Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning

Transkript

1 Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30

2 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan måles direkte, men kan beregnes ud fra andre målinger: Vinkler - vha differenser af retningsmålinger. Arealer - vha vinkler og længder. Længder - vha trigonometriske relationer.... I resten af kurset gennemgår vi hvorledes fejlene på de målbare størrelser forplanter sig i fejlen af den interessante ikke-målbare størrelse. Eksempelvis kan arealet, T, af en trekant bestemmes ved T = 1 absinc, hvor længdemålingerne a og b samt vinklen C måles med usikkerhed. Mere teknisk: Vi vil finde tilnærmede udtryk for (teoretiske) middelværdi og varians for de ikke-målbare størrelser på baggrund af middelværdi og varians for de målbare størrelse. /30

3 Repetition: Varians af linear kombination Antag X 1,X,...,X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X 1,X,...,X n : Da er variansen for Y givet ved Y = a 0 +a 1 X 1 +a X + +a n X n Var(Y) = a 1Var(X 1 )+a Var(X )+ +a nvar(x n ). 3/30

4 Eksempel: Vinkelberegning R i V ij Vinkler bestemmes som differensen mellem to retningsbestemmelser. Fx. er V ij = R j R i hvor både R j og R i er uafhængige stokastiske variable. Vi antager retningerne er målt med samme nøjagtighed, dvs Var(R j ) = Var(R i ) = σ R. Variansen på V ji er givet ved σ V = Var(V ji ) = Var(R j R i ) = Var(R j )+( 1) Var(R i ) = σ R. R j 4/30

5 Repetition: Linearisering Vi har tidligere set, hvordan vi finder tilnærmede udtryk for middelværdi og varians for Y, når Y ikke er en lineær funktion af én stokatisk variabel: Lineær approximation af g omkring µ: Y = g(x) g(µ)+g (µ)(x µ) = g (µ)x g (µ)µ+g(µ) = ax +b, hvor a = g (µ) og b = g (µ)µ+g(µ). ax+b g(x) g(µ) µ 5/30

6 Repetition: Linearisering Vi har en approksimation af g(x): Y ax +b, hvor a = g (µ) og b = g (µ)µ+g(µ). Heraf følger approximativ middelvædi og varians for Y: E(Y) ae(x)+b = g (µ)µ g (µ)µ+g(µ) = g(µ) Var(Y) a Var(X) = g (µ) σ, hvor approximationen er god, hvis σ er lille. 6/30

7 Linearisering: Flere variable Antag X 1,X,...,X n er n uafhængige stokastiske variable. Middelværdi og varians for X i er hhv. µ i og σ i. Antag Y er en funktion af X 1,X,...,X n : hvor g er differentiabel. Y = g(x 1,X,...,X n ), Vi ønsker at finde (tilnærmede) udtryk for middelværdi og varians for Y. Hvis g ikke er lineær i X 1,...,X n kan vi ikke anvende de sædvanlige udtryk. 7/30

8 Linearisering: Flere variable Løsningen er at linearisere g omkring punktet (µ 1,µ,...,µ n ): Y g(µ 1,µ,...,µ n )+ X 1 (X 1 µ 1 )+ + X n (X n µ n ), hvor vi anvender notationen X 1 (x 1,x,...,x n ) x i x1=µ 1,x =µ,...,x n=µ n, dvs. X 1 betegner den i te partielle afledede evalueret i punktet (µ 1,µ,...,µ n ). I praksis kender vi typisk ikke µ 1,...,µ n. I stedet anvender vi estimater, fx. gennemsnit af en eller flere målinger af µ i. 8/30

9 Fejlforplantningsloven Vi kan approximere variansen på Y ( Var(Y) Var g(µ 1,µ,...,µ n )+ (X 1 µ 1 )+ + ) (X n µ n ) X 1 X n ( = Var g(µ 1,µ,...,µ n ) µ 1 µ n + X 1 X }{{ n } konstant ( = Var X ) X n X 1 X n ( ) ( = Var(X 1 )+ + X 1 X n X ) X n X 1 X n ) Var(X n ) 9/30

10 Den simple fejlforplantningslov Antag X 1,X,...,X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 1,...,Var(X n )=σ n. Lad Y = g(x 1,X,...,X n ), hvor g er en differentiabel funktion. Et tilnærmet udtryk for variansen for Var(Y)=σ Y er ( ) ( ) σy σ1 + + σn X 1 X n Bemærk: For en linære transformation Y = a 0 +a 1 X 1 +a X +...+a n X n gælder X 1 = a 1,..., X n = a n. I dette tilfælder giver ovenstående resultatet det samme som den sædvanlige variansregel på slide 3. 10/30

