מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב"

Transkript

1 מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב

2 מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב

3 מבוא ללוגיקה מתמטית כתיבה: פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב מנהל פרויקט כדאי לדעת: פרופ' אילון סולן עריכה לשונית: ד ר דנה ברעם רכזת אדמיניסטרטיבית: מיכל זוהר עיצוב גרפי ועימוד: ניצן-שמיר מעצבים איורים: מירל גולדנברג איור עטיפה: shutterstock כתובת האתר כדאי לדעת: goodtoknow.tau.ac.il תצלומים: ויקיפדיה תודות אנחנו מודים לתלמידי כיתות ז 4 ו-ח 4 בשנת תשע"ו בחטיבת ביניים שמואל הנגיד בהרצליה, שלמדו מהחוברת והעירו הערות ששיפרו אותה, וכן למורות בטי כהן ודפנה סביר. זכויות הקניין הרוחני, לרבות זכויות היוצרים והזכות המוסרית של היוצרים בחומר זה, מוגנות. אין לשכפל, להעתיק, לצלם, לתרגם, וכן אין לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי, מכני או אחר את החומר ו/או כל חלק שהוא מהחומר הזה. כמו כן אין לעשות שימוש מסחרי כלשהו בחומר זה, אלא אך ורק לאחר קבלת רשות מפורשת בכתב מאוניברסיטת תל אביב, בית הספר למדעי המתמטיקה.

4 מתמטיקה שכדאי לדעת תוכן.1 הפסוק 5 2. ק ש רים לוגיים פסוק השלילה הפסוק המורכב "וגם" הפסוק המורכב "או" הפסוק המורכב "אם... אזי.." סוגריים סיכום ערך האמת של פסוק טבלאות אמת טבלת האמת של פסוק השלילה טבלת האמת של הפסוק המורכב "וגם" טבלת האמת של הפסוק המורכב "או" טבלת האמת של פסוק תנאי טבלאות אמת של פסוקים מורכבים נוספים שקילות של פסוקים כללי היסק כלל ההיסק החיובי כלל ההיסק החיובי: תנאי מספיק והכרחי כלל ההיסק והצבות של משפטים מורכבים כלל ההיסק השלילי כללי היסק נוספים כ מ תים הכמת "לכל" הכמת "י ש" "יש לפחות שני ילדים ש..." "יש לכל היותר ילד אחד ש..." "כל ילד בכיתה מכיר ילד בכיתה המקבילה" קשרים בין הכמתים "לכל" ו"יש" 52.8 סיכום סיכום המושגים וההגדרות דמויות המופיעות בחוברת פתרונות לתרגילים 56 3

