Deskriptiv teori i flere dimensioner

Transkript

1 Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner I kapitel 13 og 14 udviklede vi en række deskriptive værktøjer til at beskrive sandsynlighedsmål på (R, B) Vi vil i dette kapitel forsøge at udvikle varianter af disse værktøjer, der er egnede til at beskrive sandsynlighedsmål på (R n,b n ) Lad os fra starten advare mod for stor tiltro til projektet: mål på flerdimensionale rum er notorisk svære at sige noget begavet om, og det er svært at opsummere hvilke ligheder og forskelle to konkrete mål har 171 Flerdimensionale fordelingsfunktioner Definition 171 Ladνvære et sandsynlighedsmål på (R n,b n ) Fordelingsfunktionen forνer funktionen F :R n R givet ved F ( x 1,, x n ) =ν ( (, x1 ] (, x n ] ), (x 1,, x n ) R n Indholdet af denne definition er illustreret på figur 171 For n = 1 stemmer definitionen overens med definition 141 Og som i én dimension gælder generelt at fordelingsfunktionen entydigt fastlægger sandsynlighedsmålet 344

2 171 Flerdimensionale fordelingsfunktioner 345 (x, y) Figur 171: Hvisνer et sandsynlighedsmål pår 2, med tilhørende fordelingsfunktion F, så er F s værdi i punktet (x, y)ν-målet af det skraverede område Sætning 172 Et sandsynlighedsmål på (R n,b n ) er entydigt bestemt ved sin fordelingsfunktion BEVIS: Hvis to sandsynlighedsmålν 1 ogν 2 på (R n,b n ) har samme fordelingsfunktion, så stemmer de overens på alle mængder af formen (, x 1 ] (, x n ], (x 1,, x n ) R n Man kan (med et vist besvær) vise at disse mængder udgør et fællesmængdestabilt frembringersystem forb n Og dermed følger sætningen af entydighedssætningen for sandsynlighedsmål En af de nyttige egenskaber ved fordelingsfunktioner på R er at de muliggør en effektiv tabellering af et sandsynlighedsmål Noget lignende gør sig ikke rigtig gældende i flere dimensioner Dels selvfølgelig fordi det er svært at tabellere funktioner af flere variable Men også fordi det er svært at udtrykke sandsynligheden af konkrete mængder ud fra fordelingsfunktionen Eksempel 173 Lad F være fordelingsfunktion for et sandsynlighedsmål ν på (R 2,B 2 ) Lad A=(a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ] være en standardkasse, altså et produkt af to standardintervaller Vi ser at F(b 1, y) F(a 1, y)=ν ( (a 1, b 1 ] (, y] ),

3 346 Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner for alle y R, og dermed at (F(b 1, b 2 ) F(a 1, b 2 )) (F(b 1, a 2 ) F(a 1, a 2 ))=ν ( (a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ] ) Det er altså lykkedes os at udtrykkeν(a) ved hjælp af fordelingsfunktionen forν, om end formlen ikke er særligt smuk Man kan helt generelt udtrykke sandsynligheden af en standardkasse i vilkårlig dimension ud fra sandsynlighedsmålets fordelingsfunktion ved følgende uskønne inklusion/eksklusions-formel: ν ( (a 1, b 1 ] (a n, b n ] ) = ( 1) K F(d1 K,,dK n ), (171) K {1,,n} hvor K betegner antallet af elementer i K, og hvor di K a i hvis i K, = hvis i K b i Højre side af (171) kaldes F s tilvækst over kassen (a 1, b 1 ] (a n, b n ] I én dimension ved vi at fordelingsfunktioner er voksende Den analoge egenskab for en flerdimensional fordelingsfunktion, er at den har en ikke-negativ tilvækst over enhver standardkasse Denne egenskab er så uigennemskuelig, at fordelingsfunktioner som begreb betragtet mister det meste af sin umiddelbare appel Men egenskaben har dog forståelige konsekvenser I to dimensioner følger det således at x F(x, y) er voksende for hvert fastholdt y og at y F(x, y) er voksende for hvert fastholdt x - vi siger at F er voksende på akseparallelle liniestykker Tilsvarende bliver kontinuitetsegenskaberne for flerdimensionale fordelingsfunktioner så komplicerede at selve kontinuitetsbegrebet taber betydning En flerdimensional fordelingsfunktion F er ganske vist altid højrekontinuert, med den rigtige definition af dette begreb Feks vil lim F(x 1,, x i 1, x i m, x i+1,, x n ) F(x 1,, x i 1, x i, x i+1,, x n ), m hvis x i m ց x i for m, en egenskab vi kunne kalde akseparallel højrekontinuitet Men en diskontinuitet kan ikke længere fortolkes som en punkt med positiv masse - der kan være mange andre grunde til at højrekontinuiteten ikke bliver til rigtig kontinuitet Og det er heller ikke muligt at sige at der højst er tælleligt mange diskontinuitetspunkter

