תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 למדמ"ח (פרט לדטרמיננטות והעתקות לינאריות)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 למדמ"ח (פרט לדטרמיננטות והעתקות לינאריות)"

Transkript

1 תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 למדמ"ח (פרט לדטרמיננטות והעתקות לינאריות) בועז צבאן 21 במאי 2012 תקציר זה כולל, עבור חלק מהטענות (בדרך כלל, אלה שאינן מיידיות מההגדרות), את רעיון ההוכחה המרכזי (בצבע כחול), בשורה נפרדת. את פרטי ההוכחות, אם צריך, תמצאו בסיכומי ההרצאות. מוסכמות: ערכים שאינם כתובים במטריצות, הם אפס ואינם מצויינים כדי שיהיה קל יותר לזכור. טענות שכתובות בלי כמתים, הכוונה שהן נכונות לכל אובייקט שמופיע בטענה, כאשר אובייקטים כמו,v,u w (עם או בלי אינדקסים) מציינים תמיד וקטורים במרחב רלוונטי, ואובייקטים כמו,α,β γ (עם או בלי אינדקסים) מציינים תמיד סקלרים בשדה רלוונטי. בהצגות אופרטורים לינאריים, אם לא יצויין אחרת, תמיד הכוונה לשימוש באותו בסיס בתחום ובטווח. 1 ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים.1 ערך עצמי של מטריצה ריבועית :A F n n סקלר λ F כך שיש v F n 0 שעבורו.Av = λv λ). לערך עצמי (המתאים A כזה נקרא וקטור עצמי של v 2. ערך עצמי יכול להיות ( 0 המטריצה אינה הפיכה)..3 מציאת הערכים העצמיים: λ ערך עצמי 0 = A. λi 4. הערכים העצמיים של מטריצה משולשית הם אברי האלכסון שלה. ( ) 0 1 מעל.( λi A = λ ) R 5. דוגמא שאין ערכים עצמיים: מציאת הוקטורים העצמיים: אלה הפתרונות הלא טריויאליים של המערכת ההומוגנית 0 = A) x (λi (או 0 = x.((a λi).7 תרגום המושגים והמשפטים לאופרטורים לינאריים :T : V V (א) הגדרת ערך עצמי ווקטור עצמי של אופרטור לינארי. ) V (.T v = λv, 0 v (ב),λ v וקטור עצמי וערך עצמי מתאימים של,λ [v] T וקטור עצמי וערך עצמי מתאימים של ] T]. 8. באתר הקורס: שיטות למציאת שורשי פולינומים. 2 ליכסון (בסיסי).1 מטריצות ריבועיות A, B דומות: יש מטריצה הפיכה P כך ש.B = P 1 AP 2. למטריצות דומות אותה דטרמיננטה..3 n n A F לכסינה אם A דומה למטריצה אלכסונית (יש P F n n הפיכה כך שהמטריצה P 1 AP אלכסונית). 4. יישום: חישוב חזקה גבוהה של מטריצה לכסינה. אם D = P 1 AP אלכסונית, אז 1 DP A = P ואז 1 P.A k = P D k 1

2 5. קריטריון בסיסי לליכסון מטריצה: מטריצה ריבועית היא לכסינה יש בסיס המורכב מוקטורים עצמיים שלה. אברי בסיס זה הם עמודות המטריצה המלכסנת. λ 1 1 P אז AP e i = λ i P e i,p 1 AP e i = λ i e i והעמודות P e i של P הן בסיס. AP =... ( ) אם ( ) אם הבסיס } n B = {v 1, v 2,..., v מורכב מוקטורים עצמיים של,A ניקח ) n P = (v 1,..., v (עמודות המטריצה). נחשב את P 1 AP לפי כפל עמודה עמודה (ונשים לב ש.(P 1 v i = e i 6. הערכים העצמיים מופיעים באלכסון המטריצה האלכסונית המתקבלת, לפי סדר הוקטורים העצמיים..7 המרחב העצמי λv}.v λ = V λ (A) := {v F n : Av = זה (תת )מרחב. λ 1 := (n) n,j λ,2 אינו לכסין. λ....8 בלוק ג'ורדן Fn n 1... λ λ n.9 תרגום לאופרטורים לינאריים :T : V V [T ] B אלכסונית. (א) T לכסין אם יש בסיס B כך שהמטריצה (ב) אברי B כנ"ל הם וקטורים עצמיים של T, ולכן: T לכסין יש בסיס המורכב מוקטורים עצמיים שלו. (ג) המרחב העצמי λv}.v λ = V λ (T ) := {v V : T v = = A הוא λ 1... λ n 3 הפולינום האופייני.1 הפולינום האופייני A.p A (x) := xi 2. הערכים העצמיים של A הם שורשי (x) p. A 3. הפולינום האופייני של מטריצה משולשית (בפרט אלכסונית או סקלרית).p A (x) = (x λ 1 ) (x λ n ).4 פולינום מתוקן.f(x) = x k + a k 1 x k a 0 5. תיקון פולינום שאינו 0: כפל בהופכי של המקדם המוביל..6 הפולינום האופייני של :A F n n (א) מתוקן ומעלתו n. (ב) אם,p A (x) = x n + a n 1 x n a 0 אז A,a 0 = ( 1) n ו tr(a).a n 1 = בחישוב הדטרמיננטה A xi כסכום של מכפלות, רק תמורת הזהות משפיעה על מקדמי 1 n x. n, x.a 0 = p A (0) = A 7. למטריצות דומות אותו פולינום אופייני (ובפרט אותם ערכים עצמיים). 8. בתרגיל: פולינום אופייני של אופרטור לינארי מוגדר היטב, ושווה לפולינום האופייני של כל הצגה שלו. 4 ריבוי גאומטרי ואלגברי.1 חלוקה של פולינומים עם שארית: לכל [x] f(x) F ממעלה 1 או יותר, ולכל [x] g(x) F ממעלה,1 יש r(x) q(x), [x] F כך ש: (א) (x).f (x) = g (x) q (x) + r (ב) המעלה של r(x) קטנה מזו של.g(x) 2

3 (ללא הוכחה.).2 אם α שורש של פולינום,f(x) אז α)g(x) f(x) = (x לאיזשהו פולינום.g(x).α קבוע. מציבים את r(x) ו f(x) = (x α)g(x) + r(x) 3. פולינום מחלק פולינום: f(x) g(x) אם יש פולינום (x) h כך ש h(x)f(x).g(x) =.4 הראינו: אם = 0,g(α) אז α) g(x).(x.5 ריבוי אלגברי של ערך עצמי :λ ה k המקסימלי כך ש (x).(x λ) k p A 6. ריבוי גאומטרי של ערך עצמי.dim V λ λ: ( λi.p 1 AP = O.1 dim V λ האלגברי הריבוי n.7 ) משלימים את הבסיס של V λ לבסיס של V ושמים בעמודות מטריצה P. מכפל עמודה עמודה,.p A (x) = p P 1 AP (x) 8. בתרגיל: דוגמאות קצה במטריצות n: n (א) מטריצה סקלרית :λi ריבוי אלגברי וגם גאומטרי n. (ב) בבלוק ג'ורדן: ריבוי אלגברי n, ריבוי גאומטרי 1. 5 קריטריון מפורט לליכסון ושילוש מטריצה 1. אם A לכסינה, אז (x) p A מתפרק לגורמים לינאריים מעל F. למטריצות דומות אותו פולינום אופייני. 2. וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם בת"ל. ניקח i מינימלי כך ש v 1,..., v i תלויים לינארית. ניקח צירוף לא טריויאלי שלהם שמתאפס, נכפול ב A לקבל עוד אחד, ומשניהם עוד אחד, קצר יותר, סתירה. 3. מסקנה: אם למטריצה יש n ערכים עצמיים שונים, אז היא לכסינה. (אך יש מטריצות לכסינות עם ערך עצמי יחיד, למשל (.λi 4. קריטריון מפורט לליכסון כאשר (x) p A מתפרק לגורמים לינאריים: A לכסינה הריבוי הגאומטרי של כל ערך עצמי שווה לריבוי האלגברי שלו. סכום הריבויים האלגברים הוא n. ( ) n הוקטורים העצמיים הבת"ל מתחלקים בין הערכים העצמיים השונים, ולכן סכום הריבויים הגאומטריים n. אם יהיה ערך עצמי עם ריבוי גאומטרי קטן מהאלגברי, סכום הריבויים הגאומטריים יהיה קטן מ n. ( ) נקבל שסכום הריבויים הגאומטריים הוא n, ווקטורים עצמיים עם ערכים עצמיים שונים הם בת"ל, לכן יש n וקטורים עצמיים בת"ל. 5. כל מטריצה משולשית עליונה דומה למטריצה משולשית תחתונה (ולכן גם להיפך). 1.P =... ניקח 1 6. משפט השילוש. A F n n דומה למטריצה משולשית עליונה (x) p A מתפרק לגורמים לינאריים מעל F. ( ) λ.p 1 AP = נשלים וקטור עצמי v לבסיס ונשים בעמודות P. אז 0 B (x) p A (x) = (x λ)p B ולכן גם (x) p B מתפרק לגורמים לינארים. ( ) 1 0 A. תשלש את P באינדוקציה על גודל המטריצה, יש Q שמשלשת את B, ואז 0 Q 3