5 מבוא ללוגיקה מתמטית מבוא משמעות המילה לוגיקה שמקורה במילה היוונית "לו גו ס",λόγoς אמירה, סיבה או רעיון היא היגיון. ומכאן, חשיבה לוגית פירושה חשיבה מסודרת והגיונית. לוגיקה מתמטית היא תחום שצמח כדי לחקור את תהליך הסקת המסקנות, והיא נחוצה לנו מכיוון שהשפה המדוברת אינה שפה מדויקת. דוגמה אחת לחוסר הדיוק בשפה היא סדר קדימות של מילות יחס. כדי להבהיר את הבעיה נתבונן בתרגיל החשבון מכיוון שפעולת כפל קודמת לפעולת חיבור, התוצאה של התרגיל היא 14. ומה בדבר המקרה הזה: המורה לתנ"ך אמרה לתלמידי הכיתה שהיא תיתן בתעודה ציון טוב מאוד רק לתלמידים שקיבלו 100 בבחינה או קיבלו 100 בעבודה המסכמת ולמדו בעל פה את קינת דוד ליהונתן. דינה קיבלה 100 בבחינה, 90 בעבודה המסכמת ולא למדה בעל פה את קינת דוד. האם היא תקבל ציון טוב מאוד? הדבר תלוי בקדימות בין מילות היחס "או" ו"וגם". נשתמש בסוגריים כדי לבטא את הקדימות בין מילות היחס. אם מילת היחס "או" קודמת למילת היחס "וגם", יתקבל המשפט: תלמיד יקבל ציון טוב מאוד אם )הוא קיבל 100 בבחינה או 100 בעבודה המסכמת( ולמד בעל פה את קינת דוד ליהונתן. לפי משפט זה, על התלמידים לעמוד בשני תנאים כדי לקבל ציון טוב מאוד, ואחד התנאים הוא לימוד קינת דוד בעל פה. מכיוון שדינה לא למדה בעל פה את קינת דוד, היא לא תקבל ציון טוב מאוד. אם, לעומת זאת, מילת היחס "וגם" קודמת למילת היחס "או" יתקבל המשפט: תלמיד יקבל ציון טוב מאוד אם הוא קיבל 100 בבחינה או )קיבל 100 בעבודה המסכמת ולמד בעל פה את קינת דוד ליהונתן(. לפי משפט זה, על התלמיד לעמוד לפחות באחד משני תנאים על מנת לזכות בציון טוב מאוד בתעודה. דינה ממלאת את התנאי הראשון שכן היא קיבלה 100 בבחינה, ולכן עליה לקבל ציון טוב מאוד. ארבעת המשפטים האלה מדגימים בעיה נוספת: אראיתי אונייה כחולה.. בראיתי אונייה.. גראיתי גמל שלמה.. דראיתי גמל.. ברור שאם משפט )א( נכון כי אז גם משפט )ב( נכון. עם זאת, אם משפט )ג( נכון, משפט )ד( אינו בהכרח נכון. איך אפשר להבדיל בין שני המקרים? שלושת המשפטים שלהלן מדגימים בעיה שלישית בהסקת מסקנות: אהאוטו שלנו כחול.. בכחול הוא צבע.. גהאוטו שלנו הוא צבע.. גם כאשר המשפטים )א( ו-)ב( נכונים, המשפט )ג( אינו נכון. 4

6 מתמטיקה שכדאי לדעת הדוגמאות שהבאנו מראות שכדי להבין איך מסיקים מסקנות עלינו לפתח שפה פורמלית שבה לכל משפט יש משמעות אחת והמסקנות שאפשר להסיק בה נכונות. בחוברת זו נ פ ת ח שפה הנקראת תחשיב הפסוקים, נראה כיצד בונים בה משפטים וכיצד קובעים את משמעותם. את שורשיה של שפה זו אפשר למצוא בעבודותיהם של הפילוסופים היוונים אריסטו ) לפני הספירה( וק ר יס יפ ו ס ) לפני הספירה( ובעבודות מאוחרות יותר של הפילוסוף הצרפתי פייר א ב ל ר ד ) (. על אריסטו, קריסיפוס ופייר אבלרד תוכלו לקרוא בעמוד 55. שפת תחשיב הפסוקים מורכבת משלושה סוגי אותיות: פסוקים אטומיים, ק ש רים לוגיים וסוגריים. נתחיל את סקירת השפה במושג הפסוק הפסוק המושג הבסיסי בשפת תחשיב הפסוקים הוא הפסוק. פסוק הוא הצהרה שמציינת עובדה שיכולה להיות נכונה או לא נכונה. אנחנו מעוניינים לפתח שפה מדויקת שאפשר לפרש את המשפטים בה בדרך אחת בלבד, ונתעניין במשפטים היכולים להיות נכונים או לא נכונים. נראה עתה דוגמאות אחדות של פסוקים: 1 היום יום שני יש לי מכנסיים שחורים אין לי מכנסיים שחורים השמש זורחת במזרח ושוקעת במערב המרחק הממוצע בין כדור הארץ לירח הוא 1,000,000 ק"מ בשבוע הבא אייל יגיע לביקור בשנת 2100 כל מדינות העולם תהיינה מאוחדות באימפריה אחת. 7. כל אחד משבעת המשפטים שרשמנו הוא הצהרה שיכולה להיות נכונה או לא נכונה. הפסוק "היום יום שני" נכון יום אחד בשבוע ואינו נכון שישה ימים בשבוע. הפסוקים "יש לי מכנסיים שחורים" ו"אין לי מכנסיים שחורים" יכולים להיות נכונים או לא נכונים. למען האמת, אחד מהם נכון והשני אינו נכון. מי משני הפסוקים נכון? כדי לדעת את התשובה יש להביט בארון הבגדים שלי. הפסוק "השמש זורחת במזרח ושוקעת במערב." נכון תמיד, והפסוק "המרחק בין כדור הארץ לירח הוא 1,000,000 ק"מ" אינו נכון, שכן המרחק הממוצע בין כדור הארץ לירח הוא 384,000 ק"מ. המשפט "בשבוע הבא אייל יגיע לביקור" מתאר אירוע שאמור לקרות בעתיד והוא יכול להיות נכון או לא נכון. אמנם כרגע איננו יודעים אם אייל יגיע לביקור או לא, אך בעוד שבוע נדע זאת. לכן גם משפט זה הוא פסוק. המשפט "בשנת 2100 כל מדינות העולם תהיינה מאוחדות באימפריה אחת" מתייחס אף הוא לעתיד, ובבוא היום אנחנו )או נכדינו( נדע אם הוא נכון או לא. לכן גם משפט זה הוא פסוק.