4 171 Flerdimensionale fordelingsfunktioner 347 Sætning 174 Lad X 1,, X n være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω,F, P) Lad F være fordelingsfunktionen for den simultane fordeling af (X 1,, X n ) Fordelingsfunktionen for X 1 er da G(x)= lim F(x, m,,m) m BEVIS: Lad x R På grund af sandsynlighedsmåls kontinuitetsegenskaber er G(x)=P(X 1 x)= lim m P(X 1 x, X 2 m,, X n m) = lim m F(x, m,,m), præcis som ønsket Sætning 175 Lad X 1,, X n være uafhængige reelle stokastiske variable, defineret på (Ω,F, P) Lad F i være den etdimensionale fordelingsfunktionen for X i, F i (x)=p(x i x) for,,n Fordelingsfunktionen F for den simultane fordeling af (X 1,, X n ) er da F(x 1,, x n )= n F i (x i ) BEVIS: For x 1,, x n R er F(x 1,, x n )=P(X 1 x 1,, X n x n )= n P(X i x i )= n F i (x i ), præcis som ønsket Eksempel 176 Gumbels todimensionale eksponentialfordeling med parameter θ [0, 1] har fordelingsfunktion F(x 1, x 2 )=1 e x 1 e x 2 + e (x 1+x 2 +θx 1 x 2 ) for x 1 > 0, x 2 > 0 (172)

5 348 Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner Det kan vises at dette virkelig er fordelingsfunktionen for et sandsynlighedsmål i planen Vi ser at lim x 2 F(x 1, x 2 )=1 e x 1 for x 1 > 0, uanset værdien af θ, og dette genkendes som fordelingsfunktionen for den sædvanlige eksponentialfordeling Hvis (X 1, X 2 ) har fordelingsfunktion (172), så er X 1 - og tilsvarende X 2 - altså standard eksponentialfordelte Produktet af de to etdimensionale fordelingsfunktioner er (1 e x 1 )(1 e x 2 )=1 e x 1 e x 2 + e (x 1+x 2 ) for x 1 > 0, x 2 > 0 Hvisθ>0 er dette produkt forskelligt fra (172), og derfor må X 1 og X 2 være afhængige Hvis θ = 0 er Gumbels fordelingsfunktion produktet af to fordelingsfunktioner for eksponentialfordelinger, og derfor vil X 1 og X 2 i denne situation være uafhængige 172 Kovarians Når man snakker om kovarianser, og mere generelt om flerdimensionale momenter, så er ideen at integrere visse polynomier af flere variable Definition 177 Lad X og Y være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω, F, P), og antag at begge variable har 1 moment Den sammenbundtede variabel (X, Y) har kovarians hvis produktet XY har 1 moment I bekræftende fald er kovariansen mellem X og Y givet ved Cov(X, Y)=E ( (X EX)(Y EY) ) (173) Bemærk at (X EX)(Y EY)= X Y X EY Y EX+EX EY (174) Når X og Y begge har 1 moment, ser vi heraf at XY har 1 moment hvis og kun hvis produktet af de centrerede variable, (X EX)(Y EY), har 1 moment Så definition 177 giver god mening Integreres led for led i (174) ser vi endvidere at Cov(X, Y)=EXY EX EY EX EY+ EX EY= EXY EX EY (175)