4 6 משפט קיילי המילטון והפולינום המינימלי.1 הצבת מטריצה בפולינום: עבור A F n n ו,f(x) = a 0 + a 1 x + + a k x k.f(a) := a 0 I + a 1 A + + a k A k.2 משפט קיילי המילטון..p A (A) = O,(xI A) adj(xi A) = p A (x)i = (x n + + α 0 )I ואפשר לכתוב. adj(xi A) = B 0 + xb x n 1 B n 1 מציבים ומשוים אגפים..3 לכל פולינום f(x) כך ש,f(A) = O מתקיים.p A (x) (f(x)) n כמו בהוכחת קיילי המילטון, מחשבים בשיטת מצליח מטריצות B 0,..., B k 1 F n n כך שהמטריצה B(x) = B 0 + xb 1 + x 2 B a k 1 x k 1 B k 1 תקיים.(xI A)B(x) = m A (x)i מפעילים דטרמיננטה על שני האגפים. 4. באתר הקורס: הפולינום האופייני של המטריצה המלווה matrix).(companion 5. הפולינום המינימלי (x) m: A הפולינום המתוקן מדרגה מינימלית שמאפס את A. 6. הפולינום המינימלי יחיד. הפרש בין שני פולינומים מינימליים הוא ממעלה קטנה יותר ואם אינו אפס, אפשר לתקנו, סתירה..7 דרגתו.n ממשפט קיילי המילטון..f(A) = O כך ש f(x) ולמעשה כל פולינום m A (x) p A (x).8.a נציב את.f(x) = m A (x)q(x) + r(x) 9. מסקנה: לפולינום האופייני והמינימלי אותם גורמים אי פריקים. בפרט, כל ערך עצמי הוא שורש של (x) m. A.10 הפולינום המינימלי של λi F n n הוא.x λ.11 הפולינום המינימלי של בלוק ג'ורדן (λ) J n הוא.(x λ) n, A = A 1 O O O A O O O A k 12. מטריצה אלכסונית בלוקים: מטריצה מהצורה כאשר A 1, A 2,..., A k מטריצות ריבועיות מעל אותו שדה (לאו דווקא מאותו סדר). 13. הפולינום האופייני והמינימלי של מטריצה אלכסונית בלוקים: עבור A כנ"ל, p A (x) = p A1 (x) p A2 (x)... p Ak (x) m A (x) = lcm (m A1 (x), m A2 (x),..., m Ak (x)) כאשר lcm של פולינומים הוא הכפולה המשותפת הקטנה ביותר שלהם, כלומר הפולינום המתוקן הכי קטן שמתחלק בכולם בלי שארית. באתר הקורס: דוגמאות. 14. בתרגיל: למטריצות דומות יש אותו פולינום מינימלי. 4

5 7 צורת ג'ורדן של מטריצה (סקירה בלי הוכחות) 1. תהי A F n n מטריצה שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים. אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים שכל בלוקיה הם בלוקי ג'ורדן (λ) J: m J m1 (λ 1 ) J m2 (λ 2 )... Jmk (λk) ) k λ 1,..., λ אינם בהכרח שונים). 2. צורת ג'ורדן של מטריצה היא יחידה, עד כדי שינוי סדר הבלוקים. 3. הריבוי הגאומטרי של כל ערך עצמי λ הוא מספר הבלוקים עם ערך עצמי λ בצורת ג'ורדן של A. 4. מעלת כל גורם x λ ב (x) m A שווה לגודל הבלוק הגדול ביותר עם ערך עצמי λ בצורת ג'ורדן של A. 5. כאשר (x) p A מתפרק לגורמים לינאריים: A לכסינה לכל ערך עצמי λ, מעלת x λ בפולינום המינימלי היא מטריצות שהפולינום האופייני שלהן מתפרק לגורמים לינאריים הן דומות אם ורק אם יש להן אותה צורת ג'ורדן (עד כדי סדר הבלוקים). 7. באתר הקורס: דוגמאות. 8 מכפלה פנימית 1. מכפלה פנימית על מרחב וקטורי מעל הממשיים או המרוכבים: (א) לינאריות ברכיב הראשון: v. α 1 u 1 + α 2 u 2, v = α 1 u 1, v + α 2 u 2, (כלומר, v u u, העתקה לינארית). (ב) הרמיטיות: u. u, v = v, (מעל,R זו סימטריות u (. u, v = v, (ג) אי שליליות: 0 v v, (ממשי) ושויון 0 =.v.2 המכפלה הפנימית הסטנדרטית על F n (וקטורי עמודה):. u, v := u t v α 1 β 1...,. במפורש: = α 1 β α n β n. α n β n.3 כמו לינאריות (ומעל R לינאריות ממש) ברכיב השני: 2. u, β 1 v 1 + β 2 v 2 = β 1 u, v 1 + β 2 u, v.g {v1,...,v k } := v 1, v 1 v 1, v k.. v k, v 1 v k, v k F k k 4. מטריצת גראם.5 עבור B בסיס:. u, v = [u] t B G B[v] B. u, v = n אם,u = α 1 v α n v n, v = β 1 v β n v n אז מלינאריות וכמו לינאריות, j i,j=1 α iβ j v i, v 6. מסקנה: מטריצת גראם קובעת את המכפלה הפנימית; מכפלות פנימיות שמתלכדות על בסיס הן זהות..G B = ( [I] C) B t GC [I] B C 7. לכל זוג בסיסים,B C מתקיים מחשבים את ei tae j עבור כל אחת משתי המטריצות, ומראים שיוצא אותו דבר לכל,i. j 5

6 9 נורמה, בסיס אורתונורמלי.1 נורמה: פונקציה : V R המקיימת: (א) אי שליליות: 0 v ושיויון 0 =.v (ב) הומוגניות: v. αv = α (ג) אי שיויון המשולש: v. u + v u +.2 נורמה מושרית ממכפלה פנימית: v. v := v, 3. הנורמה המושרית ממכפלה פנימית מקיימת אי שליליות והומוגניות. (רק עליהם נסתמך עד שנוכיח את אי שיויון המשולש.).ṽ := 1 1 v לקבלת הוקטור v v.4 וקטור נורמלי: וקטור v המקיים = 1. v 5. נירמול וקטור: הכפלה בסקלר 6. אפשר לנרמל כל וקטור פרט ל 0, והוקטור המנורמלי ṽ מקיים = 1 ṽ..u v סימון:. u, v מאונכים אם = 0 u, v.7 8. תכונות: (א).v 2 v 1 = v 1 v 2 (ב) v. 0 (ג).αv 1 βv 2 = v 1 v 2 9. קבוצה S היא אורתוגונלית אם כל שני איברים שונים שלה מאונכים S אורתוגונלית S בת"ל. i, α 1 v α k v k, v i = α i v i, v לכן אם הצירוף מתאפס המקדמים מתאפסים. 11. קבוצה אורתונורמלית: קבוצה אורתוגונלית שכל איבריה נורמלים. 12. קבוצה אורתונורמלית היא בת"ל. { 1 i = j.g B = I (1 i, j n (לכל v i, v j = 0 i j קבוצה אורתונורמלית B = {v 1,..., v n } בסיס אורתוגונלי: בסיס שהוא קבוצה אורתוגונלית. 15. בסיס אורתונורמלי: בסיס שהוא קבוצה אורתונורמלית..16 ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית, הבסיס הסטנדרטי } n {e 1,..., e הוא בסיס אורתונורמלי של.F n 17. עבור בסיס אורתונורמלי, המכפלה הפנימית שווה למכפלה פנימית הסטנדרטית של הצגות הוקטורים,u. v = [u] t B [v] B.G B = I ו u, v = [u] t B G B[v] B.18 הצגת וקטור לפי בסיס אורתונורמלי: אם,v = α 1 v α n v n אז i.α i = v, v.19 משפט פיתגורס: עבור בסיס אורתונורמלי } n B = {v 1,..., v ווקטור,v = α 1 v α n v n. v 2 = [v] t B[v] B = α α n 2 6

7 10 בסיס אורתונורמלי והטלות.A := A t = A t.1.2 מטריצה אוניטרית: 1 A.A =.3 A אוניטרית t A אוניטרית. 4. מטריצה אוניטרית שורותיה בא"נ במ"פ הסטנדרטית עמודותיה בא"נ במ"פ הסטנדרטית. 5. מטריצת מעבר בין בא"נ היא אוניטרית..I ושתי המטריצות גראם הן ( [I] E F ) t GF [I] E F = G E.6 המרחב הניצב לקבוצה: 0} = u.s = {v V : u S, v, זה (תת )מרחב..S = span(s).7.8 היטל של וקטור לתת מרחב W עם בסיס אורתוגונלי } k :B = {w 1,..., w.π B (v) := v, w 1 w 1 2 w v, w k w k 2 w k אם נכפול את וקטורי הבסיס האורתוגונלי בסקלרים שונים מאפס, התוצאה לא תשתנה. אם הבסיס אורתונורמלי, אז.π B (v) := v, w 1 w v, w k w k 9. ההיטל שייך לתת המרחב..v W π B (v) = v.10.v π B (v) W.11.v π B (v) B = W 11 המרחב הניצב ותהליך גראם שמידט.1 תהליך גראם שמידט (בלי נירמול): יהיו v 1,..., v n בסיס. (א) v 1 := v 1. (ב) עבור > 1,k v k := v k π { v1,..., v k 1 } (v k ). אופציונלי: כפל v k בסקלר.0 { v1 }.2 לכל, v k,k..., בסיס אורתוגונלי של } k.span {v 1,..., v בפרט, בסוף מתקבל בסיס אורתוגונלי של המרחב כולו. לקבלת בסיס אורתונורמלי, אפשר לנרמל בסוף. הכפל בסקלר לא משנה את ההטלות ולכן לא משנה את התהליך. { v1 } { v k = v v1 ולכן span {v 1,..., v k } span,..., v k ולכן שווים. } k +π { } v1,..., (v v k ) span,..., v k k 1 3. כל קבוצה אורתונורמלית אפשר להשלים לבסיס אורתונורמלי. משלימים לבסיס ומפעילים גראם שמידט. הקבוצה האורתונורמלית אינה משתנה בתהליך..4 אי שיוויון בסל: עבור v 1,..., v k אורתונורמלים, 2 k, v 2 v, v v, v ושויון } k.v span {v 1,..., v השלמה לבסיס אורתונורמלי ומשפט פיתגורס. אם מתקיים שויון, אז = 0 2 n. v, v k v, v.5 אי שיוויון קושי שוורץ: v u, v u ושיוויון הם תלויים לינארית. אורתונורמלי; אי שיויון בסל. u u 7

