אלגברה לינארית (2) איתי שפירא פרין, התרגולים והספר של הופמן.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "אלגברה לינארית (2) איתי שפירא פרין, התרגולים והספר של הופמן."

Transkript

1 אלגברה לינארית (2) איתי שפירא עריכה אחרונה: 17 ביולי 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית זה סיכום של ההרצאות של קלואי פרין, התרגולים והספר של הופמן

2 תוכן עניינים I מבוא והשלמות 5 1 דטרמיננטות 6 11 תמורה 6 12 דטרמיננטה 8 13 חישוב דטרמיננטה על ידי דירוג פיתוח דיטרמיננטה לפי שורה/עמודה 15 2 פולינומים פולינומים מעל שדה חלוקת פולינומים שורשים 19 3 מספרים מרוכבים הצגה כללית המישור המורכב והצגה פולרית 23 2

3 תוכן עניינים 33 שורשים 24 II אופרטורים 26 4 ליכסון מבוא לאופרטורים תתי מרחב אינווריאנטיים ערכים, וקטורים ומרחבים עצמיים מטריצה של אופרטור ליכסון מציאת ע"ע: פולינום אופייני משפט קיילי המילטון 56 5 משפט ז'ורדן אופרטור נילפוטנטי משפט ז'ורדן 68 III מרחבי מכפלה פנימית 84 6 אורתוגונליות מכפלה פנימית נורמה 88 3

4 תוכן עניינים 63 הקדמה לאורתוגונליות ותכונות המכפלה הפנימית בסיס ומרחב אורתוגונלי אופרטורים אורתוגונלים ואוניטרים אופרטור צמוד המשפט הספקטרלי תבניות בילנאריות הגדרה תבניות סימטריות ליכסון תבניות בילינאריות סיווג תבניות בילינאריות 134 4

5 חלק I מבוא והשלמות 5

6 פרק 1 דטרמיננטות להלן השלמה מלינארית א 11 תמורה 111 הגדרה הגדרה: תהא X קבוצה פונקציה חח"ע ועל σ : X X נקראת תמורה (פרמוטציה) אוסף כל התמורות על הקבוצה X מסומן: sym(x) דוגמה: אם c} X = {a, b, אז הפונקציה המוגדרת ע"י σ(a) = c, σ(b) = b, σ(c) = a היא תמורה על X הערה: נתמקד בתמורות על קבוצות סופיות היות ועניינו הוא הגודל של X אזי לכל n N נעזר בקבוצה: n} [n] = {1,, ונסמן: sym([n]) S n = מכאן: n! S n = 6

7 11 תמורה אלגברה לינארית (2) תשע"ז 112 ייצוג של תמורה אחת הדרכים לייצג תמורה היא על ידי רשימת כל המספרים ב [n] בשורה ומתחת לכל מספר לכתוב לאיזה מספר הוא עובר תחת התמורה הנ"ל: n σ(0) σ(1) σ(2) σ(n) 113 סימן של תמורה הגדרה: תהי σ S n תהי הקבוצה: σ(j)} A σ = {(i, j) 1 i < j n σ(i) > אם = 1 sign(σ) נאמר: תמורה זוגית sign(σ) = הסימן של σ מוגדר כ Aσ sign(σ) = ( 1) אחרת, נאמר: תמורה אי זוגית הערה: אפשר לכתוב נוסחה מפורשת לסימן של תמורה: 1 i<j n j i σ(j) σ(i) n דרך אחרת להבין את הסימן הוא בהינתן מטריצה σ(0) σ(1) σ(2) σ(n) אם נחבר בקו כל מספר בשורה הראשונה אם הזהה שלו בשורה השנייה, כמה פעמים יהי חיתוך בין הקווים מספר החיתוכים הוא σ A אם המספר זוגי, אזי התמורה זוגית אם המספר אי זוגי, התמורה אי זוגית 1 2, מתקיים: 4)} (3, 4), (2, 3), (2, 4), {(1, = σ A 3 3 דוגמה: עבור התמורה: לכן = 1 sign(σ) 7

8 12 דטרמיננטה אלגברה לינארית (2) תשע"ז 12 דטרמיננטה 121 הגדרה הגדרה: תהי (F) A M n n מטריצה ריבועית דטרמיננטה של מטריצה ריבועית A, היא סקלר התלוי ברכיבי המטריצה, המסומן det(a) ומוגדר: det A = n sign(σ) σ S n i=1 a i,σ(i) עבור = 2 n נוכל לקבל נוסחה פשוטה עבור הדטרמיננטה לפי הגדרה: det a b = ad cb c d לדוגמה, נתבונן במטריצה הבאה מעל F ונקבל: det 1 2 = = תכונות של דטרמיננטה כפונקציה של שורות המטריצה טענה: כפל שורות בסקלר מכפיל את הדטרמיננטה בסקלר: a 1 a 1 a 2 det ca i = c det a m a m 8

9 12 דטרמיננטה אלגברה לינארית (2) תשע"ז det הוכחה: a 1 ca i a m = n sign(σ) a i,σ(i) = sign(σ)a 1σ(1) a 2σ(2) ca i σ(i)a nσ(n) σ S n i=1 σ S n = c sign(σ)a 1σ(1) a 2σ(2) a iσ(i) a nσ(n) = c det σ S n a 1 a 2 a m det a i + a = det a i + det i a i טענה: det 1 2 = = det = = det = = דוגמה: 9

10 12 דטרמיננטה אלגברה לינארית (2) תשע"ז a 1 a 2 det = sign(σ)a a i + a 1,σ(1) (a iσ(i) + a i σ S n i(σ(i))a nσ(n) הוכחה: a m = sign(σ)a 1,σ(1) a iσ(i)a nσ(n) + sign(σ)a 1,σ(1) a σ S n σ S n = det a 1 a 2 a i + det a 1 a 2 a i iσ(i)a nσ(n) a m a m טענה: אם למטריצה שתי שורות זהות אזי הדיטרמיננטה שווה לאפס: אם עבור i, j a i det = 0 a i j a i = a אז: הוכחה: טענת עזר: לכל תמורה σ = 1 i j n σ(1) σ(i) σ(j) σ(n) נגדיר את התמורה: σ = 1 i j n σ(1) σ(j) σ(i) σ(n) 10

11 12 דטרמיננטה אלגברה לינארית (2) תשע"ז קרי אותה תמורה רק שהחלפנו במקומות בין σ(i) ל σ(j) נטען: ) sign(σ sign(σ) = n! זוגות של } σ {σ, הוכחת טענת הוכחה: כאמור ב s n יש!n תמורות והן מתחלקות ל 2 n n sign(σ) a i,σ(i) + sign(σ ) i=1 i=1 a i,σ (i) העזר: לא הוכח עד עצם היום הזה מכאן נקבל: = sign(σ) n n a i,σ(i) sign(σ) a i,σ(i) = 0 ( ) הרי כל השורה שווה מלבד הסדר, אזי המכפלה שווה רק בסימן שונה וזה נכון לכל זוג i=1 i=1 det A = σ S n כנדרש sign(σ) n כזה, אזי: = 0 i,σ(i) i=1 a טענה: החלפת שורות משנה את סימן הדיטרמיננטה: a i a j det = det a j a i 11

12 ז"עשת (2) תיראניל הרבגלא גוריד ידי לע הטננימרטד בושיח 13 :החכוה 0 = det a i + a j a i + a j = det a i a i + a j + det a j a i + a j = det a i a i + det a i a j + det a j a i + det a j a j = det a i a j + det a j a i = det a i a j = det a j a i התוא שי ( ) םדוק חכוהש יפכ תוטננמרטידה םוכסל הווש םוכס הרוש םע הטננימרטיד ( ) םדוק חכוהש יפכ,ספא הטננימרטידה ןכל,םיימעפ הרוש גוריד ידי לע הטננימרטד בושיח 13 :הטננימרטד בשחל םיכרד המכ ןנשי det : M n m (F) F היצקנופ איה הטננימרטד המ,תרחא ךרד הגיסנ תחסונמ וא החסונמ תורישי איה הטננימרטיד ראתל איה תחא תונוכת יפל הטננימרטד ןייפאל איה,הב שמתשנ ונחנאש 12

13 13 חישוב דטרמיננטה על ידי דירוג 131 תכונות נוספות של הדטרמיננטה = 1 1 ) n det(i לכל תמורה σ S n שאיננה תמורת הזהות יש [n] i כך ש σ(i) i לכן מהגדרת מטריצת הזות: = 0 i,σ(i) a לכן כל הנסכמים בסכום 1 מתאפסים פרט לנסכם שמתאים לתמורת הזהות, ושם כל הנכפלים הם 1 2 det(a) det(λa) = λ n כאשר: (F) A M n ו λ F ההסבר לכך הוא שאם כופלים את כל המקדמים של המטריצה A ב λ אז כל הנסכמים ב 1 מוכפלים ב λ n 3 תהא (F) A M n נגדיר את המטריצה המשוחלפת שלה על ידי: (A t ) i,j = (A) j,i כלומר המטריצה המשוחלפת מקבלת על ידי החלפת השורות של A בעמודות של A למשל: det = det על ידי חישוב פשוט הנובע מ 1 נקבל: det(a) det(a t ) = 132 דטרמיננטה של דירוג תהי (F) A M n אזי: 1 אם B מתקבלת מ A ע"י החלפת שתי השורות אזי det B = det A 2 אם B מתקבלת מ A על ידי כפל שורה בסקלר c כלשהו אזי: det B = c det A 3 אם B מתקבלת מ A על ידי הוספת כפולה בסקלר של שורה i לשורה j כאשר i j אזי: det A = det B 4 הדיטרמיננטה של מטריצת היחידה היא כאמור 1 הטענה נובעת מהתכונות שציויינו לגבי הדטרמיננטה הטענה הזו מאפשרת חישוב דטרמיננטה על ידי דירוג השיטה היא לדרג ולהתחשב בכל שלב של הדירוג ב 1 3 של הטענה בפרט 13

14 13 חישוב דטרמיננטה על ידי דירוג בסוף תהליך הדירוג תתכנה שתי אפשרויות: דרגת המטריצה איננה n ועל כן הדטרמיננטה אפס אם הגענו למטריצת הזהות הרי שהדטרמיננטה איננה אפס דוגמה det = det = det = det = det = חישוב דטרמיננטה למטריצה משולשית חישוב דטרמיננטות זה כיף גדול אבל בכל זאת לפעמים נוכל לחסוך את התהליך: למשל עבור (F) A M n נאמר שמטריצה היא משולשית עליונה אם היא מהצורה: x 1 0 x x n כעת נשים שלכל תמורה Id σ S n קיים i עם σ(i) < i לכן = 0 i,σ(i) a (כי זה איבר שנמצא מתחת לאכלסון) ולכן לכל תמורה כנ"ל: n a i,σ(i) = 0 i=1 det A = n כלומר הדטרמיננטה של A היא מכפלת איברי האלכסון כך ולכן לפי :1 i i=1 x 14

15 14 פיתוח דיטרמיננטה לפי שורה/עמודה למשל נוכל לחשב דטרמיננטות של מטריצות מסובכות למראית העין: det π 2017 = = פיתוח דיטרמיננטה לפי שורה/עמודה תהי (F) A M n המינור של האיבר A k,l הוא הדטרמיננטה מסדר 1) (n (n 1) המתקבלת מ A על ידי מחיקת השורה הועמודה שמכילות את האיבר a k,l משפט: (פיתוח לפי שורה): תהי (F) A M n n אזי לכל j n 1 מתקיים: n det A = ( 1) i+j a i,j A i,j j=1 ו משפט: (פיתוח לפי עמודה): לכל j n 1 מתקיים: n det A = ( 1) i+j a i,j A i,j i=1 דוגמה מסכמת det = 3 9 det = 27 det = 27 det = 27 det = det = 27 det 6 1 =

16 פרק 2 פולינומים פולינומים זה חלק מנושאי החובה של שנה א' במתמטיקה ואין לו קשר רציף עם הנושא הקודם או הבא 21 פולינומים מעל שדה הגדרה של פולינום הגדרה: יהי שדה F פולינום (polynomial) מעל שדה F לפי משתנה x הוא ביטוי פורמלי (a 0,, a n ) האיברים ב 0 i n לכל a i F ו n N עבור P (X) = n i=0 a ix I נקראים מקדמים (coefficients) של P 16

17 21 פולינומים מעל שדה סכום וכפל של פולינומים λ F ו Q(X) = n i=0 b ix i ו P (X) = n הגדרה: יהי P, Q פולינומים עם i=0 a ix i (P + Q)(X) = אז נגדיר סכום ו כפל בסקלר של פולינומים בהתאמה כ n (a i + b i )X i (λp )(X) = i=0 n λa i X i i=0 הערה: קבוצת כל הפולינומים F[X] ושתי הפעולות של סכום וכפל בסקלר יוצרים מבנה של מ"ו מעל F ממד אינסופי אפשר להוסיף עוד מבנה, והוא המכפלה: מכפלה של פולינומים λ F ו Q(X) = n i=0 b ix i ו P (X) = n הגדרה: יהי P, Q פולינומים עם i=0 a ix i אז נגדיר את מכפלת הפולינומים בתור: (P Q)(X) = n+m k=0 k a i b k i X K i תכונות מיידיות של מכפלת פולינומים: לכל F[X] P, Q, R ו :λ F 1 אסוציטיביות במכפלה: (QR) (P Q)R = P 2 קומוטטיביות: P Q = QP 3 דיסטריבוטיביות: P (Q + R) = P Q + P R ו (P + Q)R = P R + QR 4 קומפטיביליות עם סקלרים: (λq) λ(p Q) = (λp )Q = P 17

18 22 חלוקת פולינומים דרגה הגדרה: דרגת הפולינום מוגדרת להיות: ה j המקסימלי כך ש a j 0 F (שלפי הסימון j הוא המקדם של x) j נסמן: deg P המקדם a deg P נקרא המקדם המוביל של P ו a deg P X deg P נראה הביטוי המוביל של P אם המקדם המוביל של הפולינום הוא 1 נאמר ש P הוא מתוקן (monic) הערה: פולינום עם דרגה 0 או נקרא פולינום קבוע דרגת סכום ומכפלה טענה: יהי P, Q פולינומים, אזי: Q} deg(p + Q) max{deg P, deg ו = Q) deg(p deg P + deg Q כאשר המוסכמה היא שלכל n { } N מתקיים: max{, N} = n ו = n+( ) ( ) + n = הוכחה מיידית 22 חלוקת פולינומים ב Z אנחנו אומרים ש d מחלק את p אם קיים q Z כך ש p = dq אנחנו נגדיר באופן דומה עבור :F[X] הגדרה: יהי F[X] P, D נאמר ש D מחלק את P ונכתוב D P אם קיים F[X] R כך ש P = RD נאמר ש D הוא פקטור או מחלק של P וש P הוא מכפלה של D חלוקה עם שארית טענה: יהי F[X] D, P עם F[X] D 0 קיימים ויחידים F[X] Q, R כך ש deg R < deg D כך ש P = QD + R 18

19 23 שורשים אלגברה לינארית (2) תשע"ז הוכחה: יחידות: נניח ש R P = QD + R = Q D + אזי: (Q Q )D = R R הצד הימין הוא לכל הפחות מדרגה 1 D והצד הימני הוא מדרגה deg(q Q ) + deg D ולכן הדרך היחידה שזה אפשרי היא אם שני הצדדים מדרגה ולכן Q Q = ו R R = קיום: נגדיר באינדוקציה סדרה של זוגות Q n, R n כך ש P = Q n D +R n ו < n+1 deg R Q 1 נתחיל עם = 0 deg R m < deg D אחרי מספר סופי של צעדים נעצור כ אשר: deg R n ו R 1 = P נקבל: P = Q 1 D + R 1 נניח שהגדרנו Q n, R n כך ש deg R n deg D D(x) = l עם d l 0 F ו i=0 d ix i ו a k 0 F עבור R n (X) = k נכתוב: i=0 a ix i R n+1 = P Q n+1 D = R n a k dl X k l D ו Q n=1 = Q n + a k dl x k l נכתוב: l k a k בעלי אותו dl נקבל: Q n+1 D + R n+1 = Q n D + R n = P יתרה מכך, R n ו X k l D איבר מוביל לכן deg R n+1 < deg R n נמשיך עד שנקבל Q m, R m עם deg R m < deg D כנדרש 23 שורשים כל F[X] P נותנת לנו פונקציית פולינום F F המוגדרת על ידי (b) b P כאשר: a 0,, a n F עבור P (b) = n i=0 a ib i הגדרה: יהי a F נאמר ש a הוא שורש (root) של פולינום, אם P (a) = 0 F הערה: נשים לב שאם Q מחלק את P אזי קיים F[X] R כך ש P = QR לכן אם P (a) = Q(a)R(a) = 0 R(a) = 0 כי: P אז הוא בפרט שורש של Q שורש של a F טענה: a F שורש של F[X] P אם ורק אם a) (x מחלק את P הוכחה: נניח ש (a X) מחלק את P אז a הוא שורש של X a ולכן הוא שורש של P נחלק את P (a) = 0 F קרי P, שורש של a מההערה לעיל מכייוון שני נניח ש P ב x a ונקבל: P = (X a)q + R אם: < 1 R deg לכן R הוא קבוע מכאן: P (a) = Q(a)(a a) + R(a) = r לכן = 0 r ולכן X a מחלק את,P כנדרש 19

