Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Transkript

1 Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017

2 Indhold 1 Endelige kvotientække Hvad e en ække? Kvotientække Opspaing og gæld Opspaing Gæld ÅOP - ålige omkostninge i pocent

3 Pivatøkonomi side 2 af 11 Noten foudsætte kendskab til omskivning fa ålig til månedlig ente: måned = (1 + å ) og omvendt å = (1 + måned ) 12 1 og tilsvaende omskivninge til eksempelvis kvatalsente. 2

4 Afsnit 1 Endelige kvotientække 1.1 Hvad e en ække? En ække i matematik e en sum af (muligvis uendeligt) mange led. I det følgende e vi kun inteesseede i at se på endelige ække, som f.eks Man vil ofte skive dette med følgende symbole: 14 k=1 1 k 2 Mee geneelt skive vi en endelig ække således: n a k = a 1 + a a n k=1 I det følgende skal vi buge en ganske speciel type af ække, kaldet en kvotientække (elle geometisk ække). 1.2 Kvotientække Definition 1. En ække på fomen n a k = a 0 + a 1 + a a n kaldes en (endelig) kvotientække. 3

5 Pivatøkonomi side 4 af 11 Det vise sig at det e imeligt simpelt at finde esultatet af denne sum, hvilket følgende sætning vise: Sætning 1. Summen af en endelig kvotientække, hvo a 1, kan findes ved: n a k = 1 an+1 1 a Bevis. Vi state med at sætte S n til at væe: S n = n a k Vi se nu på a S n S n : a S n S n = (a 1 + a a n + a n+1 ) (a 0 + a a n ) = a n+1 a 0 Heaf ses det at (a 1)S n = a n+1 1 hvo vi kan dividee igennem med a 1 (vi huske at a 1), og få: S n = an+1 1 a 1 = 1 an+1 1 a, hvilket vise det ønskede. Bemækning 1. Ovenstående sætning bude måske bevises ved induktion efte n, men det ovelades til den inteesseede læse at gøe dette. Eksempel 1. Vi beegne følgende to summe: 10 2 k = og 8 ( 1 ) k 3 = Buge vi fomlen, opnås: og 10 8 ( 1 k 1 ( 3) 1 = 3 )9 2 k = = 2047 = = = ,

6 Pivatøkonomi side 5 af 11 Opgave 1 Udegn følgende kvotientække: a) 5 3 k b) 7 1,02 k c) 15 ( 1 10) k d) 8 2 k Opgave 2 Vis, at n 2 k = 2 n+1 1 fo alle n N. Fomlen fo summen af en endelig kvotientække skal buges til udledning af fomle fo gælds- og opspaingsannuitetsfomle i det næste afsnit. 5

7 Afsnit 2 Opspaing og gæld Dette afsnit handle om, hvodan man kan beegne, hvo meget man kan spae op elle låne i foskellige situatione. Vi state med opspainge. 2.1 Opspaing I kende alleede entefomlen K n = K 0 (1 + ) n som angive hvo meget en kapital K 0 vokse, nå den foentes med en ente på (udtykt som decimaltal) på n temine. Opgave 3 Opgave 4 Agumenté fo entefomlens gyldighed. En konfimand, de lige e fyldt 14 å indsætte k ,- på en konto med en ente på 1,2% p.a. Han håbe på at han ved at lade pengene stå i banken til han fylde 17 å ha åd til at betale fo både et køekot (k. 7995,-) og samt til købe sig en bil (en gammel Golf GTi til k ,-). a) Han ved godt, at entene alene ikke hjælpe ham så meget, men hvo meget stå de på kontoen nå han blive 17 å? b) Han læse i et bev fa en konkueende bank, at hvis han skifte til dem, så vil han få ente på 10,5% p.a. det føste å og deefte 0,72% p.a. de eftefølgende å. Hvo mange penge vil han have nå han blive 17 å, hvis han skifte til konkuenten? c) Hvo mange penge mangle han fo at kunne købe køekot og bil? 6

