Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a

Transkript

1 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a Mandag den 5. maj 014

2 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes 6 imer af holdes sædvanlige uddannelsesid il, a eleverne kan arbejde med forberedelsesmaeriale forud for den skriflige prøve. 3-5 spørgsmål i delprøve af den skriflige prøve ager udgangspunk i de maeriale, der findes i dee oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernesoffe. Oplægge indeholder eori, eksempler og øvelser i ilknyning il e emne, der ligger umiddelbar i forlængelse af e kernesofemne. Resulaerne af arbejde med dee forberedelsesmaeriale bør medbringes il den skriflige prøve. Alle hjælpemidler er illad, og de er illad a modage vejledning. 1

3 Indhold Indledning... 3 Linjeelemener... 4 Koblede differenialligninger... 6 Anvendelser af koblede differenialligninger... 8 Lancheser s model... 8 Andenordens differenialligninger Anvendelser af andenordens differenialligninger Andenordens differenialligninger forsa Anvendelser af andenordens differenialligninger forsa Bilag... 0 Koblede differenialligninger og faseplo i Maple... 0 Koblede differenialligninger og faseplo i Geogebra... 1 Koblede differenialligninger og faseplo i NSpire...

4 Indledning Dee forberedelsesmaeriale ager udgangspunk i førseordens differenialligninger som y ay, y = b- ay og y = y( b- ay), som du forudsæes a være forrolig med. I forberedelsesmaeriale er der både øvelser og opgaver. Øvelserne er ænk som hjælp il forsåelse af eorien, herunder beviser for nogle af sæningerne. Opgaverne er ænk som forberedelse il de opgaver, der kommer il den skriflige eksamen. I forberedelsesmaeriale anvendes 5 yper af farvede bokse. De grønne indeholder definiioner, de grå indeholder eksempler, de blå indeholder øvelser, de røde indeholder sæninger og de lilla indeholder opgaver. Bemærk, a der il eksamen vil blive sille krav om a egne faseplo for koblede differenialligninger. I bilagene ligger der vejledninger il, hvordan man anvender værkøjsprogrammerne Geogebra, NSpire og Maple il a egne disse. 3

5 Linjeelemener Førseordens differenialligningerne fra kernesoffe som y = ay, y = b- ay og y = y( b- ay) kan alle løses eksak. Der findes også differenialligninger, der ikke kan løses eksak. Du vil i de følgende møde eksempler på begge yper. Når differenialligninger ikke kan løses eksak, anvendes derfor andre løsningsmeoder. Disse meoder bygger på, a en differenialligning giver informaion om angenhældninger il løsningskurver. I differenialligningen dy 1 y d =-, er højre side en funkion af og y. Kalder vi denne funkion s(, y ), kan vi opskrive differenialligningen således dy s(, y) d = Hvis en løsningsfunkions graf herefer kalde en løsningskurve går igennem punke ( 0, y 0), så vil løsningskurvens angen i punke have hældningskoefficienen a = s( 0, y0). De re sørrelser ilsammen: 0, y 0 og s( 0, y 0 ) kaldes e linjeelemen. Hermed menes, a vi har e punk og e lille linjesykke gennem dee punk med hældningskoefficienen a = s( 0, y0). Linjeelemene beegnes ( 0, y0; a ). E plo af linjeelemener kaldes hældningsfele. På baggrund af disse linjeelemener kan man abellægge en god ilnærmelse il den løsning, der begynder i e besem punk. En sådan løsning kaldes en numerisk løsning. Vi illusrerer med e konkre eksempel, hvorledes linjeelemener kan hjælpe il a få overblik over løsningskurver il differenialligninger. Eksempel 1 Linjeelemener Vi vil som e konkre eksempel se på differenialligningen dy 1 y d =- Vi kan udregne en række linjeelemener hørende il denne differenialligning ved a vælge punker ( 0, y0) og indsæe disse i udrykke på højresiden i differenialligningen. For punke (,6) får vi fx 1 a =- 6 =- 6 dvs. (,6;- 6) er e linjeelemen for differenialligningen. Vi kan på den måde udregne en 4

