Hvad skal vi lave i dag?

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Hvad skal vi lave i dag?"

Lars Lindegaard
6 år siden
Visninger:

1 p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer

2 p. 2/1 Repetition Heltallige sv er diskrete Diskrete sv karakteriseres ved hjælp af sandsynlighedsfunktionen p = p X p(x) = P(X = x) Sætn 5.6 giver egenskber ved p; Ligning (5.4) viser hvordan man beregner sandsynligheder for diskrete sv ved at summe p.

3 p. 3/1 Binomialfordelingen Example 5.10: X b(n,π), hvis X har ssfkt p p(x) = ( ) n π x (1 π) n x x 0 ellers. hvis x {0, 1, 2,...,n}

4 p. 3/1 Binomialfordelingen Example 5.10: X b(n,π), hvis X har ssfkt p p(x) = ( ) n π x (1 π) n x x 0 ellers. hvis x {0, 1, 2,...,n} Anvendelse: Antal plat ved n kast m. mønt. (π = ss for plat). supp p = {0, 1,...,n}. Sandsynlighedsfunktionen er skitseret i Figur 5.1.

5 p. 4/1 Poissonfordelingen Example 5.11: X po(λ), hvis { e λ λx p X (x) = x! hvis x {0, 1,...} 0 ellers. Anvendelse: Grænsefordeling for binomial. Antal radioaktive henfald, antal tlfopkald,... p X opfylder i) iii) i Sætn (Jan forklarer nærmere). Sandsynlighedsfunktionen er skitseret i Figur 5.2.

6 p. 5/1 Den geometriske fordeling Del af Example 5.12: X geo(π), hvis p X (x) = { π x (1 π) hvis x {0, 1,...} 0 ellers. Anvendelse: Antal plat før første krone (smgl. supp. Eks. 5.1).

7 p. 6/1 Stokastiske vektorer Definition 5.1 (IPT) Lad k 1 og X 1,...X k være stokastiske variable. Vektoren X = (X 1,...,X k ) kaldes da for en (k-dimensional) stokastisk vektor. Vi undertrykker stadig e og skriver f.eks. {X A} i stedet for {e X(e) A} Vi skal især betragte tilfældet k = 2.

8 p. 7/1 Diskrete stokastiske Vektorer Definition 5.14 (IPT) Lad X = (X 1,...,X k ) være en stokastisk vektor. Vi siger, at X er diskret, hvis X 1,...X k er diskrete. (I praksis: ofte har vi at X 1,...,X k er heltallige.)

9 p. 7/1 Diskrete stokastiske Vektorer Definition 5.14 (IPT) Lad X = (X 1,...,X k ) være en stokastisk vektor. Vi siger, at X er diskret, hvis X 1,...X k er diskrete. (I praksis: ofte har vi at X 1,...,X k er heltallige.) For en diskret stokastisk vektor X defineres sandsynlighedsfunktionen p = p X ved p(x) = P(X = x), x R k. Mængden {x p(x) > 0} kaldes for støtten for p og betegnes supp p.

10 p. 8/1 En karakterisation Thm (IPT - smgl med Thm. 5.6) Sandsynlighedsfunktionen p for en diskret stok. vektor har følgende egenskaber. i) p(x) 0 for alle x; ii) Mængden {x p(x) > 0} er tællelig; iii) x:p(x)>0 p(x) = 1. Omvendt: Hvis p opfylder i) iii), så findes diskret stok. vektor X med sandsynlighedsfunktion p.

11 p. 9/1 Beregning af sandsynligheder Thm (IPT - fortsat) Lad X være diskret med sandsynlighedsfunktion p. Vi har da P(X A) = x A supp p p(x). (5.15)

12 p. 10/1 Example 5.15 Lad k = 2 og betragt (X 1,X 2 ) med supp p X1,X 2 = {(x 1,x 2 ) x 1,x 2 { 1.0, 1}} og p X1,X 2 givet ved X 2 \ X Man kan vælge at repræsentere p X1,X 2 ved et 3D-pindediagram.

13 p. 11/1 Example 5.15 Ønske: Beregn P(X 1 = X 2 ).

14 p. 11/1 Example 5.15 Ønske: Beregn P(X 1 = X 2 ). Anvend (5.15) i IPT med A = {(x 1,x 2 ) x 1 = x 2 }

15 p. 11/1 Example 5.15 Ønske: Beregn P(X 1 = X 2 ). Anvend (5.15) i IPT med A = {(x 1,x 2 ) x 1 = x 2 } Det vil sige A supp p X1,X 2 (de gunstige værdier) består af (x 1,x 2 ) = ( 1, 1), (0, 0) (1, 1).

16 p. 11/1 Example 5.15 Ønske: Beregn P(X 1 = X 2 ). Anvend (5.15) i IPT med A = {(x 1,x 2 ) x 1 = x 2 } Det vil sige A supp p X1,X 2 (de gunstige værdier) består af (x 1,x 2 ) = ( 1, 1), (0, 0) (1, 1). Det vil sige P(X 1 = X 2 ) = p X1,X 2 ( 1, 1) + p X1,X 2 (0, 0) + p X1,X 2 (1, 1) = 0.36.