20 23 שורשים אלגברה לינארית (2) תשע"ז הגדרה: יהי F[X] P ו b שורש של P אזי הריבוי האלגברי של b הוא: = (b) m p max{j (x b) j P } הערה: מהטענה הקודם: 1 (b) m p טענה: לפולינום F[X] P עם 0 P deg יש לכל היותר deg P פולינומים הוכחה: באינדוקציה על הדרגה P, נסמן: n אם 0 = n אז P הוא קבוע לא אפס ולכן חסר שורשים והטענה מתקיימת נניח שלכל פולינום עם 1 n deg P יש לכל היותר deg P שורשים אם ל P אין שורשים ב,F סיימנו אם a שורש של P אפשר לכתוב: P = (X a)q עם 1 n Q = אם Q(b) שורש אם ורק אם = 0 P (b) לכן P (b) = (b a)q(b) = 0 נקבל: b a וגם b F לכן השורשים של P הם בדיוק כל השורשים של Q וגם a לכן לפי הנחת האינדוקציה ל P יש לכל היותר n שורשים המשפט היסודי של האלגברה: לכל פולינום C[X] P עם 0 P deg יש שורש 20

21 פרק 3 מספרים מרוכבים 31 הצגה כללית ראינו שניתן להגדיר את השדה C באמצעות הוספה למרחב הוקטורי R 2 את פעולת הכפל: (x 1, y 1 )(x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) המניבה שדה בנוסף אפשר לעבוד עם הסימון: (1,0) = i המקיים (0,1 ) = 2 i אנחנו מזהים את (0 span(1, עם השדה R על ידי האיזומורפיזם,a) (0 a בנוסף נסמן: (x, y) C (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + iy הערך המוחלט הגדרה: הערך המוחלט (modulus) של z = x + iy C מוגדר להיות z = x 2 + y 2 הערה: הערך המוחלט למעשה מודד את המרחק, ב R 2 של,x) (y R 2 מהראשית נשים 21 לב ש z R לפעמים נסמן: r

22 31 הצגה כללית נשים לב שאם θ מייצגת את הזווית בין ציר ה x לוקטור (y,x) אזי x = z cos θ ו z = z (cos θ + i sin θ) מכאן: y = z sin θ האגומנט הגדרה: אם θ היא הזווית בין ציר ה x לוקטור (y,x) נאמר ש θ היא הארגומנט של z נסמן: arg(z) זהו מספר ממשי המוגדר על ידי מודולו 2π arg i = π 2 הערה: למשל מכפלה מה מכפלה עושה לאגומנט? נניח z, z C כך ש z z = 1 = אזי נוכל לרשום: z = cos θ + i sin θ ו θ z = cos θ + i sin נקבל: z z = (cos θ cos θ sin θ sin θ ) + i(cos θ cos θ + sin θ cos θ ) = cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ ) מכאן הכפלה של מספרים מורכבים עם ע"מ 1 מחברת את הארגומנט שלהם זה נותן את המוטיבציה לסמן: הגדרה: cos θ + i sin θ = e iθ כך עדיין נשמר הכלל ש i(θ+θ ) e iθ e iθ = e הגדרה: לכל z C עם θ),z = z (cos θ + i sin נסמן z = z e iθ הצגה זו נקראת ההצגה הפולרית של המספרים המורכבים הצמוד הגדרה: אם,z = x + iy C מגדירים את הצמוד של z בתור: z = x iy 22

23 32 המישור המורכב והצגה פולרית הערה: נשים לב שמתקיים: z = x 2 + ( y) 2 = z 1 2 אם θ arg z = אזי cos( θ) cos θ = x = cos θ = ו = θ sin θ = y = sin θ = θ mod 2π לכן: sin( θ) 3 מכאן: z = re iθ 32 המישור המורכב והצגה פולרית כל מספר מרוכב כאמור ניתן לזהות במישור דו מימד, למשל R, 2 כאשר x + yi מזהים על ידי (y,x), כלומר יש איזומורפיזם בין R 2 ל C ההצגה במישור דו ממדי היא כאמור ההצגה הקרטזית הצגה פולרית של נקודות מישור היא תיאור של כל נקודה על ידי ההזוג (θ,r) כאשר r הוא המרחק של הנקודה מהראשית ו θ היא הזווית ברדיאנים של הקטע מראשית הצירים הרדיוס r תמיד אי שלילי ונקבע ביחידות ואילו הזווית θ נקבעת רק עד כדי כפולה שלמה של 2π עבור = 0 r כל הזוויות מגדירות אותה הנקודה המעבר מהצגה פולרית לקרטזית פשוטה לתיאור ונתונה על ידי ההעתקה: (r, θ) (r cos θ, r sin θ) המעבר מההצגה הקרטזית לפולרית מורכב יותר ותלוי בתחום בו אנחנו רוצים שהזווית θ תיפול אם אנחנו רוצים ש [2π θ,0] נקבל ש ( x 2 + y 2 + arctan y x x > 0 y 0 ( x 2 + y 2 + arctan( y x ) + 2π x < 0 y < 0 ( x 2 + y 2 + arctan( y x (x, y) ) + π x < 0 ( x 2 + y 2 + π 2 x = 0y > 0 ( x 2 + y 2 + 3π 2 x = 0 y < 0 (0, 0) x = 0 = y 23

24 33 שורשים אלגברה לינארית (2) תשע"ז הסיבה לסיבוך היא ש tan x איננה פונקציה חח"ע ב [2π,0], ועל מנת להפוך אותה יש ( π 2, π 2 ואז לתקן בהתאם להצמצמם לתחום בו היא כן חח"ע למשל, ) 321 נוסחת דה מואבר באינפי 2 ראינו הוכחה ש sin(α + β) = cos α sin β + cos β sin α cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β כעת יהיו z 1 = r 1 cisθ 1 ו z 2 = r 2 cisθ 2 נשים לב שמתקיים: z 1 z 2 = (r 1 cisθ 1 )(r 2 cisθ 2 ) = r 1 r 2 (cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 ) + r 1 r 2 (cos θ 1 sin θ 2 + sin θ 1 cos θ 2 )i = r 1 r 2 cos(θ 1 + θ 2 ) + r 1 r 2 sin(θ 1 + θ 2 )i = r 1 r 2 cis(θ 1 + θ 2 ) מכאן נסיק: נוסחת דה מואבר: n N (r cos θ + ri sin θ) n = r n cisnθ 33 שורשים נוסחת דה מואבר מאפשרת לנו לחשב שורשים מכל סדר שהוא של כל מספר מורכב נתחיל מלחשב את כל השורשים מסדר n של המספר 1 בממשיים, עבור n אי זוגי השורש היחיד הוא 1 ועבור n זוגי יש שני שורשים 1 ו 1 במרוכבים, אנחנו מחפשים מספר z כך ש = 1 n z בהצגה פולרית נרשום שורש מסוים z = rcisθ ונקבל: r n = 1 = r n cisnθ = 1(cos 0 + i sin 0) 24

25 33 שורשים אלגברה לינארית (2) תשע"ז מכאן ברור, היות ו r אי שלילי, ש = 1 r ועבור θ צריכה לקיים ש nθ היא כפולה שלמה של 2π על כן האפשרויות השונות הן שונים והם נתונים על ידי הנוסחה: 2kπ עבור 1 n k 0 כלומר ישנם n שורשים n w k = cis 2kπ n 25

26 חלק II אופרטורים 26

27 פרק 4 ליכסון למדנו אופרטורים מהשיעור הראשון ב 2802 עד ל 2604, חצי מהקורס החלוקה לפרקים כאן היא לפי הרישומים של קלואי, תשעה פרקים: מבוא, תמ"ו אינווראנטיים, ע"ע, מטריצה של א"ל, ליכסון, פ"א, משפט קיילי המילטון, נילפוטנטיות וז'ורדן 41 מבוא לאופרטורים הגדרה: יהי V מרחב וקטורי מעל F אופרטור או אופרטור לינארי (להלן א"ל) הוא העתקה לינארית,V V קרי איברים של ) V hom(v, מהות הפרק הראשון הוא לחקור אופרטורים התת פרק הראשון, מבוא לאופרטורים, יהיה הצגה כללית של הנושא שמהלכו נגדיר מושגים חדשים שילוו אותנו לאורך הקורס 27

28 41 מבוא לאופרטורים 411 סכום ישר הגדרה: יהי V מ"ו מעל F נאמר ש U 1, U 2 V הם משלימים (complementary) אם לכל v V קיימים ויחידים v 1 U 1, v 2 U 2 כך ש v = v 1 + v 2 במקרה זה נאמר ש V = U 1 U 2 ונסמן: U 1, הוא סכום ישר של U 2 V הערות: 1 בפרט זה אומר V = U 1 + U 2 2 בפרט } V U 1 U 2 = {0 היות ואם v U 1 U 2 אזי v = 0 V כי אחרת v = 0 V + v ו v = v + 0 V היו שתי דרכים שונות לכתוב את v 3 ממשפט הממדים הראשון נקבל: dim V = dim U 1 + dim U 2 הגדרה שקולה מהתרגול: יהי V מ"ו מעל F ו U, W V כך ש V = U + W אזי V הוא סכום ישר של U ו W אם } v W U = {0 דוגמאות 1 ניקח R[X] V = מרחב כל ההעתקות R, R לא קשה להשתכנע שקבוצה זו היא מרחב וקטורי נסמן ב + U את התת מרחב של הפונקציות הזוגיות ובהתאמה U האי זוגיות לכל h, V קרי לכל פונקציה ממשית, נגדיר: h(x) + h( x) h + (x) = U + 2 (41) h(x) h( x) h (x) = U 2 (42) ואז מתקיים: (x) h(x) = h + + h ואלו פונקציה זוגית ואי זוגית בהתאמה עכשיו נראה שזה דהקומפוזיציה יחידה: יהי R[x] h, נניח וקיימת פונקציה זוגית f(x) ופונקציה אי זוגית g(x) כך ש g(x) h(x) = f(x) + נראה שבהכרח f ו g נראות מהצורה כמו במשוואות 21 ו 22 בהתאמה: h( x) = f( x) + g( x) = f(x) g(x) = h(x) + h( x) = 2f(x) 28

29 41 מבוא לאופרטורים ומכאן ברור ש f מהצורה כמו במשוואה 21 ובאופן דומה g מהצורה 22 על כן U V = U + למעשה הראנו שכל פונקציה ממשית ניתן להציג כסכום יחיד של פונקציה זוגית ואי זוגית מעניין לראות שאכן לא קיימת פונקציה ממשית שהינה זוגית ואי זוגית במקביל ואיננה פונקצית האפס 2 ניקח (R) V = M n מרחב המטריצות הריבועיות מדרגה n עם מקדמים ממשיים נגדיר: U 1 = {A M n (R) A t = A} U 1 = {A M n (R) A t = A} קרי מרחב המטריצות הסימטריות ומרחב המטריצות האנטי סימטריות מכאן לכל A 1 ו = A+At 2 מטריצה (R) A M n אפשר לכתוב A = A 1 + A 2 כאשר: A 2 = A At לא קשה להשתכנע שזה פירוק ייחודי הטלות ושיקופים הגדרה: יהי V מרחב וקטורי מעל F ו U 1, U 2 V כך ש U 1 U 2 = V הטלה (projection) מ V על U 1 במקביל ל U 2 היא העתקה p 1 : V V המוגדרת על ידי p 1 (v) = v 1 כאשר: v = v 1 + v 2 באופן דומה אפשר להגדיר את הטלה על U 2 במקביל ל U 1 בתרגול סימנו: p U,W שיקוף ב U 1 במקביל ל U 2 היא ההעתקה s 1 : V V המוגדרת על ידי s 1 (v) = v 1 v 2 כאשר v = v 1 + v 2 הוא הדהקומפוזיציה היחידה של v הערה: שיקוף והטלה הן העתקות לינאריות שיקוף והטלה מוגדרות היטב מיחידות הפירוק של סכום ישר הערה: אם p הטלה על U 1 במקביל ל,U 2 אזי: ker p = U 2 ו Im(p) = U 2 דוגמה ניקח V מרחב הפונקציות הממשיות מהפירוק מהדוגמה הקודמת נקבל שההטלה על + U h(x)+h( x) p + (h)(x) = וכן ההטלה על U במקביל ל + U הינה: 2 במקביל ל U הינה: 29

30 41 מבוא לאופרטורים h(x)+h( x) p (h)(x) = והשיקוף מחישוב מהיר הינו: h( x) והנגדי שלו בהתאמה הרכבה של אופרטורים אם ) V,f, g hom(v, מתכונות המרחב הוקטורי, גם ) V f + g hom(v, וכן λ ) V ;F λf hom(v, וראינו בלינארית א שגם ) V f g hom(v, (מהלינאריות של הרכבה) דוגמה ניקח: V = U 1 U 2 ונסמן ב p 1, p 2 ההטלות על U 1, U 2 במקביל ל U 2, U 1 בהתאמה נסמן ב s להיות השיקוף ב U 1 במקביל ל U 2 אזי: (p 1 ) 2 := p 1 p 1 = p 1 1 וכן: p 2 p 2 = p 2 באופן כללי אופרטור לינארי T המקיים T T = T נקרא אידמפוטנט p 1 p 2 = 0 hom(v,v ) 2 p 1 + p 2 = id 3 p 1 p 2 = s הצגה מטריציאלית לכל בסיס של V אנחנו יכולים לבנות את המטריצה המייצגת של האופרטור V V אין כאן חדש, ובסך הכל נדגים: 30

31 42 תתי מרחב אינווריאנטיים דוגמה יהי ) 2 B = (b 1, b בסיס כלשהו של V ניקח ) 1 U 1 = span(b ו ) 2 U 2 = span(b עבור הבסיסים והעתקת השיקוף: s(u 1 ) = u 1 ו s(u 2 ) = u 2 ולכן נקבל: [S] B = תתי מרחב אינווריאנטיים 421 אינווריאנטיות הגדרה: נניח f : V V אופרטור לינארי תמ"ו U V ייקרא תמ"ו אינווריאנטי,invariant) שמורה) של f, או f אינווריאנטי אם,f(U) U כלומר לכל u U מתקיים f(u) U דוגמאות T ביחס לכל אופרטור לינארי הם תתי מרחב T אינווריאנטיים V ו 0} V } 1 T ביחס לכל אופרטור לינארי הם תתי מרחב T אינווריאנטיים Im(T ) ו ker(t ) 2 3 ניקח V להיות מ"ו ממד 2 מעל U 1 R, ו U 2 משלמים ממד אחד ו s הוא השיקוף ב U 1 אזי U 1 הוא תמ"ו אינווריאנטי של s ובאותו אופן גם U 2 נשים לב שלכל s(u) = u U נקבל u ולכל U 2 s(u) = u U נקבל u U 1 4 סיבוב של R 2 בזווית θ עם < θ < 2π 0 הוא חסר כל תמ"ו אינוויראנטי לא טרוויאלים עבור סיבוב של R 3 מסביב לציר ה z, ("להחזיק את הקצוות של ציר z ולסובב כמו סביבון") הן ציר ה z והן המישור xy מהווים תמ"ו אינווראנטיים 5 נסמן ב (R) V = C את מרחב הפונקציות הממשיות הגזירות אינסוף פעמים ב R נגדיר: D : V V להיות העתקת הגזירה ראינו שזו העתקה לינארית ולפי בניית 31

