamentale funktion i det økonomiske sstem at de konsumerer ressourcer, har virksomhederne den rolle at de transformerer de tilstedeværende ressourcer. Eksemplet kunne være pizzariaet der transformerer dej, tomater, ost, pepperoni, en ovn og arbejdskraft til en pizza. Dette betder at når vi skal karakterisere en virksomhed må vi kende dens teknologi, dvs. dens muligheder for at transformere input om til output. Dette er dog også kendetegnende for andre organisationer end virksomheder, som eksempelvis børnehaver, politi, velgørende organisationer mv. Det der adskiller en virksomheder fra disse andre organisationer er at virksomheden sælger sine varer til et marked. Derfor har det indledende kapitel om teknologi et stort anvendelsesområde ikke blot virksomhederne. Men det er dem som vi senere vil kigge nærmere på. Generelt vil teknologien beskrive de kombinationer af input og output som det er muligt at producere, og denne mængde kaldes også for produktionsmulighedsområdet. Et element i produktionsmulighedsområdet kaldes også under tiden for en mulig produktionsplan. Når der kun produceres et enkelt output kan vi finde produktionsfunktionen, der angiver det maksimale output en given mængde af input kan producere. Det er altså produktionsmulighedsområdet der er det mest fundamentale i karakteriseringen af en virksomheds aktivitetsmuligheder. Men der er et andet grafisk redskab der er nttigt til senere brug, nemlig isokvanterne, der angiver kombinationer af input der giver samme maksimale output. Dette er niveaukurverne for produktionsfunktionen og niveauet angiver antallet af output enheder der kan produceres. Isokvanterne kan have en række pæne egenskaber: monotonicitet og konveksitet. Monotonicitet angiver at vi 1

2 altid kan producere mindst lige så meget med mere input; grafisk betder dette at isokvanter der giver mere output ligger mod nord-øst i et (x 1, x 2 )-diagram, mens det analtisk betder at produktionsfunktionen har positive partielt afledte. I denne sammenhæng kaldes den partielt afledte for marginal produktet af en vare. Konveksitet betder at konvekse kombinationer af input på samme isokvant giver mindst lige så meget output som de respektive input kombinationer. Altså gælder at for alle x = (x 1, x 2 ), x = (x 1, x 2) så f(x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2) da vil der gælde at for alle 1 λ 0 vil vi have at f(λx + (1 λ)x ) f(x) = f(x ). Dette er definitionen af konveksitet i denne bog, men den adskiller sig fra hvad man ellers definerer som en konveks teknologi. Men det er denne definition I skal gå ud fra i dette kursus. Der er et centralt begreb der beskriver produktionsteknologien, nemlig den marginale tekniske substitutionsrate der måler hældningen på isokvanten, og den økonomiske fortolkning er hvor meget af input 2 der kan opgives ved at øge mængden af input 1 hvis vi ønsker at producere samme mængde output. I en virksomhed er der en række faktorer der er mere eller mindre faste, dvs. det er inputs der ikke umiddelbart kan ændres på. pizzariaet kan ikke umiddelbart skille sig af med sin ovn i en dags tid, hvis der ikke afsættes nogen pizzaer. Ansatte har ofte en afskedigelses/opsigelsesperiode hvor virksomheden skal betale løn til den ansatte, mv. En økonom vil definere den periode hvor ikke alle inputfaktorer er frie til at være på kort sigt, og den horisont hvor alle inputfaktorer kan ændres kaldes på det lange sigt. Hvis afskedigelsesvarslet er 6 måneder da vil det lange sigt