6 172 Kovarians 349 Sætning 178 Lad X og Y være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω, F, P) Hvis X og Y begge har 2 moment, så har (X, Y) kovarians BEVIS: Bemærk at X og Y begge har 1 moment Der gælder at 0 ( X Y ) 2 = X 2 + Y 2 2 X Y, så vi ser at X Y X2 + Y 2 2 Det følger heraf at X Y har 1 moment Vi bemærker at hvis X har 2 moment, så har (X, X) kovarians, og Cov(X, X)=VX Sætning 179 Lad X og Y være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω, F, P) Hvis X og Y er uafhængige, og begge har 1 moment, så har X Y 1 moment, og Specielt har (X, Y) kovarians, og Cov(X, Y) = 0 EX Y= EX EY (176) BEVIS: Vi skal bruge to varianter af samme argument, dels til at vise at X Y har 1 moment, og dels til at finde dette moment Vi koncentrerer os om den første variant Integraltransformationsformlen giver at X Y dp= x y d(x, Y)(P)(x, y)= x y dx(p) Y(P)(x, y) Ved hjælp af Tonellis sætning kan vi nu få at X Y dp= x y dy(p)(y) dx(p)(x) Regner vi på det inderste integral, kan vi sætte x ud, og får ved hjælp af integraltransformationsformlen at y dy(p)(y) = Y dp=e Y

7 350 Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner Hermed ser vi at X Y dp=e Y x dx(p)(x)=e X E Y < Altså har X Y 1 moment Hvis vi gennemfører regningerne en gang til, uden numerisktegn denne gang, og med referencen til Tonellis sætning erstattet af en reference til Fubinis sætning, så opnår vi (176) At kovariansen er nul, følger ved indsættelse i (175) Hvis Cov(X, Y)=0 siger vi at X og Y er ukorrelerede Resultatet ovenfor formuleres ofte på den måde at uafhængige variable er ukorrelerede Vi ser således at en numerisk stor kovarians mellem X og Y er et sikkert tegn på afhængighed Det findes dog visse former for afhængighed, som kovariansen ikke kan opdage Eksempel 1710 Lad X være ligefordelt på (0, 1), og lad Y= X(1 X) Da er X og Y meget kraftigt afhængige - Y er deterministisk, hvis man kender X Alligevel ser vi at Cov(X, Y)=E(X 2 (1 X)) EX E(X X 2 )= ( ) = 0, 3 så X og Y er ukorrelerede Vi bemærker at sammenhængen mellem X og Y er kraftigt ikke-lineær Lemma 1711 Lad X og Y være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω, F, P) Hvis (X, Y) har kovarians, så er Endvidere gælder for alle α, β R at Cov(X, Y) = Cov(Y, X) (177) Cov(α+β X, Y)=βCov(X, Y) (178) BEVIS: Det er klart at udtrykket E ( (X EX)(Y EY) ) er symmetrisk i X og Y, så (177) følger Hvad angår (178), skal vi centrere den nye X-variabel, og får (α+β X) E(α+β X)=α+β X α βex=β(x EX) Nu følger (178) nemt

8 172 Kovarians 351 Vi kan naturligvis kombinere (178) med (177) og opnå at Cov(α 1 +β 1 X 1,α 2 +β 2 X 2 )=β 1 β 2 Cov(X 1, X 2 ) (179) Lemma 1712 Lad X, Y og Z være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω, F, P) Hvis både (X, Z) og (Y, Z) har kovarians, så har (X+ Y, Z) kovarians og Cov(X+ Y, Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z) (1710) BEVIS: Vi ser at produktet af de centrerede variable er ((X+ Y) E(X+ Y)) (Z EZ) = (X EX)(Z EZ)+(Y EY)(Z EZ) De ønskede resultater følger nu ved integration Lemma 1713 Lad X og Y være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω,F, P) Hvis X har 2 moment, så er Cov(X, X)=VX (1711) Hvis både X og Y har 2 moment, så er V(X+ Y)=VX+ VY+ 2Cov(X, Y) (1712) Hvis X og Y er uafhængige og har 2 moment, gælder der at V(X+ Y)=VX+ VY (1713) BEVIS: Vi har allerede set at (1711) er en triviel konsekvens af (175) Og nu ser vi at V(X+ Y)=Cov(X+ Y, X+ Y) = Cov(X, X)+Cov(X, Y)+Cov(Y, X)+Cov(Y, Y) = VX+ VY+ 2Cov(X, Y) Formel (1713) følger nu direkte, når man husker at uafhængige variable er ukorrelerede