32 42 תתי מרחב אינווריאנטיים המרחב זה גם אופרטור אזי קבוצת כל הפולינומים היא תמ"ו אינווריאנטי של D זה תופס טוב את ההגדרה כי זה לא יותר מלהגיד: "נגזרת של פולינום היא פולינום לכל פולינום" הערות: 1 לא כל תמ"ו של תמ"ו T אינווריאנטי הוא בעצמו T אינווראנטי, וכנ"ל לגבי תמ"ו שמכיל אותו אם כך היה המצב, היות ו V ו } V 0} תמ"ו T אינווריאנטיים תמיד, המושג היה ריק מתוכן 2 יהי s, t : V V אופרטורים ו U V כך ש U תמ"ו T אינווראנטי ו s אינווראנטי אזי U הוא גם תמ"ו (S T ) אינווראנטי + וגם (S T ) אינווראנטי הוכחה: לכל (T +S)(u) = T (u)+s(u) U u U ו = (S(u)) (T S)(u) = T T (u ) U 3 אם U היא תמ"ו f אינווריאנטית אזי, f U מגדיר אופרטור לינארי U U אם,U W הם תמ"ו משלמים ו f אינווראנטיים אז f מוגדר באופן ייחודי כאשר אנחנו יודעים מהם f U ו :f W לכל v V אפשר לפרק באופן ייחודי ל v = u + w כאשר u U ו w W ואז: f(w) f(u) = f(u) + זה נכון גם כאשר U 1, U 2,, U n תמ"ו f אינווראנטיים וגם V = U 1 U 2 U n 4 כדי להבין העתקה לינארית, עוזר להכיר את התמ"ו האינווראנטיים שלה היות ואז נוכל להתמקד רק באופרטורים ממד נמוך יותר תוצאה ישירה של ההערה הקודמת בפרט אם V נ"ס אז נוכל למצוא בסיס בצורה זו כך שהמטריצה המייצגת את f תהיה פשוטה יותר 422 מרחבים ציקליים איך ניתן למצוא תמ"ו f אינווריאנטי? ניקח v וקטור ששונה מוקטור האפס כל f אינווראנטי יכיל הן את v והן את f(v) פר הגדרה מכאן גם כל תמונה של הרכבה f)(v) f) f תהי בתת המרחב כך גם לגבי כל קומבינציה לינארית שלהם 32

33 42 תתי מרחב אינווריאנטיים הגדרה: יהי f אופרטור על V ויהי v V המרחב הציקלי (cyclic) המקושר ל f ו v הוא: k Z(f, v) = { a i f (i) (v) a 0,, a k F, k N} = span(v, f(v), f 2 (v), ) i=0 טענה: תת מרחב ציקלי (v Z(f, הוא f אינווראינטי u = k הוכחה: יהי v) u Z(f, אזי קיימים סקלרים ) k (a 0,, a כך ש (v) i=0 a if i f(u) = f( k a i f i (v)) = i=0 k a i f(f i (v)) = i=0 k a i f i+1 (v) Z(f, v) i=0 לכן: צריך להדגיש שעל אף שמדובר ב span של אינסוף וקטורים, כל וקטור במרחב הוא צ"ל של מספר סופי של וקטורים, לפי ההגדרה של span אינסופי (אפשר לחשוב על מרחב הפולינומים להמחשה) כנדרש טענה: אם V מ"ו נ"ס ו v V ו"ע ו k N מינימלי כך ש (v)) T k+1 (v) span(v, f(v),, f k אזי ((v) B =,v) f(v),, f k בסיס לבסיס זה נקרא הבסיס הסטנדרטי למרחב הציקלי Z(f, v) הוכחה: לפי הגדרת המינימליות של k, סדרה זו היא בת"ל מכאן נותר להראות פרישה לכל m k צריך להראות ש (v)) f m (v) span(v, f(v),, f k באינדוקציה: עבור m > k עבור k j=0 a kf i (k) = f k+1 (v) כך ש (a 0,, a k ) זה נתון שקיימים m = k f m (v) = f m k 1 (f k+1 (v)) = f m k 1 ( k a k f i (k)) = j=0 נקבל: k a k f m k 1+i (v) span(v, f(v),, f k (v)) j=0 33

34 43 ערכים, וקטורים ומרחבים עצמיים 43 ערכים, וקטורים ומרחבים עצמיים 431 ערך עצמי ווקטור עצמי 0 V כך ש הגדרה: λ F נקרא ערך עצמי (ע"ע, (eigenvalue של f אם קיים v V λ המקושר ל /ביחס ל (eigenvector נקרא וקטור עצמי (ו"ע, v V וקטור f(v) = λv הערה: אם v וקטור עצמי, אזי span(v) הוא f אינווריאנטי זאת היות ואם span(v) u אזי קיים λ F כך ש u = λv ואז f(u) = f(λv) = λf(v) = λ 2 v span V דוגמאות 1 מתיחה/ניפוח (dilation) או הומוטטיות :(homothety) ההעתקה f : R 2 R 2 המוגדרת על ידי f(v) = λv לכל v V אזי λ הוא ערך עצמי וכל וקטור שונה מאפס הוא וקטור עצמי דוגמה מכלכלה: נאמר שלפרט יש העדפות הומוטטיות בפונקציית תועלת U, מוצרים,x y והכנסה I אם יחס התחלופה השולי של x על y תלוי רק ביחס בין x ל y ואז u : I U תהי לינארית, ובפרט עקומת אנגל לינארית אם f הומטטית ו = 1,λ אזי T היא זהות אם למשל V = R 2 ו 1 = λ אזי f שיקוף דרך הראשית אם T : V V אופרטור הניפוח פי,λ F וניקח ) n B = (v 1,, v בסיס ל,V היות ולכל v i מתקיים T, v) i ) = λv i אזי ההצגה המטריציאלית של ההעתקה היא: λ λ 0 = λ I 0 λ 2 1]) ([0, C V = מרחב הפונקציות הגזירות אינסוף פעמים המוגדרות על 1] [0, 34

35 43 ערכים, וקטורים ומרחבים עצמיים ניקח: D : V V אופרטור הגזירה לכל λ R הפונקציה φ λ המוגדרת על ידי λ המקושר ל D היא וקטור עצמי של φ λ (t) = e λt v Fcol n להיות עבור כל f A : F n col Fn col,v = F n col נגדיר 3 דוגמה חשובה: f A הוא וקטור עצמי של v F n col ומטריצה כלשהי f A (v) = A v :A אזי המקושר ל λ F אם ורק אם Ax = λx 432 ערך עצמי של מטריצות 0 F n כך ש Ax = λx אזי נאמר ש λ הוא ערך עצמי של x F n col הגדרה: אם קיימם המטריצה A המקושר ל x שקילות הערך העצמי מטריצות טענה: יהי (F) A M n מטריצה ריבועית ו λ, F אזי התנאים הבאים שקולים: A ערך עצמי של λ F 1 2 ) A ker(λid f לא טרוויאלי Im(λid f A ) F n col 3 det(λi A) מטריצה לא הפיכה = 0 (λi A) 4 (λid f A )x אם ורק אם = 0 x ker(λid f A ) x F n col הוכחה: 2 ) ( 1 יהי קרי אם ורק אם = 0 (x) λid(x) f A וזה קורה אם ורק אם λx = Ax כלומר אם ורק אם x וקטור עצמי עם ערך עצמי של λ מלינארית א, נזכיר שאם V g, : V V נ"ס ו M המטריצה המייצגת את g, אזי ממשפט הממדים 0 g ker אם ורק אם Img V ואם ורק אם M לא הפיכה ואם ורק אם = 0 M det ואם ניקח: g = λid f A נקבל את השקילות 5 ) 4 3 ( 2 35

36 43 ערכים, וקטורים ומרחבים עצמיים 433 המרחב העצמי לכל v ערך עצמי של f המקושר ל λ כל סקלר לא טרוויאלי α יקיים ש αv הוא גם ערך עצמי המקושר ל,λ היות ו λ(αv) f(αv) = αf(v) = αλv = כלומר כל span(v),w חוץ מוקטור האפס, הם וקטורים עצמיים של λ מכאן נגדיר: הגדרה: יהי λ F ערך עצמי של f המרחב העצמי (מ"ע, (eigenspace המתאים ל λ יסומן ב V λ ויוגדר להיות הקבוצה: V λ := {v V f(v) = λv} הערות: 1 וקטור האפס נמצא ב V λ אם 0 v אזי v V λ אם ורק אם הוא וקטור עצמי המקושר ל λ לכן, אפוא, V λ הוא הקבוצה של כל הוקטורים העצמיים המקושרים ל λ יחד עם וקטור האפס 2 בפרט מתקיים: span(v) V λ 3 f) V λ = ker(λ id היות ולכל v V λ מתקיים f(v) = λv אם ורק אם (f id)(v) = 0 קרי: f(v) λid(v) כלומר = 0 f(v) λv = 0 4 מההערה הקודמת נסיק: בפרט V λ הוא תמ"ו של V מ"ע הוא אינווריאנטי טענה: מ"ע V λ של V הוא f אינווריאנטי הוכחה: יהי v V λ צריך להראות ש f(v) V λ ואמנם: f(v) = λv ומתקיים: λv V λ ו"ע ו λv ולכן f(λv) = λf(v) = λ 2 v = λ(λv) 36

37 43 ערכים, וקטורים ומרחבים עצמיים דוגמאות 1 ניקח את האופרטור f המוגדר על ידי: λ = 2 f(v) = 2v הוא ערך עצמי וכל וקטור V 2 = V הוא וקטור עצמי במקרה הזה: v V 2 ניקח את אופרטור השיקוף s על U 1 במקביל ל U 2 כאשר V = R 2 = U 1 U 2 ראינו ש 1 ע"ע עם כל v U 1 ו"ע ו 1 הוא ו"ע לכל v U 2 אם נשים לב אין אף ו"ע אחרים ל 1 ו, 1 ולכן: V 1 = U 1 ו V 1 = U 2 3 ניקח את אופרטור הסיבוב של R 3 סביב ציר ה Z ב θ 1 הוא ע"ע של אופרטור הסיבוב עם ו"ע של כל v על ציר ה z המישור xy הוא f אינווריאנטי אבל הוא לא מרחב עצמי מכאן נסיק: אם V λ מ"ע אזי הוא בפרט f אינווריאנטי אבל לא להפך הריבוי הגיאומטרי הגדרה: יהי V λ מ"ע אזי הריבוי הגיאומטרי של ע"ע λ של f הוא הממד ) λ dim(v הערה: > 0 λ dim V היות ואם λ ע"ע אזי קיים 0 v כך ש f(v) = λv ולפי הגדרה V λ {0 V } לכן v V λ תמ"ו בת"ל הגדרה: יהיו U 1,, U n תמ"ו של V נאמר שהסדרה ) n (U 1,, U היא בלתי תלויה לינארית (בת"ל) אם: n n i N u i U i u i = 0 V i u i = 0 V i=1 37

38 43 ערכים, וקטורים ומרחבים עצמיים הקשר בין וקטורים בת"ל לתמ"ו בת"ל i N טענה: אם הסדרה ) n (v 1,, v היא בת"ל אזי ) n (U 1,, U בת"ל עם = i U span(v i ) הוכחה: לכל i n ניקח u i U i אזי קיימת סדרת סקלרים ) n (a 1,, a כך ש n וזה צ"ל של סדרה בת"ל i=1 a iv i = 0 V אזי n i=1 u i = 0 V מכאן אם i u i = a i v i לכן = 0 i i a ולכן = 0 i u טענה: לכל ) n (U 1,, U סדרה בת"ל, אזי לכל,n i N הסדרה ) n (v 1,, v עם i N v i U i וגם v i = 0 V היא בת"ל n אבל a i v i U i ולפי הוכחה: יהי ) n (v 1,, v עם i v i U i וצ"ל כך ש i=1 a iv i הגדרה: a i v i = 0 V והיות ו v i 0 V אין ברירה אלא a i = 0 F כנדרש דוגמאות 1 ב R, 2 כל שני ישרים העוברים בראשית ואינם זהים הם בת"ל נסמן את הישירים ב u 1 = אזי u 2 u 1 + u 2 = 0 V אם מתקיים u 1 U 1, u 2 ואז לכל U 2 U 1, U 2 לכן, u 1, u 2 U 1 U 2 ולכן u 1 = 0 V = u 2 l 1, l 2, l 3 ושני מישורים,R 3 אם ניקח שלושה ישרים שעוברים דרך הראשית 2 ב l 1, l 2, l 3 הם בת"ל, אם ורק אם אין מישור אזי: P 1, P 2 שעוברים דרך האפס: P 1, P 2 הם אף פעם לא בת"ל היות ואם ניקח וקטור שונה מאפס שמכיל את כולם l 1, P 2 הם בת"ל אם ורק אם v v = 0 V הנמצא בחיתוך שלהם,,v נקבל ש l 1 P 1 למרחב נ"ס יש לכל היותר dim V מ"ע טענה: וקטורים עצמיים המקשורים לערכים עצמיים שונים בת"ל ניסוח שקול מההרצאה: יהיו λ 1,, λ m ע"ע של,f אזי ) λm (V λ1,, V בת"ל הערה: בפרט זה אומר שאם V ממד סופי n, אז לאופרטור הלינארי f : V V לכל 38

39 43 ערכים, וקטורים ומרחבים עצמיים היותר n מרחבים עצמיים שונים הוכחה: יהי f : V V אופרטור יהיו u 1,, u m וקטורים עצמיים של f המקושרים ל u 1 0 V היות ו,m בת"ל עבור = 1 u 1,, u m ש m נוכיח באינדוקציה על λ 1,, λ m מהגדרת הערך העצמי, נקבל סדרה בת"ל כעת נניח ש u 1,, u n הוא בת"ל (עם n) < m n+1 f( יהי n+1 a 1,, a n, a סקלרים כך ש n+1 a i u i = 0 (43) i=1 f( n אבל גם: מהלינאריות של i=1 a iu i ) = 0 :f n+1 n+1 a i u i ) = a i f(u i ) = a i λ i u i (44) i=1 i=1 n+1 0 = (λ n+1 λ i )a i u i = i=1 i=1 נכפיל את 43 ב 1+n λ ונחסר ממנה את 44 ונקבל: n (λ n+1 λ i )a i u i מהיות של ) n (u 1,, u בת"ל נקבל שלכל i n נקבל = 0 i (λ m λ i )a אבל היות ו i=1 λ i λ n לכל i < n נקבל: = 0 i a לכל,i n כנדרש הוכחה אחרת: להלן ההוכחה שלי בלי לעשות אינדוקציה על קבוצה סופית: יהי f : V V א"ל יהיו v 1,, v n ו"ע שונים המקושרים ל λ 1,, λ n נניח בשלילה ש m צ"ל של הוקטורים שלפניו בפרט קיים v i כך ש 1 m n ת"ל אזי קיים (v 1,, v n ) כזה מינימלי זה לא האיבר הראשון היות ו,v i 0 V כלומר קיימת סדרה ) m 1 (a 1,, a 1 m v m = נכפול משוואה זו ב λ m וכן נעשה f על המשוואה לא ריקה כך ש 1=i a iv i 39 λ m v m = 0 V = λ m v m = m 1 i=1 m 1 i=1 m 1 i=1 ונקבל: a i λ m v i (45) a i λ i v i (46) נחסיר את שתי המשוואות אחת מהשנייה: a i (λ m λ i )v i

40 43 ערכים, וקטורים ומרחבים עצמיים וזה צ"ל של סדרה בת"ל ולכן: i m 1 a i (λ m λ i ) = 0 F אלו ע"ע שונים לכן 1 m v m = בסתירה לכך שו"ע תמיד שונה מאפס, i=1 a iv i = 0 V לכן קיבלנו: a i = 0 F כנדרש יישום: אלגרותים הדירוג של גוגל מתוך מאמר של בריאן וליאז 1 אלגוריתם הדירוג של גוגל מדרג url לפי מידת חשיבות העמוד והרלוונטיות שלו למילות חיפוש פן אחד שלו מדרג את כתובת ה domain על פי מדד הנקרא P agerank על שם מפתחו, המדרג רק את איכות האתר דרך אחת לעשות זאת היא לדרג אתר לפי מספר הלינקים אליו דרך זו מפספסת את התובנה שלינק מאתר גדול ומשפיע מעיד יותר על אתר ממספר רב של לינקים חסרי חשיבות הרעיון מאחורי P agerank הוא למדוד אתר לפי כמות הלינקים אליו ומידת החשיבות שלהם בנוסף, כדי לא לשחוק את ערך חשיבות האתר שנותן את הלינק, אנחנו נדרוש שהבוסט לאתר i בעקבות לינק מאתר j יירד כתוצאה משימוש תדיר של לינקים החוצה של אתר j (קרי לינק מאתר עם המון לינקים אחרים שווה פחות) נניח ויש n אתרים ו x i הוא הציון של אתר i אנחנו נדרוש ש דוגמה: x i = n i j=1 links j i links j anywhere x j x 1 = x3 אזי אם נגדיר 1 + x4 2 בציור להלן, עמוד 1 יקבל ציון העונה על המשוואה: את A להיות המטריצה = i,a j זה הופך להיות x = Ax כאשר links j i links j anywhere ] n x = [x 1, x 2,, x מהגדרת כפל מטריצות דהיינו וקטור הציונים הוא וקטור עצמי The 25, 000, 000, 000 Eigenvector: The Linear Algebra Behind Google 1 40