være 6 måneder, og hvis ovnen i pizzariaet kan afhændes på 2 uger er det lange sigt her 2 uger. Skelnen mellem kort og langt sigt leder til hvad der kaldes skalaafkastet. Dette er teknologiens mulighed for at skalere output når man skalerer alle input, dvs. hvordan kan vi varierer output når alle faktorer kan vælges frit. En teknologi har konstant skalaafkast hvis en skalering af alle output giver samme skalering af muligt output, dvs. for alle t > 0 og input (x 1, x 2 ) gælder at f(tx 1, tx 2 ) = tf(x 1, x 2 ). Omvendt har en teknologi faldende skalaafkast hvis en opskalering af produktionen ikke giver samme opskalering af output, dvs. for alle t > 1 og (x 1, x 2 ) vil der gælde at f(tx 1, tx 2 ) < tf(x 1, x 2 ). Tilsvarende kan vi definere voksende skalaafkast når for alle t > 1 og (x 1, x 2 ) vil der gælde at f(tx 1, tx 2 ) > tf(x 1, x 2 ). Fortolkningen af skalaafkast er at hvis vi kan duplikere alle vores input, og deri menes der basalt set alle input, da vil vi kunne producere dobbelt så meget output. Bemærk, at der ikke er tale om hvorvidt der i samfundet er tilstrækkeligt med ressourcer til rent faktisk at øge input så meget; derimod er der tale om rent tekniske(hpotetiske) forhold: hvis vi kunne øge alle inputfaktorer hvad ville der da ske? 2

3 Teknologien beskriver virksomhedens tekniske muligheder for at fastlægge en aktivitet. Spørgsmålet er så nu hvordan virksomheden så reelt handler, altså hvilke mulige aktiviteter de reelt vælger. Dette er i grunden ganske komplekst, og afhænger af ganske mange ting. Det er jo generelt lederne i virksomhederne er bestemmer hvad der skal ske, men lederne har deres instrukser fra ejerne af virksomheden. Samtidig betder det også at virksomheden skal koordinerer alle de ansattes handlinger, hvilket ikke nødvendigvis er let i en stor virksomhed. Vi vil simplificere denne beslutningsprocess meget, helt sikkert perverst meget, og antage at virksomheden træffer de beslutninger der sikre den størst mulige profit og ejernes beslutning bliver ført ud i livet. De første afsnit læses kursorisk og er til en indledning. I disse indledende betragtninger over virksomheden skal vi antage at virksomheden opererer under fuldkommen konkurrence. I kapitel 22 kommer vi nærmere ind på hvad det betder, men det er tilstrækkeligt i dette tilfælde at vide at da vil virksomheden tage den pris den sælger dens output til og køber input for for eksogent givet. Prisen på varerne er altså ikke et parameter virksomheden kan påvirke. Vi starter let med at betragte profitmaksimering på det korte sigt. Dette betder at vi lader en faktor være fast, og profitmaksimering indebærer således, at vi vælger de frie input og output således at profitten maksimeres. Dette der også kaldes for producentens problem på kort sigt er max x 1 pf(x 1, x 2 ) w 1 x 1 w 2 x 2 hvor p er prisen på output, w 1 (w 2 ) er prisen på input 1 (2), mens x 2 er det niveau af input af vare 2 der er fast på kort sigt. Profitmaksimering i dette tilfælde har en har en første ordens betingelse der siger at værdien af marginal produktet af input 1 skal være lig inputprisen w 1, dvs. at pmp 1 (x 1, x 2 ) = w 1. Dette har en pæn grafisk illustration: Der vil gælde at isoprofitlinien svarende til den maksimale profit vil være tangent til produktionsfunktionen. Isoprofitlinien for en profit π 0 er givet ved ligningen p w 1 x 1 w 2 x 2 = π 0. Vi bemærker at hvis vi skriver π 0 = π 0 +w 2 x 2 kan dette skrives ved p w 1 x 1 = π 0. Dette er en linie i (x, )-planet med en hældning på w 1 p og en skæring med -aksen ved π 0 p. Isoprofitlinier med højere profit har altså skæring med -aksen der er større. Den maksimale profit findes altså ved at finde den højeste isoprofitlinie der stadigvæk har en mulig produktionsplan. Der er en vigtig sammenhæng mellem skalaafkast og den maksimale profit der er opnåelig. Der gælder nemlig at hvis der er konstant skalaafkast vil profitmaksimering kun være veldefineret, dvs. at der rent faktisk eksisterer en løsning, hvis profitten er nul! Argumentet er som følger, at hvis π(x 1, x 2 ) 3

4 pf(x 1, x 2 ) w 1 x 1 w 2 x 2 > 0 da vil for t > 1 pga. konstant skalaafkast gælde at π(tx 1, tx 2 ) = tπ(x 1, x 2 ) > π(x 1, x 2 ) således at profitten t-dobles. Idet t kan vælges vilkårligt stort, betder dette at der ikke eksisterer en løsning til producentens problem. Vi kan hertil bemærkes at da konstant skalaafkast er en egenskab ved teknologien, og dermed en eksogen variabel, vil vores result om nul profit blive et spørgsmål om et krav til prisdannelsen. Priserne kan ikke dannes i ligevægt hvor der er positiv profit. Vi ser senere i kapitel 23 hvordan dette kan tolkes som en dnamisk proces hvor virksomheder oprettes eller nedlægges, alt efter om der er positiv profit i branchen. Der er derudover en vigtig egenskab ved virksomhedens optimale valg, nemlig at loven om stigende udbud når prisen stiger. Dette kan udledes fra en variant af WARP, dvs. i dette tilfælde kaldes det Afsløret profitabilitet, den siger at hvis en produktionsplan er valgt fremfor en anden, må der gælde at denne produktionsplan giver større profit end alle andre mulige produktionsplaner. Under den forudsætning at produktionsmulighedsområdet er uændret, må der derfor gælde at hvis (, x) blev valgt ved priserne (p, w), mens (, x ) blev valgt under priserne (p, w ), da må der gælde at samt p wx p wx p w x p w x. Ved at lægge de to ligninger sammen og reducerer udtrkket fås at (p p )( ) + (w w)(x x ) 0 For fastholdt w, dvs. w = w, fås derfor at (p p )( ) 0, og derved gælder at hvis p stiger, dvs. p > p, da vil >, dvs. at virksomheden øger produktionen. Det viser sig at vi ved at betragte det såkaldte omkostningsminimeringsproblem (herefter benævnt OMP) får et vigtigt redskab, nemlig omkostningsfunktionen. Givet der er 2 input og et enkelt output, vil omkostningsminimeringsproblemet være min x 1,x 2 w 1 x 1 + w 2 x 2 således at f(x 1, x 2 ) =. Vi skal altså finde den kombination af input der giver den mindste omkostning, givet at vi skal kunne producere et givet output niveau. Løsningen til dette problem (x 1 (w 1, w 2, ), x 2 (w 1, w 2, )) kaldes for de betingede faktorefterspørgselsfunktioner. Omkostningsfunktionen er således givet ved c(w 1, w 2, ) = w 1 x 1 (w 1, w 2, ) + w 2 x 2 (w 1, w 2, ). Som i tilfældet med profitmaksimering (og nttemaksimering) er der en pæn illustration af den optimale løsning. Der vil gælde at isoomkostningslinien svarende til 4

5 den laveste omkostning er tangent til isokvanten for det krævede output. Isoomkostningslinien for omkostningsniveauet C 0 er givet ved ligningen w 1 x 1 + w 2 x 2 = C 0. Dette er en linie i (x 1, x 2 )-planet, med en hældning w 1 w 2 og en skæring med x 2 - aksen C 0 w 2. Dermed er lavere omkostninger forbundet med isoomkostningslinier der har lavere skæring med x 2 -aksen. Den optimale løsning fås således ved at finde den laveste isoomkostningslinie der stadigvæk skærer isokvanten for det krævede output. Sammenhængen mellem