6 række linjeelemener inden for fx grafvindue [- 10;10] [- 10;0]. Vi kan fx udregne angenhældninger for alle punker med helallige koordinasæ i dee vindue. De er jo emmelig mange beregninger, men dee kan nem auomaiseres i fx e regneark. De næse skrid bliver a egne små angensykker svarende il alle disse beregninger og de er omsændelig! Heldigvis har de flese værkøjsprogrammer en indbygge facilie il neop dee! Anvender vi denne får vi nedensående plo, hvoraf vi ydelig kan se konurerne af forskellige løsningskurver: Vælger vi nu fx begyndelsesværdien (,6), får vi samidig beskreve lige neop den ene løsningskurve, som går gennem dee punk. (,6) Her er løsningskurven gennem (,6) egne sammen med hældningsfele. De flese værkøjsprogrammer kan også hene løsningskurven, og egne denne uden de ilhørende hældningsfel. I nogle programmer er begyndelsespunke (svarende il begyndelsesværdien) dynamisk, så når man rækker i de, kan man se, hvordan løsningskurven ændrer sig, eller man kan indskrive flere begyndelsesværdier sammen med den enkele differenialligning. Vi har her ikke løs differenialligningen eksak, men vi har egne hældningsfele sammen med grafen for en numerisk løsning gennem punke (,6). 5

7 Opgave 1 Give differenialligningen dy y d = a) Besem linjeelemene i punke (3,). b) Tegn hældningsfele i e passende grafvindue sammen med løsningskurven gennem punke (3,). Koblede differenialligninger For modeller med flere variable er der e indbyrdes afhængighedsforhold mellem de variable. Sådanne sysemer beskrives ved en række sammenhørende differenialligninger. Man kan sammenligne e sysem af koblede differenialligninger med fx ligninger med o ubekende, hvor vi har brug for begge ligninger for a kunne besemme de o ubekende. Vi vil se på e sysem af o koblede differenialligninger du v d = og dv u d =-. u og v er begge funkioner af, men sammenkoblingen medfører, a vi ikke umiddelbar kan få egne løsningskurver for dem. I sede vælger vi en anden sraegi: Vi berager u og v som variable og ligningerne som en beskrivelse af variabelsammenhængen mellem dem. Dvs. vi vælger a afsæe u som 1. koordina og v som. koordina (eller omvend). Begyndelsesværdierne u (0) = og v (0) = 1 giver os punke (,1) i (u,v)-koordinasyseme som begyndelsesværdi for en grafisk fremsilling af variabelsammenhængen mellem u og v. Vi skifer hældningsfele ud med e reningsfel, hvor hver angensykke er ersae af en vekor, der viser den rening, e punk ( uv, ) bevæger sig, når gennemløber allinjen. 6

8 du du I punke (,1) er = 1 og =- =- 4. I reningsfele vil den pil, der sidder i ( uv, ) = (,1) pege i d d æ ö samme rening som vekoren ç 4, der derfor er reningsvekor for angenen i punke. ç- è ø Den grafiske fremsilling af sammenhængen mellem de o variable u og v kaldes e faseplo. Her har vi egne reningsfele for syseme af de koblede differenialligninger du v d = og dv u d =- sammen med faseploe gennem ( uv, ) = (,1), der viser sammenhængen mellem u og v. Bemærk, a højresiden i de o differenialligninger ikke indeholder idsparameeren, hvilke er en forudsæning for, a de giver mening a egne reningsfele og faseploe. Hvis vi vil undersøge løsningen nøjere, kan vi oversæe syseme af de o koblede differenialligninger il én førseordens differenialligning ved a anvende reglen om differeniaion af sammensa funkion på funkionen vu ( ( )): dv dv du dv = giver a - u= v og dermed dv - = u. d du d du du v Der kan være problemer med definiionsmængden, men de vil føre for vid a medage dee her. Denne ligning kan vi så løse med begyndelsesbeingelsen ( uv, ) = (,1) sædvanlig vis i e værkøjsprogram: ( v =- u v = u v) desolve and () 1,, v = 5-u u + v = 5 v. Differenialligningen løses på 7