9 352 Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner Eksempel 1714 Lad (X 1, X 2, X 3 ) være polynomialfordelt med længde n og sandsynlighedsparameter (p 1, p 2, p 3 ) Da er Cov(X 1, X 2 )= n p 1 p 2 Bemærkningerne efter lemma 1611 fortæller nemlig at de tre variable X 1, X 2 og X 1 + X 2 alle er binomialfordelte med længde n og successandsynlighed henholdsvis p 1, p 2 og p 1 + p 2 Dermed giver (1712) i kombination med eksempel 1317, at Cov(X 1, X 2 )= 1 ( ) V(X1 + X 2 ) VX 1 VX 2 2 = n ( (p1 + p 2 )(1 p 1 p 2 ) p 1 (1 p 1 ) p 2 (1 p 2 ) ) 2 = n p 1 p 2 Hvis (X 1,, X N ) er polynomialfordelt med længde n og sandsynlighedsparameter (p 1,, p N ) giver helt tilsvarende regninger at for i j er Cov(X i, X j )= n p i p j (1714) Vi konstaterer altså at variablene i en polynomialfordeling er afhængige - fortegnet i (1714) betyder at hvis X i er stor, så vil X j typisk være lille etc Vi siger at X i og X j er negativt korrelerede Det er ikke særligt mystisk: vi ved jo at X 1 ++ X N = n, så hvis én af variablene er større end forventet, må det kompenseres af at andre er mindre end forventet 173 Store tals lov Definition 1715 En følge X 1, X 2, af stokastiske variable siges at konvergere i P sandsynlighed mod en konstantξ, skrevet X n ξ, hvis det for alleǫ> 0 gælder at P ( X n ξ >ǫ) 0 for n (1715) Konvergens i sandsynlighed betyder at fordelingen af X n bliver mere og mere koncentreret omξ Hvis vi for et fast p (0, 1) lader x n være p-fraktilen for fordelingen af X n, vil der således gælde at x n ξfor n, uanset hvor ekstremt et p vi har fat på

10 173 Store tals lov 353 Lemma 1716 Lad Y 1, Y 2, være en følge af reelle stokastiske variable med 2 moment Hvis EY n =ξfor alle n, og VY n 0 for n, så vil Y n P ξ BEVIS: Ladǫ> 0 være givet Ifølge Chebyshevs ulighed vil P( Y n ξ >ǫ) VY n ǫ 2, og denne øvre grænse konvergerer tydeligvis mod nul Sætning 1717 (Store tals lov) Lad X 1,, X n være uafhængige, identisk fordelte reelle stokastiske variable med middelværdiξog variansσ 2 Da vil 1 n P X i ξ (1716) BEVIS: Vi ser at E 1 n X i = 1 n EX i =ξ for alle n Uafhængigheden mellem variablene sikrer endvidere at V 1 n X i = 1 n 2 VX i = nσ2 n 2 = σ2 n Resultatet følger nu af lemma 1716 Ud fra store tals lov kan vi gøre rede for at den frekventistiske holdning til sandsynlighedsregning er selvkonsistent Lad X 1, X 2, være uafhængige, identisk fordelte

11 354 Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner reelle variable med fordeling ν, svarende til uafhængige replikationer af et eksperiment, der beskrives afν Den empiriske frekvens af en hændelse A Ber 1 n 1 A (X i ) Det er en stokastisk variabel, som ifølge store tals lov konvergerer i sandsynlighed mod grænseværdien ν(a) Så der vil altså være meget stor sandsynlighed for at den empiriske frekvens af hændelsen A ligger tæt påν(a), i hvert fald hvis n er stor 174 Korrelation Lemma 1718 (Cauchy-Schwarz ulighed) Lad X og Y være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω,F, P) Hvis både X og Y har 2 moment, er ( EXY ) 2 EX 2 EY 2 (1717) BEVIS: For alle t Rer 0 E ( (X+ ty) 2) = EY 2 t EXY t+ex 2 Et vist andengradspolynomium i t er altså ikke-negativt Men et andengradspolynomium kan kun være ikke-negativt hvis diskriminanten er ikke-positiv Altså må ( 2EXY ) 2 4 EX 2 EY 2 0, hvilket præcis er (1717) Bruges Cauchy-Schwarz ulighed på variablene X EX og Y EY, fås at Cov(X, Y) 2 VX VY (1718) Dette leder os naturligt til indførelse af en standardiseret kovarians