langt og kort sigts omkostningerne er følgende: for givet input priser (w 1, w 2 ) vil det altid være billigere at producere på langt end på kort sigt. Dette kan indses ved følgende: Lad x 2 = k være fast på kort sigt, da vil omkostningsfunktionen c s (w 1, w 2, ; k) være fundet ved at løse problemet min w 1 x 1 + w 2 k s.t. f(x 1, k) = x 1 mens c(w 1, w 2, ) er fundet ved at løse problemet min x 1,x 2 w 1 x 1 + w 2 x 2 s.t. f(x 1, x 2 ) =. Men idet (x 1 (w 1, w 2, ; k), k) også er en mulighed på langt sigt, hvorved vi har at c(w 1, w 2, ) w 1 x 1 (w 1, w 2, ; k) + w 2 k = c s (w 1, w 2, ; k). Vi definerer gennemsnitsomkostningerne ved AC(w 1, w 2, ) = c(w 1,w 2,). Gennemsnitsomkostningerne vil have en specifik sammenhæng med hvilket skalaafkast teknologien udviser. Der gælder nemlig at hvis der er voksende skalaafkast vil gennemsnitsomkostningerne være en aftagende funktion. Omvendt, hvis der er faldende skalaafkast vil der være voksende gennemsnitsomkostninger. Dette betder at hvis der er konstant skalaafkast vil gennemsnitsomkostningerne være konstant. For at se det sidste (argumentationen for de to andre påstande vises tilsvarende), antag at (x 1, x 2 ) løser OMP ved output niveauet, så vil (tx 1, tx 2 ) også gøre det muligt at producere t. Antag at (tx 1, tx 2 ) ikke løser OMP ved t, så der eksisterer (x 1, x 2) så c(w 1, w 2, t) = w 1 x 1 + w 2 x 2, men da gælder at f( 1 t x 1, 1 t x 2) = og w 1 1 t x 1+w 2 1 t x 2 = 1 t (w 1x 1+w 2 x 2) = 1 t c(w 1, w 2, t) < 1 t (w 1tx 1 +w 2 tx 2 ) = c(w 1, w 2, ) og dermed en modstrid. Dermed betder det også at AC() = K for en konstant K > 0, hvorved vi jo får at de samlede omkostninger er en lineær funktion af, idet c() = K. 5

6 For det følgende vil vi holde input priserne fast og dermed skriver vi c(w 1, w 2, ) = c() og ignorerer de to argumenter (w 1, w 2 ). Vi skal i det følgende antage at omkostningsfunktionen er differentiabel for alle 0. Udledningen af omkostningsfunktionen giver os nu følgende omkostningskurver, de marginale omkostninger (grænseomkostninger) og gennemsnitsomkostningerne. Disse er givet ved MC() = AC() = dc() d c() (grænseomkostninger) (gennemsnitsomkostninger) Grænseomkostningerne er ændringen i de samlede omkostninger når output skal øges med en (marginal) enhed, mens gennemsnitsomkostningerne er de samlede omkostninger pr enhed der produceres. Idet vi kan opdele omkostningerne i henholdsvis variable og faste omkostninger, alt afhængig af hvorvidt de afhænger af produktionen, dvs. vi kan skrive c() = c v ()+F så c v (0) = 0. Dette giver følgende opdeling af gennemsnitsomkostningerne i gennemsnitlige variable og faste omkostninger, dvs. AV C() = AF C() = c v () F (gennemsnitlige variable omkostninger) (gennemsnitlige faste omkostninger) Der gælder følgende sammenhæng a) AC() er tiltagende hvis og kun hvis MC() > AC() b) AV C() er tiltagende hvis og kun hvis MC() > AV C() c) MC(0) = AV C(0) d) c v () = 0 MC(s) ds Egenskaben c) kan ses ved at MC(0) = lim 0 c() c(0) = lim 0 c v () = AV C(0) Vi skal nu bentte vores hidtidige anstrengelser og endemålet med vores behandling af virksomheden, nemlig at finde virksomhedens udbudsfunktion, dvs. hvor meget skal virksomheden producere givet en markedspris. Først skal vi se lidt nærmere på begrebet fuldkommen konkurrence. Dette er en situation hvor der er mange virksomheder og hvor hver virksomhed er lille i forhold til den samlede 6