9 Vi ser, a løsningen fremkommer på implici form, dvs. a udrykke indeholder de o variable, uden a v er isolere. Nogle værkøjsprogrammer løser ligningen fuld ud, sådan a v fremkommer som en funkion af u. Faseploe er alså en del af en cirkel med cenrum i (0,0) og radius 5. Opgave E sysem af koblede differenialligningen er give ved du dv =-3 v og 3 u d d = a) Besem vækshasighederne i punke ( u(0), v (0)) = (1,1), dvs. besem u (0) og v (0). b) Tegn reningsfele for syseme af koblede differenialligninger. c) Tegn e faseplo, der viser sammenhængen mellem u og v, med begyndelsesbeingelsen ( u(0), v (0)) = (1,1). Opgave 3 Forklar, hvordan reningsfele for syseme af koblede differenialligninger du dv =-k v og k u d d = ændrer sig for forskellige værdier af k. Brug ev. en skyder for k i di værkøjsprogram. Opgave 4 E sysem af koblede differenialligninger er give ved du dv =- v og 3 u d d =. Tegn reningsfele sammen med e faseplo, når de oplyses, a u (0) = 65 og v (0) = 90. Anvendelser af koblede differenialligninger Lancheser s model I forbindelse med fx e kampvognsslag, hvor o syrker kæmper mod hinanden, kan analle af hærenheder, u og v, som funkion af iden (mål i dage efer slages sar) modelleres ud fra Lancheser s model. E eksempel på en sådan model kan være e sæ koblede differenialligninger som u () =-a v() v () =-b u() hvor a og b er posiive konsaner, der angiver effekivieen af henholdsvis hærenhederne u og v. Opgave 5 a) Anag hærsyrkerne ved slages begyndelse er på u (0) = 00 og v (0) = 100 sam a a = 0,15 og b = 0,03. Udregn vækshasighederne u (0) og v (0), og giv e skøn over hærsyrkernes sørrelse il idspunkerne = 1 og =. 8

10 Eksempel I en Lanchesermodel for e slag mellem o hære, kan udviklingen i analle af hærenheder, u og v, som funkion af iden, beskrives ved følgende sæ af koblede differenialligninger u () =-0,1 v() v () =-0,07 u(), Begyndelsesbeingelserne er give ved u (0) = 400 og v (0) = 700. E reningsfel i grafvindue [ 0,500] [ 0,800] kan sammen med faseploe med de angivne begyndelsesbeingelser se ud som: (400,700) Af faseploe ses a punke (400,700) repræsenerer slages sar, og herefer miser begge syrker hærenheder. Slage ender med a u har 0 hærenheder, mens v har ca. 630 hærenheder. De konkluderes alså, a hæren u aber, og alle kampvognene er ødelag, og hæren v vinder med e ab på omkring 70 kampvogne. Opgave 6 Give Lanchesers model med paramerene a og b u () =-a v() v () =-b u() Vi anager førs, a a = 0,15 og b = 0,03. a) Tegn e faseplo for løsningen med begyndelsesbeingelserne u (0) = 10 og v (0) = 300. Forklar beydningen af faseploe. b) Tegn e faseplo for løsningen med begyndelsesbeingelserne u (0) = 50 og v (0) = 600. Forklar beydningen af faseploe. c) Tegn e faseplo for løsningen, hvor de o hærsyrker er lige sore il a begynde med. Forklar beydningen af faseploe. Anag nu, a a = 0,15 og b = 0,10. d) Tegn e faseplo for løsningen med forskellige begyndelsesbeingelser. Sammenlign med faseploene, hvor a = 0,15 og b = 0,03. 9

11 Andenordens differenialligninger De sysemer af koblede differenialligninger, vi har se på ovenfor, kan omskrives il andenordens differenialligninger, hvor kun u eller v indgår som ubekend. Dermed kan en eksak løsning besemmes. Opgave 7 Vi ser igen på de o koblede differenialligninger u () =-0,15 v() v () =-0,03 u() hvor u og v beegner analle af hærenheder, som funkion af iden (mål i dage efer slages sar). a) Differenier v () =-0,15 u() og vis, a den nye differenialligning kan skrives som v () = 0,045 v(). b) Differenier u ( ) =-0,03 v( ) og vis, a den nye differenialligning kan skrives som u () = 0,045 u(). c) Besem u (0) og v (0), når begyndelsesbeingelserne er give ved u (0) = 10 og v (0) = 300. d) Besem de parikulære løsninger, u() og v(), med de givne begyndelsesbeingelser i di værkøjsprogram. e) Besem analle af hærenheder i de o hære efer 5 dage. Vi har nu fåe omskreve de koblede differenialligninger u ( ) =-a v( ) og v ( ) =-b u( ) il o andenordens differenialligninger u ( ) = k u( ) og v () = k v(), hvor konsanen k= a b er den samme i begge differenialligninger. Vi ser nu på e mere generel sysem af koblede lineære differenialligninger: u () = a u() + b v() + c v () = d u() + e v() + f hvor a, b, c, d, e og f er konsaner, og u og v er funkioner af, som i de følgende blo beegnes med u og v. Differenialligningerne omskrives nu efer følgende opskrif: - differenier førse ligning - indsæ anden ligning i de fundne udryk - isoler v i førse ligning og indsæ også denne i samme udryk Proceduren genages, men nu ved førs a differeniere den anden ligning. Herved når man frem il følgende o andenordens differenialligninger: 1. u -( a+ e) u + ( ae- bd) u= bf - ec. v -( a + e) v + ( ae- bd) v = dc - af 10