7 מבוא ללוגיקה מתמטית והנה דוגמאות אחדות של משפטים שאינם פסוקים, משום שאינם מציינים עובדות: 1 מה 1. השעה? 2 תודה 2. רבה. 3 אימא 3. ואבא. 4 כל 4. הילדים בכיתה שלי. 5 האם 5. היום יום שני? הנה דוגמאות לפסוקים המכילים תתי-פסוקים: 1 היום 1. יום רביעי ומחר יהיה יום חמישי. 2 היום 2. יום רביעי ומחר יהיה יום שישי. 3 יש 3. לי מכנסיים שחורים או אין לי מכנסיים שחורים. הפסוק "היום יום רביעי ומחר יהיה יום חמישי" מורכב משני תתי-פסוקים: "היום יום רביעי" ו"מחר יהיה יום חמישי". פסוק זה נכון יום אחד בשבוע ואינו נכון שישה ימים בשבוע. גם הפסוק "היום יום רביעי ומחר יהיה יום שישי" מורכב משני תתי-פסוקים והוא אינו נכון אף פעם. הפסוק "יש לי מכנסיים שחורים או אין לי מכנסיים שחורים" נכון תמיד. יש פסוקים הכוללים את מילת התנאי "אם": 1 אם יקנו לי מחר חולצה אדומה אזי אתן מחר נשיקה לאבא אם הקבוצה שלי תנצח במשחק, נקבל פרס. 2. ויש פסוקים הכוללים את המילים "לכל" ו"יש". מילים אלה נקראות כ מ ת ים, משום שהן מתייחסות לכמויות. 1 בכל יום בשבוע אני אוכל פיצה כל אדם שקוראים לו גד אוהב פיצה יש ילד בכיתתי שקוראים לו גד לכל הילדים בכיתה שלי יש מכנסיים שחורים יש ילד בכיתה שלי שיש לו מכנסיים שחורים. 5. 6

8 מתמטיקה שכדאי לדעת 1 לכל אחד מהמשפטים רשמו אם הוא פסוק או לא. משפט 1 אתמול פגשתי את דן מה אתה רוצה? 2. 3 אני אוהב יוגורט אני אוהב יוגורט ואתה אוהב פיצה בשום פנים ואופן לא! 5. 6 אורית אמרה בשום פנים ואופן לא! 6. 7 כל הילדים בכיתה אמרו בשום פנים ואופן לא! 7. 8 מתי ראית את המורה? 8. 9 יש ילד בכיתה שקוראים לו רון אתה צודק או אתה טועה אם אתה צודק אתן לך חיבוק תודה שהשתתפת במסיבה שלי. 212 פסוק לא פסוק פתרונות לכל התרגילים מופיעים בסוף החוברת. נסו לפתור את התרגילים בעצמכם לפני שאתם בודקים את תשובותיכם. מכיוון שתשובותיכם עלולות להיות שגויות גם אם הן נראות לכם נכונות, כדאי להשוות מפעם לפעם את התשובות שלכם לתשובות שבסוף החוברת. 7