8 12 שימושים של גראם שמידט ומשפט הפירוק הניצב 1. "הנורמה המושרית" מקיימת את אי שיוויון המשולש (ולכן היא נורמה). v 2 ; u + v 2 = u 2 + u, v + v, u + הפעלת ערך מוחלט, אי שיויון המשולש למספרים ממשיים, ואי שיויון קושי שוורץ. 2. מטריצת המעבר מתוצר תהליך גראם שמידט לבסיס המקורי היא משולשית עליונה. (ולכן גם מטריצת המעבר בכוון ההפוך.).3 משפט הפירוק הניצב: לכל תת מרחב U של V מתקיים.U U = V הוקטורים שמשלימים בסיס אורתונורמלי של U לבסיס אורתונורמלי של V הם בסיס של U..U = U.4 U U ומימדם שווה. 5. ההטלה לתת מרחב אינה תלויה בבחירת בסיסו האורתונורמלי. מיחידות ההצגה במשפט הפירוק הניצב: (v)).π B (v) + (v π B (v)) = v = π C (v) + (v π C.6 אם,u v אז v 2. u ± v 2 = u 2 + חישוב ישיר. 7. ההיטל של v על W הוא הוקטור ב W הקרוב ביותר ל v.. v w 2 = v π(v) 2 + w לכן π(v) 2,v π(v) w π(v) * * * מכאן ואילך לא נכסה השנה (תשע"ב) * * * 13 ההעתקה הצמודה.1 פונקציונל לינארי: העתקה ליניארית.ϕ: V F 2. משפט ההצגה של ריס: לכל פונקציונל לינארי ϕ יש וקטור יחיד u כך ש u ϕ. (v) =,v יחידות: אם 2 v, u 1 = v, u אז = 0 2 v, u 1 u ובפרט = 0 2. u 1 u 2, u 1 u.[u] B = b כך ש u ניקח (סקלר). ϕ(v) = [ϕ(v)] {1} = [ϕ] B {1} [v] B = [v] t B קיום: לפי בסיסים אורתונורמלים, b }{{} b t 3. ההעתקה הצמודה: תהי T : V W העתקה לינארית בין מרחבי מכפלה פנימית מעל אותו שדה. T : W V היא ההעתקה היחידה המקיימת (w) T (v), w = v, T (כוכב נולד) לכל.v V, w W T קיימת ממשפט ריס..4 T לינארית. 2 v, T (αw 1 + βw 2 ) = v, αt w 1 + βt w לכל,v V ממשוואת כוכב נולד..[T ] F E = ( [T ] E F ) 5. עבור בסיסים אורתונורמלים,.E = {v 1, v 2... v n }, F = {w 1,..., w m } לכל אחת מהמטריצות, כאשר e t i Ae j = [v i ] t E A [w j] F חישוב.6 מסקנה: S.(T + S) = T + S, (αt ) = ᾱt, T = T, (ST ) = T מציגים לפי בסיסים אורתונורמלים. 8

9 14 תכונות וסוגים מיוחדים של אופרטורים.1 אופרטור T : V V נקרא: (א) נורמלי אם.T T = T T (ב) אוניטרי אם 1 T.T = (ג) צמוד לעצמו אם T = T 2. בדומה, מגדירים מטריצה (ריבועית) נורמלית/אוניטרית/צמודה לעצמה. A =: T] ] B לפי בסיס אורתונורמלי היא נורמלית/אוניטרית/צמודה 3. אופרטור T נורמלי/אוניטרי/צמוד לעצמו הצגתו לעצמה. L A של כפל ב A משמאל הוא : F n F n מטריצה A היא נורמלית/אוניטרית/צמודה לעצמה האופרטור נורמלי/אוניטרי/צמוד לעצמו. (.Re u, v = 1 2 u + v 2 u 2 v 2).4 חישוב v 2. u + (. u, v = הזהות הפולרית מעל u + v 2 u 2 v 2) :R (.Im u, v = Re u, iv = 1 2 u + iv 2 u 2 v 2).6 (. u, v = u + v 2 u 2 v 2) ( + i 2.7 הזהות הפולרית מעל u + iv 2 u 2 v 2) :C. u,v u v 8. מסקנה: הנורמה המושרית קובעת את המכפלה הפנימית.. T v = T v נורמלי T.9 מהזהות הפולרית. 10. התכונות הבאות שקולות עבור אופרטור: (א) אוניטרי. (ב) שומר מכפלה פנימית: v. v, v = T v, T (ג) שומר נורמה: v T. v = (ד) שומר מרחקים: u. T (v u) = v,a c d c b a הגרירה האחרונה מהזהות הפולרית..11 זוית במרחב מכפלה פנימית מעל :R הסקלר היחיד θ < π 0 שמקיים = cos θ 12. אם T נורמלי, אז T,T משפיעים באותו אופן על זויות. ( cos α sin α.[r α ] = sin α cos α ).13 אופרטור אוניטרי שומר גם זויות: v). (u, v) = (T u, T הכיוון ההפוך לא נכון: T (v) = 5v על.R הצגת אופרטות הסיבוב בזוית R, α α, על R, 2 לפי הבסיס הסטנדרטי: על סמך פעולותיו על.e 1, e 2.15 שימוש: כיון ש,R α R β = R α+β נקבל הוכחה לנוסחאות של β).sin(α + β), cos(α + 9

10 15 שילוש אוניטרי 1. מחישוב ישיר (או תרגום מאופרטורים), לכל מטריצה ריבועית A, F n n המכפלה הפנימית הסטנדרטית על F n מקיימת: (א) v. Au, v = u, A (ב) אם A נורמלית, אז v. Av = A (ג) אם A אונטרית, אז v. Av =.2 עבור אופרטור/מטריצה נורמלי/ת, אם,Av = λv אז.A v = λv גם λi A נורמלית, לכן )v (λi A)v = (λi A) v = ( λi A =.0 3. מסקנות: (א) וקטורים עצמיים השייכים לע"ע שונים הם מאונכים. מחשבים v Au, v = u, A לוקטורים העצמיים. (א) כל הערכים העצמיים של אופרטור צמוד לעצמו הם ממשיים..λv = Av = A v = λv 4. מעל R: אם (x) p T אינו מתפרק לגורמים לינאריים, אז T אינו ניתן לשילוש (ובפרט אינו לכסין). בדומה עבור מטריצות. [T ] B 5. משפט השילוש האוניטרי עבור אופרטורים: אם (x) p T מתפרק לגורמים לינאריים, אז יש בסיס אורתונורמלי כך ש משולשית. הוכחה: משפט השילוש ותהליך גראם שמידט על הבסיס. 6. גם הכוון ההפוך נכון: T ניתן לשילוש אוניטרי (x) p T מתפרק לגורמים לינאריים. 7. משפט השילוש האוניטרי עבור מטריצות: אם (x) p A מתפרק לגורמים לינאריים, אז יש P אוניטרית כך שהמטריצה P AP = P 1 AP משולשית. תרגום מאופרטורים. 8. מציאת P במפורש: הפעלת תהליך גראם שמידט על P של משפט השילוש הרגיל. 9. מעל C: כל אופרטור/מטריצה ריבועית ניתן לשילוש אוניטרי. 16 ליכסון אוניטרי ואורתוגונלי 1. מטריצה משולשית ונורמלית היא אלכסונית. השוואת אברי האלכסון של המטריצות.AA = A A 2. משפט הליכסון האוניטרי עבור אופרטורים: כל אופרטור נורמלי עם (x) p T מתפרק לגורמים לינאריים, הוא לכסין אוניטרית. ממשפט השילוש האוניטרי, נקבל מטריצה משולשית ונורמלית, לכן אלכסונית. 3. נורמליות היא גם תנאי הכרחי: כל אופרטור לכסין אוניטרית הוא נורמלי, והפולינום האופייני שלו מתפרק לגורמים לינאריים. 4. משפט הליכסון האוניטרי עבור מטריצות: כל מטריצה נורמלית עם פולינום אופייני מתפרק לגורמים לינאריים היא לכסינה אוניטרית, ולהיפך. תרגום מאופרטורים. 5. במפורש: גראם שמידט על בסיס המורכב מוקטורים עצמיים (יש כזה כי המטריצה לכסינה). אפשר לבצע גראם שמידט על בסיס כל מרחב עצמי בנפרד..6 מעל :C (א) אופרטור הוא נורמלי לכסין אוניטרית. (ב) מטריצה היא נורמלית לכסינה אוניטרית. מעל C, הפולינום האופייני מתפרק תמיד לגורמים לינאריים..7 נתמקד כעת במקרה.F = R 10

11 8. אופרטור/מטריצה אוניטרי/ת מעל R נקרא אורתוגונלי/ת. 9. משפט הליכסון האורתוגונלי עבור מטריצות: לכל A R n n סימטרית, יש P R n n אורתוגונלית כך שהמטריצה P t AP = P 1 AP אלכסונית. סימטריות היא גם תנאי הכרחי. (x) p A מתפרק לגורמים לינאריים מעל C והערכים העצמיים ממשיים, לכן מתפרק גם מעל R. נפעיל את משפט הליכסון האוניטרי. 10. משפט הליכסון האורתוגונלי עבור אופרטורים: כל אופרטור צמוד לעצמו הוא לכסין אורתוגונלית. "צמוד לעצמו" הוא גם תנאי הכרחי. תרגום ממטריצות. 11. (כמו קודם) במפורש: גראם שמידט על בסיס המורכב מוקטורים עצמיים, לכל מרחב עצמי בנפרד. 12. מסקנה: מעל R, אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים, אז נורמלי וצמוד לעצמו (=סימטרי) זה אותו דבר. ( ) 0 1 = A מקיימת A t = A (אנטי 13. דוגמא נגדית כאשר הפולינום האופייני אינו מתפרק לגורמים לינאריים: 1 0 סימטרית) ולכן נורמלית ולא סימטרית. 11

תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2

תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 בועז צבאן 1 במרץ 2012 תקציר מפורט של הקורס אלגברה לינארית 2, על פי תקציר קצר יותר, שנכתב על ידי בוריס קוניאבסקי ובועז צבאן לגירסה הנוכחית: נועם ליפשיץ התקציר מתאים כחזרה

Læs mere

אלגברה לינארית (2) איתי שפירא פרין, התרגולים והספר של הופמן.