12 174 Korrelation 355 Definition 1719 Lad X og Y være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω, F, P) Hvis X og Y er ikke-udartede og har 2 moment, defineres korrelationen mellem dem som Cov(X, Y) corr(x, Y)= VX VY Korrelationen er et udtryk for det samme som kovariansen Men denne gang måler vi det på en skala bestemt af variabiliteten af de to variable, og derfor er den faktiske værdi af korrelationen i et vist omfang fortolkelig Bemærk at (1718) medfører at 1 corr(x, Y) 1 Bemærk også at corr(x, X)=1 Lemma 1720 Lad X og Y være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω,F, P) Antag at X og Y er ikke-udartede og har 2 moment Da gælder at og For alleα R,β>0 gælder endvidere at corr(x, Y) = corr(y, X), (1719) corr(x, Y) = corr(x, Y) (1720) corr(α+βx, Y)=corr(X, Y) (1721) BEVIS: Formel (1719) og (1720) er direkte udtryk for kovariansens symmetri og linearitet Også (1721) følger af kovariansens linearitet: corr(α+βx, Y)= = Cov(α+βX, Y) V(α+βX) VY = Cov(X, Y) VX VY = corr(x, Y) βcov(x, Y) β 2 VX VY

13 356 Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner Vi observerer at forβ>0 er corr(x,α+βx)=corr(x, X)=1 Tilsvarende ser vi at forβ<0er corr(x,α+βx)= 1 Sætning 1721 Lad X og Y være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω, F, P) Antag at X og Y er ikke-udartede og har 2 moment Hvis corr(x, Y)=1 eller corr(x, Y)= 1 så findesα,β R så Y=α+βX P-næsten sikkert BEVIS: Lad os først antage at korrelationen er 1 Vi indfører de standardiserede variable X= X EX Y EY, Ỹ=, VX VY der har middelværdi 0 og varians 1 De standardiserede variable er blot en affin transformation af de oprindelige variable, så E X Ỹ= Cov( X, Ỹ)=corr( X, Ỹ)=corr(X, Y) Vi kan altså slutte at E X Ỹ= 1 Så gælder der at E( X Ỹ) 2 = E X 2 + EỸ 2 2E X Ỹ= 1+1 2=0 Da ( X Ỹ) 2 0, kan dette kun lade sig gøre hvis integranden er nul næsten sikkert, dvs hvis X= Ỹ næsten sikkert Men i så fald har vi med sandsynlighed 1 at Y= VYỸ+ EY= VY VY VY X+EY= VX X+ EY VX EX Altså er Y en affin transformation af X Hvis corr(x, Y)= 1, så er corr( X, Y)=1, og vi har derfor lige vist at Y=α βx P-ns for passendeαogβ Med denne sætning in mente, er det almindeligt at korrelationer tæt ved±1 fortolkes som næsten lineær afhængighed, og mere generelt siger man at korrelation måler

14 175 Flerdimensionale momenter 357 den lineære afhængighed mellem to variable, skønt begrebet ikke kan gives præcis mening Eksempel 1722 Hvis (X 1,, X N ) er polynomialfordelt med længde n og sandsynlighedsparameter (p 1,, p N ), så følger det af eksempel 1714 at for i j er n p i p j corr(x i, X j )= n pi (1 p i ) n p j (1 p j ) = p i p j (1 p i ) (1 p j ) 175 Flerdimensionale momenter Definition 1723 Lad X 1,, X n være reelle stokastiske variable, defineret på et fælles baggrundsrum (Ω,F, P) Hvis alle variablene har 1 moment, så siger vi at den sammenbundtede variabel X= (X 1,, X n ) har 1 moment, og vi indfører middelværdien af X somr n -vektoren EX 1 EX= EX n Tilsvarende, hvis alle variablene X 1,, X n har 2 moment, så siger vi at X har 2 moment, og vi indfører variansen af X som n n matricen VX 1 Cov(X 1, X 2 ) Cov(X 1, X n ) Cov(X VX= 2, X 1 ) VX 2 Cov(X 2, X n ) Cov(X n, X 1 ) Cov(X n, X 2 ) VX n Vi konstaterer at V X er en symmetrisk n n matrix Den kaldes også variansmatricen, eller kovariansmatricen