41 43 ערכים, וקטורים ומרחבים עצמיים של המטריצה A עם ערך עצמי של 1 בדוגמה להלן: x 1 x 1 1 Ax = x x = x 3 x x 4 x 4 במקרה הזה למשל, הפתרון [6,12],4,9 יפתור את המשואה מה שמעניין כאן זה שאפילו שעמוד 3 מקבל הכי הרבה לינקים (כל האתרים מלבדו מפנים אליו), האתר המדורג הכי גבוה הוא האתר הראשון, שכן הוא מקבל לינק בלעדי מאתר 3 במאמר מכאן הלאה מתייחסים לנושאים יותר מתקדמים שבעיקר מוכיחים שתי טענות: תמיד קיים פתרון למשוואה דהיינו תמיד קיים וקטור עצמי עם ערך עצמי של 1; וגם: אם כל האתרים מחוברים (כלומר אפשר להגיע מכל אתר לכל אתר אחר אחרי מספר סופי של לינקים) הפתרון הוא גם יחיד 434 סיכום: ע"ע, ו"ע ומ"ו להלן סיכום התת פרק על מרחבים עצמיים בנקודות מהתרגול: T הזה נקרא ו"ע של v 0 V v V T (v) = λv אם T נקרא ע"ע של λ F 1 ביחס לע"ע λ 2 אם v ו"ע של T ביחס לע"ע λ אז span v הינו תמ"ו T אינוורנאטי המ"ו הוא תמ"ו של V המוגדר להיות: V V λ = {v 3 יהי λ F ע"ע של T λv} T (v) = בפרט span v V λ V קל לראות שהוא תמ"ו אם זוכרים ש V λ = ker(t λi) הריבוי הגיאומטרי של λ הוא המספר השלם האי שלילי 4 יהי λ F ע"ע של T dim V λ 5 ו"ע השייכים לע"ע שונים הינם בתל מכאן נובע של T ייתכנו לכל היותר dim V ע"ע שונים 41

42 44 מטריצה של אופרטור 44 מטריצה של אופרטור התת פרק הזה הוא חזרה על מושגי מטריצות מלינארית א ויישום המושגים עד כה מהפרק במטריצות במקרה של מ"ו נ"ס אנחנו נרצה למצוא את הבסיס הכי טוב לייצג ה"ל באמצעות מטריצה תחילה כשלב מקדמים נתאר את הייצוג של אופרטור באמצעות בסיסים שונים לצורך הדוגמה, מה הקשר בין הייצוג של אופרטור לינארי בין שני בסיסים? יהי V מ"ו נ"ס מעל F עם dim F V = n תהי א"ל (אופרטור לינארי) f : V V 441 מטריצה של אופרטור ביחס לבסיס יחיד הייחוד של א"ל בניגוד לה"ל רגילה הוא היכולת להשתמש בבסיס יחיד הן בתחום והן בטווח מה זה אומר שמטריצה A מייצגת את f ביחס לבסיס ) n?b = (b 1,, b לכל,v V אפשר לייצג את v באמצעות [v], B קרי הקוארדיננטות של B, כך ש v 1 n [v] B = v = v j b j v n אזי A = [f] B היא המטריצה כך שלכל v V נקבל: [f(v)] B = A [v] B זה כמובן לא שונה מלינארית א' רק שכאן A = [f] B B ולכן הייצוג של f(v) הוא גם לפי הבסיס B j=1 442 דימיון מטריצות יהי ) n B = (b 1,, b ו ) n D = (d 1,, d בסיסים סדורים של V נזכיר שהמטריצה M B B היא המטריצה כך שלכל v V נקבל: [v] D = MD B[v] B אצל ריפס סימנו: [id] B D מטריצה זו כמובן הפיכה ולכן נקבל: [f] D = M B D [f] B M D B = M B D [f] B (M B D ) 1 מכאן, נגדיר: 42

43 44 מטריצה של אופרטור הגדרת דימיון מטריצות הגדרה: תהי (F) K M n מטריצה מטריצה (F) L M n נקראת דומה ל K אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש L = P 1 KP לכן אם,A B מייצגות א"ל עם בסיסים שונים, אזי הם דומות יחס הדמיון הוא יחס שקילות טענה: יחס הדמיון הוא יחס שקילות הוכחה: תהי (F) K M n רפלקסיביות: I n היא הפיכה וניטרלית לכפל אזי: = K In סימטריות: נניח ש K דומה ל,L אזי L = P 1 KP ומכאן: 1 KI n K = P P 1 KP P 1 = P LP 1 לכן L דומה ל K טרנזיטיביות: נניח ש L דומה ל K ו M דומה ל L ונראה ש M M = Q 1 LQ = Q 1 P 1 KP Q = (P Q) 1 K(P Q) דומה ל K: כנדרש תכונות נוספות של דמיון מטריצות טענה: 1 אם L דומה ל K אז לכל n N נקבל ש L n דומה ל k n 2 אם L דומה ל K ו K 2 = K אזי L 2 = L 3 אם L דומה ל K אז det L = det K 43 הוכחה:

44 44 מטריצה של אופרטור 1 נניח ש L דומה ל K אזי L = P 1 KP ונקבל: L n = (P 1 KP ) n = P 1 KP P 1 KPP 1 KP = P 1 K n P 2 נקבל: L 2 = P 1 KP P 1 KP = P 1 K 2 P = P 1 KP = L det L = det P 1 det K det P = det K 3 אם L = P 1 KP אז: det P det P = det K 443 מטריצה של סכום ישר של אינווריאנטים נניח ש U הוא תמ"ו f אינווריאנטי של V יהי ) m B U = (b 1,, b בסיס של U נרחיב אותו לבסיס ) n B = (b 1,, b של V איך נראת המטריצה של f ביחס ל?B אם i m אזי b i U ולכן f(b i ) U ולכן וקטור העמודה של הקוארדיננטות ביחס ל B שלו יראה: v 1 v m [f(b i )] B = 0 0 לכן המטריצה המייצגת של f תהי בעלת המבנה: [f U ] BU A 0 B כאשר f] U ] BU היא המטריצה המייצגת של ההעתקה f U שהיא הצמצמום של f ל U (בתחום והן בטווח כי זה תמ"ו אינווריאנטיf ), 0 זו מטריצת האפס מסדר m n ו A ו B מטריצות רגילות קל לראות שזה נכון גם לכיוון השני: אם f : V V א"ל, B בסיס ו [f] B מטריצה משולשית עליונה לפי בלוקים אזי ) k span(b 1,, b הוא f אינווריאנטי, היות ואם ניקח ) k,v span(b 1,, b אזי [f(v)] B = [f] B [v] B ומאחר וב [v] B יש אפסים בכל המקומות 44

45 44 מטריצה של אופרטור ה n k האחרונים ומכפל מטריצות נקבל ש [f(v)] גם הוא בעל 0 בכל המקומות ה span(b 1,, b k ) האחרונים, כלומר הוא צ"ל רק של n k אם ניקח שני תמ"ו משלמים f אינווראינטים U ו W, אפשר לבחור בסיס B כך ש ) m (b 1,, b הוא הבסיס B U ו ) n (b m+1,, b הוא הבסיס B W של W (אפשר לעשות את זה כי בפרט מתקיים: {0} = W (U אזי לכל i > m מתקיים: f(b i ) W ועל כן נקבל מטריצה הנראת כך: [f U ] BU 0 0 [f W ] BW נאמר שמטריצה מסוג זה היא מטריצה אלכסונית לפי בלוקים 444 מטריצה של מרחב ציקלי בהינתן א"ל f : V V נבחר וקטור שונה מאפס v ונבחן את המרחב הציקלי המקושר אליו, (v Z(f, ראינו שזה תמ"ו f אינווריאנטי ושאם k הוא האינדקס המינימלי כך ש (v) v, f(v),, f k הוא בת"ל, אזי (v)) B = (v, f(v),, f k יוצר בסיס מהי המטריצה?B ביחס ל f Z(f,v) נסמן: (v) b 0 = v, b 1 = f(v),, b k = f k לכל i < k נקבל: i+1 f(b i ) = b ואז: k f(b k ) = f(f k (v)) = f k+1 (v) = ( a i )f i (v) i=0 ואז נקבל את המטריצה: a a a 2 [f] B = a a k 45

46 45 ליכסון אלגברה לינארית (2) תשע"ז הגדרה: מטריצה כזו נקראת matrix) (companion של פולינום P 45 ליכסון 451 מטריצה אלכסונית כהמשך ישיר של הדיון על מטריצה על פי בסיסים של אינווראנטיים, במקרה הטוב ביותר נוכל להגיע למצב שפירקנו את V לסכום ישר של תמ"ו f אינווראינטים ממד אחד, ואז נקבל מטריצה שנראת: λ λ λ λ n במקרה כזה נאמר שהמטריצה אלכסונית matrix) (Diagonal לא תמיד אפשר למצוא בסיס כך שהמטריצה המייצגת את f היא אלכסונית אבל נראה בהמשך תנאים מספיקים לקיום של מטריצה כזו כלומר מפה נגדיר: הגדרה: מטריצה (F) A M n נקראת אלכסונית אם כל הכניסות שלה מחוץ לאלכסון הם אפס הערת סימון: נסמן: A = [f] B מטריצה אלכסונית גם כ ) n A = diag(λ 1,, λ 452 אופרטורים לכסינים הגדרה: יהי V מ"ו נ"ס מעל F נאמר ש f : V V א"ל לכסין (diagonalizable) אם קיים בסיס B של V כך ש [f] B אלכסונית יהי (F) A M n יהי f A האופרטור המוגדר על ידי f A (x) = Ax אם B הבסיס הסטדנרטי, נקבל: [f] B = A לפי הגדרה, f A ניתנת לליכסון אם ורק אם קיים בסיס 46

47 45 ליכסון אלגברה לינארית (2) תשע"ז D כך ש [f] D אלכסונית מכאן, זה שקול ללהגיד שקיימת מטריצה הפיכה M כך ש 1 MAM אלכסונית מכאן: הגדרה: נאמר ש (F) A M n היא מטריצה לכסינה (diagonalizable) אם היא דומה למטריצה אלכסונית 453 הקשר בין ליכסון לו"ע כאמור, נאמר ש (F) A M n היא מטריצה לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית אם A = [f]e E לכסינה אז קיים בסיס B כך ש [f] B B אלכסונית, מה זה אומר לגבי הבסיס?B = (b 1,, b n ) לכסינות וע"ע טענה: אופרטור f לכסין אם ורק אם קיים בסיס של V שמכיל רק ו"ע הוכחה: אם A = [f]e E לכסינה אז קיים בסיס B כך ש [f] B B אלכסונית, נסמן: = B [f] [f(b 1 )] B = A[b 1 ] B = (λ 1, 0,, 0) = ועל כן [b 1 ] B = (1,, 0) מתקיים ש,diag(λ 1,, λ n ) [λ 1 b 1 ] B על כן b 1 הוא ו"ע המקושר ל λ 1 באופן דומה לכל n i N נקבל ש b i ו"ע עם ע"ע λ i מכיוון שני, נניח וקיימים ) n (v 1,, v המקושרים ל ) n (λ 1,, λ בהתאמה המהווים בסיס [f(v i )] D = אבל מתקיים: ([f(v 1 )] D,, [f(v n )] D ) היא מהצורה: [f] D אזי V של D 0),, i [λ i v i ] D = (0,, λ ונקבל מטריצה אלכסונית מסקנה: בפרט אם יש n ע"ע עצמיים שונים לאופרטור f : V V עם,dim V = n אזי האופרטור לכסין זה כמובן לא אם ורק אם, למשל: f : R 2 R 2 המוגדר על ידי (2y f(x, (y =,2x) יש רק ערך עצמי אחד והוא = 2 λ, אבל בהצגה בבסיס הסטנדרטי נקבל: 0 2 מטריצה אלכסונית לכן זהו אופרטור לכסין עם ערך עצמי אחד (אבל 0 2 הריבוי הגיאומטרי הוא 2) 47

48 45 ליכסון אלגברה לינארית (2) תשע"ז דוגמה נתבונן ב 3 5 = A נבחן האם היא לכסינה: הע"ע של A הם 1 ו 2 (אנחנו 6 4 נראה בהמשך איך אפשר לחשב את זה) היות ו = 2 V dim ויש שני ע"ע שונים, זה אומר ש f A לכסינה 454 סכום ישר של כמה מרחבים בסעיף הקודם מצאנו תנאי מספיק להוכחת תכונת הליכסון של מטריצה: אם למטריצה יש n ע"ע שונים, אזי היא לכסינה, כפי שהומחש בדוגמה האחרונה ראינו בדוגמה אחת לפני כן שזה אינו תנאי הכרחי ננסה למצוא כעת גם תנאי הכרחי בכדי לעשות זאת נחזור לדיון שלנו על סכום ישר ונטען את הטענה הבאה: טענה: יהי U 1,, U k סדרה של תמ"ו ממד סופי של המ"ו V נסמן: U = U U k התנאים הבאים שקולים: 1 k U 1,, U סדרה בת"ל (ראה הגדרה של מרחבים בת"ל בעמוד 37) B 1 = (b 1 1,, b 1 l 1 למרחבים ),, B k = (b k 1,, b k l k 2 לכל בחירה של בסיסים ) U היא בסיס ל (b 1 1,, b 1 l 1,, b k 1,, b k l k U 1,, U k בהתאמה, הסדרה ) dim U = k i=1 dim U i 3 הערה: אם התנאים בטענה מתקיימים, נאמר ש U הוא הסכום הישר של המרחבים U = U 1 U k ונכתוב: U 1,, U k הוכחה: 2 ) = :( 1 פרישה: כל v U = U 1 ++U k יכול להיכתב כ v = u 1 ++u k עם u, i U i וכל u i הוא צירוף לינארית של איברי B, i לכן v יכול להיתכב כצירוף לינארי של וקטורים ב B = B 1 B k ומכאן U span B מהמינימליות של הפרישה נקבל: U = span B בת"ל: אם צ"ל של איברי B הוא אפס, מקומוטטיביות נוכל לקבל k איברים שכל אחד מהם מורכב מסכימה של לכל היותר איבר אחד מכל בסיס, אזי לפי הגדרת בת"ל של מרחבים נקבל צ"ל של סדרה בת"ל ולכן לפי הגדרה של סדרה בת"ל נקבל שכל האיברים 48

49 45 ליכסון אלגברה לינארית (2) תשע"ז הינם אפס, על כן כל המקדמים המקוריים אפס, כנדרש (b 1 1,, b 1 l 1 בסיס בגודל סכום אורכי הבסיסים של,, b k 1,, b k l k 3 ) = :( 2 נקבל ש ) dim U = k כל הממדים לכן i=1 dim U i ( 1 = 3 ): נניח בשלילה ש U 1,, U k ת"ל ונראה ש (3) לא מתקיים לפי הגדרה, k ללא הגבלת קיימים u 1 U 1,, u k U k לא כולם אפס כך ש i=1 u i = 0 V הכלליות, מקומוטטיביות אפשר להניח u k 0 V נקבל: 0 k u u k 1 = u (U U k 1 ) U k לכן 1 k dim(u 1 + U k 1 ) U נקבל: dim(u U k ) = dim((u U k 1 ) + U k ) = dim(u U k 1 ) + dim U k dim(u 1 + U k 1 ) U k < dim(u U k 1 ) + dim U k k dim U i = dim U i=1 ( ) ממשפט הממדים ( ) הנתון אזי קיבלנו,dim U = dim U U k > dim U סתירה, כנדרש 455 תנאי מספיק והכרחי לליכסון טענה: יהי f : V V א"ל יהי λ 1,, λ k ע"ע f לכסין אם ורק אם V הוא הסכום dim V = k i=1 dim V λ k הישר של V λ1,, V λk או: אם ורק אם הוכחה: נניח ש V = V λ1,, V λk ונראה ש f לכסין נבחר בסיס לכל V λi המכיל רק ו"ע של λ i מהטענה הקודמת, האיחוד של B i הוא בסיס של V קיבלנו B בסיס המכיל רק ו"ע של f לכן הוא בסיס מלכסן (ראה את הטענה בעמוד 47) לכן f לכסין מכיוון שני, נניח ש f לכסין נניח בשלילה ש V הוא לא הסכום הישר של V λ1,, V λk אזי אי אפשר למצוא בסיס המכילה רק ע"ע של f, לכן f לא לכסין, כנדרש החלק השני של הטענה נובע מ 454 כנדרש 49