7 producerede mængde. Dette betder at den enkelte virksomhed ikke har et incitament til at sætte en pris der er forskellig fra den gældende på markedet. For at se dette 1, lad D(p) være markedsefterspørgslen efter den vare en virksomhed producerer. Dermed vil afsætningskurven, det vil sige den mængden virksomheden kan afsætte ved en given pris p og den gældende markedspris p, er Ak(p, p ) = 0 p > p [0, D(p )] p = p D(p) p < p Hvis prisen virksomheden sætter er højere end markedsprisen vil virksomheden ikke kunne afsætte en eneste enhed output; dette vil oplagt ikke kunne være optimalt. Hvis virksomheden sætter en pris der er lavere end markedsprisen vil de få hele markedet; men idet virksomheden er lille kan de ikke producere til hele markedet, hvorved de hellere vil have en højere pris hvor de stadigvæk kan afsætte hele deres produktion. Når vi skal finde udbudsfunktionen for en virksomhed skal vi løse profitmaksimeringsproblemet max p c() der umiddelbart kan indses er identisk med vores oprindelige formulering af profitmaksimeringsproblemet ved at bentte udledningen af omkostningsfunktionen. Løsningen til dette kaldes udbudsfunktionen (p). Denne funktion findes ved at løse følgende første ordens betingelse p = MC() = dc(). Virksomheden skal altså d vælge at producere netop så meget at grænseomkostningen skal være lig prisen. Der er dog to undtagelser hvor en sådan løsning ikke er profitmaksimerende d2 c() d 2 0 p AV C() Den første betder at MC-kurven skal have en positiv hældning i, mens den anden betder at omsætningen fratrukket de variable omkostninger skal være positiv. Hvis der gælder at p < AV C() kan det ikke betale sig at holde en produktion igang, og vi siger at lukningsbetingelsen er opfldt. Den inverse udbudskurve er den pris virksomheden er villig til at producere en given output mængde for. Vi har dermed at den inverse udbudskurve er givet ved p() = MC() = dc() for alle der opflder at MC() AV C(). d Den samlede udbudsfunktion, eller branchens udbudskurve, er summen af alle virksomhedernes udbudsfunktioner. Deri er der ingen forskel fra markedsefterspørgslen. Den store forskel består i at der kan opstå ne virksomheder på langt 1 Vi vil ikke være helt rigide i argumentationen, men den kan laves fuldstændig rigid blot mangler I nogle redskaber. 7

8 sigt. Hvis der tjenes en positiv profit på langt sigt, vil der opstå ne virksomheder. Omvendt, hvis der i branchen er virksomheder med negativ profit på langt sigt vil disse virksomheder lukke ned. Derfor vil der være en betingelse for prisdannelsen i en branche med fuldkommen konkurrence, free-entr og identiske virksomheder der siger at prisen på en vare ikke kan overstige den minimale gennemsnitlige omkostning, altså p = min AC(). Denne betingelse bestemmer sammen med den samlede efterspørgsel hvor mange virksomheder der vil være i branchen på langt sigt. 8/12/2008: Afrunding af kap. 31, partiel ligevægt og forbrugeroverskud 10/12/2008: Produktionsteknologi (kap. 18), Profitmaksimering (kap. 19) 15/12/2008: Omkostningsminimering (kap. 20), Omkostningskurver (kap. 21) 17/12/2008: Virksomhedens udbud (kap. 22), Branchens udbud (kap. 23) Øvelser Uge 50 Øvelser i markedsefterspørgsel, partiel ligevægt og btteøkonomier VA: 15.3, 15.4, OS1: Opgave 5.1; OS3: Opgave 4, VA: 31.1, 31.2, OS1: 2.1, 2.2, 2.5, 2.6, 2.12 Uge 51 Øvelser i btteøkonomier, produktionsteknologi og profitmaksimering Eksamen-Jan Opg 2, OS1: 3.1, 3.4, 3.5, OS3: Opgave 6 (notation: OS1: opgavesæt 1 af Mich Tvede, VA: Varians Review Question, OS3: Opgavesæt af Tobias Markeprand) 8