אלגברה לינארית (2) איתי שפירא פרין, התרגולים והספר של הופמן. אלגברה לינארית (2) איתי שפירא עריכה אחרונה: 17 ביולי 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2016 17 זה סיכום של ההרצאות של קלואי פרין, התרגולים והספר של הופמן ijshapira@gmailcom תוכן עניינים I מבוא והשלמות

Læs mere

בעיית העץ הפורש המינימאלי (MST)

בעיית העץ הפורש המינימאלי (MST) בעיית העץ הפורש המינימאלי (MS) נניח שקיימת קבוצת איים שאנו מעוניינים לקשר ביניהם על ידי גשרים, כך שיהיה ניתן לנסוע מאי אחד לכל אי אחר מקבוצה זו. בנוסף, נניח כי הממשלה רוצה להוציא את הסכום המינימאלי האפשרי

Læs mere

ואז שעות () * 1 (a d) (a d) (a d) (a d) a שעות, a d a מכאן: ונקבל: תשובה: (

ואז שעות () * 1 (a d) (a d) (a d) (a d) a שעות, a d a מכאן: ונקבל: תשובה: ( 3.03.6-670 - פתרונות למבחנים פתרון מבחן מס' 7 (ספר מבחנים שאלון 035806) המהירויות של האופנוע, לכן נסמן ב- ואז מכונית המשא והמונית מהוות סדרה חשבונית, קמ"ש את מהירות המשאית, ( ) קמ"ש יסמן את מהירות האופנוע

Læs mere

עצי 3-2 ועצי דרגות חומר קריאה לשיעור זה. Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( )

עצי 3-2 ועצי דרגות חומר קריאה לשיעור זה. Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( ) 2-3 trees עצי 3-2 ועצי דרגות Lecture5 of Geiger & Itai s slide brochure www.cs.technion.ac.il/~dang/courseds Chapter 19: B trees (381 397) חומר קריאה לשיעור זה Chapter 15: Augmenting data structures (281

Læs mere

בהצלחה! מבני נתונים

בהצלחה! מבני נתונים המחלקה למדעי המחשב מבני נתונים 202-1-1031 מבחן מועד א', 05/07/2015 13:30, חומר עזר משך הבחינה פרופ' איתן בכמט, פרופ' פז כרמי, דר' צחי רוזן, דר' דקל צור, פרופ' מיכאל אלקין, גב' אירינה רבייב. עמית בן בסט,

Læs mere

בגרות חורף בגרות קיץ 2014 מועד ג' בגרות חורף בגרות קיץ 2015 מועד ב' בגרות חורף תשובות סופיות:...

בגרות חורף בגרות קיץ 2014 מועד ג' בגרות חורף בגרות קיץ 2015 מועד ב' בגרות חורף תשובות סופיות:... תוכן העניינים: בגרות חורף 014... בגרות קיץ 014 מועד א'... 5 בגרות קיץ 014 מועד ב'... 8 בגרות קיץ 014 מועד ג'... 11 בגרות חורף 015...14 בגרות קיץ 015 מועד א'... 16 בגרות קיץ 015 מועד ב'... 19 בגרות חורף

Læs mere

מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב

מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב מבוא ללוגיקה מתמטית כתיבה: פרופ אילון סולן

Læs mere

מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לתלמידי הנדסת חשמל

מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לתלמידי הנדסת חשמל אוניברסיטת תל אביב מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לתלמידי הנדסת חשמל חוברת התרגול נערך ע''י אופיר הררי ofirhara@post.tau.ac.il תוכן עניינים 4 1 מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות 8 מרחב הסתברות סימטרי, הכלה והפרדה

Læs mere

מבחן בקורס "מבוא לפיזיקה של מוליכים למחצה"

מבחן בקורס מבוא לפיזיקה של מוליכים למחצה מס' ת.ז. מס' קורס: 515.150 סמסטר ב' תשע"ג בחינת מעבר מועד א' תאריך הבחינה:..55 משך הבחינה: 3 שעות מבחן בקורס "מבוא לפיזיקה של מוליכים למחצה" ד"ר אלון באב"ד, ד"ר אמיר נתן ועדו עמית יש לענות על כל השאלות

Læs mere

PostFix, PreFix, InFix

PostFix, PreFix, InFix ביטויים מתמטיים PostFix, PreFix, InFix אחד היישומים החשובים של הינו ייצוגם של ביטויים מתמטיים. - חיבור, חיסור, כפל, וחילוק הינה פעולה בינארית, כלומר פעולה שבה יש כל אחת מהפעולות המתמטיות אחד - הפעולה החישובית,

Læs mere

Q BE ] r R e

Q BE ] r R e מאזן - נכסים = התחייבויות + עצמי נכסים שוטפים מימוש פירעון עד שנה( מזומנים מלאי לקוחות הוצאות מראש נכסים קבועים קרקע ציוד מבנים מקורות המימון התחייבות/ זר שוטפות לטווח קצר עד שנה מהיום. ספקים הלוואות לטווח

Læs mere

תשובות למבחן מתכונת 21.6 באלקטרומגנטיות 2010

תשובות למבחן מתכונת 21.6 באלקטרומגנטיות 2010 ב ג ד תשובות למבחן מתכונת 6 באלקטרומגנטיות 00 א ניקוד פתרון שאלה וסעיף 6 q A q q M N נמצא את השדה הכולל בנקודה M Kq Kq' M נמצא בהתמדה ולכן השדה בנקודה נתון כי המטען q E + r (05r) E q Kq r שווה לאפס מכאן

Læs mere

ניתוח ישיר של תמונות פשוטות

ניתוח ישיר של תמונות פשוטות ניתוח ישיר של תמונות פשוטות ניסיון ראשוני ונאיבי לשימוש באלגוריתם Watershed כולל שימוש בערך המוחלט של הגרדיינט ליצירת תמונה )לאורך כל העבודה נעשה שימוש בהגדרת הגרדיינט של Sobel לאחר שבחנתי מספר הגדרות

Læs mere

במחילות לילה, שועלים, נחשים

במחילות לילה, שועלים, נחשים נושא 5: יחסי גומלין בין מינים ככלל ותחרות בפרט 1 חזרה : הרכב אוכלוסיות ופיזורן להתפלגות גילאים באוכלוסייה השפעה על אופן וקצב גידולה ניתן לתאר אותה על ידי פירמידת גילאים או טבלאות חיים מינים שונים חיים

Læs mere

אנרגיה בקצב הכימיה פרק ה מדוע מתרחשות תגובות כימיות? ד"ר מרים כרמי ד"ר אדית וייסלברג

אנרגיה בקצב הכימיה פרק ה מדוע מתרחשות תגובות כימיות? דר מרים כרמי דר אדית וייסלברג אנרגיה בקצב הכימיה פרק ה מדוע מתרחשות תגובות כימיות? ד"ר מרים כרמי ד"ר אדית וייסלברג גולת הכותרת בלימודי הכימיה סוף, סוף...תרמודינמיקה! אנרגיה, משקל... קינטיקה, שיווי תגובות חומצה בסיס, חמצון חיזור, שיקוע,...

Læs mere

q 1 *q 2 µ = E r

q 1 *q 2 µ = E r ביוכימיה א' חלק א' בכדי להבין מה הם חיים צריך לדעת את מרכיביהם ואיך יוצרים אותם. מטרת הביניים היא לדעת מהם המולקולות מהם מורכב בעל החיים ומה נחוץ לצורך קיום. ניתן לראות כי מרבית הראקציות בביוכימיה הם בסביבה

Læs mere

שינויים בתפיסת מושג המשוואה ודרכי פתרונה בסביבת למידה טכנולוגית )case-study(

שינויים בתפיסת מושג המשוואה ודרכי פתרונה בסביבת למידה טכנולוגית )case-study( שינויים בתפיסת מושג המשוואה ודרכי פתרונה בסביבת למידה טכנולוגית )case-study( תמצית מוגש על ידי חנה שטיין לימוד האלגברה מזוהה )אצל מורים ותלמידים רבים( עם אופרציות בביטויים סימבוליים, התמחות בפתרון משוואות

Læs mere

מבוא בעבודת מחקר זו אבדוק את מערכת הקשרים בין מקורות של מחויבות ארגונית לבין ביטויים שלה,

מבוא בעבודת מחקר זו אבדוק את מערכת הקשרים בין מקורות של מחויבות ארגונית לבין ביטויים שלה, מבוא בעבודת מחקר זו אבדוק את מערכת הקשרים בין מקורות של מחויבות ארגונית לבין ביטויים שלה, בסוגים שונים של ארגונים. שלושת התחומים של המקורות למחויבות ארגונית: חישוביים, ערכיים וזהות העצמי, מבוססים על הלימה

Læs mere

GMAT פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL MY.GEVA.CO.IL

GMAT פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL MY.GEVA.CO.IL GMAT 3) + פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL MY.GEVA.CO.IL 017-016 חדש! אפליקציית יואל גבע בגרויות GEVA.CO.IL 1-800-0-40-60 הקדמה מורים ותלמידים יקרים, אנו שמחים להגיש לכם חוברת הכנה

Læs mere

PC PSI PT JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON MÉTHODES ET EXERCICES. Mathématiques. méthodes et exercices. 3 e.