50 46 מציאת ע"ע: פולינום אופייני 46 מציאת ע"ע: פולינום אופייני 461 איפיון ע"צ בהינתן א"ל f : V V איך אפשר למצוא את הע"צ שלו? יהי λ F אזי λ F הוא ע"צ של f אם ורק אם קיים 0 V v V כך ש f(v) = λv ומכאן: f(v) = λv λv f(v) = 0 V λid(v) f(v) = 0 V (λid f)(v) = 0 V v ker(λid f) במילים אחרות, λ הוא ע"ע של f אם ורק אם (f ker(λid מכיל וקטור לא אפס v טענה: תהי (F) A M n מטריצה ריבועית ויהי λ F התנאים הבאים שקולים: A ע"ע של λ 1 2 0} = A)x R 0 (λ I A) = {x F n (λi לא טרוויאלי 3 } n C(λI A) = {(λ I A)x x F הוא לא כל המרחב 4 A) (λi לא הפיך det(λ I A) = 0 5 הוכחה: מיידי מהטענות הקודמות הערה: הע"ע של A הם בדיוק הסקלרים λ F עבורם המטריצה A λ I היא מטריצת האפס כלומר הפתרונות עבור המשתנה t של המשוואה: = 0 (A det(ti 50

51 46 מציאת ע"ע: פולינום אופייני det(ti A) = det t 1 1 דוגמה נתבונן ב 2 1 = A נקבל: = t 2 t 2 = (t + 1)(t 2) t לכן {2,1 } t הם ורק הם ע"ע 462 הגדרה של פולינום אופייני הגדרה: תהי n(f) A M נתבונן ב x I A כאשר x F נסמן i(x) Pj את הכניסה בשורה ה i בעמודה ה j של המטריצה x I A הפולינום האופייני של המטריצה A מוגדר להיות: χ A (x) = det(x I A) = n sign(σ) Pσ(i) i (x) σ S n i=1 כאשר S n היא קבוצת הפרמוטציות על {n,,1} ואם σ S n אז sign(σ) הוא הסימן של הפרמוטציה σ הערות: 1 מדובר פשוט בחישוב הדיטרמיננטה למטריצה xi A עבור x F מסוים 2 הפולינום האופייני של מטריצה ריבועית מסדר n הוא פולינום מדרגה n 3 הע"ע של A אפוא הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני כלומר בדיוק הפתרונות של המשוואה = 0 A) det(xi 4 האיברים של המטריצה xi A הם פולינומים ב X היינו שייכים ל F[X] לכן גם (A det(xi הוא פולינום ב X, ומכאן השם 51

52 46 מציאת ע"ע: פולינום אופייני דוגמה נתבונן ב 1 0 = A מכאן: det(xi A) = det x 1 = x מה 1 x 1 0 הע"ע? אם (R) A M 2 אז אין ל A ע"ע אם (C) A M 2 אז הע"ע שלה הם ±i נשים לב ש A, אם היא מעל R, מייצגת את הא"ל של סביב ב 2/π עם כיוון השעון לה"ל הזו אין אף מ"ו אינווריאנטי ובפרט אין לה אף מרחבים עצמיים ולכן בפרט לא ע"ע או ו"ע אבל אם A מעל C כלומר א"ל C 2 C 2 אז קיימים ו"ע, למשל (i,1) ו"ע למטריצות דומות אותו פולינום אופייני טענה: תהינה (F),A B M n מטריצות דומות אזי ל A ו B אותו פולינום אופייני הוכחה: קיימת מטריצה M כך ש MAM 1 = B מכאן: χ B (x) = det(xi B) = det(xi MAM 1 ) = det(xmim 1 MAM 1 ) = det(m(xi A)M 1 ) = det M det(xi A) det(m 1 ) = (det M det(m 1 ) det(xi A) = det(xi A) = χ A (x) מסקנה: בפרט ראינו בלינארית א, שמטריצות מעבר בסיס הן דומות לכן הפולינום האופייני לא תלוי בבסיס בה מוצגת ההעתקה 463 הפולינום האופייני של אופרטור הגדרה: יהי V מ"ו נ"ס מעל F יהי f א"ל על V הפולינום האופייני של האופרטור f, B בבסיס A המייצגת את A הוא הפולינום האופייני של המטריצה χ f (x) מסקנה: מהטענה הקודמת, היות ומטריצות של אופרטור בבסיסים שונים הן דומות, נקבל שהפולינום האופייני של אופרטור לא תלוי בבסיס שנבחר 52

53 46 מציאת ע"ע: פולינום אופייני טענה: הע"ע של f הם בדיוק השורשים ב F של הפולינום האופייני (x) χ f הוכחה: יהי B בסיס של V יהי λ F נניח ש λ ע"ע של :f אזי קיים 0 V v V כך ש f(v) = λv כעת [f(v)] B = [f] B [v] B = λ[v] B לכן λ הוא ע"ע של [f] B ולכן שורש של χ f בכיוון השני אם λ הוא השורש של χ f = χ [f]b אזי הוא ע"ע של [f] B אז קיים f ע"ע של λ ולכן f(v) = λv כך ש 0 V v V הערה: אם V הוא מ"ו מעל C, תמיד יהיה ו"ע היות ולכל פולינום ב C[X] יש שורש אם V הוא מ"ו מעל R אנחנו יכולים לחשוב על מטריצה A המייצגת העתקה f מעל C ולמצוא את הע"ע של A אבל זה לא יהיה ע"ע של f 464 פולינום אופייני ותמ"ו אינווראנטי יהי V מ"ו נ"ס מעל F יהי א"ל f : V V ו U V תמ"ו f אינווראנטי ראינו ש g = f U הא"ל g : U U המוגדר על ידי f(u) g(u) = יכול לייצג את ההעתקה עבור תת המרחב U כעת נבחן את הקשר בין הפולינום האופייני של g ושל f קרי מה הקשר?χ f U בין χ F ו χ f כלומר קיים פולינום χ f U מחלק את טענה: אם U תמ"ו f אינווראנטי של V, אזי χ f (x) = Q(x) χ f U (x) כך ש Q F[X] [f] B V אז B U ל U ומרחיבים אותו לבסיס של נזכור שאם בוחרים בסיס הוכחה: אלכסונית בלוקים נתבונן בפולינום האופייני של המטריצה [f]: B χ f (x) = det(xi [f] B ) = det(xi [f u ] B ) det(xi C) = χ f U Q(x) ( ) דטרמיננטה של מטריצת בלוקים אלכסונית: det M 1 M 2 = det M 1 det M 3 0 M 3 53

54 46 מציאת ע"ע: פולינום אופייני מקרה פרטי אם v v ו"ע של f אזי span(v) U = הוא f אינווראנטי מהו?χ f U נקבל ש = ] U [f χ f U = det[x λ] = (x λ) ונקבל: χ f U (x) = det(xi [f U ]) לכן: [λ] M 1 1 (F) וקיבלנו שאם λ F ע"ע של f אז קיים Q פולינום כך ש λ)q(x) χ f (x) = (x כלומר אם λ F ע"ע של f אז (λ x) מחלק את הפולינום האופייני 465 הפולינום המתאים לתמ"ו ציקלי יהי 0 V v V ו"ע נתבונן ב v) U = Z(f, תמ"ו הציקלי f אינווראנטי U ראינו שאם k מקסימלי כך ש ((v),v) f(v),, f k בת"ל אז קיבלנו בסיס ל U נשים לב שעבור (a 0,, a k ) במצב זה קיימים סקלרים (v, f(v),, f k+1 (v)) זה, יש תלות לינארית ב k k מכאן נגדיר פולינום עם המקדמים הללו: יחידים כך ש i=0 a if i (v) + f k+1 (v) = 0 V P (x) := k a i x i + x k+1 i=0 לפולינום זה נקרא הפולינום המתאים ל (v Z(f, נסמן: Z(f,v) g = f מה הפולינום האופייני χ? g נחשב את המטריצה: a a a 2 [g] B = [f Z(f,v) ] B = := A a a k הגדרה: המטריצה A המטריצה החברה matrix),companion או המלווה) של הפולינום P 54

55 46 מציאת ע"ע: פולינום אופייני הקשר בין הפולינום המתאים לפ"א טענה: יהי V מ"ו מעל f,f א"ל ו v V נתבונן ב v) Z(f, נתבונן ב ) k (v, f(v),, f P (x) := 0 V = k אזי: בסיס ל v) Z(f, קיימים ) k (a 1,, a כך ש k+1 i=0 a if i (v) + f k a i x i + x k+1 = χ f Z(f,v) for (a 1,, a k ) satisfy 0 V = i=0 k a i f i (v) + f k+1 i=0 הוכחה: אנחנו רוצים לחשב את הדטרמיננטה: X a 0 1 X 0 0 a X 0 a 2 det(xi A) = det a X + a k נשתמש בטענת עזר: X b 1 1 X 0 0 b X 0 b 3 det b X + b n טענת עזר: לכל ) n (b 1,, b ולכל n N מתקיים: n 1 = ( i=0 b i x i ) + x n det(xi A) = k אם נוכיח טענה זו זה יספיק כי אז נקבל: 0=i a ix i הוכחה: יהי ) n (b 1,, b באינדוקציה על :N עבור = 1 n נקבל את המטריצה 1 1 (b 1 ) M det x b והטענה 1 = xb 2 + b 1 ולכן det(x + b 1 ) = x + b 1 עבור = 2 n נקבל: 1 b 2 מתקיימת מכאן נניח שלכל מטריצה מסדר 1 n n 1 מהצורה להלן זה מתקיים ואז: 55

56 47 משפט קיילי המילטון לפי פיתוח שורה ראשונה: X b 1 1 X 0 0 b X 0 b 3 det b X + b n X 0 0 b 2 1 X 0 1 X 0 b = x det b 4 + ( 1) n+1 b 1 det X + b n X 0 0 b 2 1 X 0 b 3 n n x det b 4 + ( 1) 2n b 1 = x( b i x i 1 ) + x n + b 1 = ( b i x i 1 ) + x n i=2 i X + b n כנדרש מסקנה: הפולינום המתאים ל (v Z(f, מחלק את χ f 47 משפט קיילי המילטון 471 פולינום של אופרטורים להלן תזכורת מלינארית א: 1 קבוצת כל ה"ל מ"ו V לעצמו מסומנת ב ) V hom(v, 2 אם f ו g א"ל נגדיר חיבור של אופרטורים: g(v) v V (f + g)(v) = f(v) + 56

57 47 משפט קיילי המילטון (+) חיבור אופרטורים הוא אפוא חיבור בשדה ולכן קומוטטיבי ואסוציטיבי סכום של אופרטורים הוא אופרטור לינארי 3 בהינתן λ F ו f א"ל, נגדיר כפל בסקלר כ λf(v) v V (λf)(v) = כפל בסקלר של אופרטורים הוא אפוא חיבור בשדה ולכן קומוטטיבי ואסוציטיבי כפל בסקלר של א"ל הוא א"ל dim V = n < כפי שהוגדרו ב 1 3 מהווים מ"ו אם (hom(v, V ), +, ) 4 מתקיים dim hom(v, V ) = n 2 5 כפל אופרטורים: אם f ו g א"ל אזי f g [f] E E [g]e E = [f g]e E הוא א"ל מכאן אפשר להגדיר כפל א"ל ככפל המטריצות המייצגות אותם בבסיס הסטנדרטי 6 חזקה טבעית של אופרטורים: נזכיר שעבור {0} N k סימנו ב f k את האופרטור:,f f f כאשר f 0 = id אם A היא המטריצה המייצגת את f עבור B בסיס של }{{} k times A k = k 1=i A כהרכבה של אופרטורים, מיוצגת על ידי f, k אזי V P (X) = n נוכל כעת ננסה להרחיב רעיון זה בהינתן פולינום F[X] P נסמן: 0=i a ix i P (f) = n המוגדר על ידי: להגדיר אופרטור חדש: i=0 a if i v V P (f)(v) = n a i f i (v) i=0 A 0 = I n כאשר P (A) = n באופן שקול, אם A מייצגת את f עבור B אזי: 0=i a ia i המטריצה (A) P מייצגת את האופטור (f) P ב B לכל F[X] p(x) ו f א"ל, p(f) הוא א"ל ו ) V p(f) hom(v, הערה: נשים לב שאם F[x] p, q פולינומים אזי: ) q(t (p + q)(t ) = p(t ) + וגם (pq)(t ) = p(t ) q(t ) 57

58 47 משפט קיילי המילטון קומוטטיביות של פולינומים על אופרטורים טענה: יהי V מ"ו מעל T,F א"ל ו F[x] p, q אזי: ) p(t p(t ) q(t ) = q(t ) הוכחה: מתקיים: ) p(t p(t ) q(t ) = (pq)(t ) = (qp)(t ) = q(t ) 472 פולינום מבטל הגדרה: יהי f : V V א"ל נאמר ש F[X] P הוא פולינום שמבטל את f אם P (f) = 0 hom(v,v ) כלומר (f) P הוא העתקת האפס דוגמה ניקח f המוגדר על ידי f(v) = λv לכל v V אזי f λid הוא פולינום האפס, לכן f הוא פולינום מבטל של P (X) = (X λ) תמיד קיים פולינום מבטל למרחב סופי טענה: יהי V מ"ו נ"ס ממד n מעל F יהי f א"ל אזי קיים (X) P פולינום לא טרוויאלי שמבטל את f הערה: פולינום האפס תמיד מאפס כל f, הכוונה כאן לפולינום אחר חוץ ממנו הוכחה: נתבונן ב ) 3 span(id, f, f 2, f תמ"ו של ) V hom(v, ראינו בלינארית א שמתקיים dim hom(v, V ) = n 2 יהי k > n 2 אזי: ) k (id, f, f 2,, f ת"ל כלומר קיים m k כך m 1 P (X) = X m פולינום מבטל i=0 a ix i אזי f m = m 1 ש i=0 a if i הערה: מהוכחה ברור שהפולינום הלא טרוויאלי p(x) לעיל איננו ייחודי 58

59 47 משפט קיילי המילטון 473 משפט קיילי המילטון ארתור קיילי (Cayley) היה מתמטיקאי בריטי מסוף המאה ה 19 (Hamilton) היה מתמטיקאי אירי מתחילת המאה ה 19 וויליאם המילטון משפט קיילי המילנטון: יהי V מ"ו נ"ס מעל F יהי f : V V א"ל יהי χ f הפ"א של f אזי ) hom(v,v χ f (f) = 0 הערה: באופן שקול, אם A מייצגת את f אזי Mn(F) χ A (A) = 0 דוגמאות 1 נתבונן ב 1 0 = A הפ"א הוא: χ A (X) = X נכניס את A ונקבל: I = = A = a אזי bc) χ A (X) = X 2 (a + d)x + (ad ונקבל: 2 באופן כללי, אם b c d 2 χ A (f) = a b (a + d) a b + (ad bc)i c d c d = a2 + bc ab + bd a2 + ad ab + bd ad bc + 0 ac + cd bc + d 2 ac + cd ad + d 2 0 ad bc bc ad = 0 ad bc + 0 = bc ad 0 ad bc 0 0 ולמעשה הוכחנו שהמשפט נכון עבור כל (F) M M 2 3 ניקח f המוגדר על ידי f(v) = λv עבור λ F אזי χ f (X) = (X λ) n אזי λi היא המטריצה B לכל בסיס [f] B B היות ו χ f (f) = (f λi) n = 0 59