12 Øvelse 1 a) Omskriv følgende koblede sysem il andenordens differenialligninger: u = 0,5u+ v v =- 0, 75u+,5v b) Udny begyndelsesbeingelserne u (0) = 1 og v (0) = il a udregne begyndelsesbeingelserne for u og v. c) Løs ligningerne med begyndelsesbeingelserne fra b) i di værkøjsprogram. Øvelsen er ikke e bevis for, a der er ækvivalens mellem koblede lineære differenialligninger og lineære andenordens differenialligninger. Men bevise følger den samme meode. I de følgende skal vi se på re yper af anden ordens differenialligninger sam deres løsninger. De er alle lineære differenialligninger af anden orden, dvs. de kan skrives på formen y + f1() y + f() y= g(), hvor f 1, f og g er givne funkioner af én variabel. Hvis g () = 0kaldes differenialligningen homogen. Ellers siges ligningen a være inhomogen. Vi vil kun beskæfige os med lineære differenialligninger af anden orden, hvor funkionerne f 1 og f er konsaner. Vi vil i dee afsni koncenrere os om følgende yper af andenordens differenialligninger: y = g(), hvor g er en koninuer funkion i e inerval I, y = a y, hvor a er en konsan, y + p y + q y= 0, hvor p og q er konsaner. y + p y + q y= k, hvor p, q og k er konsaner. For førseordens differenialligninger går der højs én løsningskurve gennem e give punk, dvs. man skal blo kende e punk på løsningskurven for a besemme den parikulære løsning il førseordens differenialligninger. For andenordens differenialligninger er e punk ikke nok il a besemme den parikulære løsning. Her skal man kende e linjeelemen ( 0, y0; a ), hvorigennem løsningskurven skal passere. For nogle andenordens differenialligninger er de dog ilsrækkelig a kende o punker på løsningskurven. Nogle andenordens differenialligninger kan løses ved a inegrere o gange. Man får herved o konsaner, og man skal derfor kende o punker eller e linjeelemen for a kunne finde den parikulære løsning. Opgave 8 a) Løs differenialligningen y = 5 ved a inegrere o gange. b) Besem den løsning, der går gennem punkerne (0,3) og (,30). c) Tegn hældningsfele og løsningskurven gennem de o punker. 11

13 Sæning 1 Den fuldsændige løsning il differenialligningen y = g(), hvor g er en koninuer funkion i e inerval I, er give ved ò () 1, y = G d+ c + c hvor G() er en samfunkion il g(), og hvor c 1 og c er vilkårlige konsaner. Øvelse Bevis sæningen ved a inegrere differenialligningen o gange på samme måde som i opgaven ovenfor. Opgave 9 a) Besem den fuldsændige løsning il differenialligningen b) Besem re løsninger, hvis grafer går gennem punke c) Besem den løsning, der går gennem punkerne d) Besem den løsning, der går gennem punke hældningskoefficien i punke P. y = 4e. P (1, e ). P (1, e ) og Q (5,0). P (1, e ), og som har en angen med Bemærk, a de for differenialligningen eller e linjeelemen for a faslægge en enydig løsning. y = 4e er nødvendig a kende enen o punker Sæning Den fuldsændige løsning il differenialligningen y = a y afhænger af foregne for Bevis konsanen a. 1) Hvis a = 0, så er den fuldsændige løsning give ved y= c1 + c. a - a ) Hvis a > 0, så er den fuldsændige løsning give ved y= c1 e + c e. 3) Hvis a < 0, så er den fuldsændige løsning give ved ( ) sin( ) y = c cos -a + c -a. 1 I alle re ilfælde gælder udrykke for alle, og c 1 og c er vilkårlige konsaner. Vi deler bevise op i re ilfælde svarende il de re muligheder for foregne for a. 1) Dee følger af sæning 1. Forklar hvorfor. a - a ) Førs bevises, a y= c1 e + c e ren fakisk er en løsning. Øvelse 3 Vis dee ved a gøre prøve. a - a Dernæs bevises, a der ikke findes andre løsninger il differenialligningen end y= c1 e + c e. Anag derfor, a y er en vilkårlig løsning il differenialligningen. 1