PC PSI PT JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON MÉTHODES ET EXERCICES. Mathématiques. méthodes et exercices. 3 e. PC PSI PT MÉTHODES ET EXERCICES JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON Mathématiques méthodes et exercices 3 e édition Conception et création de couverture : Atelier 3+ Dunod, 201 5 rue Laromiguière,

Læs mere

פתיחת דלתות להצלחה בחינוך ובתעסוקה לאנשים עם אוטיזם יום עיון, הקריה האקדמית אונו,

פתיחת דלתות להצלחה בחינוך ובתעסוקה לאנשים עם אוטיזם יום עיון, הקריה האקדמית אונו, פתיחת דלתות להצלחה בחינוך ובתעסוקה לאנשים עם אוטיזם יום עיון, הקריה האקדמית אונו, עופר זהבי: בוקר טוב לכולם. לטובת אלה שהגיעו בזמן אני קורא לכולם לשבת. אנחנו רוצים להתחיל. אנחנו פותחים את היום שבו אנחנו

Læs mere

תזונה. plastids פיון כחוליות

תזונה. plastids פיון כחוליות "מעבדה מתא לאורגניזם" - 72110 מעבדה מס' - 2 חד-תאיים (Protists) המונח חד-תאיים (או חד-תאונים) מתייחס בדרך כלל ליצורים המורכבים מתא אחד בלבד, והם אאוקריוטים - כלומר בעלי גרעין תא, אברונים נבדלים וממברנות

Læs mere

המרת אנרגיה להפקת חשמל

המרת אנרגיה להפקת חשמל אנרגיה והמרתה טכנולוגיה של חומרים תהליכי תיכון וייצור מותאם לתוכנית הלימודים של משרד החינוך 2005 תודה על הלווי והייעוץ המקצועי ל: דר' מיכאל אפשטיין - מכון ויצמן מר ארז אפשטיין - מנכ"ל IT מר אייל ברנר -

Læs mere

ארגון המידע באמצעי אחסון

ארגון המידע באמצעי אחסון ארגון המידע באמצעי אחסון איתן אביאור כל הזכויות שמורות קובץ (File) קובץ (file) יחידת עצמאית לאחסון מידע. הקובץ מורכב מרצף של בתים, המאוחסנים בזה אחר זה בהתקן האחסון כגון: דיסק קשיח, תקליטור, דיסקון וכד'.

Læs mere

A-PDF MERGER DEMO ה דבעמ הימיכויב ה קיטניק ל ש זאטרבניא ם ירמשמ ה דבעמ ח"וד

A-PDF MERGER DEMO ה דבעמ הימיכויב ה קיטניק ל ש זאטרבניא ם ירמשמ ה דבעמ חוד ביוכימיה מעבדה APDF MERGER DEMO קינטיקה של אינברטאז משמרים דו"ח מעבדה ביוכימיה מעבדה מס' קינטיקה של אינברטאז משמרים מטרות הניסוי : א. ב. ג. הפקת האנזים. קביעת הפעילות האנזימאטית של אינברטאז בשיטת סאמנר.

Læs mere

חוברת למדריכי כיתות ה'

חוברת למדריכי כיתות ה' חוברת למדריכי כיתות ה' 1 מערך הדרכה לחודש יחיד בקבוצה בנושא "חברות" מיועד לשכבת כיתות ה'. שנת הוצאה: תשע"ה כתיבה ועריכה: נעמה מידן )מחלקת הדרכה( 2 מדריכים יקרים חודש יחיד בקבוצה הוא חודש המוקדש לנושא ה"קבוצה".

Læs mere

חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן : חלק א' - שעתיים. פרק 1: שאלון 000.

חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן : חלק א' - שעתיים. פרק 1: שאלון 000. מבחן מחצית י'- תשס"ז-מועד א' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים משך המבחן : חלק א' - שעתיים עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות - נתונה הפונקציה: פרק : שאלון 000

Læs mere

המתן וצפה w&w wait and watch מעקב כל עוד אין צורך בטיפול מדריך לחולים ולבני משפחתם

המתן וצפה w&w wait and watch מעקב כל עוד אין צורך בטיפול מדריך לחולים ולבני משפחתם המתן וצפה w&w wait and watch מעקב כל עוד אין צורך בטיפול מדריך לחולים ולבני משפחתם 2 הערות תוכן העניינים דברי תודה... 4 מבוא... 5 המתן וצפה... 7 אינדיקציות ל-'המתן וצפה'...10 מחלות ספציפיות... 15 סיכום...

Læs mere

201 4 ילוי תונורתפ ןושאר קרפ ת ילולימ הבישח רפסמ הלאשה הבושתה

201 4 ילוי תונורתפ ןושאר קרפ ת ילולימ הבישח רפסמ הלאשה הבושתה תונורתפ -- 0ילוי תונורתפ 0 ילוי ןושאר קרפ תילולימ הבישח רפסמ הלאשה 5 6 7 8 9 0 5 הבושתה הנוכנה רפסמ הלאשה 6 7 8 9 0 הבושתה הנוכנה ינש קרפ תילולימ הבישח רפסמ הלאשה 5 6 7 8 9 0 5 הבושתה הנוכנה רפסמ הלאשה

Læs mere

y = (1 +K")/ (r0 + K" +r1 K' K*) פיקדונות עובר ושב 3. המכפיל* לוח 1 היחס ובין הרזרבה בפועל

y = (1 +K)/ (r0 + K +r1 K' K*) פיקדונות עובר ושב 3. המכפיל* לוח 1 היחס ובין הרזרבה בפועל הקשר ב>ו כמות הכסף לבסיס הכסף אריה מרום 1. מגוא מאמר זה נועד לבחון כיצד תשתנה כמות הכסף במשק, שעה שנתון גודלו של העירוי החיצוני, כמה זמן יארד.וכיצד יתחלק על פני הזמן; וכיצד ישפיע עירוי כזה על גודלם של

Læs mere

התפתחות בהבנת האוטיזם

התפתחות בהבנת האוטיזם התפתחות בהבנת האוטיזם 0222-0202 Michal L. Rutter 12/2/2011, j. Autism and dev. Disorder, 41 : 395-404 תרגמה תמר שחר- MA בפסיכולוגיה, מנהלת מחלקה לחינוך מיוחד בעיריית נתניה. תקציר המאמר ידון בהתקדמות המדעית

Læs mere

4X1GE מסוים. בתקווה.

4X1GE מסוים. בתקווה. גלי רקיע - התפשטות גלים בתדר גבוה נכתב ע"י אבנר דרורי 4X1GE כמו שקורה בוודאי להרבה מאיתנו, חשבתי שאני מכיר את נושא התפשטות הגלים. רק באחת מההרצאות שהתקיימו בעבר במסגרת האגודה, גיליתי שהידע שלי מזערי ויש

Læs mere

חוברת למדריכי כיתות ח'

חוברת למדריכי כיתות ח' חוברת למדריכי כיתות ח' 1 מערך הדרכה לחודש יחיד בקבוצה בנושא "אנחנו והם ח'. " מיועד לשכבת כיתות שנת הוצאה: תשע"ה כתיבה ועריכה: נעמה מידן )מחלקת הדרכה( 2 מדריכים יקרים חודש יחיד בקבוצה הוא חודש המוקדש לנושא

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

פייסבוק כטכנולוגיית איכות חיים בגיל המבוגר סיגל נעים, המחלקה ללימודי תקשורת, אוניברסיטת בן גוריון בנגב

פייסבוק כטכנולוגיית איכות חיים בגיל המבוגר סיגל נעים, המחלקה ללימודי תקשורת, אוניברסיטת בן גוריון בנגב פייסבוק כטכנולוגיית איכות חיים בגיל המבוגר סיגל נעים, המחלקה ללימודי תקשורת, אוניברסיטת בן גוריון בנגב רשתות חברתיות מקוונות האינטרנט - אחד מאמצעי התקשורת הבולטים הגולש - מפאסיבי (מחפש וצורך) לפעיל במרחב

Læs mere

ב ה צ ל ח ה חמד"ע - מרכז לחינוך מדעי ב ח י נ ה ב כ י מ י ה ב מ ת כ ו נ ת ב ג ר ו ת

ב ה צ ל ח ה חמדע - מרכז לחינוך מדעי ב ח י נ ה ב כ י מ י ה ב מ ת כ ו נ ת ב ג ר ו ת חמד"ע מרכז לחינוך מדעי ב ח י נ ה ב כ י מ י ה ב מ ת כ ו נ ת ב ג ר ו ת 02 נקודות 02 נקודות 022 נקודות 3 יחידות לימוד תשע"ה 1025 א. משך הבחינה: שלש שעות מבנה השאלון ומפתח ההערכה: בשאלון זה שני פרקים. פרק

Læs mere

מפורסמות י באויר ף הבורות.

מפורסמות י באויר ף הבורות. ת ו ב ז ה ע נ י ב י ם כגליון זה 4 תוצאות ולא תרוצים - י. יגיל 5 באויד העולש 18 תצלומים מספרים 32 40 לרקיע פול בריקהיל השאיפה 55 כונזי ור, אמר מר נרפי בלונים זורעי אש 57 קאמיקאזה, טיפות ההתאבדות 62 שכיל

Læs mere

הלעפה תוארוה ןופלט םגד XL-2067

הלעפה תוארוה ןופלט םגד XL-2067 הוראות הפעלה טלפון דגם XL-2067 לקוח נכבד, ברוך הבא לעולם התקשורת המתקדמת של טרנס-גלובל אינדסטריז פיטיאי בע"מ. אנו מודים לך על שרכשת מוצר זה. אנא קרא בעיון את הוראות ההפעלה שבחוברת זו על מנת שתוכלו להפיק

Læs mere

"פרויקט אישה" - הערכת התכנית לפיתוח מנהיגות נשים בקהילה לקידום בריאות נשים

פרויקט אישה - הערכת התכנית לפיתוח מנהיגות נשים בקהילה לקידום בריאות נשים מרכז סמוקלר לחקר מדיניות הבריאות "פרויקט אישה" - הערכת התכנית לפיתוח מנהיגות נשים בקהילה לקידום בריאות נשים דוח מסכם אירית אלרועי רויטל גרוס יעל אשכנזי ברוך רוזן הדוח מהווה חלק מפרויקט "אישה" וממומן בידי

Læs mere

80H עד אזור הרגיסטרים המיוחדים SFR ( הכתובות מ פעולת האיפוס RESET 27...