60 47 משפט קיילי המילטון 4 יהי f לכסינה אזי קיים B בסיס של ו"ע יהי b B ו λ הע"ע שלו אזי קיים Q(x) פולינום כך ש λ) χ f (X) = Q(X)(X לכן: χ f (f)(b) = (Q(f) (f λid))(b) = Q(f)(f(b) λb) = Q(f)(λb λb) = 0 V לכן (f) χ f שולח כל וקטור בבסיס ל 0 לכן ) hom(v,v χ f (f) = 0 הוכחה: χ f (f)(v) = 0 V נתבונן ב v) Z(f, והפולינום המתאים f k+1 (v) + k a 0 f k (v) = 0 V i=0 יהי v V צריך להראות ש k+1 P (X) = כך ש שלו i=0 a ix i כלומר לפי הגדרה = 0 (f)(v) P מצד שני, ראינו ש P מחלק את χ f כי הוא בדיוק הפולינום האופייני של Z(f,v) f במילים אחרות קיים Q(x) כך ש (X) χ f (X) = Q(X)P לכן: χ f (f)(v) = Q(f) P (f)(v) = Q(f)(P (f)(v)) = Q(f)(0 V ) = 0 V כנדרש המחשה של ההוכחה ניקח f V, = R 3 סיבוב ב 2/π מסביב לציר ה Z נקבל עבור הבסיס הסטדנרטי: [f] E = = χ f (X) = (x 1)(x 2 + 1) = X 3 X 2 + X המטרה שלנו בהוכחה היא להראות ש χ f (f) = (f 2 + id) (f id) = f 3 f 2 + f id = 0 hom(v,v ) ניקח ) 3 E = (e 1, e 2, e הבסיס הסטדנרטי בהוכחה לקחנו v שרירותי והדגמנו עבורו מכאן: 60

61 47 משפט קיילי המילטון 1 אם לדוגמה ניקח,v = e 3 אזי )) 3 Z(f, e 3 ) = span(e 3, f(e 3 ), f 2 (e נשים לב שנקבל f(e 3 ) = e 3 לכן ) 3,Z(f, e 3 ) = span(e כלומר ציר ה Z מכאן מתקיים: f(e 3 ) e 3 = (f id)(e 3 ) = 0 V לכן הפולינום המתאים ל ) 3 Z(f, e הוא 1 X P e3 = מכאן נקבל: χ f (f)(e 3 ) = (f 2 + id) (f id)(e 3 ) = (f 2 + id)(f(e 3 ) e 3 ) = (f 2 + id)(0 V ) = 0 V 2 אם,v = e 1 היות ו f(e 1 ) = e 2 אבל f 2 (e 1 ) = f( e 2 ) = e 1 נקבל ש )) 1 Z(f, e 1 ) = (e 1, f(e מכאן: (f 2 id)(e 3 ) = 0 V מכאן הפולינום המתאים הוא: P e1 = X 2 1 ונקבל: χ f (f)(e 1 ) = (f id) (f 2 + id)(e 3 ) = (f id)(f 2 (v) + v) = 0 V 3 ניקח: v = e 2 נשים לב ש ) 2 f(e 2 ) = e 1 span(e אבל = ) 1 f 2 (e 2 ) = f(e ) 2 T (e נקבל שהפולינום המתאים הוא: X ואז: χ f (P )(e 2 ) = (f id) (f 2 + id)(e 2 ) = (f id)(f 2 (e 2 ) + e 2 ) = 0 V 4 ניקח: e 1 +e 3 := v מתקיים: f(v) = f(e 1 )+f(e 3 ) = e 3 e 2 וכן: = ) 2 f(e 3 e e 3 e 1 ואז: f 3 (v) = e 3 +e 2 וקיבלנו: f 3 (v) f 2 (v)+f(v) v = 0 V והפולינום המתאים: 1 X X 3 X 2 + וזה בדיוק הפולינום המתאים של χ f מכאן: χ f (f)(v) = f 3 (v) f 2 (v) + f(v) v = 0 V דוגמה מכאן: = (A) χ A נקבל: 1) + 2)(X χ f (X) = (X 5 = A נתבונן ב I) (A 2I)(A + יהי x R 2 נקבל: = 0 I)x (A 2I)(A + יש שתי אפשרויות: 61

תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 למדמ"ח (פרט לדטרמיננטות והעתקות לינאריות)

תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 למדמח (פרט לדטרמיננטות והעתקות לינאריות) תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 למדמ"ח (פרט לדטרמיננטות והעתקות לינאריות) בועז צבאן 21 במאי 2012 תקציר זה כולל, עבור חלק מהטענות (בדרך כלל, אלה שאינן מיידיות מההגדרות), את רעיון ההוכחה המרכזי (בצבע כחול),

Læs mere

תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2

תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 בועז צבאן 1 במרץ 2012 תקציר מפורט של הקורס אלגברה לינארית 2, על פי תקציר קצר יותר, שנכתב על ידי בוריס קוניאבסקי ובועז צבאן לגירסה הנוכחית: נועם ליפשיץ התקציר מתאים כחזרה

Læs mere

בעיית העץ הפורש המינימאלי (MST)

בעיית העץ הפורש המינימאלי (MST) בעיית העץ הפורש המינימאלי (MS) נניח שקיימת קבוצת איים שאנו מעוניינים לקשר ביניהם על ידי גשרים, כך שיהיה ניתן לנסוע מאי אחד לכל אי אחר מקבוצה זו. בנוסף, נניח כי הממשלה רוצה להוציא את הסכום המינימאלי האפשרי

Læs mere

ואז שעות () * 1 (a d) (a d) (a d) (a d) a שעות, a d a מכאן: ונקבל: תשובה: (

ואז שעות () * 1 (a d) (a d) (a d) (a d) a שעות, a d a מכאן: ונקבל: תשובה: ( 3.03.6-670 - פתרונות למבחנים פתרון מבחן מס' 7 (ספר מבחנים שאלון 035806) המהירויות של האופנוע, לכן נסמן ב- ואז מכונית המשא והמונית מהוות סדרה חשבונית, קמ"ש את מהירות המשאית, ( ) קמ"ש יסמן את מהירות האופנוע

Læs mere

בגרות חורף בגרות קיץ 2014 מועד ג' בגרות חורף בגרות קיץ 2015 מועד ב' בגרות חורף תשובות סופיות:...

בגרות חורף בגרות קיץ 2014 מועד ג' בגרות חורף בגרות קיץ 2015 מועד ב' בגרות חורף תשובות סופיות:... תוכן העניינים: בגרות חורף 014... בגרות קיץ 014 מועד א'... 5 בגרות קיץ 014 מועד ב'... 8 בגרות קיץ 014 מועד ג'... 11 בגרות חורף 015...14 בגרות קיץ 015 מועד א'... 16 בגרות קיץ 015 מועד ב'... 19 בגרות חורף

Læs mere

עצי 3-2 ועצי דרגות חומר קריאה לשיעור זה. Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( )

עצי 3-2 ועצי דרגות חומר קריאה לשיעור זה. Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( ) 2-3 trees עצי 3-2 ועצי דרגות Lecture5 of Geiger & Itai s slide brochure www.cs.technion.ac.il/~dang/courseds Chapter 19: B trees (381 397) חומר קריאה לשיעור זה Chapter 15: Augmenting data structures (281

Læs mere

בהצלחה! מבני נתונים

בהצלחה! מבני נתונים המחלקה למדעי המחשב מבני נתונים 202-1-1031 מבחן מועד א', 05/07/2015 13:30, חומר עזר משך הבחינה פרופ' איתן בכמט, פרופ' פז כרמי, דר' צחי רוזן, דר' דקל צור, פרופ' מיכאל אלקין, גב' אירינה רבייב. עמית בן בסט,

Læs mere

PostFix, PreFix, InFix

PostFix, PreFix, InFix ביטויים מתמטיים PostFix, PreFix, InFix אחד היישומים החשובים של הינו ייצוגם של ביטויים מתמטיים. - חיבור, חיסור, כפל, וחילוק הינה פעולה בינארית, כלומר פעולה שבה יש כל אחת מהפעולות המתמטיות אחד - הפעולה החישובית,

Læs mere

מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב

מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב מבוא ללוגיקה מתמטית כתיבה: פרופ אילון סולן

Læs mere

מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לתלמידי הנדסת חשמל

מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לתלמידי הנדסת חשמל אוניברסיטת תל אביב מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לתלמידי הנדסת חשמל חוברת התרגול נערך ע''י אופיר הררי ofirhara@post.tau.ac.il תוכן עניינים 4 1 מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות 8 מרחב הסתברות סימטרי, הכלה והפרדה

Læs mere

ניתוח ישיר של תמונות פשוטות

ניתוח ישיר של תמונות פשוטות ניתוח ישיר של תמונות פשוטות ניסיון ראשוני ונאיבי לשימוש באלגוריתם Watershed כולל שימוש בערך המוחלט של הגרדיינט ליצירת תמונה )לאורך כל העבודה נעשה שימוש בהגדרת הגרדיינט של Sobel לאחר שבחנתי מספר הגדרות

Læs mere

מבחן בקורס "מבוא לפיזיקה של מוליכים למחצה"

מבחן בקורס מבוא לפיזיקה של מוליכים למחצה מס' ת.ז. מס' קורס: 515.150 סמסטר ב' תשע"ג בחינת מעבר מועד א' תאריך הבחינה:..55 משך הבחינה: 3 שעות מבחן בקורס "מבוא לפיזיקה של מוליכים למחצה" ד"ר אלון באב"ד, ד"ר אמיר נתן ועדו עמית יש לענות על כל השאלות

Læs mere

חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן : חלק א' - שעתיים. פרק 1: שאלון 000.

חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן : חלק א' - שעתיים. פרק 1: שאלון 000. מבחן מחצית י'- תשס"ז-מועד א' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים משך המבחן : חלק א' - שעתיים עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות - נתונה הפונקציה: פרק : שאלון 000

Læs mere

תשובות למבחן מתכונת 21.6 באלקטרומגנטיות 2010

תשובות למבחן מתכונת 21.6 באלקטרומגנטיות 2010 ב ג ד תשובות למבחן מתכונת 6 באלקטרומגנטיות 00 א ניקוד פתרון שאלה וסעיף 6 q A q q M N נמצא את השדה הכולל בנקודה M Kq Kq' M נמצא בהתמדה ולכן השדה בנקודה נתון כי המטען q E + r (05r) E q Kq r שווה לאפס מכאן

Læs mere

פתיחת דלתות להצלחה בחינוך ובתעסוקה לאנשים עם אוטיזם יום עיון, הקריה האקדמית אונו,

פתיחת דלתות להצלחה בחינוך ובתעסוקה לאנשים עם אוטיזם יום עיון, הקריה האקדמית אונו, פתיחת דלתות להצלחה בחינוך ובתעסוקה לאנשים עם אוטיזם יום עיון, הקריה האקדמית אונו, עופר זהבי: בוקר טוב לכולם. לטובת אלה שהגיעו בזמן אני קורא לכולם לשבת. אנחנו רוצים להתחיל. אנחנו פותחים את היום שבו אנחנו

Læs mere

GMAT פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL MY.GEVA.CO.IL

GMAT פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL MY.GEVA.CO.IL GMAT 3) + פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL MY.GEVA.CO.IL 017-016 חדש! אפליקציית יואל גבע בגרויות GEVA.CO.IL 1-800-0-40-60 הקדמה מורים ותלמידים יקרים, אנו שמחים להגיש לכם חוברת הכנה

Læs mere

מבוא בעבודת מחקר זו אבדוק את מערכת הקשרים בין מקורות של מחויבות ארגונית לבין ביטויים שלה,

מבוא בעבודת מחקר זו אבדוק את מערכת הקשרים בין מקורות של מחויבות ארגונית לבין ביטויים שלה, מבוא בעבודת מחקר זו אבדוק את מערכת הקשרים בין מקורות של מחויבות ארגונית לבין ביטויים שלה, בסוגים שונים של ארגונים. שלושת התחומים של המקורות למחויבות ארגונית: חישוביים, ערכיים וזהות העצמי, מבוססים על הלימה

Læs mere

Q BE ] r R e

Q BE ] r R e מאזן - נכסים = התחייבויות + עצמי נכסים שוטפים מימוש פירעון עד שנה( מזומנים מלאי לקוחות הוצאות מראש נכסים קבועים קרקע ציוד מבנים מקורות המימון התחייבות/ זר שוטפות לטווח קצר עד שנה מהיום. ספקים הלוואות לטווח

Læs mere

חוברת למדריכי כיתות ה'

חוברת למדריכי כיתות ה' חוברת למדריכי כיתות ה' 1 מערך הדרכה לחודש יחיד בקבוצה בנושא "חברות" מיועד לשכבת כיתות ה'. שנת הוצאה: תשע"ה כתיבה ועריכה: נעמה מידן )מחלקת הדרכה( 2 מדריכים יקרים חודש יחיד בקבוצה הוא חודש המוקדש לנושא ה"קבוצה".

Læs mere

במחילות לילה, שועלים, נחשים

במחילות לילה, שועלים, נחשים נושא 5: יחסי גומלין בין מינים ככלל ותחרות בפרט 1 חזרה : הרכב אוכלוסיות ופיזורן להתפלגות גילאים באוכלוסייה השפעה על אופן וקצב גידולה ניתן לתאר אותה על ידי פירמידת גילאים או טבלאות חיים מינים שונים חיים

Læs mere

חוברת למדריכי כיתות ח'

חוברת למדריכי כיתות ח' חוברת למדריכי כיתות ח' 1 מערך הדרכה לחודש יחיד בקבוצה בנושא "אנחנו והם ח'. " מיועד לשכבת כיתות שנת הוצאה: תשע"ה כתיבה ועריכה: נעמה מידן )מחלקת הדרכה( 2 מדריכים יקרים חודש יחיד בקבוצה הוא חודש המוקדש לנושא

Læs mere

q 1 *q 2 µ = E r

q 1 *q 2 µ = E r ביוכימיה א' חלק א' בכדי להבין מה הם חיים צריך לדעת את מרכיביהם ואיך יוצרים אותם. מטרת הביניים היא לדעת מהם המולקולות מהם מורכב בעל החיים ומה נחוץ לצורך קיום. ניתן לראות כי מרבית הראקציות בביוכימיה הם בסביבה

Læs mere

80H עד אזור הרגיסטרים המיוחדים SFR ( הכתובות מ פעולת האיפוס RESET 27...

80H עד אזור הרגיסטרים המיוחדים SFR ( הכתובות מ פעולת האיפוס RESET 27... , אסמבלי ו C5 תקציר ל MCS5 נערך ע"י : אריה פורת תוכן העניינים סילבוס למקצוע מיקרו מחשבים ושפה עילית...4 נוסחאון משרד החינוך...5 9 מבוא למיקרו בקרים... 9 טבלת השוואה בין מיקרו מעבד למיקרו בקר... 9 המיקרו

Læs mere

תזונה. plastids פיון כחוליות

תזונה. plastids פיון כחוליות "מעבדה מתא לאורגניזם" - 72110 מעבדה מס' - 2 חד-תאיים (Protists) המונח חד-תאיים (או חד-תאונים) מתייחס בדרך כלל ליצורים המורכבים מתא אחד בלבד, והם אאוקריוטים - כלומר בעלי גרעין תא, אברונים נבדלים וממברנות

Læs mere

שינויים בתפיסת מושג המשוואה ודרכי פתרונה בסביבת למידה טכנולוגית )case-study(

שינויים בתפיסת מושג המשוואה ודרכי פתרונה בסביבת למידה טכנולוגית )case-study( שינויים בתפיסת מושג המשוואה ודרכי פתרונה בסביבת למידה טכנולוגית )case-study( תמצית מוגש על ידי חנה שטיין לימוד האלגברה מזוהה )אצל מורים ותלמידים רבים( עם אופרציות בביטויים סימבוליים, התמחות בפתרון משוואות

Læs mere

התפתחות בהבנת האוטיזם

התפתחות בהבנת האוטיזם התפתחות בהבנת האוטיזם 0222-0202 Michal L. Rutter 12/2/2011, j. Autism and dev. Disorder, 41 : 395-404 תרגמה תמר שחר- MA בפסיכולוגיה, מנהלת מחלקה לחינוך מיוחד בעיריית נתניה. תקציר המאמר ידון בהתקדמות המדעית

Læs mere

201 4 ילוי תונורתפ ןושאר קרפ ת ילולימ הבישח רפסמ הלאשה הבושתה

201 4 ילוי תונורתפ ןושאר קרפ ת ילולימ הבישח רפסמ הלאשה הבושתה תונורתפ -- 0ילוי תונורתפ 0 ילוי ןושאר קרפ תילולימ הבישח רפסמ הלאשה 5 6 7 8 9 0 5 הבושתה הנוכנה רפסמ הלאשה 6 7 8 9 0 הבושתה הנוכנה ינש קרפ תילולימ הבישח רפסמ הלאשה 5 6 7 8 9 0 5 הבושתה הנוכנה רפסמ הלאשה

Læs mere

פייסבוק כטכנולוגיית איכות חיים בגיל המבוגר סיגל נעים, המחלקה ללימודי תקשורת, אוניברסיטת בן גוריון בנגב

פייסבוק כטכנולוגיית איכות חיים בגיל המבוגר סיגל נעים, המחלקה ללימודי תקשורת, אוניברסיטת בן גוריון בנגב פייסבוק כטכנולוגיית איכות חיים בגיל המבוגר סיגל נעים, המחלקה ללימודי תקשורת, אוניברסיטת בן גוריון בנגב רשתות חברתיות מקוונות האינטרנט - אחד מאמצעי התקשורת הבולטים הגולש - מפאסיבי (מחפש וצורך) לפעיל במרחב

Læs mere

4X1GE מסוים. בתקווה.