8 Pivatøkonomi side 7 af 11 Opgave 5 En peson indsætte k. 5000,- på en konto. a) Hvo meget stå de på kontoen, hvis de tilskives en ente på 2,3% p.a. i 7 å? b) Hvo længe gå de fø beløbet e fodoblet? c) Hvad skal enten væe, hvis beløbet efte ti å skal væe fodoblet? Nu e det imidletidigt sådan at man ikke altid nojes med at indbetale et enkelt beløb som opspaing. Ofte vil man lave en fast månedlig indbetaling på f.eks. en opspaingskonto. Dette give selvfølgelig en beegningsmæssigt mee kompliceet situation, som vi skal undesøge nu. Sætning 2. Hvis de hve temin indbetales et beløb b på en konto, hvo de tilskives en ente (udtykt som decimaltal) hve temin, så vil beløbet på kontoen efte n temine væe givet ved K n = b (1 + )n 1 Bevis. Vi skal state med at genneskue systemet i indbetalingene og tilskivningen af ente. Vi antage at enten tilskives efte hve temin. 1. Temin: K 1 = b 2. Temin: K 2 = b (1 + ) + b 3. Temin: K 3 = (1 + )(b (1 + ) + b) + b = b (1 + ) 2 + b (1 + ) + b. n. Temin: K n = b (1 + ) n b (1 + ) 2 + b (1 + ) + b n 1 = b (1 + ) k Sidste led genkendes som en endelig kvotientække, og Sætning 1 give da, at K n = b 1 (1 + )n 1 (1 + ) = b 1 (1 + )n = b (1 + )n 1, hvilket pæcist va det vi ville vise. Bemækning 2. Også i ovenstående bevis kan man buge induktion, hvis man ønske. Så slippe man oven i købet fo at buge Sætning 1. Opgave 6 (Fotsættelse af opgave 4) Den stakkels konfimand mangle altså k ,- fo at have penge nok til sin plan. Han ha egnet ud at han i gennemsnit kan spae k. 400,- pe måned op. 7

9 Pivatøkonomi side 8 af 11 a) Hvad svae en ålig ente på 10,5% til i månedlig ente? b) Hvo meget kan han så spae op det føste å? c) Hvad med de to sidste å (ålig ente på 0,72%). d) Hvo mange penge mangle han nu, fo at nå sit mål? Opgave 7 En peson kan spae k. 1200,- om måneden til en ente på 0,3% pe måned. a) Hvo meget kan pesonen spae op på 3 å? På 8 å? b) Hvo lang tid skal de gå, fø pesonen ha spaet k ,- op? Opgave 8 Hvad skal den månedlige ente væe, hvis man skal spae k ,- op på 30 månede ved en indbetaling på k. 300,- pe måned? 2.2 Gæld Ligesom fo opspaing, ha vi også en fomel fo beegning af foskellige gældspaamete. Sætning 3. Et lån med støelsen (hovedstolen) H, de hve temin ha en ydelse på y, en ente (udtykt som decimaltal), de tilskives hve temin ove n temine vil opfylde 1 (1 + ) n H = y Bevis. Vi state med at gennemskue, hvad de ske med estgælden umiddelbat efte hve ydelse. Vi antage, at de tilskives ente umiddelbat fø hve ydelse. Vi huske at H e hovedstolen (lånets opindelige støelse) og vi betegne lånets støelse efte den n te temin med H n. 1. Temin: H 1 = H (1 + ) y 2. Temin: H 2 = ( H (1 + ) y ) (1 + ) y = H (1 + ) 2 y(1 + ) y 3. Temin: H 3 = ( H (1 + ) 2 y(1 + ) y ) (1 + ) y. H 3 = H (1 + ) 3 y(1 + ) 2 y(1 + ) y n. Temin: H n = H (1 + ) n y(1 + ) n 1... y(1 + ) 2 y(1 + ) y n 1 H n = H (1 + ) n y (1 + ) k Efte temin n skal lånet væe betalt tilbage, dvs. H n = 0. Vi ha altså n 1 n 1 0 = H (1 + ) n y (1 + ) k H (1 + ) n = y (1 + ) k 8

10 Pivatøkonomi side 9 af 11 Summen genkendes som en endelig kvotientække, og Sætning 1 give da H (1 + ) n = y 1 (1 + )n 1 (1 + ) = y 1 (1 + )n = y (1 + )n 1 Hei isolees nu H ved at gange med (1 + ) n på begge side af lighedstegnet: H = y (1 + )n 1 hvilket pæcist va det vi ville vise. (1 + ) n = y 1 (1 + ) n Opgave 9 (Fotsættelse af opgave 4 og 6) Konfimanden mangle stadig penge til sin plan. Så han beslutte sig fo at låne de sidste k. 8781,-. Banken vil imdletid ikke låne ham pengene, så han undesøge nu muligheden fo at lave et kviklån. Han satse på at nå han blive 17, vil han tjene lidt flee penge og de penge han bugte tilopspaing kan han buge til at tilbagebetale gæld. Samlet egne han med at kunne afbetale højst k. 800,- pe måned efte han blive 17. a) Konfimanden finde et kviklån, de ha en ente på 9,95% p.a. med månedlig entetilskivning. Hvo meget e det i månedlig ente? b) Hvis han skal låne det esteende beløb, hvo meget skal han så betale hve måned, hvis han vil betale pengene tilbage i løbet af et å? c) Hvo meget ha det så kostet ham at låne de sidste penge? 2.3 ÅOP - ålige omkostninge i pocent Det e ikke altid (man fistes til at sige: aldig) muligt at indse om et givent lånetilbud e favoabelt blot ved at se på enten. I stedet skal man finde de såkaldte ålige omkostninge i pocent (ÅOP). Dette e et låns eelle ente, nå alle omkostninge ved lånet e udtykt som én samlet ente. 1 Vi se på begebet ved et pa eksemple. 1 Det e således muligt at sammenligne lån på et mee kvalificeet gundlag, nå man kende ÅOP. Det e dog vigtigt, at lånene ha samme løbetid, og i den vikelige veden e det også vigtigt at inddage eventuelle entefadag i sine ovevejelse. Dette gø vi ikke he. 9