80H עד אזור הרגיסטרים המיוחדים SFR ( הכתובות מ פעולת האיפוס RESET 27... , אסמבלי ו C5 תקציר ל MCS5 נערך ע"י : אריה פורת תוכן העניינים סילבוס למקצוע מיקרו מחשבים ושפה עילית...4 נוסחאון משרד החינוך...5 9 מבוא למיקרו בקרים... 9 טבלת השוואה בין מיקרו מעבד למיקרו בקר... 9 המיקרו

Læs mere

רשומות קובץ התקנות עמוד

רשומות קובץ התקנות עמוד רשומות קובץ התקנות כ"ב באלול התשס"ח 22 6713 בספטמבר 2008 עמוד תקנות התכנון והבניה (בקשה להיתר, תנאיו ואגרות) (תיקון מס',(3 התשס"ח 2008..................... 1426 תקנות התכנון והבניה (בקשה להיתר, תנאיו ואגרות)

Læs mere

הבנת הגנטיקה של צבע הפרווה בעכבר ה"פנדה"

הבנת הגנטיקה של צבע הפרווה בעכבר הפנדה בית ספר- "מעלה שחרות" סמל מוסד- 7762 טלפון: 8-635593 יטבתה ד"נ אילות, 8882 הבנת הגנטיקה של צבע הפרווה בעכבר ה"פנדה" עבודת גמר צמודת מקצוע ביולוגיה בהיקף של 5 יח"ל מגישה: יאנה אברמצ'ייב ישוב: שחרות ת.ז.:

Læs mere

אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות

אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות של מערכת העיכול אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות של מערכת העיכול תוכן עניינים 4 הקדמה............................................................................... 7 רקע כללי.............................................................................

Læs mere

סיכומים פסיכולוגיה התפתחותית

סיכומים פסיכולוגיה התפתחותית סיכומים פסיכולוגיה התפתחותית 150101/1/ שיעור 1 מבוא פסיכולוגיה: מדע החוקר את התנהגות האדם )ובעלי החיים(. יש להבחין בין ההתנהגות הברורה והגלויה )הדברים שניתנים לצפייה ישירה(, לבין התנהגות שאינה נצפית בצורה

Læs mere

קובץ התקנות רשומות י"ד בכסלו התשע"ו 26 בנובמבר 2015

קובץ התקנות רשומות יד בכסלו התשעו 26 בנובמבר 2015 רשומות קובץ התקנות 26 בנובמבר 2015 7574 י"ד בכסלו התשע"ו עמוד צו ביטוח בריאות ממלכתי )תיקון התוספות השנייה והשלישית לחוק(, התשע"ו- 2015.................. 180 צו ביטוח בריאות ממלכתי )תרופות בסל שירותי הבריאות(

Læs mere

מערכות נשימה סגורות - פרק 5

מערכות נשימה סגורות - פרק 5 מערכות סגורות וצלילה ספורטיבית הקמת הארגונים להכשרה בשימוש בניטרוקס בצלילה ספורטיבית בתחילת שנות ה- 09 פתחה את השוק לשימוש בגזים מועשרים בחמצן ובחמצן טהור בצלילה ספורטיבית וכן למערכות נשימה סגורות המחייבות

Læs mere

התקשרות מתבגר - ריאיון

התקשרות מתבגר - ריאיון התקשרות מתבגר - ריאיון שרף, 1996 1 דפוסי התקשורת והבעה רגשית של מתבגרים בסביבות משפחתיות-חינוכיות שונות מאת: מירי שרף בהדרכת: פרופ' אברהם שגיא פרופ' רחל הרץ-לזרוביץ חיבור לשם קבלת התואר "דוקטור לפילוסופיה"

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Løsningsforslag til opgavesæt 5

Løsningsforslag til opgavesæt 5 Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden

Læs mere

ס פ ר נ ו?! מ ב ט ע ל פ ע י ל ו ת מ ר כ ז י ה ס י ו ע ב ק ר ב י ל ד י ם ו ב נ י נ ו ע ר ו ב מ ע ר כ ת ה ח י נ ו ך ב י ש ר א ל

ס פ ר נ ו?! מ ב ט ע ל פ ע י ל ו ת מ ר כ ז י ה ס י ו ע ב ק ר ב י ל ד י ם ו ב נ י נ ו ע ר ו ב מ ע ר כ ת ה ח י נ ו ך ב י ש ר א ל ל א ב ב י ת ס פ ר נ ו?! מ ב ט ע ל פ ע י ל ו ת מ ר כ ז י ה ס י ו ע ב ק ר ב י ל ד י ם ו ב נ י נ ו ע ר ו ב מ ע ר כ ת ה ח י נ ו ך ב י ש ר א ל 2 0 0 7 איגוד מרכזי הסיוע לנפגעות ולנפגעי תקיפה מינית בישראל איגוד

Læs mere

7. מעברים לבעלי חיים ופתרונות טכניים אחרים הגישה הכללית 7.2 צמצום אפקט החיץ: מעברים תחתיים 7.1 צמצום אפקט החיץ: מעברים עיליים

7. מעברים לבעלי חיים ופתרונות טכניים אחרים הגישה הכללית 7.2 צמצום אפקט החיץ: מעברים תחתיים 7.1 צמצום אפקט החיץ: מעברים עיליים . מעברים לבעלי חיים ופתרונות טכניים אחרים הגישה הכללית.1 צמצום אפקט החיץ: מעברים עיליים.2 צמצום אפקט החיץ: מעברים תחתיים.3 מניעה וצמצום של תמותת בעלי חיים ושל אפקט החיץ.4 צמצום אפקט החיץ ותמותת בעלי חיים:

Læs mere

Løsningsforslag til opgavesæt 5

Løsningsforslag til opgavesæt 5 Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden

Læs mere

לטפל בהפרעת קשב וריכוז דרך טיפול משפחתי - עבודה של שיתוף פעולה

לטפל בהפרעת קשב וריכוז דרך טיפול משפחתי - עבודה של שיתוף פעולה 11 לטפל בהפרעת קשב וריכוז דרך טיפול משפחתי - עבודה של שיתוף פעולה עדנה כצנלסון ואיריס ברנט תקציר מאמרים בנושא טיפול בבעיית קשב וריכוז והיפראקטיביות disorder( )Attention deficit hyperactivity מתמקדים, על

Læs mere

מפת דרכים לבן משפחה מטפל

מפת דרכים לבן משפחה מטפל מפת דרכים לבן משפחה מטפל המסע האישי שלך עם יקירך! אנחנו כאן בשבילך! www.caregivers.org.il תוכן עניינים ניווט במסע הזמן 3 האם אני בן משפחה מטפל? 4 הטיפול הוא זכות אנושית 5 איך להתארגן ולתכנן? 6 להשיג מידע

Læs mere

תקשורת, תרבות וחברה / ד"ר יריב בן אליעזר

תקשורת, תרבות וחברה / דר יריב בן אליעזר תקשורת, תרבות וחברה / ד"ר יריב בן אליעזר 12.6.07 חומר קריאה לפי סילבוס (בסילבוס יש חלוקה לנושאים בשיעורים לא ממש הייתה...) לפי ההנחיות שניתנו על ידי המרצה בשיעור, להלן רק חומר קריאת החובה למבחן: שעור -

Læs mere

הנאורות היא יציאתו של האדם ממצב חוסר הבגרות שהביא על עצמו. חוסר בגרות משמעו

הנאורות היא יציאתו של האדם ממצב חוסר הבגרות שהביא על עצמו. חוסר בגרות משמעו מהי נאורות? הנאורות היא יציאתו של האדם ממצב חוסר הבגרות שהביא על עצמו. חוסר בגרות משמעו חוסר היכולת להשתמש בשכל בלא הנחיה של אחר. כשהסיבה לחוסר הבגרות אינה בעיה שכלית, אלא הימנעות מהחלטה להשתמש בו בלא

Læs mere

דבר העורך שם המאמר: "בחינת משתנים הקשורים להתנהגות פרואקטיבית במקום העבודה והשוואה בין-תרבותית"

דבר העורך שם המאמר: בחינת משתנים הקשורים להתנהגות פרואקטיבית במקום העבודה והשוואה בין-תרבותית דבר העורך שם המאמר: "בחינת משתנים הקשורים להתנהגות פרואקטיבית במקום העבודה והשוואה בין-תרבותית" מאת: נטע פרנס ופרופ' יצחק הרפז בחרנו להביא בפניכם מחקר ראשוני העוסק בהתנהגות פרואקטיבית בארגונים ובהשפעת

Læs mere

חרדה חברתית בני רוטברג, אבי ויצמן

חרדה חברתית בני רוטברג, אבי ויצמן 6 חרדה חברתית בני רוטברג, אבי ויצמן חרדה חברתית היא מעין מקרה פרטי של חרדה כללית. היא מופיעה החל מגיל הגן. ילדים הלוקים בחרדה חברתית מאוימים מן הצורך לתקשר עם בני גילם. החשש של הילד הוא שמא יתנהג בצורה

Læs mere

הקשר בין יצירתיות, מסוגלות והישגים לימודיים ועמדות כלפי למידה מרחוק חקר מקרה

הקשר בין יצירתיות, מסוגלות והישגים לימודיים ועמדות כלפי למידה מרחוק חקר מקרה הקשר בין יצירתיות, מסוגלות והישגים לימודיים ועמדות כלפי למידה מרחוק חקר מקרה וליד אחמד פרופ' שפרה ברוכסון-ארביב למידה מרחוק: הגדרת מושגי המחקר גרימס )1993 )Grimes, סבור שכל למידה פורמאלית מתרחשת כאשר המורה