9 מבוא ללוגיקה מתמטית 2. ק ש רים לוגיים הסוג השני של אותיות בשפת תחשיב הפסוקים הוא הק ש רים הלוגיים, המאפשרים לבנות פסוקים מורכבים מפסוקים פשוטים. בסעיף זה נציג את הקשרים הלוגיים ונבנה בעזרתם פסוקים מורכבים. נראה איך נכונותו או אי נכונותו של פסוק מורכב נקבעת מנכונותם או מאי נכונותם של הפסוקים הפשוטים הבונים אותו. המשמעות המילולית של הפסוק הפשוט לא תהיה חשובה לצורך בניית הפסוק המורכב וקביעת הנכונות שלו; כל שנצטרך לדעת הוא אילו מהפסוקים הפשוטים המרכיבים אותו נכונים. מסיבה זו נקצר את הכתיבה ונסמן את הפסוקים הפשוטים באותיות אנגליות. למשל, אם נסמן = "יש לי חולצה ירוקה", אזי האות תייצג עבורנו את הפסוק "יש לי חולצה ירוקה". בדומה לכך אפשר לרשום = "יש לי מכנסיים כחולים", ואפשר גם לרשום = C "יש לי כובע אדום". בהמשך הסעיף נתייחס לשלושת הפסוקים, ו- C שהגדרנו כאן פסוק השלילה השלילה של הפסוק "יש לי חולצה ירוקה" היא "לא נכון שיש לי חולצה ירוקה", כלומר אין לי חולצה ירוקה. לכן, כאשר הוא הפסוק "יש לי חולצה ירוקה", הרי שהשלילה של היא הפסוק "אין לי חולצה ירוקה". מקובל לסמן את השלילה של הפסוק ב- )ויש המסמנים את השלילה של הפסוק ב- ~(. הפסוק "לא נכון שיש לי חולצה ירוקה" הוא פסוק מורכב, משום שהוא מכיל פסוק קצר יותר, "יש לי חולצה ירוקה". נסמן ב- D את הפסוק "אין לי חולצה ירוקה". במקרה זה, השלילה של D "לא נכון שאין לי חולצה ירוקה". המשמעות בעברית של הפסוק היא שמסומנת ב- D, D, היא "יש לי חולצה ירוקה". כלומר, הפסוק D שקול מבחינת המשמעות שלו בעברית לפסוק, והפסוק D שקול מבחינת המשמעות שלו בעברית לפסוק. אנחנו רואים שאפשר לנסח הצהרה מסוימת כך שתהיה פסוק פשוט או פסוק מורכב. 8

10 מתמטיקה שכדאי לדעת 2.2. הפסוק המורכב "וגם" דוגמה נוספת לפסוק מורכב היא "יש לי חולצה ירוקה ויש לי מכנסיים כחולים". פסוק זה בנוי משני פסוקים פשוטים: "יש לי חולצה ירוקה", שסימנו קודם ב-, ו"יש לי מכנסיים כחולים", שסימנו קודם ב-. לכן את הפסוק הזה אפשר לקצר ולכתוב " וגם ". אנו נקצר ונכתוב במקום " וגם ". שימו לב: את הפסוקים הרשומים בקיצור קוראים משמאל לימין, כפי שקוראים אנגלית. לכן אנו כותבים ואומרים " וגם ". אפשר גם לדבר על הפסוק " וגם וגם C", שטוען את מה שנאמר בשלושת הפסוקים, ו- C : יש לי חולצה ירוקה, מכנסיים כחולים וכובע אדום. את הפסוק " וגם וגם C" נכתוב בקיצור. C 2.3. הפסוק המורכב "או" בעברית למילה "או" יש שתי משמעויות שונות. כאשר מישהו אומר "אצלצל אליך או אשלח לך אימייל" אנו מבינים שהוא יעשה את אחד הדברים אבל לא את שניהם. לעומת זאת, כאשר אני אומר "אני חולה; הרופא אמר שיש לי שפעת או דלקת באוזן", אנו מבינים שייתכן שיש לי שפעת או שיש לי דלקת באוזן, ואם אני חסר מזל חליתי הן בשפעת הן בדלקת באוזן. כלומר, איננו מוציאים מכלל אפשרות שאני חולה בגלל שני הגורמים יחדיו. תחשיב הפסוקים הוא שפה חד-משמעית, ולכן עלינו לבחור אחת משתי המשמעויות של המילה "או". אנו בוחרים במשמעות השנייה: כאשר = "יש לי חולצה ירוקה" ו- = "יש לי מכנסיים כחולים", הפסוק " או " אומר שיש לי חולצה ירוקה או שיש לי מכנסיים כחולים )או שיש לי גם חולצה ירוקה וגם מכנסיים כחולים(. נהוג לכתוב במקום " או ". מדוע משתמשים בסימון עבור "וגם" ובסימון עבור "או"? בלטינית, משמעות המילה vel היא "אחד או אחר או שניהם". את האות V, שהיא האות הראשונה במילה, אימצו המתמטיקאים לסימון "או". הסימן הוא ההיפוך של הסימן ואומץ כדי לסמן "וגם". 9