11 Trigonmetriske funktioner: Gon og radianer Lad sin r (x) og sin(x) betegne sinus når vinklen x er målt i hhv. radianer og gon. Tilsvarende for cosinus og tangens. Vi har ( ) π sin(c) = sin r 400 gon C ( ) 1 = sin r ω C, hvor er en konverterings-faktor. ω = 00 gon, π 11/30

12 Trigonmetriske funktioner: Differentitation Vi har regneregler for differentiation af trigonmetriske funktioner, når vinklen er målt i radianer. Fx. dsin r (x) dx = cos r (x). Når vinklen er målt i gon får vi: dsin(x) = dsin ( 1 r ω x) ( ) 1 1 = cos r dx dx ω x ω = cos(x)1 ω. Konverterings-faktoren 1 ω = π/00 gon optræder på samme måde ved differentiation af cosinus og tangens: dcos(x) dx = sin(x) 1 ω og dtan(x) dx = 1/30

13 Fejlforplantning ved arealbestemmelse A b c C a B Arealet T kan bestemmes på flere måder: T = 1 absinc (1) T = 1 acsinb () T = 1 bcsina (3) 13/30

14 Fejlforplantning anvendt på (1) Vi analyserer arealudtrykket (1): T = 1 absinc. Jf. fejlforplantningsloven gælder der, ( ) ( T T σt σa + a b De partielt afledte er: ) σ b + ( ) T σc C T a = 1 1 bsinc = absinc = T a a T b = 1 1 asinc = absinc = T b b T C = 1 abcosc 1 ω = 1 absinccosc 1 sinc ω = T cosc 1 sinc ω = T 1 tanc ω. Sidste omskrivning gælder idet tanx = sinx cosx 1 tanx = cosx sinx. 14/30

15 Estimat af T I et eksempel fra noterne er følgende oplysninger givet: a = m, b = 15.17m C = 93.73gon σ a = σ b = 1cm. σ C = 0.00gon. Dvs. vi kan regne estimatet for T som T = 1 absinc = m 15.17m sin93.73 = m 15/30

16 Variansen σ T Variansen σt på estimatet T er fra forrige slide påvirket af σ a, σ b og σ C på følgende måde, ( ) T ( ) T ( ) T σt σa + σb a b + 1 σc tanc ω ( 8741m ) 8741m = (0.01m) +( ) 8741m (0.01m) ) 1 +( (0.00gon) m 15.17m tan ω = 0.57m m m 4 = m 4. Standard-afvigelsen er: σ T = σ T = m. 16/30

17 Eksempel - Extended edition Antag nu at målene i trekanten er målt således: a b c A B C x Var( X) σ a 8 σ b 3 σ c 5 σ A σ B 4 σ C 3 17/30

18 Estimater af arealet T Fra tidligere kan arealet T beregnes på mindst tre måder (1)-(3). Hvis vi anvender gennemsnitsmålingerne fra forrige slide har vi: (1) T 1 = 1 absinc = sin = m () T = 1 acsinb = sin = m (3) T 3 = 1 bcsina = sin = m 18/30

19 Vægte til estimat af T vha x Tidligere så vi hvordan σt blev bestemt for (1) med data fra noternes eksempel. Nedenfor bestemmes σt 1, σt og σt 3 : σ T 1 ( ) ( ) ( tan 93.9 = m 4. ) ω 3 σ T ( ) ( ) ( tan 6.95 = m 4. ) ω 4 σ T 3 ( ) ( ) ( tan = m 4. ) ω 19/30

20 Vægte til estimat af T vha x Vægtene i det vægtede gennemsnit x skal opfylde vægtrelationen, p 1 σ T 1 = p σ T = p 3 σ T 3. Fx. kan vi vælge p 1 = 1, hvilket medfører at p = σ T 1 σ T = = og p 3 = σ T 1 σ T 3 = = Således er p + = = og estimatet af T, x = p 1 p + T 1 + p p + T + p 3 p + T 3 = = m 0/30

21 Konfidensinterval for T Fra tidligere har vi at [ x 1.96 σ 0 ; x σ ] 0 p+ p+ Idet vægtrelationen foreskriver σ 0 = p 1 σ T 1 = p σ T = p 3 σ T 3 gælder der i vores tilfælde med p 1 = 1 at σ 0 = σ T 1 = Med p + = og x = m bliver et 95% konfidensintervallet [ ] ; [ ; 874.7] 1/30

22 Kovarians Vi har indtil nu antaget at vores målinger, X 1 og X, er uafhængige. Dvs at Cov(X 1,X ) = 0. Lader vi nu X 1 og X være afhængige, dvs ændringer i de to variable kan påvirke hinanden. Dette betyder at Var(X 1 +X ) bliver mere kompliceret. Lad E(X 1 ) = µ 1 og E(X ) = µ : Var(X 1 +X ) = E [[(X 1 +X ) (µ 1 +µ )] ] = E [[(X 1 µ 1 )+(X µ )] ] = E [ (X 1 µ 1 ) +(X µ ) +(X 1 µ 1 )(X µ ) ] = E[(X 1 µ 1 ) ]+E[(X µ ) ]+E[(X 1 µ 1 )(X µ )] = Var(X 1 )+Var(X )+Cov(X 1,X ) hvor Cov(X 1,X ) kaldes kovariansen mellem X 1 og X. /30