Læs mere

יטוחלא ןופלט ילטיגיד ןובישמ םע םגד KX-TCD445BX

יטוחלא ןופלט ילטיגיד ןובישמ םע םגד KX-TCD445BX הוראות הפעלה טלפון אלחוטי דיגיטלי עם משיבון דיגיטלי דגם KX-TCD445BX טלפון אלחוטי זה תומך בתכונות שיחה מזוהה ושיחה ממתינה מזוהה כדי להציג את מספר הטלפון של המתקשר, יש להירשם בחברת הטלפונים תוכן העניינים

Læs mere

החשיפה להוראה מפורשת של חשיבה תהליכית על תפיסתם וביצועיהם של תפיסת ההוראה ויישומה אצל

החשיפה להוראה מפורשת של חשיבה תהליכית על תפיסתם וביצועיהם של תפיסת ההוראה ויישומה אצל תוכנית רוטשילד - ויצמן השפעת החשיפה להוראה מפורשת של חשיבה תהליכית על תפיסתם וביצועיהם של תלמידים ועל תפיסת ההוראה ויישומה אצל מורים מגישה: נורית שושני הכל נכתב כעבודת גמר במסגרת קורס "פיתוח אמצעי למידה"

Læs mere

Color LaserJet Enterprise M552 Color LaserJet Enterprise M553

Color LaserJet Enterprise M552 Color LaserJet Enterprise M553 Color LaserJet Enterprise M552 Color LaserJet Enterprise M553 M553n M552dn M553dn Installation Guide HE מדריך התקנה www.hp.com/support/colorljm552 www.hp.com/support/colorljm553 1 Select a sturdy, well-ventilated,

Læs mere

פרק שלישי: תהליכי הגל ובליזציה מש נים את העולם

פרק שלישי: תהליכי הגל ובליזציה מש נים את העולם פרק שלישי: תהליכי הגל ובליזציה מש נים את העולם בעשורים האחרונים מתרחשים בעולם תהליכים כלכליים ר ב י ע וצמה המכ ונים ג ל ו ב ל יז צ י ה *. לתהליכים אלה יש השפעה על הכלכלה, החברה, התרבות, הפוליטיקה, הסביבה

Læs mere

סיור מערת הנטיפים - פעולות האדם משפיעות על התנאים במערכת האקולוגית, במודע ושלא במודע

סיור מערת הנטיפים - פעולות האדם משפיעות על התנאים במערכת האקולוגית, במודע ושלא במודע סיור מערת הנטיפים - פעולות האדם משפיעות על התנאים במערכת האקולוגית, במודע ושלא במודע אפרת קורן, מורה בביה"ס דרכא גדרה, לשעבר מדריכת מוט"ל וחברה במרכז הארצי למורי מוט"ל הקדמה נושאי סביבה שעולים על סדר היום

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

גבר, אישה והפרעה: טראומה ראשונית וטראומה משנית בין המטבח לחדר השינה

גבר, אישה והפרעה: טראומה ראשונית וטראומה משנית בין המטבח לחדר השינה גבר, אישה והפרעה: טראומה ראשונית וטראומה משנית בין המטבח לחדר השינה אני מנסה לראות איך אני נחלצת, איך אני אומרת לו שלום, ואיך לעשות את זה עם הילדים. ]...[ אני לא מוכנה להבין יותר, לא מוכנה לתמוך יותר,

Læs mere

Forever מיליוני אנשים שיצרו ביטחון כלכלי ובריאות טובה יותר בצמיחה מתמדת בשנה עם צפי להמשך צמיחה

Forever מיליוני אנשים שיצרו ביטחון כלכלי ובריאות טובה יותר בצמיחה מתמדת בשנה עם צפי להמשך צמיחה Forever במספרים מעל 155 סניפים ברחבי העולם מחזור של כ- 3 מיליארד $ בשנה עם צפי להמשך צמיחה בצמיחה מתמדת משנת 1978 מעל 250 מוצרים עם פטנטים ייחודיים מיליוני אנשים שיצרו ביטחון כלכלי ובריאות טובה יותר תוכן

Læs mere

קורות חיים רצפים התפתחותיים לאורך החיים, התסמונות והבעיות הפסיכופתולוגיות בתקופות מעבר שונות

קורות חיים רצפים התפתחותיים לאורך החיים, התסמונות והבעיות הפסיכופתולוגיות בתקופות מעבר שונות A Publication of The Group פסיכיאטריה רבעון בנושא פסיכיאטריה דצמבר - 2007 פברואר 2008 גיליון מס' 6 קורות חיים רצפים התפתחותיים לאורך החיים, התסמונות והבעיות הפסיכופתולוגיות בתקופות מעבר שונות איכות השירות

Læs mere

יהודי תימן העלייה מתימן לארץ ישראל החלה בשנת הרמ"ב )1882( ונסתיימה במבצע בית הכנסת בתימן היה מרכז החיים,

יהודי תימן העלייה מתימן לארץ ישראל החלה בשנת הרמב )1882( ונסתיימה במבצע בית הכנסת בתימן היה מרכז החיים, יהודי תימן תימן, המוקפת ימים ומדברית, הייהה מדינה עצמאית, גולה בפני עצמה, שניהלה אורח חיים לתי מתוך חירות רוחנית מוחלטת. העדר רציפות גיאוגרפית עם מרכזי יהדות אחרים ליכד וגיבש את תושביה היהודיים של תימן

Læs mere

קולנוע דרום הגות וביקורת יוני 2012

קולנוע דרום הגות וביקורת יוני 2012 קולנוע דרום הגות וביקורת יוני 2012 קולנוע דרום 5 ארז פרי ואפרת כורם 13 הרב מרדכי ורדי 23 תום שובל 37 אפרת כורם וסיגלית בנאי 58 שולה קשת 61 סיגלית בנאי 74 אילן שפית 83 יעל בן צבי מורד 91 ג'אד נאמן 99 יעל

Læs mere

תוכנית מבצעית פיתוח אזורי משקיים בעתידך!

תוכנית מבצעית פיתוח אזורי משקיים בעתידך! www.bulgariatravel.org אתרי סקי בבולגריה מולטימדיה תוכנית מבצעית פיתוח אזורי 2007-2013 www.bgregio.eu משקיים בעתידך! הפרויקט ממומן בשיתוף עם האיחוד האירופי באמצעות קרן האירופית לפיתוח אזורי וגם מתקציב

Læs mere

סדר ט ו בשבט. writing: Rabi Yaron Nisenholz translation: Rabbin Meir Horden

סדר ט ו בשבט. writing: Rabi Yaron Nisenholz translation: Rabbin Meir Horden סדר ט ו בשבט writing: Rabi Yaron Nisenholz translation: Rabbin Meir Horden חיטה (Chita) Hvede Lad os spise en kage lavet af hvede Tu Bishvat er en helt unik fest i den jødiske kalender. De fleste af vore

Læs mere

מדד ההכללה* ה- 4 בחברה הישראלית חברה מכלילה היא חברה חזקה

מדד ההכללה* ה- 4 בחברה הישראלית חברה מכלילה היא חברה חזקה 2016 מדד ההכללה* ה- 4 של אנשים עם מוגבלות שכלית בחברה הישראלית *הכללה - הכנסה לתוך הכלל )מתוך מילון אבן שושן( ובלעז inclusion חברה מכלילה היא חברה חזקה מדד ההכללה ה- 4 של אנשים עם מוגבלות שכלית בחברה הישראלית

Læs mere

"קורבנות של הנרטיבים של עצמנו?" תיאור "האחר" בספרי לימוד ישראליים ופלסטיניים ביוזמת "מועצת המוסדות הדתיים בארץ הקודש" דוח מחקר, 4 בפברואר 1023

קורבנות של הנרטיבים של עצמנו? תיאור האחר בספרי לימוד ישראליים ופלסטיניים ביוזמת מועצת המוסדות הדתיים בארץ הקודש דוח מחקר, 4 בפברואר 1023 י- "קורבנות של הנרטיבים של עצמנו?" תיאור "האחר" בספרי לימוד ישראליים ופלסטיניים ביוזמת "מועצת המוסדות הדתיים בארץ הקודש" המחקר מומן בעזרת מענק ל"עתיד שונה" Future) A) Different מהמשרד לדמוקרטיה, עבודה

Læs mere

אּי תי ג רפוּנ קל 2011 תשע"ב

אּי תי ג רפוּנ קל 2011 תשעב עלוּ ח ה אּי תי ג רפוּנ קל רס חוברת למידה ועזר להדרכה הסוקרת את התפתחות השימוש בחרס ע"י האדם מגילויו ועד ימינו, ופותחת אשנבים מגוונים להכרות מעשירה עם עולם הארכיאולוגיה והמרחב דרך דגש על שברי כלי החרס שאנחנו

Læs mere

יגשיה טרופס 6 רפסמ ןויליג 2015 רבוטקוא

יגשיה טרופס 6 רפסמ ןויליג 2015 רבוטקוא ספורט הישגי אוקטובר 2015 גיליון מספר 6 אליפות העולם באתלטיקה בבייג'ין, 2015 2 ספורט הישגי תוכן העניינים מדעי האימון פציעות ספורט 3 דבר העורכים יניב אשכנזי, פרופ' גרשון טננבאום 30 אימוני אינטרוולים עצימים

Læs mere

הקשר בין אקלים כיתה להישגים לימודיים בהשוואה בין בנים לבנות בכיתה ט'

הקשר בין אקלים כיתה להישגים לימודיים בהשוואה בין בנים לבנות בכיתה ט' בס"ד הקשר בין אקלים כיתה להישגים לימודיים בהשוואה בין בנים לבנות בכיתה ט' מוגשת כחלק מהדרישות לשם קבלת תואר ראשון בהוראה מגישות: שמרית אביעד (אהרון) אודיה אלקסלסי טלפון מרצה: ד"ר יצחק וייס שנה"ל התשס"ו

Læs mere

יוזמות בית ספריות מקדמות פיתוח חשיבה

יוזמות בית ספריות מקדמות פיתוח חשיבה יוזמות בית ספריות מקדמות פיתוח חשיבה משרד החינוך המזכירות הפדגוגית ירושלים, תשס"ט - 2009 צוות היגוי: פרופ' ענת זוהר, ערן ברק-מדינה הערכת תוכניות: ערן ברק-מדינה, דר' הילה אביאלי עריכה: ד"ר שלומית גינוסר

Læs mere

ברור חיל גיליון סתיו דמוקרטי גיליון מס' 49 פרוייקט צביעת תחנת האוטובוס תמונות ופרטים נוספים גינת פרחי קרמיקה ליד מועדון יחדיו תמונות נוספות בעמוד 13.