11 Pivatøkonomi side 10 af 11 Eksempel 2. Pia ha simpelthen bae så meget bug fo en ny smatphone, de uheldigvis koste den nette sum af k ,-. Men så mange penge e de bae ikke på kontoen (de e tom). Men heldigvis se Pia, at man kan købe alletides smatphone på afbetaling, UDEN at betale ente! Fantastisk! Figu 2.1: En butik eklamee med køb på afbetaling uden at skulle batale ente. Hvo fantastisk e dette tilbud mon? De e ikke åd til at betale pengene tilbage på et å, så Pia vælge at skulle afbetale ove to å. Det vise sig også, at de også e et månedligt opkævningsgeby på k. 29,-. Vi vil nu beegne de ålige omkostninge i pocent, altså det Pia eelt komme til at betale i ente. Vi beegne føst den månedlige ydelse. Det e i dette tilfælde let, da de ingen ente e, så vi skal blot dele k ,- (det lånte beløb på k ,- og opettelsesgebyet på k. 999,-) op i 24 lige stoe dele, det give y = = 249, 92 Ved udegning af de ålige omkostninge i pocent, skal vi buge fomlen H = y 1 (1 + ) n hvo vi indsætte H = 4999 (fo det e det beløb vi faktisk få i hændene til at købe fo), y = 249, = (vi skal huske at de e månedligt opkævningsgeby på k. 29,-) og n = 24 og løse ligningen med hensyn til (i f.eks. Nspie) = 278, 92 1 (1 + ) 24 hvilket give = 0, 0248, altså en månedlig omkostningsente ente på 2, 48%. Dette omegnes til ålige omkostninge i pocent: altså en ÅOP på lidt ove 34% (!). 1 + ÅOP = (1 + 0, 0248) 12 = 1,

12 Pivatøkonomi side 11 af 11 Figu 2.2: Pia finde dette tilbud, hvo hun skal betale 18,4% i ente, et opettelsesgeby på 5% af det lånte beløb, samt 9 k. om måneden i geby. Hvo godt e dette tilbud mon? Eksempel 3. Da Pia indse at hun eelt skal betale ove 34% i ente blive hun lidt lang i ansigtet, og fosøge at finde ande mulighede. Hun søge på nettet og indse at man hutigt kan låne mange penge. Pia skal selvfølgelig igen låne k ,- og hun vælge igen en løbetid på 24 månede. Opettelsesbegyet e 0, = 249, 95. De e et månedligt geby på 9 k og den ålige ente e 18,4%, dvs. 1, 417% = 0, pe måned. Ydelsen findes ved at løse ligningen 1 (1 + 0, 01417) , 95 = y 0, Dvs. y = 259, 54. Ålige omkostninge i pocent findes nu ved at løse ligningen (husk månedligt geby på 9 k): 4999 = 268, 54 1 (1 + ) 24 hvilket give = 0, 0214, som svae til en ÅOP på 28,9%. Altså et billigee lån, omend stadig dyt, da Pia effektivt vil betale næsten 6500 k. fo sin smatphone. Fotvivlet spøge Pia sin fa, om ikke hun må låne pengene af ham... Opgave 10 (Fotsættelse af opgave 4,6 og 9) Efte at have nælæst kviklånets betingelse indse konfimanden, at fo at låne k. 8781,- skal han betale et stiftelsesgeby på k. 500 plus 3% af det lånte beløb. a) Hvo meget eksta skal konfimanden betale? b) Hvis hele beløbet (altså lån samt geby) skal tilbagebetales på et å, hvo meget skal han så betale pe måned? c) Vi antage at konfimanden kan finde de sidste penge. Hvo meget e lånets ÅOP? d) Hvad ha det kostet ham at låne pengene? 11