MM502+4 forelæsningsslides

Transkript

1 MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1

2 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt for f(x, y), hvis Et punkt (a, b) i definitionsområdet for en x (a, b) = 0, y (a, b) = 0 og hvis (a, b) ikke er et randpunkt for definitionsområdet for f(x, y) Bemærk: (a, b) er et kritisk punkt for f(x, y) hvis og kun hvis tangentplanen for f(x, y) i punktet (a, b) er vandret (har ligningen: z = f(a, b)) Definition lokalt og globalt minimum: f(x, y) har lokalt minimum i punktet (a, b) hvis f(x, y) f(a, b) for alle (x, y) i nærheden af (a, b) f(x, y) har globalt minimum i punktet (a, b) hvis f(x, y) f(a, b) for alle (x, y) i definitionsområdet for f(x, y) Definition lokalt og globalt maximum: f(x, y) har lokalt maximum i punktet (a, b) hvis f(x, y) f(a, b) for alle (x, y) i nærheden af (a, b) f(x, y) har globalt maximum i punktet (a, b) hvis f(x, y) f(a, b) for alle (x, y) i definitionsområdet for f(x, y) Theorem 1 Nødvendig betingelse for lokalt max eller min Hvis (a, b) er lokalt max eller min for f(x, y), da gælder mindst en af følgende: (i) (a, b) er kritisk punkt for f(x, y), dvs x (a, b) = y (a, b) = 0 (ii) (a, b) er singulært punkt for f(x, y), dvs mindst 1 af de partielle afledede er ikke defineret i (a, b) (iii) (a, b) ligger i randen af definitionsområdet for f(x, y) Theorem 2 Tilstrækkelig betingelse for eksistens af globalt max og min Hvis funktionen f(x, y) er kontinuert og det betragtede definitionsområde er lukket og begrænset, så findes der mindst et punkt, hvor f(x, y) har globalt minimum, og mindst et punkt, hvor f(x, y) har globalt maximum At definitionsområdet er lukket betyder, at alle randpunkter for definitionsområdet er med i definitionsområdet At definitionsområdet er begrænset betyder, at der findes et tal R så alle punkter i definitionsområdet opfylder uligheden x 2 + y 2 R 2

3 Definition saddelpunkt: f(x, y) har saddelpunkt i punktet (a, b) hvis (a, b) er et kritisk punkt, der hverken er lokalt minimum eller lokalt maximum Med andre ord, P = (a, b) er saddelpunkt hvis x (a, b) = y (a, b) = 0 og der vilkårligt tæt på P findes punkter P og P så f(p ) < f(p ) < f(p ) Klassifikation af kritiske punkter Remark s 712: Antag, at alle dobbelt partielle afledede af f(x, y) findes og er kontinuerte i en omegn om (a, b) Antag, at (a, b) er er kritisk punkt for f(x, y) Sæt A = f 11 (a, b) = 2 f x 2 (a, b), B = f 12(a, b) = f 21 (a, b), C = f 22 (a, b) Da gælder: (a) AC > B 2 og A > 0 = f(x, y) har lokalt minimum i (a, b) (b) AC > B 2 og A < 0 = f(x, y) har lokalt maximum i (a, b) (c) AC < B 2 (d) AC = B 2 = f(x, y) har saddelpunkt i (a, b) = ingen konklusion! Med ingen konklusion menes, at her kan (a, b) være lokalt minimum, lokalt maximum eller saddelpunkt Metoden kan ikke sige, hvilken af de 3 muligheder, der gælder Enten må man her kaste håndklædet i ringen eller også må man tage arbejdshandskerne på og undersøge situationen selv! 3

4 Eksempel 1318: Find og klassificer de kritiske punkter for funktionen f(x, y) = xye (x2 +y 2 )/2 Løsning: Vi differentierer, under flittig brug af produktreglen; f 1 (x, y) = (y x 2 y)e (x2 +y 2 )/2 f 2 (x, y) = (x xy 2 )e (x2 +y 2 )/2 f 11 (x, y) = ( 3xy + x 3 y)e (x2 +y 2 )/2 f 12 (x, y) = (1 x 2 y 2 + x 2 y 2 )e (x2 +y 2 )/2 f 22 (x, y) = ( 3xy + xy 3 )e (x2 +y 2 )/2 Ligningerne f 1 (x, y) = 0 og f 2 (x, y) = 0 løses Løsningerne er netop de kritiske punkter, og de findes til at være (0, 0), (1, 1), (1, 1), ( 1, 1) ( 1, 1) De kritiske punkter klassificeres ved hjælp af opskriften i Remark s 712: (a, b) A = f 11 B = f 12 C = f 22 AC B 2 Type f(a, b) (0, 0) < 0 saddelpunkt 0 (1, 1) 2e 1 < 0 0 2e 1 4e 2 0 > 0 lokalt max e 1 (1, 1) 2e 1 > 0 0 2e 1 4e 2 0 > 0 lokalt min e 1 ( 1, 1) 2e 1 > 0 0 2e 1 4e 2 0 > 0 lokalt min e 1 ( 1, 1) 2e 1 < 0 0 2e 1 4e 2 0 > 0 lokalt max e 1 Anden notation I stedet for kritisk punkt siger man ofte stationært punkt Da de to komponenter af vektoren f(a, b) netop er x (a, b) og y (a, b), kan betingelsen for et kritisk punkt også skrives f(a, b) = 0 4