14 y = a y y -a y= 0 Vi omskriver differenialligningen ved a gange med fakoren e a og får: a a y e -a y e = 0 Nu lægger vi ledde e a y a il på vensre side og rækker de fra igen: a a a a y e + y a e -y a e -a y e = 0 Ved a bruge produkregnereglen for differeniaion baglæns kan dee kan omskrives il: a a ( y ) ( y a ) e - e = 0 Øvelse 4 Konrollér, a dee er rigig ved a differeniere ovensående vha. produkregnereglen for differeniaion. Nu bruges differensreglen for differeniaion il a samle de o differenialkvoiener: a a ( y y a ) e - e = 0 Begge sider inegreres, og vi får: a a y e -y a e = c, hvor c er en konsan. Vi ganger med e - a på begge sider af lighedsegne: a - a a - a - a y e e -y a e e = c e y -y a = c e - a Nu har vi alså oversa probleme il en lineær førseordens differenialligning. Vi omskriver denne ligning ved igen a gange med fakoren e - a. - a - a - a - a y e -y a e = c e e Ved a bruge produkregnereglen for differeniaion baglæns kan vensre omskrives il: a ( y e ) = c e - - a Øvelse 5 Konroller a dee er rigig ved a differeniere ovensående vha. produkregnereglen for differeniaion på vensre side og en poensregneregel på højre side. Begge sider af ligningen ovenfor inegreres, og vi får: - a 1 - a e a y e =- c + c, hvor c er en konsan. 13

15 Vi ganger nu med fakoren e a på begge sider af lighedsegne: - a a 1 - a a a a y e e =- c e e + c e. Vi omdøber konsanen - il c 1 og anvender en poensregneregel: c a - a a 1 e e y= c + c. Vi har hermed bevis a en vilkårlig løsning y il differenialligningen kan skrives på formen - a a 1 e e y= c + c. ) Vi mangler nu de sidse a de re ilfælde, og vi vil bevise, a y c1 cos( a ) c sin( a ) fakisk er en løsning il differenialligningen y = a y, med a < 0. = ren Øvelse 6 Vis dee ved a gøre prøve. Til sids skal de bevises, a der ikke findes andre løsninger il differenialligningen end ( ) sin( ) y = c cos -a + c -a. Bevise udelades her, men findes i gængse lærebøger. 1 Nedenfor ses re mulige løsningskurver il differenialligningen y = a y. En hvor a = 0, en hvor a er negaiv og en hvor a er posiiv. 14

16 Anvendelser af andenordens differenialligninger Med sæning kan vi arbejde videre med differenialligningerne fra Lanchesers model. Opgave 10 Besem en parikulær løsning il hver af de o andenordens differenialligninger fra opgave 7 v () = 0,045 v() og u () = 0,045 u(). med begyndelsesbeingelserne u (0) = 10, v (0) = 300, u (0) =- 45 og v (0) =- 3,6. Opgave 11 Give differenialligningen y = 6 y. a) Brug sæning il a opskrive den fuldsændige løsning. b) Brug sæning il a besemme den parikulære løsning, hvis løsningskurve går gennem linjeelemene (1,;). c) Konroller din løsning il differenialligningen ved hjælp a di værkøjsprogram. Andenordens differenialligninger forsa Inden vi ser nærmere på den sidse af de re andenordens differenialligninger, nemlig y + p y + q y= 0 indfører vi de ilhørende karakerisiske polynomium. Definiion 1 Ved de karakerisiske polynomium for differenialligningen y + p y + q y= 0 forsås andengradspolynomie g( x) = x + p x+ q, hvor vi har kald den variable x for a undgå sammenblanding med variablen i differenialligningen. De karakerisiske polynomiums diskriminan og evenuelle rødder spiller en væsenlig rolle for løsningen af den ilhørende differenialligning. 15