15 358 Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner Eksempel 1724 Hvis X = (X 1,, X N ) er polynomialfordelt med længde n og sandsynlighedsparameter (p 1,, p N ), så følger det af eksempel 1714 at X har både middelværdi og varians Vi ser at middelværdien er p 1 mens variansmatricen er EX= n p 2 p n p 1 (1 p 1 ) p 1 p 2 p 1 p n VX= n p 2 p 1 p 2 (1 p 2 ) p 2 p n p n p 1 p n p 2 p n (1 p n ) Som man ser af eksempel 1724, er flerdimensionale middelværdier og varianser blot et værktøj til at hjælpe med bogholderiet over de forskellige parvise kovarianser Men det er et nyttigt værktøj, blandt andet fordi det passer så fint sammen med lineære transformationer, som vi skal se I forbindelse med lineær algebra kan det være nødvendigt at sondre mellem rækkevektorer og søjlevektorer Vi vil da insistere på at en sammenbundtning af n reelle variable altid skal opfattes som en søjle Uheldigvis fylder søjler meget i trykt form, og derfor skriver man ofte x=(x 1,, x n ) T når man mener at x er en n-søjle Vi skriver altså x som en række, der transponeres Sætning 1725 Lad X= (X 1,, X n ) T være en stokastisk variabel med værdier ir n, defineret på (Ω,F, P) Lad a R k være en vektor, lad B være en k n matrix, og sæt Y= a+ BX Hvis X har 1 moment, så har Y 1 moment, og Hvis X har 2 moment, så har Y 2 moment, og EY= a+ B EX (1722) VY= B VX B T (1723)

16 175 Flerdimensionale momenter 359 BEVIS: Lad a= a 1 a 2 a m, B= b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b m1 b m2 b mn Definitionen på Y = (Y 1,,Y m ) T er da simpelthen en kompakt måde at skrive m forskellige variable på: Y i = a i + b i j X j,,,m j=1 Det følger af lemma 1310 at hvis X j erne alle har k te moment, så har Y i også k te moment Hvis 1 momenterne eksisterer, ser vi at EY i = a i + b i j EX j = ( a+ B EX) i,,,m j=1 Tilsvarende, hvis 2 momenterne eksisterer, ser vi at Cov(Y i, Y k )=Cov a i+ b i j X j, a k + = j=1 l=1 j=1 l=1 b k l X l b i j b k l Cov(X j, X l )= ( B VX B T ) ik Vi husker at variansen for en reel stokastisk variabel er ikke-negativ, og faktisk er strengt positiv medmindre variablen er konstant Noget lignende gælder for flerdimensionale variable, hvor begrebet positivt semidefinit matrix (se p 594 for en definition) er den relevante generalisering af et ikke-negativt reelt tal: Sætning 1726 Lad X= (X 1,, X n ) T være en stokastisk variabel med værdier ir n, defineret på (Ω, F, P) Hvis X har 2 moment, så er V X positivt semidefinit Faktisk er VX positivt definit, medmindre der findes en ikke-triviel linearkombination af X 1,, X n der er konstant

17 360 Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner BEVIS: Lad x R n være en søjlevektor, altså en n 1 matrix Betragt den lineære afbildningr n R givet ved y x T y Sæt Z=x T X Det følger af sætning 1725, at Z har 2 moment Men Z er en reel variabel, så variansen er blot et tal - endda et ikke-negativt tal Derfor har vi ifølge (1723) 0 VZ=x T VX (x T ) T = x T VX x, og vi kan nu slutte at VX er positivt semidefinit Antag at VX ikke er positivt definit Der findes da et x R n, så x 0 og så x T VX x= 0 Ifølge (1723) har Z=x T X da varians 0, dvs Z er en konstant stokastisk variabel Og Z er netop en ikke-triviel linearkombination af X i erne 176 Flerdimensionale karakteristiske funktioner Definition 1727 Ladνvære et sandsynlighedsmål på (R n,b n ) Den karakteristiske funktion forνer funktionenφ:r n C givet som φ(θ)= e iθt x dν(x) for θ R n (1724) Vi tænker pår n som bestående af søjlevektorer, ikke rækkevektorer, og størrelsen θ T x i eksponenten af (1724) er derfor et reelt tal For n=1 stemmer denne definition naturligvis overens med definition 156 Hvis X= (X 1,, X n ) T er en stokastisk variabel med værdier ir n, taler man ofte om X s karakteristiske funktion når man i virkeligheden mener den karakteristiske funktion for X s fordeling Den definerende formel er altså φ(θ)= e iθt x dx(p)(x)= e iθt X dp, hvor sidste udtryk fremkommer ved hjælp af integraltransformationssætningen For at få disse formler til at give mening er det vigtigt at vi tænker på X som en stokastisk søjlevektor, ikke som en rækkevektor