5 Koordinatfremstilling for krydsproduktet: Hvis x = (x 1, x 2, x 3 ) og y = (y 1, y 2, y 3 ), da er x y = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ) = (x 2 y 3 x 3 y 2 )i + (x 3 y 1 x 1 y 3 )j + (x 1 y 2 x 2 y 1 )k Egenskaber for krydsproduktet: (i) u u = 0 (ii) u v = v u (iii) (t 1 u 1 + t 2 u 2 ) v = t 1 (u 1 v) + t 2 (u 2 v) (iv) u (s 1 v 1 + s 2 v 2 ) = s 1 (u v 1 ) + s 2 (u v 2 ) 2 2 og 3 3 determinanter: x 1 x 2 y 1 y 2 = x 1 y 2 x 2 y 1, x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 = x 1 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 2 x 1 y 3 z 2 x 2 y 1 z 3 x 3 y 2 z 1 z 1 z 2 z 3 Rækkeudvikling efter rækker hhv søjler: x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 y = +x 2 y 3 1 z 2 z 3 x 2 y 1 y 3 z 1 z 3 + x 3 y 1 y 2 z 1 z 2 x = y 2 x 3 1 z 2 z 3 + y 2 x 1 x 3 z 1 z 3 y 3 x 1 x 2 z 1 z 2 y = +x 2 y 3 1 z 2 z 3 y 1 x 2 x 3 z 2 z 3 + z 1 x 2 x 3 y 2 y 3 1 række 2 række 1 søjle Fortegnsmatricen :

6 Krydsprodukt som en determinant: Hvis x = (x 1, x 2, x 3 ) og y = (y 1, y 2, y 3 ), da er i j k x y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 1 række = x 2 x 3 y 2 y 3 i x 1 x 3 y 1 y 3 j + x 1 x 2 y 1 y 2 k Trippel produktet af 3 vektorer i R 3 : Givet 3 vektorer x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) og z = (z 1, z 2, z 3 ) i R 3 Da gælder: ( x (y z) = (x 1 i + x 2 j + x 3 k) y 2 y 3 z 2 z 3 i y 1 y 3 z 1 z 3 j + y 1 y 2 ) z 1 z 2 k y = x 2 y 3 1 z 2 z 3 x 2 y 1 y 3 z 1 z 3 + x 3 y 1 y 2 z 1 z 2 x 1 x 2 x 3 = y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 Størrelsen x (y z) kaldes trippelproduktet af x, y og z Volumenet af parallelepipedumet udspændt af x, y og z er lig med x (y z) Matricer: Nedenfor ses en 2 3 matrix, en 3 2 matrix, en 4 1 matrix, en 1 4 matrix, og til sidst en generel m n matrix: ( ) 1 a b 1 2 4, c d, , ( ) , e f 4 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = (a ij) = (a ij ) m i=1 n j=1 a m1 a m2 a mn m = antal rækker, n = antal søjler 6

7 Sum, differens og produkt af matricer: Givet en m n matriks A og en k l matriks B: a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1l a 21 a 22 a 2n A =, B = b 21 b 22 b 2l a m1 a m2 a mn b k1 b k2 b kl Summen A + B og differencen A B er defineret hvis og kun hvis A og B har samme form, dvs m = k og n = l I det tilfælde defineres: a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n A + B = a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn a 11 b 11 a 12 b 12 a 1n b 1n a 21 b 21 a 22 b 22 a 2n b 2n A B = a m1 b m1 a m2 b m2 a mn b mn Man kan også gange en matriks A med et tal t: ta 11 ta 12 ta 1n ta 21 ta 22 ta 2n ta = ta m1 ta m2 ta mn Produktet AB er defineret hvis og kun hvis antal søjler i A = antal rækker i B Hvis A er en m n matriks og B er en n p matrix, da er produktet AB en m p matriks (c ij ) m p i=1j=1, hvor c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = = (ite række i A) (jte søjle i B) n a ik b kj k=1 antal rækker i AB = antal rækker i A antal søjler i AB = antal søjler i B (m n)(n p) = (m p) 7

8 Eksempler: Nedenfor ganges en 2 3 matriks med en 3 4 matrix Produktet er en 2 4 matrix: ( ) ( ) =, = 13 Nedenfor dannes en linearkombination af to matricer af samme form: ( ) ( ) ( ) =, ( 1) 2 5 = 13 Mere om matricer: Kurset MM505 (Lineær algebra) indeholder meget mere om matricer og vektorer 8