17 Sæning 3 Den fuldsændige løsning il differenialligningen y + p y + q y= 0, hvor p og q er konsaner, afhænger af diskriminanen polynomium g( x) = x + p x+ q. d = p - 4q for de ilhørende karakerisiske 1) Hvis d > 0, så har de karakerisiske polynomium o rødder l og m, og den fuldsændige løsning il differenialligningen er mængden af funkioner på formen l 1 m, y = c e + c e hvor c 1 og c er vilkårlige konsaner. ) Hvis d = 0, så har de karakerisiske polynomium én rod, og den fuldsændige løsning il differenialligningen er mængden af funkioner på formen: l 1 l, y = c e + c e hvor c 1 og c er vilkårlige konsaner. 3) Hvis d < 0, så er den fuldsændige løsning il differenialligningen mængden af funkioner på formen: 1 p ( ) sin 1 ( ) - p y c e cos d c e d = - + -, hvor c 1 og c er vilkårlige konsaner. Bevise udelades her, men kan læses i flere gængse lærebøger. Nedenfor ses re mulige løsningskurver il differenialligningen y + p y + q y= 0. Én for hver af de re foregn for de karakerisiske polynomiums diskriminan d. 16

18 Opgave 1 Give differenialligningen y -4 y + 5 y= 0 a) Opskriv de karakerisiske polynomium, og besem den ilhørende diskriminan. b) Gør rede for, hvilken ype forskrif løsningen () f kan beskrives ved. c) Besem den parikulære løsning, som opfylder, a f p ( ) = 0 og ( ) p. f = Opgave 13 Give differenialligningen y = y + y. a) Opskriv de karakerisiske polynomium, og besem den ilhørende diskriminan. b) Gør rede for, hvilken ype forskrif løsningen () f kan beskrives ved. c) Besem den parikulære løsning, hvis graf går gennem linjeelemene 1 ( ) 3, ;. Opgave 14 Give differenialligningen 0 y + 40 y + 0 y= 0 a) Opskriv de karakerisiske polynomium, og besem den ilhørende diskriminan. b) Gør rede for, hvilken ype forskrif løsningen () f kan beskrives ved. c) Besem den parikulære løsning, som opfylder a f (0) = 5 og f (0) = 0. Anvendelser af andenordens differenialligninger forsa Eksempel 3 Fjeder uden frikion E lod er ophæng i en fjeder, og når vi rækker i lodde og slipper, så bevæger fjederen sig op og ned. Vi anager førs, a der ikke er nogen frikion i bevægelsen, og a lodde derfor vil forsæe med a bevæge sig op og ned. Bevægelsesligningen for lodde kan beskrives ved k m y () =- y(), hvor y() er loddes afsand fra ligevægspunke, er iden, m er loddes masse og k er en konsan herefer kalde fjederkonsanen. 17

19 Opgave 15 E lod på 0,5 kg ophænges i en fjeder. De rækkes 4 cm væk fra ligevægspunke, holdes i hvile e øjeblik, slippes il = 0, og sarer derefer sine svingninger. Fjederkonsanen er k = 3. a) Opskriv begyndelsesbeingelserne og differenialligningen. b) Løs differenialligningen vha. af sæning, så du får e udryk for y som funkion af. Tjek din løsning ved også a løse differenialligningen i di værkøjsprogram. c) Tegn grafen for y. Eksempel 4 Fjeder med frikion En fjeder vil naurligvis ikke forsæe i evighed med a svinge op og ned. Udsvingene vil afage med iden på grund af frikion. Tager man dee aspek med i modellen for fjederens bevægelse, ændres bevægelsesligningen il: b m k m y () + y () + y () = 0, hvor y() er loddes afsand fra ligevægspunke, er iden, m er loddes masse, k er fjederkonsanen, og b er en konsan. Opgave 16 For en besem fjeder er m = 10kg, k = 6,5 og b = 6. a) Opskriv differenialligningen med disse konsaner indsa, og opskriv de karakerisiske polynomium, der hører il denne differenialligning. b) Besem diskriminanen for de karakerisiske polynomium sam evenuelle rødder. c) Besem den fuldsændige løsning il differenialligningen. d) Besem den parikulære løsning, når y (0) = 3 og y (0) = 7,1. e) Tegn grafen for y. f) Denne ype af fjedersvingninger kaldes dæmpede svingninger. Hvorfor mon? Opgave 17 For en besem fjeder er m = 1kg, k = 9 og b = 6. a) Besem den parikulære løsning, når y (0) = 3 og y (0) = 4. b) Tegn grafen for y. c) Denne ype af fjedersvingninger kaldes kriisk dæmpede svingninger. Hvorfor mon? Opgave 18 For en besem fjeder er m = kg, k = 8 og b = 10. a) Besem den parikulære løsning når y (0) = 1 og y (0) =- 7. b) Tegn grafen for y. c) Denne ype af fjedersvingninger kaldes overdæmpede svingninger. Hvorfor mon? 18