23 Kovarians Definition: Kovarians Antag X 1 og X er to stokastiske variable med middelværdier hhv. µ 1 og µ. Kovariansen mellem X 1 og X er da defineret som Cov(X 1,X ) = E[(X 1 µ 1 )(X µ )]. Notation: Kovariansen mellem to stokastiske variable X 1 og X betegnes ofte σ 1. Egenskab: Kovarians og uafhængighed Hvis X 1 og X er uafhængige, så er Cov(X 1,X ) = 0. Det modsatte gælder ikke!! Dvs. Cov(X 1,X ) = 0 er ikke ensbetydende med uafhængighed. 3/30

24 Kovarians: Regneregler Kovariansen mellem a 1 X 1 og a X er Cov(a 1 X 1,a X ) = a 1 a Cov(X 1,X ). Det medfører at variansen for a 1 X 1 +a X er Var(a 1 X 1 +a X ) = Var(a 1 X 1 )+Var(a X )+Cov(a 1 X 1,a X ) = a 1Var(X 1 )+a Var(X )+a 1 a Cov(X 1,X ). 4/30

25 Korrelation Definition: Korrelation Antag X 1 og X er to stokastiske variable med varianser σ 1 and σ. Korrelation Corr(X 1,X ) mellem de stokastiske variable X 1 og X er defineret som Corr(X 1,X ) = Cov(X 1,X ) Var[X1 ]Var[X ]. Ofte skrives korrelation som ρ 1 = Corr(X 1,X ). Med notationen Var[X i ] = σ i og Cov(X 1,X ) = σ 1 er korrelationen mellem X 1 og X ρ 1 = σ 1 σ 1 σ. Hvis vi kender korrelation og varianserne har vi kovariasen: σ 1 = σ 1 σ ρ 1. 5/30

26 Korrelation: Egenskaber og Eksempler 1 ρ 1 Mål for graden af lineær sammenhæng. ρ = 1 og ρ = 1 perfekt lineær sammenhæng. Uafhængighed ρ = 0. Eksempler: ρ er korrelationen i populationen og r er den estimerede korrelation for de viste stikprøver ρ = 1 r = ρ = 0.4 r = ρ = 0.9 r = ρ = 0 r = ρ = 0 r = ρ = 0 r = /30

27 Fejlforplantning: Afhængige målinger Tidligere har vi set Y=g(X 1,X ) hvor g er en transformation af X 1 og X. En lineær approximation af Y omkring punktet (µ 1,µ ) er givet ved: Y = g(x 1,X ) g(µ 1,µ )+ X 1 (X 1 µ 1 )+ X (X µ ) Hvis X 1 og X er uafhængige har vi set, at ( ) ( ) Var(Y) Var(X 1 )+ + Var(X n ) X 1 X n Hvordan ser det ud, hvis X 1 og X er afhængige, dvs. når Cov(X 1,X ) 0? 7/30

28 Fejlforplantning - fortsat Hvis Cov(X 1,X ) = σ 1 0 bliver variansen af Y: ( Var(Y) Var g(µ 1,µ )+ (X 1 µ 1 )+ ) (X µ ) X 1 X = Var g(µ 1,µ ) µ 1 µ + X 1 + X X 1 X }{{ X } 1 X ( = Var = = X 1 ( konstant X 1 + ) X X 1 X ( ) ( σ1 + X 1 ) σ 1 + X ( X ) σ + Cov(X 1,X ) X 1 X ) σ + X 1 X σ 1 8/30

29 Fejlforplantning: Matrix-formulering Udtrykket for variansen af Y kan opskrives vha. matricer: [ ][ ][ ] Var(Y) σ 1 σ 1 X 1 X }{{} σ 1 σ X 1 }{{} X G }{{} K X G hvor K X kaldes kovariansmatricen for X = (X 1,X ) og G er Jacobi-matricen. Bemærk: Cov(X 1,X ) = Cov(X,X 1 ) hvilket vil sige σ 1 = σ 1 og K X er derfor symmetrisk. 9/30

30 Udregning af udtrykket Var(Y) = [ X 1 ] X } {{ } 1 [ X 1 ( = X 1 ( = X 1 ] X [ ] σ 1 σ 1 σ 1 σ }{{} [ ) σ 1 + ) σ 1 + [ X 1 X ] }{{} 1 X 1 σ1 + X σ 1 X 1 σ 1 + X σ ] ( σ 1 + X X σ 1 + X 1 X X 1 ( ) σ + σ 1 X 1 X X ) σ 30/30