Peter Ove Christensen og Bjarne Graabech Sørensen. Opgavesamling. til. Rentesregning

Transkript

1 Peter Ove Christensen og Bjarne Graabech Sørensen Opgavesamling til Rentesregning Institut for Regnskab, Finansiering og Erhvervsjura Syddansk Universitet 2001

2 Forord Nærværende opgavesamling er udarbejdet til understøttelse af vor bog Rentesregning, Odense Universitetsforlag Opgaverne er tilpasset de gennemgåede stofområder såvel med hensyn til sværhedsgrad som notationsmæssigt. Opgaverne er betegnet med R, således at de let kan adskilles fra opgaver i investeringsteori og finansiering, hvor opgaverne er markeret med I og F. Odense, august 2001 Peter Ove Christensen Bjarne G. Sørensen

3 Opgaver til rentesregning 3 Opgave R1 Find den akkumulerede værdi af 500 kr. efter 20 terminer, når den terminslige rente er 8%. Opgave R2 Beregn den akkumulerede værdi af kr. efter 1, 2, 3, 4 og 5 terminer, når den terminslige rente er 3%. Opgave R3 Hvad er en kapital på kr. vokset til efter 5 år, når renten er (i) 5% p.a. og (ii) 7% p.a.? Opgave R4 En kapital på kr. forrentes med 6% p.a. over en periode på 5 år og herefter med 5% p.a. i en periode på 3 år. Beregn den akkumulerede værdi af beløbet efter de 8 år. Opgave R5 Når en kapital forrentes med 6% pr. termin, hvor mange terminer går der så, før kapitalen er a) fordoblet, b) tredoblet og c) tidoblet. Opgave R6 Hvor mange terminer tager det, før et beløb på kr. er vokset til kr., når den terminslige rente er 3,5%? Opgave R7 Et beløb på kr. indsættes på en konto, hvor det er bundet i 6 år. De første tre år forrentes beløbet med 5% p.a. Bestem renten for de sidste tre år, hvis der efter de 6 år skal kunne disponeres over et beløb på kr. Opgave R8 Beregn den fremdiskonterede værdi, A n, når grundkapitalen (A 0 ), renten (r) og antallet af terminer (n) er som angivet i nedenstående tabel:

4 4 Opgaver til rentesregning Grundbeløb A 0 Rentesats r Løbetid n 1. tilfælde 1 0, tilfælde 2 0, tilfælde 100 0,20 5 Opgave R9 En person har hver den 1. juli i årene 1995, 1996, 1997, 1998, 1999 og 2000 indsat kr. på en bankkonto. Det opsparede beløb er blevet forrentet med 12-måneders interbankrente fratrukket 0,5 procentpoint. I den pågældende periode er der opnået følgende årlige procentvise forrentninger af det indestående beløb: Tidspunkt 1. juli juli juli juli juli juli 2000 Rente p.a. 6,90 4,20 3,30 4,01 3,20 4,15 Bestem det akkumulerede beløb pr. 1. juli i hvert af årene 1996, 1997, 1998, 1999, 2000 og Beregn den gennemsnitlige årlige forrentning i perioden 1. juli 1995 til 1. juli Opgave R10 En person har kr. til rådighed, som ønskes placeret på en indskudskonto over 3 år. I den forbindelse overvejes det, hvorvidt beløbet skal indsættes på en dansk konto, hvor der kan opnås en årlig forrentning på 3,95%. Alternativt kan beløbet omveksles til engelske pund og forrentes med den engelske rente. På placeringstidspunktet er den engelske rente 6,25% p.a., mens valutakursen er 11,78 danske kroner pr. engelsk pund. Beregn hvor høj valutakursen efter de tre år mindst skal være for, at der opnås en bedre forrentning i engelske pund end i danske kroner. Opgave R11 En debitor låner 10 kr. i tidspunkt 0 og tilbagebetaler 12 kr. i tidspunkt 1. Til hvilken rente er lånet modtaget?