20 Bevægelsesligningerne i ovensående eksempler med fjedre kan også bruges il a beskrive andre yper af svingninger. Eksempel 5 Lidokain i blode I behandling af uregelmæssig hjereryme kan e sysem af koblede differenialligninger modellere brugen af medikamene lidokain. Anag, a u () beegner massen af lidokain i blode (mål i mg), og v () beegner massen af lidokain i kropsvæve (mål i mg). De koblede sysem af differenialligninger kan for en besem kropsvæg da opsilles som: u ( ) 0,09 u( ) 0,038 v( ) v ( ) 0,066 u( ) 0,038 v( ) I modellen er massen af lidokain i blode il a begynde med 0, og massen af lidokain i kropsvæve svarer il massen af den dosis, der indsprøjes. Kilde: J. M. Cushing, Differenial Equaions: An Applied Approach Øvelse 7 a) Omskriv de koblede sysem af differenialligninger i eksempel 5 il. ordens differenialligninger. b) Besem de parikulære løsninger il syseme af koblede differenialligninger i eksempel 5, når begyndelsesbeingelserne er u (0) = 0 og v (0) = 1. b) Tegn e faseplo for disse løsninger. Eksempel 6 Markeingssraegi En kosmeikkæde har en markeingssraegi for prisen på en besem shampoo. I e sysem af koblede differenialligninger beegner u () prisen på shampoo, og v () beegner lagermængden af den beseme shampoo. E sysem af koblede differenialligninger for den beseme shampoo kan formuleres som: u () v() v ( ) u( ) 6 v( ) 89 4 med begyndelsesbeingelserne u(0) 10 og v(0) 7. Øvelse 8 a) Omskriv de koblede sysem af differenialligninger i eksempel 6 il. ordens differenialligninger. b) Besem de parikulære løsninger il syseme af koblede differenialligninger fra eksempel 6. c) Hvad sker der med pris og lagermængde, når bliver mege sor. d) Tegn e faseplo for disse løsninger. 19

21 Bilag Koblede differenialligninger og faseplo i Maple Udgangspunke er e sysem af koblede af differenialligninger u () 0, v() v () 0,08 u() En parikulær løsning skal opfylde u(0) 50 og v (0) = 10. Hvis e reningsfel ønskes egne sammen med faseploe, så er de mulig i Maple med pakken DEools og kommandoen Deplo 0

22 Koblede differenialligninger og faseplo i Geogebra Udgangspunke er e sysem af koblede af differenialligninger u () 0, v() v () 0,08 u() En parikulær løsning skal opfylde u(0) 50 og v(0) 10. Hvis e reningsfel ønskes egne sammen med faseploe, så er de mulig i Geogebra med dee workshee hp:// eller Geogebrafilen GeogebraFaseplo. 1

23 Koblede differenialligninger og faseplo i NSpire Udgangspunke er e sysem af koblede af differenialligninger u () 0, v() v () 0,08 u() En parikulær løsning skal opfylde u(0) 50 og v(0) 10. Hvis e reningsfel ønskes egne sammen med faseploe, så er de mulig i grafvindue i NSpire. Under Grafindasning/Rediger vælges førs Differenialligninger : Herefer indases den førse differenialligning sammen med begyndelsesbeingelsen for u. Bemærk a u kalds y1 og v kaldes y. Herefer indases den anden differenialligning sam begyndelsesbeingelser for v, og der klikkes på knappen med de re prikker yders il højre: Vælg følgende indsillinger i de fremkomne vindue:

24 Til sids ændres vindues sørrelse, så de passer il faseploe: 3

25

26

27

28