4X1GE מסוים. בתקווה. גלי רקיע - התפשטות גלים בתדר גבוה נכתב ע"י אבנר דרורי 4X1GE כמו שקורה בוודאי להרבה מאיתנו, חשבתי שאני מכיר את נושא התפשטות הגלים. רק באחת מההרצאות שהתקיימו בעבר במסגרת האגודה, גיליתי שהידע שלי מזערי ויש

Læs mere

אנרגיה בקצב הכימיה פרק ה מדוע מתרחשות תגובות כימיות? ד"ר מרים כרמי ד"ר אדית וייסלברג

אנרגיה בקצב הכימיה פרק ה מדוע מתרחשות תגובות כימיות? דר מרים כרמי דר אדית וייסלברג אנרגיה בקצב הכימיה פרק ה מדוע מתרחשות תגובות כימיות? ד"ר מרים כרמי ד"ר אדית וייסלברג גולת הכותרת בלימודי הכימיה סוף, סוף...תרמודינמיקה! אנרגיה, משקל... קינטיקה, שיווי תגובות חומצה בסיס, חמצון חיזור, שיקוע,...

Læs mere

הלעפה תוארוה ןופלט םגד XL-2067

הלעפה תוארוה ןופלט םגד XL-2067 הוראות הפעלה טלפון דגם XL-2067 לקוח נכבד, ברוך הבא לעולם התקשורת המתקדמת של טרנס-גלובל אינדסטריז פיטיאי בע"מ. אנו מודים לך על שרכשת מוצר זה. אנא קרא בעיון את הוראות ההפעלה שבחוברת זו על מנת שתוכלו להפיק

Læs mere

ארגון המידע באמצעי אחסון

ארגון המידע באמצעי אחסון ארגון המידע באמצעי אחסון איתן אביאור כל הזכויות שמורות קובץ (File) קובץ (file) יחידת עצמאית לאחסון מידע. הקובץ מורכב מרצף של בתים, המאוחסנים בזה אחר זה בהתקן האחסון כגון: דיסק קשיח, תקליטור, דיסקון וכד'.

Læs mere

A-PDF MERGER DEMO ה דבעמ הימיכויב ה קיטניק ל ש זאטרבניא ם ירמשמ ה דבעמ ח"וד

A-PDF MERGER DEMO ה דבעמ הימיכויב ה קיטניק ל ש זאטרבניא ם ירמשמ ה דבעמ חוד ביוכימיה מעבדה APDF MERGER DEMO קינטיקה של אינברטאז משמרים דו"ח מעבדה ביוכימיה מעבדה מס' קינטיקה של אינברטאז משמרים מטרות הניסוי : א. ב. ג. הפקת האנזים. קביעת הפעילות האנזימאטית של אינברטאז בשיטת סאמנר.

Læs mere

הבנת הגנטיקה של צבע הפרווה בעכבר ה"פנדה"

הבנת הגנטיקה של צבע הפרווה בעכבר הפנדה בית ספר- "מעלה שחרות" סמל מוסד- 7762 טלפון: 8-635593 יטבתה ד"נ אילות, 8882 הבנת הגנטיקה של צבע הפרווה בעכבר ה"פנדה" עבודת גמר צמודת מקצוע ביולוגיה בהיקף של 5 יח"ל מגישה: יאנה אברמצ'ייב ישוב: שחרות ת.ז.:

Læs mere

המרת אנרגיה להפקת חשמל

המרת אנרגיה להפקת חשמל אנרגיה והמרתה טכנולוגיה של חומרים תהליכי תיכון וייצור מותאם לתוכנית הלימודים של משרד החינוך 2005 תודה על הלווי והייעוץ המקצועי ל: דר' מיכאל אפשטיין - מכון ויצמן מר ארז אפשטיין - מנכ"ל IT מר אייל ברנר -

Læs mere

Forever מיליוני אנשים שיצרו ביטחון כלכלי ובריאות טובה יותר בצמיחה מתמדת בשנה עם צפי להמשך צמיחה

Forever מיליוני אנשים שיצרו ביטחון כלכלי ובריאות טובה יותר בצמיחה מתמדת בשנה עם צפי להמשך צמיחה Forever במספרים מעל 155 סניפים ברחבי העולם מחזור של כ- 3 מיליארד $ בשנה עם צפי להמשך צמיחה בצמיחה מתמדת משנת 1978 מעל 250 מוצרים עם פטנטים ייחודיים מיליוני אנשים שיצרו ביטחון כלכלי ובריאות טובה יותר תוכן

Læs mere

המתן וצפה w&w wait and watch מעקב כל עוד אין צורך בטיפול מדריך לחולים ולבני משפחתם

המתן וצפה w&w wait and watch מעקב כל עוד אין צורך בטיפול מדריך לחולים ולבני משפחתם המתן וצפה w&w wait and watch מעקב כל עוד אין צורך בטיפול מדריך לחולים ולבני משפחתם 2 הערות תוכן העניינים דברי תודה... 4 מבוא... 5 המתן וצפה... 7 אינדיקציות ל-'המתן וצפה'...10 מחלות ספציפיות... 15 סיכום...

Læs mere

מפורסמות י באויר ף הבורות.

מפורסמות י באויר ף הבורות. ת ו ב ז ה ע נ י ב י ם כגליון זה 4 תוצאות ולא תרוצים - י. יגיל 5 באויד העולש 18 תצלומים מספרים 32 40 לרקיע פול בריקהיל השאיפה 55 כונזי ור, אמר מר נרפי בלונים זורעי אש 57 קאמיקאזה, טיפות ההתאבדות 62 שכיל

Læs mere

תקשורת, תרבות וחברה / ד"ר יריב בן אליעזר

תקשורת, תרבות וחברה / דר יריב בן אליעזר תקשורת, תרבות וחברה / ד"ר יריב בן אליעזר 12.6.07 חומר קריאה לפי סילבוס (בסילבוס יש חלוקה לנושאים בשיעורים לא ממש הייתה...) לפי ההנחיות שניתנו על ידי המרצה בשיעור, להלן רק חומר קריאת החובה למבחן: שעור -

Læs mere

y = (1 +K")/ (r0 + K" +r1 K' K*) פיקדונות עובר ושב 3. המכפיל* לוח 1 היחס ובין הרזרבה בפועל

y = (1 +K)/ (r0 + K +r1 K' K*) פיקדונות עובר ושב 3. המכפיל* לוח 1 היחס ובין הרזרבה בפועל הקשר ב>ו כמות הכסף לבסיס הכסף אריה מרום 1. מגוא מאמר זה נועד לבחון כיצד תשתנה כמות הכסף במשק, שעה שנתון גודלו של העירוי החיצוני, כמה זמן יארד.וכיצד יתחלק על פני הזמן; וכיצד ישפיע עירוי כזה על גודלם של

Læs mere

דבר העורך שם המאמר: "בחינת משתנים הקשורים להתנהגות פרואקטיבית במקום העבודה והשוואה בין-תרבותית"

דבר העורך שם המאמר: בחינת משתנים הקשורים להתנהגות פרואקטיבית במקום העבודה והשוואה בין-תרבותית דבר העורך שם המאמר: "בחינת משתנים הקשורים להתנהגות פרואקטיבית במקום העבודה והשוואה בין-תרבותית" מאת: נטע פרנס ופרופ' יצחק הרפז בחרנו להביא בפניכם מחקר ראשוני העוסק בהתנהגות פרואקטיבית בארגונים ובהשפעת

Læs mere

הקשר בין יצירתיות, מסוגלות והישגים לימודיים ועמדות כלפי למידה מרחוק חקר מקרה

הקשר בין יצירתיות, מסוגלות והישגים לימודיים ועמדות כלפי למידה מרחוק חקר מקרה הקשר בין יצירתיות, מסוגלות והישגים לימודיים ועמדות כלפי למידה מרחוק חקר מקרה וליד אחמד פרופ' שפרה ברוכסון-ארביב למידה מרחוק: הגדרת מושגי המחקר גרימס )1993 )Grimes, סבור שכל למידה פורמאלית מתרחשת כאשר המורה

Læs mere

Color LaserJet Enterprise M552 Color LaserJet Enterprise M553

Color LaserJet Enterprise M552 Color LaserJet Enterprise M553 Color LaserJet Enterprise M552 Color LaserJet Enterprise M553 M553n M552dn M553dn Installation Guide HE מדריך התקנה www.hp.com/support/colorljm552 www.hp.com/support/colorljm553 1 Select a sturdy, well-ventilated,

Læs mere

התקשרות מתבגר - ריאיון

התקשרות מתבגר - ריאיון התקשרות מתבגר - ריאיון שרף, 1996 1 דפוסי התקשורת והבעה רגשית של מתבגרים בסביבות משפחתיות-חינוכיות שונות מאת: מירי שרף בהדרכת: פרופ' אברהם שגיא פרופ' רחל הרץ-לזרוביץ חיבור לשם קבלת התואר "דוקטור לפילוסופיה"

Læs mere

"פרויקט אישה" - הערכת התכנית לפיתוח מנהיגות נשים בקהילה לקידום בריאות נשים

פרויקט אישה - הערכת התכנית לפיתוח מנהיגות נשים בקהילה לקידום בריאות נשים מרכז סמוקלר לחקר מדיניות הבריאות "פרויקט אישה" - הערכת התכנית לפיתוח מנהיגות נשים בקהילה לקידום בריאות נשים דוח מסכם אירית אלרועי רויטל גרוס יעל אשכנזי ברוך רוזן הדוח מהווה חלק מפרויקט "אישה" וממומן בידי

Læs mere

סיכומים פסיכולוגיה התפתחותית

סיכומים פסיכולוגיה התפתחותית סיכומים פסיכולוגיה התפתחותית 150101/1/ שיעור 1 מבוא פסיכולוגיה: מדע החוקר את התנהגות האדם )ובעלי החיים(. יש להבחין בין ההתנהגות הברורה והגלויה )הדברים שניתנים לצפייה ישירה(, לבין התנהגות שאינה נצפית בצורה

Læs mere

גבר, אישה והפרעה: טראומה ראשונית וטראומה משנית בין המטבח לחדר השינה

גבר, אישה והפרעה: טראומה ראשונית וטראומה משנית בין המטבח לחדר השינה גבר, אישה והפרעה: טראומה ראשונית וטראומה משנית בין המטבח לחדר השינה אני מנסה לראות איך אני נחלצת, איך אני אומרת לו שלום, ואיך לעשות את זה עם הילדים. ]...[ אני לא מוכנה להבין יותר, לא מוכנה לתמוך יותר,

Læs mere

מפת דרכים לבן משפחה מטפל

מפת דרכים לבן משפחה מטפל מפת דרכים לבן משפחה מטפל המסע האישי שלך עם יקירך! אנחנו כאן בשבילך! www.caregivers.org.il תוכן עניינים ניווט במסע הזמן 3 האם אני בן משפחה מטפל? 4 הטיפול הוא זכות אנושית 5 איך להתארגן ולתכנן? 6 להשיג מידע

Læs mere

חרדה חברתית בני רוטברג, אבי ויצמן

חרדה חברתית בני רוטברג, אבי ויצמן 6 חרדה חברתית בני רוטברג, אבי ויצמן חרדה חברתית היא מעין מקרה פרטי של חרדה כללית. היא מופיעה החל מגיל הגן. ילדים הלוקים בחרדה חברתית מאוימים מן הצורך לתקשר עם בני גילם. החשש של הילד הוא שמא יתנהג בצורה

Læs mere

הנאורות היא יציאתו של האדם ממצב חוסר הבגרות שהביא על עצמו. חוסר בגרות משמעו

הנאורות היא יציאתו של האדם ממצב חוסר הבגרות שהביא על עצמו. חוסר בגרות משמעו מהי נאורות? הנאורות היא יציאתו של האדם ממצב חוסר הבגרות שהביא על עצמו. חוסר בגרות משמעו חוסר היכולת להשתמש בשכל בלא הנחיה של אחר. כשהסיבה לחוסר הבגרות אינה בעיה שכלית, אלא הימנעות מהחלטה להשתמש בו בלא

Læs mere

יהודי תימן העלייה מתימן לארץ ישראל החלה בשנת הרמ"ב )1882( ונסתיימה במבצע בית הכנסת בתימן היה מרכז החיים,

יהודי תימן העלייה מתימן לארץ ישראל החלה בשנת הרמב )1882( ונסתיימה במבצע בית הכנסת בתימן היה מרכז החיים, יהודי תימן תימן, המוקפת ימים ומדברית, הייהה מדינה עצמאית, גולה בפני עצמה, שניהלה אורח חיים לתי מתוך חירות רוחנית מוחלטת. העדר רציפות גיאוגרפית עם מרכזי יהדות אחרים ליכד וגיבש את תושביה היהודיים של תימן

Læs mere

סדר ט ו בשבט. writing: Rabi Yaron Nisenholz translation: Rabbin Meir Horden

סדר ט ו בשבט. writing: Rabi Yaron Nisenholz translation: Rabbin Meir Horden סדר ט ו בשבט writing: Rabi Yaron Nisenholz translation: Rabbin Meir Horden חיטה (Chita) Hvede Lad os spise en kage lavet af hvede Tu Bishvat er en helt unik fest i den jødiske kalender. De fleste af vore

Læs mere

סיור מערת הנטיפים - פעולות האדם משפיעות על התנאים במערכת האקולוגית, במודע ושלא במודע

סיור מערת הנטיפים - פעולות האדם משפיעות על התנאים במערכת האקולוגית, במודע ושלא במודע סיור מערת הנטיפים - פעולות האדם משפיעות על התנאים במערכת האקולוגית, במודע ושלא במודע אפרת קורן, מורה בביה"ס דרכא גדרה, לשעבר מדריכת מוט"ל וחברה במרכז הארצי למורי מוט"ל הקדמה נושאי סביבה שעולים על סדר היום

Læs mere

רשומות קובץ התקנות עמוד

רשומות קובץ התקנות עמוד רשומות קובץ התקנות כ"ב באלול התשס"ח 22 6713 בספטמבר 2008 עמוד תקנות התכנון והבניה (בקשה להיתר, תנאיו ואגרות) (תיקון מס',(3 התשס"ח 2008..................... 1426 תקנות התכנון והבניה (בקשה להיתר, תנאיו ואגרות)

Læs mere

)א( בראשית. אמר רבי יצחק: לא היה צריך

)א( בראשית. אמר רבי יצחק: לא היה צריך פרשת בראשית א א ב ר א ש ית ב ר א א לה ים א ת ה ש מ י ם ו א ת ה א ר ץ: )א( בראשית. אמר רבי יצחק: לא היה צריך להתחיל ]את[ התורה אלא מ"הח דש הזה לכם" )שמות יב, ב(, שהיא מצוה ראשונה שנצטוו ]בה[ ישראל, ומה

Læs mere

ב ה צ ל ח ה חמד"ע - מרכז לחינוך מדעי ב ח י נ ה ב כ י מ י ה ב מ ת כ ו נ ת ב ג ר ו ת

ב ה צ ל ח ה חמדע - מרכז לחינוך מדעי ב ח י נ ה ב כ י מ י ה ב מ ת כ ו נ ת ב ג ר ו ת חמד"ע מרכז לחינוך מדעי ב ח י נ ה ב כ י מ י ה ב מ ת כ ו נ ת ב ג ר ו ת 02 נקודות 02 נקודות 022 נקודות 3 יחידות לימוד תשע"ה 1025 א. משך הבחינה: שלש שעות מבנה השאלון ומפתח ההערכה: בשאלון זה שני פרקים. פרק

Læs mere

הריאליזם ביצירותיו של אהרן מגד "דוגמאות נבחרות מיצירותיו "

הריאליזם ביצירותיו של אהרן מגד דוגמאות נבחרות מיצירותיו הריאליזם ביצירותיו של אהרן מגד "דוגמאות נבחרות מיצירותיו " الواقعيت في اعمال اهارون ميجد ووماذج مختارة مه اعماله الباحث : עבד رحيم راضي عبد הקדמה המורה רחים ראדי הריאליזם הספרותי במשמעו הכללי מצייג אשר

Læs mere

מערכות נשימה סגורות - פרק 5

מערכות נשימה סגורות - פרק 5 מערכות סגורות וצלילה ספורטיבית הקמת הארגונים להכשרה בשימוש בניטרוקס בצלילה ספורטיבית בתחילת שנות ה- 09 פתחה את השוק לשימוש בגזים מועשרים בחמצן ובחמצן טהור בצלילה ספורטיבית וכן למערכות נשימה סגורות המחייבות

Læs mere

תולדות ייסודו של התלמוד הבבלי כיצירה ספרותית

תולדות ייסודו של התלמוד הבבלי כיצירה ספרותית נחמיה בריל תולדות ייסודו של התלמוד הבבלי כיצירה ספרותית א עם הכרעתה של המדינה היהודית בזרוע הברזל של רומא, החלה תקופה בתולדות הספרות היהודית שמהלכה התאפיין בשקיעה מוחלטת, אך לקראת סיומה היא גילתה התחזקות

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

קולנוע דרום הגות וביקורת יוני 2012

קולנוע דרום הגות וביקורת יוני 2012 קולנוע דרום הגות וביקורת יוני 2012 קולנוע דרום 5 ארז פרי ואפרת כורם 13 הרב מרדכי ורדי 23 תום שובל 37 אפרת כורם וסיגלית בנאי 58 שולה קשת 61 סיגלית בנאי 74 אילן שפית 83 יעל בן צבי מורד 91 ג'אד נאמן 99 יעל

Læs mere

קורות חיים רצפים התפתחותיים לאורך החיים, התסמונות והבעיות הפסיכופתולוגיות בתקופות מעבר שונות

קורות חיים רצפים התפתחותיים לאורך החיים, התסמונות והבעיות הפסיכופתולוגיות בתקופות מעבר שונות A Publication of The Group פסיכיאטריה רבעון בנושא פסיכיאטריה דצמבר - 2007 פברואר 2008 גיליון מס' 6 קורות חיים רצפים התפתחותיים לאורך החיים, התסמונות והבעיות הפסיכופתולוגיות בתקופות מעבר שונות איכות השירות

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer 1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.