5 Opgaver til rentesregning 5 Opgave R12 En person låner et beløb på kr. og efter fem år tilbagebetales kr. Bestem den årlige rente i låneforholdet. Opgave R13 Hr. Jensen sætter kr. i banken på en fastforrentet konto. Saldoen på kontoen forrentes med en årlig rente på 2½%. a) Hvor mange år skal der gå, før saldoen på kontoen er kr.? b) Hvor mange år skal der gå, før den er kr.? c) Hr. Jensen er meget utålmodig, og han vil have fordoblet beløbet i løbet af maksimalt 25 år. Hvilken rente skal han mindst kræve af banken? Opgave R14 Beregn nutidsværdien af en kapital, der om 20 år andrager kr., når den årlige forrentning er 10%. Opgave R15 En person forventer om 3 år at modtage kr. og om 10 år at modtage kr. Bestem nutidsværdien af de to betalinger, når renten er 6% p.a. Opgave R16 Beregn nutidsværdien af et beløb på kr., der forfalder om 30 terminer, og hvor renten de første 15 terminer er 6%, og de sidste 15 terminer er 7%. Opgave R17 Hvor mange terminer skal en given saldo føres tilbage for at reducere dens værdi til 25% af dens oprindelige saldo ved følgende terminslige rentefødder: 1%, 5% 10% og 20%. Opgave R18 Hvilken forrentning bevirker, at nutidsværdien af en kapital, der forfalder om a) 5 år, b) 10 år, c) 20 år og (d) 50 år, er lig med halvdelen af den fremtidige værdi?

6 6 Opgaver til rentesregning Opgave R19 En betalingsrække har følgende udseende: Periode (år) Betaling For en rente på 8% pr. termin skal der beregnes: a) Betalingsrækkens værdi ved slutningen af år 6. b) Betalingsrækkens nutidsværdi. c) Værdien ved udgangen af 4. periode af hver betaling. d) Betalingsrækkens værdi ved udgangen af år 2. Opgave R20 En betalingsrække har følgende elementer: Tidspunkt Betaling Bestem betalingsrækkens nutidsværdi ved en terminslig rente på 5%. Opgave R21 En annuitet har en terminslig betaling på 100 kr. og en løbetid på 60 terminer. a) Find annuitetens akkumulerede værdi ved en rentesats på 4,5% pr. termin. b) Find annuitetens akkumulerede værdi ved en rentesats på 0% pr. termin. Opgave R22 En annuitet har en terminslig betaling på kr. i 10 terminer Ved en rentesats på 9% pr. termin bedes annuitetens akkumulerede værdi bestemt, når det forudsættes, at a) Betalingen falder sidst i terminen (efterbetalt)

7 Opgaver til rentesregning 7 b) Betalingen falder først i terminen (forudbetalt) Opgave R23 Beregn den akkumulerede værdi af en annuitet med en terminslig betaling på kr. over 10 terminer, når den terminslige rente er a) 0%, b) 10% og c) 50%. Opgave R24 Beregn den terminslige betaling på en annuitet, når den akkumulerede værdi efter 5 år skal være kr., og den terminslige rente er 7%. Opgave R25 Beregn den akkumulerede værdi af en annuitet på kr., når den terminslige rente de første 5 år er 6% p.a. og de sidste 5 år er 5% p.a. Opgave R26 Hvor mange terminer skal en annuitet med en terminslig betaling på kr. løbe for, at den akkumulerede værdi er kr., når den terminslige rente er 15%? Opgave R27 En opsparer indsætter kr. om året i 20 år på en bankkonto. Saldoen på kontoen forrentes med 5% p.a. a) Hvor stor er saldoen efter 20 år? b) Hvilket år overstiger saldoen kr.? Opgave R28 Beregn nutidsværdien af en annuitet med en terminslig betaling på kr. over 30 terminer, når rentesatsen er 7% pr. termin. Opgave R29 En annuitet har en løbetid på 20 år, og den årlige betaling andrager kr. Bestem annuitetens nutidsværdi ved en årlig rente på 5%.

8 8 Opgaver til rentesregning Opgave R30 En annuitet har terminslige betalinger på kr. og en løbetid på 10 terminer. Bestem betalingsrækkens nutidsværdi under følgende forudsætninger: a) Den terminslige rente er de første fem terminer 6%, mens den de sidste fem terminer er 4%. b) Den terminslige rente er de første fem terminer 4%, mens den de sidste fem terminer er 6%. Opgave R31 En uendelig annuitet har en terminslig ydelse på kr. Bestem nutidsværdien når den terminslige rente er a) 2%, b) 10% og c) 20%. Opgave R32 En samfundsøkonomisk analyse indeholder en uendelig betalingsrække med følgende årlige betalinger (mill. kr.): År Betaling I analysen antages det således, at betalingerne fra og med det 6. år er konstant 150 mill. kr. Bestem betalingsrækkens nutidsværdi samt den (gennemsnitlige) årlige betaling ved en rente på 4% p.a. Opgave R33 En betalingsrække er kendetegnet ved, at betalingerne forfalder med lige store tidsmæssige intervaller. I de første 10 terminer er der en terminslig betaling på kr., mens der i de sidste 8 terminer er en terminslig betaling på 500 kr. Beregn betalingsrækkens nutidsværdi, når den terminslige rente er 4%. Opgave R34 En forbruger skal anskaffe en fryser og henvender sig til A/S Producenten. I forretningen bliver han tilbudt to muligheder:

9 Opgaver til rentesregning 9 1) At købe fryseren for kr. 2) At leje fryseren for 120 kr. om måneden i hele dens forventede levetid på 5 år. Lejebeløbet er forudbetalt. Hvilken af de to muligheder er den mest fordelagtige, når det forudsættes, at fryseren er kassabel efter 5 år, og at den månedlige rente udgør 1,5%. Der ses bort fra eventuelle skattemæssige effekter. Opgave R35 Hvilken terminslig betaling kan amortisere et 5-terminers lån på kr. ved en rente på 4% pr. termin? Opgave R36 Et lån på kr. skal afvikles over 20 år med lige store årlige ydelser. Lånet forrentes med 9% p.a. Hvor stor skal den årlige ydelse være? Opgave R37 En person ønsker om 10 år at kunne disponere over kr. Hvor stort et beløb skal der årligt opspares, når den årlige forrentning er 3%? Opgave R38 En annuitet har en nutidsværdi på kr., og den terminslige rente er 5%. Bestem +annuitetens løbetid, når den terminslige betaling er kr. Opgave R39 En uendelig annuitet (A) har en årlig betaling på 100 kr. Første betaling forfalder om ét år. a) Bestem nutidsværdien af A ved en rente på 8% p.a. En anden uendelig annuitet (B) har første ydelse om tre år. b) Beregn den årlige ydelse i den anden annuitet, når de to annuiteter skal have samme nutidsværdi ved en rente på 8% p.a.

10 10 Opgaver til rentesregning Opgave R40 Fru Clausen påregner de næste 5 år at modtage et årligt beløb på kr. a) Der forventes en årlig inflation på 2%, og fru Clausen vil gerne vide, hvor meget disse beløb er værd ved fastholdt prisniveau (faste priser). b) Hvor meget er beløbene værd i faste priser, når inflationen i de fem år forventes at være: År Inflation 1,4% 1,7% 2,0% 2,3% 2,6% Opgave R41 En ung fremadstræbende studerende har købt en brugt sportsvogn (Ferrari 312 PB med diverse ekstraudstyr) til kr. Da den studerende kun råder over et beløb på kr., er der aftalt en afdragsordning med bilforhandleren for det resterende beløb. Billånet er fastforrentet med 9% p.a., og der er aftalt følgende årlige betalinger til dækning af renter og afdrag: År Efterfølgende år Beløb a) Hvor mange år vil det tage for studenten at forrente og afdrage billånet? b) Hvor stor er betalingen (ydelsen) i det sidste år i lånets løbetid? (Hint: Denne er mindre end kr. som følge af, at løbetiden ikke er et heltalligt antal år). Opgave R42 Hvor stor er den interne rente i et lån på kr. og 12 ydelser af kr.?

11 Opgaver til rentesregning 11 Opgave R43 En person optager et lån på kr. Lånet forrentes ikke i løbetiden, men indfries efter 5 år med et beløb på kr. Beregn lånets interne rente. Opgave R44 Betalingerne fra en investering har følgende fordeling over tiden: År Betaling a) Bestem nutidsværdien ved en rente på 10% p.a. b) Hvor stor er den interne rente i betalingsrækken? Opgave R45 Et beløb på kr. sættes til forrentning over en 5-årig periode til følgende rentesatser: År Rente p.a. 5 4,5 4,0 3,5 3,0 a) Beregn det beløb der er til rådighed efter det 5. år. b) Bestem den interne rente (angives i procent med 4 decimaler) og sammenlign med den gennemsnitlige årlige forrentning. Opgave R46 Peter indgår en aftale med en bekendt om, at hvis han ikke ryger de næste tre år, får han kr. Ud fra sit hidtidige forbrug har Peter beregnet, at han ved ikke at ryge årligt kan spare kr. Kan du beregne den interne rente i dette arrangement? Opgave R47 En forretning tilbyder kunderne følgende mulighed for at finansiere køb af hårde hvidevarer:

12 12 Opgaver til rentesregning Køb nu og betal til august - rentefrit! En kunde køber den 1. februar en vaskemaskine med en vejledende salgspris på kr. Hvis vaskemaskinen købes kontant, kan den erhverves for kr. For at administrere lånet opkræver forretningen et månedligt gebyr på 75 kr. Bestem lånets interne (effektive) rente. Opgave R48 En større virksomhed optager et lån på kr. Lånet afvikles over 10 år med lige store månedlige ydelser (renter + afdrag) på kr. Bestem den årlige interne rente (effektive rente) i låneforholdet. Opgave R49 En betalingsrække har følgende elementer: Termin Betaling a) Beregn nutidsværdien ved en terminslig rentesats på (i) 10% og (ii) 15%. b) Bestem den interne rente i betalingsrækken. Opgave R50 Bestem den interne rente i følgende betalingsrække: År Betaling Opgave R51 Hvilken årlig effektiv rente svarer til en nominel rente på 10% p.a. ved a) Årlige rentetilskrivninger b) Halvårlige rentetilskrivninger c) Kvartalsvise rentetilskrivninger

13 Opgaver til rentesregning 13 d) Månedlige rentetilskrivninger e) Ugentlige rentetilskrivninger f) Daglige rentetilskrivninger g) Kontinuert rentetilskrivning Opgave R52 Hvad er den årlige nominelle og den effektive rente svarende til en ugentlig rente på 0,25%? Opgave R53 Den månedlige interne rente på et lån er beregnet til 0,5834%. Bestem lånets effektive rente svarende til (i) én uge, (ii) 3 måneder, (iii) 6 måneder og (iv) 12 måneder. Opgave R54 Bestem den til renten 3% pr. måned svarende effektive rente pr. år. Opgave R55 I et lån er der kvartårlige terminer. Den terminslige effektive rente er beregnet til 1,7%. Bestem lånets årlige effektive rente. Opgave R56 Der er givet en effektiv terminslig rente på 12%. Bestem den nominelle terminslige rente, når der tilskrives rente a) 2, b) 4, c) 12, d) 52, e) 365 og f) gange pr. termin. Opgave R57 Ved lån til privatpersoner er der ofte ikke sammenfald mellem antallet af årlige rentetilskrivninger og antallet af årlige ydelser. Pengeinstitutter tilskriver således som oftest rente kvartalsvis, mens der erlægges månedlige ydelser. Et lån på kr. i et pengeinstitut forrentes med en pålydende rente (nominel rente) på 13,25% p.a. På lånet er der fire årlige rentetilskrivninger og månedlige ydelser. a) Bestem lånets årlige effektive rente. b) Bestem den månedlige rente, der svarer til den i spørgsmål a) beregnede årlige effektive rente.

14 14 Opgaver til rentesregning c) Beregn ydelsen på lånet, når det afvikles med 24 lige store månedlige betalinger. Opgave R58 Fru Hansen har en anfordringskonto i sit pengeinstitut. Pr. 1. januar 2001 er der et indestående på kontoen på kr. Kontoen forrentes med 1½% p.a. nominelt. Renten tilskrives én gang om året den 31. december. I 2001 er der følgende transaktioner på kontoen: Dato Indbetaling Udbetaling Hvilket beløb indestår der på kontoen ultimo 2001? Opgave R59 En obligation har en pålydende rente på 6%, og der er årlige terminer den 1.6. Den sidste termin er i Set fra den 1. december 2000 er der følgende betalinger pr. 100 kr. nominnelt:

15 Opgaver til rentesregning 15 Termin Antal dage Betaling Beregn kursen den 1. december 2000, når diskonteringsrenten er 5,03% p.a. Opgave 60 Den Blå Kredit tilbyder et lån, hvor der udbetales kr. mod at der betales 907 kr. i 60 måneder. Renten tilskrives månedsvis. Beregn lånet årlige omkostning i procent (ÅOP). Opgave 61 Et lån i et pengeinstitut er på kr. Lånet forrentes med nominelt 12% om året og skal afvikles med lige store månedlige ydelser over 4 år. Beregn den månedlige ydelse, når der tilskrives renter kvartalsvis. Opgave 62 En person har optaget et lån på kr. Lånet skal afvikles over 10 år med månedlige ydelser. Der tilskrives rente hver 3. måned. For at forrente af afdrage lånet skal der betales en månedlig ydelse på 1372 kr. Bestem lånets årlige omkostning i procent (ÅOP). Hvilken forskel vil der i dette tilfælde være mellem ÅOP og lånets effektive rente?