17 p. 12/1 Example 5.15 Illustration: X 2 \ X P(X 1 = X 2 ) =

18 p. 13/1 Example 5.17 Multinomialfordelingen Antag: Et forsøg har k udfald B 1,...,B k. ( k-sidet terning kastes )

19 p. 13/1 Example 5.17 Multinomialfordelingen Antag: Et forsøg har k udfald B 1,...,B k. ( k-sidet terning kastes ) Sandsynligheden for at B j indtræffer er π j.

20 p. 13/1 Example 5.17 Multinomialfordelingen Antag: Et forsøg har k udfald B 1,...,B k. ( k-sidet terning kastes ) Sandsynligheden for at B j indtræffer er π j. Det vil sige π j > 0 og π π k = 1. Lad π = (π 1,...,π k ).

21 p. 13/1 Example 5.17 Multinomialfordelingen Antag: Et forsøg har k udfald B 1,...,B k. ( k-sidet terning kastes ) Sandsynligheden for at B j indtræffer er π j. Det vil sige π j > 0 og π π k = 1. Lad π = (π 1,...,π k ). Forsøget udføres nu n gange; gentagelserne er uafhængige.

22 p. 13/1 Example 5.17 Multinomialfordelingen Antag: Et forsøg har k udfald B 1,...,B k. ( k-sidet terning kastes ) Sandsynligheden for at B j indtræffer er π j. Det vil sige π j > 0 og π π k = 1. Lad π = (π 1,...,π k ). Forsøget udføres nu n gange; gentagelserne er uafhængige. Lad X j betegne antal gange vi ser udfaldet B j og lad X = (X 1,...,X k ).

23 p. 14/1 Multinomialfordelingen Som tidligere følger P(X = x) = ( n x 1...x k ) π x 1 1 πx k k hvor ( n x 1...x k ) = n! x 1! x k! og x = (x 1,...,k) opfylder, at x 1,...,x k er ikke-negative, heltallige med x x k = n

24 p. 14/1 Multinomialfordelingen Som tidligere følger P(X = x) = ( n x 1...x k ) π x 1 1 πx k k hvor ( n x 1...x k ) = n! x 1! x k! og x = (x 1,...,k) opfylder, at x 1,...,x k er ikke-negative, heltallige med x x k = n Vi skriver X m(n,π)

25 p. 15/1 Marginale fordelinger Lad os betragte en stokastisk vektor X = (X 1,X 2 ). Lad X have sandsynlighedsfunktion p X1,X 2.

26 p. 15/1 Marginale fordelinger Lad os betragte en stokastisk vektor X = (X 1,X 2 ). Lad X have sandsynlighedsfunktion p X1,X 2. Hvad kan vi sige om fordelingen for X 1? Det vil sige vi vil gerne beregne p X1 (x 1 ) = P(X 1 = x 1 ).

27 p. 16/1 Example 5.18 Eksempel fra tidligere: (intro) X 2 \ X

28 p. 16/1 Example 5.18 Eksempel fra tidligere: (intro) X 2 \ X Søjlesummer giver de marginale sandsynligheder for X 1. Det vil sige vi summer x 2 ud. Vi skal generalisere dette.

29 p. 17/1 Marginale fordelinger Vi har (per definition). p X1 (x 1 ) = P(X 1 = x 1 )

30 p. 17/1 Marginale fordelinger Vi har (per definition). Yderligere er p X1 (x 1 ) = P(X 1 = x 1 ) P(X 1 = x 1 ) = P(X 1 = x 1,x 2 R) =

31 p. 17/1 Marginale fordelinger Vi har (per definition). Yderligere er p X1 (x 1 ) = P(X 1 = x 1 ) P(X 1 = x 1 ) = P(X 1 = x 1,x 2 R) = x 2 P(X 1 = x 1,X 2 = x 2 ) hvor vi til sidst benyttede (5.15) i IPT. Det er nok at summe over x 2 med p X1,X 2 (x 1,x 2 ) > 0.

32 p. 18/1 Marginale fordelinger Da P(X 1 = x 1,X 2 = x 2 ) = p X1,X 2 (x 1,x 2 ) følger p X1 (x 1 ) = x 2 p X1,X 2 (x 1,x 2 ) hvor det er nok at summe over x 2 med p X1,X 2 (x 1,x 2 ) > 0.

33 p. 18/1 Marginale fordelinger Da P(X 1 = x 1,X 2 = x 2 ) = p X1,X 2 (x 1,x 2 ) følger p X1 (x 1 ) = x 2 p X1,X 2 (x 1,x 2 ) hvor det er nok at summe over x 2 med p X1,X 2 (x 1,x 2 ) > 0. Den marginale sandsynlighedsfunktion fremkommer altså ved at summe x 2 ud; Hvis der ikke findes et x 2 med p X1,X 2 (x 1,x 2 ) > 0, er p X1 (x 1 ) = 0. Omtales som 0-tilfældet.

34 p. 19/1 Example 5.18 De marginale aflæses som række- og søjlesummer i vort eksempel: X 2 \ X P(X 2 = ) P(X 1 = ) Nul-tilfældet for p X1 : når x 1 { 1, 0, 1}.

Relaterede dokumenter

Hvad skal vi lave i dag?

p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.