ברור חיל גיליון סתיו דמוקרטי גיליון מס' 49 פרוייקט צביעת תחנת האוטובוס תמונות ופרטים נוספים גינת פרחי קרמיקה ליד מועדון יחדיו תמונות נוספות בעמוד 13. גיליון מס' 49 ברור חיל אוקטובר-נובמבר 2015 תשע"ו גיליון סתיו דמוקרטי פרוייקט צביעת תחנת האוטובוס תמונות ופרטים נוספים בעמוד 16. גינת פרחי קרמיקה ליד מועדון יחדיו תמונות נוספות בעמוד 2 ופרטים על הפרוייקט

Læs mere

תולדות ייסודו של התלמוד הבבלי כיצירה ספרותית

תולדות ייסודו של התלמוד הבבלי כיצירה ספרותית נחמיה בריל תולדות ייסודו של התלמוד הבבלי כיצירה ספרותית א עם הכרעתה של המדינה היהודית בזרוע הברזל של רומא, החלה תקופה בתולדות הספרות היהודית שמהלכה התאפיין בשקיעה מוחלטת, אך לקראת סיומה היא גילתה התחזקות

Læs mere

מערכת הגנת צד

מערכת הגנת צד Rodi מערכת הגנת צד הוראות שימוש ואחריות HE 2 1 3 1 2 A B C 3 1 2 D E F G H I J איורים ARGENTINA Bebehaus S.A. Tel. + 54 (911) 6265 0665 Fax + 54 (911) 5050 2339 info@bebehaus.com.ar www.bebehaus.com.ar

Læs mere

מערכת תנועה MYOLOGY רקמת השריר תופסת כ- 40 % ממשקל גוף האדם. הרקמה מורכבת מסיבי שריר המכילים חלבונים ברי כווץ הנתמכים ע"י רקמת חיבור.

מערכת תנועה MYOLOGY רקמת השריר תופסת כ- 40 % ממשקל גוף האדם. הרקמה מורכבת מסיבי שריר המכילים חלבונים ברי כווץ הנתמכים עי רקמת חיבור. 1 מערכת תנועה MYOLOGY שרירים MUSCLES רקמת השריר תופסת כ- 40 % ממשקל גוף האדם. הרקמה מורכבת מסיבי שריר המכילים חלבונים ברי כווץ הנתמכים ע"י רקמת חיבור. השרירים מתכווצים בעקבות דחף )IMPULSE( עצבי הורמונלי

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

תזונה ומטבוליזם סיכום

תזונה ומטבוליזם סיכום תזונה ומטבוליזם אנרגטיקה מקורות אנרגיה תכולת אנרגיה במזון לאן אנרגיה זו הולכת אנרגיה נכנסת הולכת לאחת משני מסלולים אנרגיה מטבולית או אנרגיה מופרשת: אנרגיה מטבולית אנרגיה המשמשת למטבוליזם או הולכת לאגירה.

Læs mere

הקשר בין אמונות בריאותיות של הורים לבין חגירת ילדים במושבי בטיחות באוכלוסייה הערבית במדינת ישראל

הקשר בין אמונות בריאותיות של הורים לבין חגירת ילדים במושבי בטיחות באוכלוסייה הערבית במדינת ישראל הקשר בין אמונות בריאותיות של הורים לבין חגירת ילדים במושבי בטיחות באוכלוסייה הערבית במדינת ישראל חיר עומרי עבודת גמר מחקרית (תיזה) המוגשת כמילוי חלק מהדרישות לקבלת התואר "מוסמך האוניברסיטה " אוניברסיטת

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,

Læs mere

גלובס לתעשייה רב תחומיות ובין תחומיות באקדמיה ובתעשייה בשיתוף

גלובס לתעשייה רב תחומיות ובין תחומיות באקדמיה ובתעשייה בשיתוף גלובס לתעשייה גיליון מס' 4 מארס 2013 רב תחומיות ובין תחומיות באקדמיה ובתעשייה בשיתוף גיליון מס' 4 מארס 2013 המערכת דבר לתעשייה גלובס רב תחומיות ובין תחומיות באקדמיה ובתעשייה בשיתוף שני אילני קוראים יקרים,

Læs mere

כנס מנדל לחינוך יום חמישי כ א כסלו תשס ט ± בדצמבר כפר המכביה תכנית תקצירים מאמרים

כנס מנדל לחינוך יום חמישי כ א כסלו תשס ט ± בדצמבר כפר המכביה תכנית תקצירים מאמרים כנס מנדל לחינוך יום חמישי כ א כסלו תשס ט ± בדצמבר כפר המכביה תכנית תקצירים מאמרים הקדמה לרגל כנס מנדל לחינוך שנות חינוך בישראל עבר הווה ועתיד המתקיים ב ± בדצמבר בכפר המכביה מוגשת לכם אסופת מאמרים זוÆ

Læs mere

)א( בראשית. אמר רבי יצחק: לא היה צריך

)א( בראשית. אמר רבי יצחק: לא היה צריך פרשת בראשית א א ב ר א ש ית ב ר א א לה ים א ת ה ש מ י ם ו א ת ה א ר ץ: )א( בראשית. אמר רבי יצחק: לא היה צריך להתחיל ]את[ התורה אלא מ"הח דש הזה לכם" )שמות יב, ב(, שהיא מצוה ראשונה שנצטוו ]בה[ ישראל, ומה

Læs mere

I ו בצלם ן % י מרכז המידע הישראלי לזכויות הא 1 ם בשטחים i בועדי ןגיון הפרת זכויות האדם של עובדי השטחים בישראל ובהתנחלויות,'. י י. : p f..יד ירושלים ספטמבר 1999 בצלם J a» * י מרכז המידע הישראלי לזכויות

Læs mere

קובי פרץ זוהר שדה פרויקט גמר מוגש על ידי במסגרת הקורס: פרויקט יישומי בהדרכת: המכללה הדתית לחינוך גבעת וושינגטון תמוז, תשס"ד יוני, 4112

קובי פרץ זוהר שדה פרויקט גמר מוגש על ידי במסגרת הקורס: פרויקט יישומי בהדרכת: המכללה הדתית לחינוך גבעת וושינגטון תמוז, תשסד יוני, 4112 השפעת תכנית התערבות על כושר גופני אירובי בריצה ארוכה בין תלמידי כיתות יא'- יב' בעלי הפרעות קשב וריכוז והיפראקטיביות ADHD( (לתלמידים בחינוך הרגיל שלא עברו תכנית התערבות. פרויקט גמר מוגש על ידי קובי פרץ

Læs mere

הריאליזם ביצירותיו של אהרן מגד "דוגמאות נבחרות מיצירותיו "

הריאליזם ביצירותיו של אהרן מגד דוגמאות נבחרות מיצירותיו הריאליזם ביצירותיו של אהרן מגד "דוגמאות נבחרות מיצירותיו " الواقعيت في اعمال اهارون ميجد ووماذج مختارة مه اعماله الباحث : עבד رحيم راضي عبد הקדמה המורה רחים ראדי הריאליזם הספרותי במשמעו הכללי מצייג אשר

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

כתב עת למורי הכימיה מינהלת מל"מ המרכז הישראלי לחינוך מדעי-טכנולוגי על שם עמוס דה-שליט המחלקה להוראת המדעים

כתב עת למורי הכימיה מינהלת מלמ המרכז הישראלי לחינוך מדעי-טכנולוגי על שם עמוס דה-שליט המחלקה להוראת המדעים על סיון תשע ה יולי 2015 כתב עת למורי הכימיה משרד החינוך המזכירות הפדגוגית, אגף מדעים הפיקוח על הוראת הכימיה מינהלת מל"מ המרכז הישראלי לחינוך מדעי-טכנולוגי על שם עמוס דה-שליט המחלקה להוראת המדעים משרד החינוך

Læs mere

יעל נבון וליאת הדר צילמה: ליאת הדר יולי 2102

יעל נבון וליאת הדר צילמה: ליאת הדר יולי 2102 פרוטוקול לניטור ומעקב אחרי שריפה בפארק הטבע יעל נבון וליאת הדר צילמה: ליאת הדר יולי 2102 1 ב 3 תוכן עניינים הקדמה... 3 מטרות ספציפיות לניטור אחרי שריפה... 3 מבוא ממשק ושריפות... 3 שריפה מבוקרת ככלי ממשק...

Læs mere

ד"ר שגית לב ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת בר אילן ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת אריאל החוג לגרנטולוגיה, אוניברסיטת חיפה

דר שגית לב ביהס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת בר אילן ביהס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת אריאל החוג לגרנטולוגיה, אוניברסיטת חיפה ד"ר שגית לב ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת בר אילן ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת אריאל החוג לגרנטולוגיה, אוניברסיטת חיפה מהי גילנות? "גילנות מוגדרת כסטריאוטיפים שליליים או חיוביים, דעות קדומות ו /

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

עט השדה עבודה בחברה רב-תרבותית

עט השדה עבודה בחברה רב-תרבותית עט השדה כתב-העת של מיד"א מרכז ידע אשלים גיליון 3 אב תשס"ט יולי 2009 עבודה בחברה רב-תרבותית הוועדה המייעצת הוועדה להוצאה לאור, אשלים עורכת לשון עיצוב גרפי והפקה מזכירת המערכת מנהל ההוצאה לאור כתובת המערכת

Læs mere