Læs mere

תוכנית מבצעית פיתוח אזורי משקיים בעתידך!

תוכנית מבצעית פיתוח אזורי משקיים בעתידך! www.bulgariatravel.org אתרי סקי בבולגריה מולטימדיה תוכנית מבצעית פיתוח אזורי 2007-2013 www.bgregio.eu משקיים בעתידך! הפרויקט ממומן בשיתוף עם האיחוד האירופי באמצעות קרן האירופית לפיתוח אזורי וגם מתקציב

Læs mere

יגשיה טרופס 6 רפסמ ןויליג 2015 רבוטקוא

יגשיה טרופס 6 רפסמ ןויליג 2015 רבוטקוא ספורט הישגי אוקטובר 2015 גיליון מספר 6 אליפות העולם באתלטיקה בבייג'ין, 2015 2 ספורט הישגי תוכן העניינים מדעי האימון פציעות ספורט 3 דבר העורכים יניב אשכנזי, פרופ' גרשון טננבאום 30 אימוני אינטרוולים עצימים

Læs mere

מערכת הגנת צד

מערכת הגנת צד Rodi מערכת הגנת צד הוראות שימוש ואחריות HE 2 1 3 1 2 A B C 3 1 2 D E F G H I J איורים ARGENTINA Bebehaus S.A. Tel. + 54 (911) 6265 0665 Fax + 54 (911) 5050 2339 info@bebehaus.com.ar www.bebehaus.com.ar

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

החשיפה להוראה מפורשת של חשיבה תהליכית על תפיסתם וביצועיהם של תפיסת ההוראה ויישומה אצל

החשיפה להוראה מפורשת של חשיבה תהליכית על תפיסתם וביצועיהם של תפיסת ההוראה ויישומה אצל תוכנית רוטשילד - ויצמן השפעת החשיפה להוראה מפורשת של חשיבה תהליכית על תפיסתם וביצועיהם של תלמידים ועל תפיסת ההוראה ויישומה אצל מורים מגישה: נורית שושני הכל נכתב כעבודת גמר במסגרת קורס "פיתוח אמצעי למידה"

Læs mere

ברור חיל גיליון סתיו דמוקרטי גיליון מס' 49 פרוייקט צביעת תחנת האוטובוס תמונות ופרטים נוספים גינת פרחי קרמיקה ליד מועדון יחדיו תמונות נוספות בעמוד 13.

ברור חיל גיליון סתיו דמוקרטי גיליון מס' 49 פרוייקט צביעת תחנת האוטובוס תמונות ופרטים נוספים גינת פרחי קרמיקה ליד מועדון יחדיו תמונות נוספות בעמוד 13. גיליון מס' 49 ברור חיל אוקטובר-נובמבר 2015 תשע"ו גיליון סתיו דמוקרטי פרוייקט צביעת תחנת האוטובוס תמונות ופרטים נוספים בעמוד 16. גינת פרחי קרמיקה ליד מועדון יחדיו תמונות נוספות בעמוד 2 ופרטים על הפרוייקט

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

7. מעברים לבעלי חיים ופתרונות טכניים אחרים הגישה הכללית 7.2 צמצום אפקט החיץ: מעברים תחתיים 7.1 צמצום אפקט החיץ: מעברים עיליים

7. מעברים לבעלי חיים ופתרונות טכניים אחרים הגישה הכללית 7.2 צמצום אפקט החיץ: מעברים תחתיים 7.1 צמצום אפקט החיץ: מעברים עיליים . מעברים לבעלי חיים ופתרונות טכניים אחרים הגישה הכללית.1 צמצום אפקט החיץ: מעברים עיליים.2 צמצום אפקט החיץ: מעברים תחתיים.3 מניעה וצמצום של תמותת בעלי חיים ושל אפקט החיץ.4 צמצום אפקט החיץ ותמותת בעלי חיים:

Læs mere

הקשר בין אקלים כיתה להישגים לימודיים בהשוואה בין בנים לבנות בכיתה ט'

הקשר בין אקלים כיתה להישגים לימודיים בהשוואה בין בנים לבנות בכיתה ט' בס"ד הקשר בין אקלים כיתה להישגים לימודיים בהשוואה בין בנים לבנות בכיתה ט' מוגשת כחלק מהדרישות לשם קבלת תואר ראשון בהוראה מגישות: שמרית אביעד (אהרון) אודיה אלקסלסי טלפון מרצה: ד"ר יצחק וייס שנה"ל התשס"ו

Læs mere

מערכת תנועה MYOLOGY רקמת השריר תופסת כ- 40 % ממשקל גוף האדם. הרקמה מורכבת מסיבי שריר המכילים חלבונים ברי כווץ הנתמכים ע"י רקמת חיבור.

מערכת תנועה MYOLOGY רקמת השריר תופסת כ- 40 % ממשקל גוף האדם. הרקמה מורכבת מסיבי שריר המכילים חלבונים ברי כווץ הנתמכים עי רקמת חיבור. 1 מערכת תנועה MYOLOGY שרירים MUSCLES רקמת השריר תופסת כ- 40 % ממשקל גוף האדם. הרקמה מורכבת מסיבי שריר המכילים חלבונים ברי כווץ הנתמכים ע"י רקמת חיבור. השרירים מתכווצים בעקבות דחף )IMPULSE( עצבי הורמונלי

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

ס פ ר נ ו?! מ ב ט ע ל פ ע י ל ו ת מ ר כ ז י ה ס י ו ע ב ק ר ב י ל ד י ם ו ב נ י נ ו ע ר ו ב מ ע ר כ ת ה ח י נ ו ך ב י ש ר א ל

ס פ ר נ ו?! מ ב ט ע ל פ ע י ל ו ת מ ר כ ז י ה ס י ו ע ב ק ר ב י ל ד י ם ו ב נ י נ ו ע ר ו ב מ ע ר כ ת ה ח י נ ו ך ב י ש ר א ל ל א ב ב י ת ס פ ר נ ו?! מ ב ט ע ל פ ע י ל ו ת מ ר כ ז י ה ס י ו ע ב ק ר ב י ל ד י ם ו ב נ י נ ו ע ר ו ב מ ע ר כ ת ה ח י נ ו ך ב י ש ר א ל 2 0 0 7 איגוד מרכזי הסיוע לנפגעות ולנפגעי תקיפה מינית בישראל איגוד

Læs mere

עבודות פיתוח אחזקה ושיקום תשתית

עבודות פיתוח אחזקה ושיקום תשתית עבודות פיתוח אחזקה ושיקום תשתית במרכז העיר ספטמבר 1024 1 תוכן העיניינים מסמך א': הקדמה ותכולת העבודה מסמך ב': תנאים כלליים ומפרט מיוחד מסמך ג': כתב כמויות 2 עבודות פיתוח אחזקה ושיקום תשתית במרכז העיר מסמך

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

לטפל בהפרעת קשב וריכוז דרך טיפול משפחתי - עבודה של שיתוף פעולה

לטפל בהפרעת קשב וריכוז דרך טיפול משפחתי - עבודה של שיתוף פעולה 11 לטפל בהפרעת קשב וריכוז דרך טיפול משפחתי - עבודה של שיתוף פעולה עדנה כצנלסון ואיריס ברנט תקציר מאמרים בנושא טיפול בבעיית קשב וריכוז והיפראקטיביות disorder( )Attention deficit hyperactivity מתמקדים, על

Læs mere

יטוחלא ןופלט ילטיגיד ןובישמ םע םגד KX-TCD445BX

יטוחלא ןופלט ילטיגיד ןובישמ םע םגד KX-TCD445BX הוראות הפעלה טלפון אלחוטי דיגיטלי עם משיבון דיגיטלי דגם KX-TCD445BX טלפון אלחוטי זה תומך בתכונות שיחה מזוהה ושיחה ממתינה מזוהה כדי להציג את מספר הטלפון של המתקשר, יש להירשם בחברת הטלפונים תוכן העניינים

Læs mere

A B C D E Hjemmeværnmuseet's arkiv/depot Søgaard Distrikter - LMD. Reol/hylde Region/distrikt/m.m. Kasse nr. Indhold 2C3 Flyverhjemmeværne 1

A B C D E Hjemmeværnmuseet's arkiv/depot Søgaard Distrikter - LMD. Reol/hylde Region/distrikt/m.m. Kasse nr. Indhold 2C3 Flyverhjemmeværne 1 0 A B C D E Hjemmeværnmuseet's arkiv/depot Søgaard LMK Distrikter - LMD. Reol/hylde Region/distrikt/m.m. Kasse nr. Indhold C Flyverhjemmeværne Flyverhjemmeværnet LMD Odense Nyt fra stabseskadrillen -.

Læs mere

אּי תי ג רפוּנ קל 2011 תשע"ב

אּי תי ג רפוּנ קל 2011 תשעב עלוּ ח ה אּי תי ג רפוּנ קל רס חוברת למידה ועזר להדרכה הסוקרת את התפתחות השימוש בחרס ע"י האדם מגילויו ועד ימינו, ופותחת אשנבים מגוונים להכרות מעשירה עם עולם הארכיאולוגיה והמרחב דרך דגש על שברי כלי החרס שאנחנו

Læs mere

קובי פרץ זוהר שדה פרויקט גמר מוגש על ידי במסגרת הקורס: פרויקט יישומי בהדרכת: המכללה הדתית לחינוך גבעת וושינגטון תמוז, תשס"ד יוני, 4112

קובי פרץ זוהר שדה פרויקט גמר מוגש על ידי במסגרת הקורס: פרויקט יישומי בהדרכת: המכללה הדתית לחינוך גבעת וושינגטון תמוז, תשסד יוני, 4112 השפעת תכנית התערבות על כושר גופני אירובי בריצה ארוכה בין תלמידי כיתות יא'- יב' בעלי הפרעות קשב וריכוז והיפראקטיביות ADHD( (לתלמידים בחינוך הרגיל שלא עברו תכנית התערבות. פרויקט גמר מוגש על ידי קובי פרץ

Læs mere

פרק שלישי: תהליכי הגל ובליזציה מש נים את העולם

פרק שלישי: תהליכי הגל ובליזציה מש נים את העולם פרק שלישי: תהליכי הגל ובליזציה מש נים את העולם בעשורים האחרונים מתרחשים בעולם תהליכים כלכליים ר ב י ע וצמה המכ ונים ג ל ו ב ל יז צ י ה *. לתהליכים אלה יש השפעה על הכלכלה, החברה, התרבות, הפוליטיקה, הסביבה

Læs mere

הקשר בין אמונות בריאותיות של הורים לבין חגירת ילדים במושבי בטיחות באוכלוסייה הערבית במדינת ישראל

הקשר בין אמונות בריאותיות של הורים לבין חגירת ילדים במושבי בטיחות באוכלוסייה הערבית במדינת ישראל הקשר בין אמונות בריאותיות של הורים לבין חגירת ילדים במושבי בטיחות באוכלוסייה הערבית במדינת ישראל חיר עומרי עבודת גמר מחקרית (תיזה) המוגשת כמילוי חלק מהדרישות לקבלת התואר "מוסמך האוניברסיטה " אוניברסיטת

Læs mere

Antag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.

Antag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n. Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),

Læs mere

דגמים KX-TG7100BX KX-TG7120BX

דגמים KX-TG7100BX KX-TG7120BX הוראות הפעלה טלפון אלחוטי דיגיטלי דגמים KX-TG700BX KX-TG720BX לפני ההפעלה, אנא קראו חוברת זו בעיון ושמרו אותה לשימוש עתידי הקדמה הקדמה תודה לכם על שרכשתם טלפון דיגיטלי אלחוטי מבית Panasonic לכל שימוש

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

ד"ר שגית לב ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת בר אילן ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת אריאל החוג לגרנטולוגיה, אוניברסיטת חיפה

דר שגית לב ביהס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת בר אילן ביהס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת אריאל החוג לגרנטולוגיה, אוניברסיטת חיפה ד"ר שגית לב ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת בר אילן ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת אריאל החוג לגרנטולוגיה, אוניברסיטת חיפה מהי גילנות? "גילנות מוגדרת כסטריאוטיפים שליליים או חיוביים, דעות קדומות ו /

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Punktgrupper. Klaus Thomsen

Punktgrupper. Klaus Thomsen Punktgrupper Klaus Thomsen 1. Forord Disse noter er skrevet med henblik på et efteruddannelses-kursus for gymnasielærere i matematik og/eller kemi. Formålet er at give en introduktion til matematikken

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

"קורבנות של הנרטיבים של עצמנו?" תיאור "האחר" בספרי לימוד ישראליים ופלסטיניים ביוזמת "מועצת המוסדות הדתיים בארץ הקודש" דוח מחקר, 4 בפברואר 1023

קורבנות של הנרטיבים של עצמנו? תיאור האחר בספרי לימוד ישראליים ופלסטיניים ביוזמת מועצת המוסדות הדתיים בארץ הקודש דוח מחקר, 4 בפברואר 1023 י- "קורבנות של הנרטיבים של עצמנו?" תיאור "האחר" בספרי לימוד ישראליים ופלסטיניים ביוזמת "מועצת המוסדות הדתיים בארץ הקודש" המחקר מומן בעזרת מענק ל"עתיד שונה" Future) A) Different מהמשרד לדמוקרטיה, עבודה

Læs mere

אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות

אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות של מערכת העיכול אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות של מערכת העיכול תוכן עניינים 4 הקדמה............................................................................... 7 רקע כללי.............................................................................

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

תזונה ומטבוליזם סיכום

תזונה ומטבוליזם סיכום תזונה ומטבוליזם אנרגטיקה מקורות אנרגיה תכולת אנרגיה במזון לאן אנרגיה זו הולכת אנרגיה נכנסת הולכת לאחת משני מסלולים אנרגיה מטבולית או אנרגיה מופרשת: אנרגיה מטבולית אנרגיה המשמשת למטבוליזם או הולכת לאגירה.

Læs mere

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan

Læs mere

PC PSI PT JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON MÉTHODES ET EXERCICES. Mathématiques. méthodes et exercices. 3 e.

PC PSI PT JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON MÉTHODES ET EXERCICES. Mathématiques. méthodes et exercices. 3 e. PC PSI PT MÉTHODES ET EXERCICES JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON Mathématiques méthodes et exercices 3 e édition Conception et création de couverture : Atelier 3+ Dunod, 201 5 rue Laromiguière,

Læs mere