Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ

Transkript

1 Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ matematik og matematik-økonomi studierne 1. basissemester Esben Høg 4. november 013 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ 4. november / 10

2 Det duale problem. I dette setup (se næste slide) kaldes det kanoniske problem for det primale problem. Det duale problem få direkte ud fra det primale problem. Esben Høg Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ 4. november 013 / 10

3 Primalt og Dualt problem Det Primale problem P versus Det Duale problem P max x f (x) = c x min y g(y) = b y Ax b A y c x 0 y 0 Bemærk hvordan koecienterne c i i P bliver højresidekonstanterne i P, og omvendt. Bemærk også, at ulighederne i P vender modsat ulighederne i P (altså bortset fra de to ikke-negativitetsbetingelser for hhv. x og y: Både x 0 og y 0. Esben Høg Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ 4. november / 10

4 Det duale kan omskrives til: max y g(y) = b y A y c, y 0 Jamen så er det duale til dette problem jo pr. denition af det duale: min w c w Det vil sige (på kanonisk form): (A ) w b, w 0 max w c w Aw b, w 0 som præcist er det oprindelige primale problem. Esben Høg Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ 4. november / 10

5 CHAPTER 9 Optimization DUALITETSTEORI Dualitetssætningen Antag at det primale problem har en (endelig) optimal løsning. Da har det duale Maximize G(w) = c problem også en (endelig) optimal løsning, og T w subject to Aw b anddew tilhørende 0. to værdier af objektfunktionerne If w iser replaced lig med by x, thishinanden. problem precisely Hvis the primal det primale problem. So the har dual ubegrænset of the dual problem is the original primal problem. maksimum, har det duale problem ingen brugbare løsninger. Eller i denne version: Then the dual of this problem is Minimize F(w) = c T w subject to ( A T ) T w b and w 0. In canonical form, this minimization problem is equivalent to Theorem 7 below is a fundamental result in linear programming. As with the Minimax Theorem in game theory, the proof depends on certain properties of convex sets and hyperplanes. 1 THEOREM 7 THE DUALITY THEOREM August 16, 005 Let 10:59 P be a L57-ch09 (primal) linear Sheet programming number 48 problem Page number with feasible 48 set cyan F, magenta and let P yellow black be the dual problem with feasible set F. a. If F and F are both nonempty, then P and P both have optimal solutions, say x and ȳ, respectively, and f( x) = g(ȳ). CHAPTER 9 Optimization b. If one of the problems P or P has an optimal solution x or ȳ, respectively, then so does the other, and f( x) = g(ȳ). THEOREM 7 EXAMPLE THE DUALITY SetTHEOREM up and solve (CONTINUED) the dual to the problem in Example 5 of Section 9.. Solution Let P be The a (primal) original linear problem programming is to problem and let P be its dual problem. Suppose P (or P ) has an optimal solution. Maximize f(x 1,x ) = x 1 + 3x c. If either P or P issubject solvedto by the simplex x method, 1 30 then the solution of its dual is displayed in the bottom row of the final x tableau 0 in the columns associated with the slack variables. x 1 + x 54 and x 1 0,x 0. Esben HøgCalculations in Example Noter 5 of tilsection kursusgang 9. showed 9, IMAT that theog optimal IMATØ solution of this problem 4. november / 10

6 9.4 Duality 47 The simplex method could be used here, but the geometric method of Section 9. is not too difficult. Graphs of the constraint inequalities (Fig. 1) reveal that F has three extreme points and that ȳ = 0 is the optimal solution. Indeed, g(ȳ) = 30( 1 ) + 3 Det duale problem (fortsat) 1 0(0) + 54( 3 ) = 96, as expected. y y 1 + y 3 = (, 3, 0) y + y 3 = 3 y (0, 0, ) 1 3 (, 0, ) (, 3, 0) g(y) y 1 (0, 0, ) 1 3 (, 0, ) y 3 FIGURE 1 The minimum of g(y1,y,y3) = 30y1 + 0y + 54y3. Example illustrates another important property of duality and the simplex method. Recall that Example 6 of Section 9.3 solved this same maximizing problem using the simplex method. Here is the final tableau: x 1 x x 3 x 4 x 5 M Esben Høg Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ 4. november / 10

7 Det duale problem (fortsat) To restriktioner i det duale: [ A = 0 1 y 1 + y 3 y + y 3 3 y 1, y, y 3 0 ] ( ) c = 3 (0, 0, ) : hjørnepunkter ( 1, 0, 3) : 96 (, 3, 0) : 10 Bemærk, at sidste række i sidste simplextabel giver den optimale løsning til det duale problem. Se nederst side 47, eksempel. Esben Høg Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ 4. november / 10

8 Fra eksempel 6 side 37 x 1 = antal kasser med mix1 af nødder x = antal kasser med mix af nødder max w x 1 + 3x x 1 30, x 0, x 1 + x 54, x 1 0, x 0. (cashews) (lberts) (peanuts) Esben Høg Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ 4. november / 10

9 Hvis antal cashews til rådighed forøges fra 30 til 30 + h, så kan vi se af det duale problem taget i den optimale løsning ȳ f ( x) = g(ȳ) = 30ȳ 1 + 0ȳ + 54ȳ 3, at så ville gevinsten stige med hȳ 1, fordi der så ville så (30 + h)ȳ 1 + 0ȳ + 54ȳ 3. Så altså: ȳ 1 repræsenterer værdien pr. vægtenhed af at forøge (eller formindske) mængden af cashews til rådighed. Det kaldes marginalværdien af cashews, eller bedre skyggeprisen af cashews. Kaldes også nogle gange for alternativomkostninger. Dvs. hvor meget man er villig til at betale for yderligere ressourcer af cashews. Se nu eksempel 4 side 49. Esben Høg Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ 4. november / 10

10 Komplementær slackhed De optimale løsningsvektorer x og ȳ til hhv. P og P opfylder komplementær slackhed: Hvis (A x) j < b j så er ȳ j = 0, og hvis (A ȳ) i > c i så er x i = 0. Komplementær slackhed benævnes ikke sådan i bogen, men det er et vigtigt begreb. Det nævnes indirekte aller øverst side 50. Elementerne (koordinaterne) i ȳ kaldes skyggepriser (eller marginal values). ȳ j 'erne (altså skyggepriserne) fremgår af nederste række i sidste simplextabel for det primale LP problem. En tolkning af komplementær slackhed er, at hvis en ressource ikke udnyttes fuldtud, så er skyggeprisen (værdien af at få udvidet kapaciteten af ressourcen med én enhed) lig med nul. Esben Høg Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ 4. november / 10