11 מבוא ללוגיקה מתמטית 2.4. הפסוק המורכב "אם... אזי..." בשפת תחשיב הפסוקים שאנחנו מפתחים אפשר לבנות גם משפטי תנאי שהמבנה שלהם הוא "אם... אזי...". הפסוק "אם אזי " אומר שאם הפסוק נכון כי אז גם הפסוק נכון: אם יש לי חולצה ירוקה אזי יש לי מכנסיים כחולים. אנו נקצר ונכתוב במקום "אם אזי ". את הפסוק נקרא " גורר את ". אם נסמן = G "מחר אלך לבית הספר" ו- = H "מחר אראה את גיל", משמעות הפסוק "אם G אזי H" היא שאם מחר אלך לבית הספר כי אז אראה מחר את גיל סוגריים בהקדמה בעמוד 4 ראינו שסדר הקדימות בין הקשרים הלוגיים משנה את משמעות המשפט. הדרך לסמן את קדימות הקשרים היא באמצעות שימוש בסוגריים, כפי שעושים בתרגילי חשבון. נסמן למשל: = "שמי רון", = "למורה שלי קוראים עומר", = C "אני גר בהרצליה". לפנינו רשימה של פסוקים בשפת תחשיב הפסוקים, והמשמעות שלהם בעברית: תחשיב הפסוקים ( C) ( C) ( ) C ( C) (( ) C) ( ( )) C עברית שמי רון ואינני גר בהרצליה. לא נכון ששמי רון ושאני גר בהרצליה. אם שמי רון ולמורה שלי קוראים עומר, אזי אני גר בהרצליה. שמי רון, ואם למורה שלי קוראים עומר, אזי אני גר בהרצליה. לא נכון שאם שמי רון ולמורה שלי קוראים עומר אזי אני גר בהרצליה. אם לא נכון ששמי רון ושלמורה שלי קוראים עומר, אזי אני גר בהרצליה. 10

12 מתמטיקה שכדאי לדעת 2.6. סיכום ראינו כי שפת תחשיב הפסוקים בנויה מפסוקים שמורכבים מאותיות ), C,,...(, מקשרים לוגיים ומסוגריים. פסוק אטומי הוא פסוק המכיל אות אחת בלבד, ללא קשרים לוגיים וללא סוגריים. פסוק מורכב הוא פסוק המכיל לפחות קשר לוגי אחד. פסוק אטומי הוא פסוק המכיל אות אחת בלבד,,, C וכדומה. פסוק מורכב הוא פסוק המכיל לפחות אחד מהסימנים,,,. משמעות הסימנים היא:. וגם =. או = לא נכון ש-. =. אזי אם = הדרך שבה יוצרים משפטים בשפה נקראת תחביר,)syntax( ואותה ראינו בסעיף האחרון. בסעיף הבא נעסוק במשמעות של הפסוקים, תחום שנקרא סמנטיקה.)semantics( = "יש לי עיפרון אדום", 2 נסמן = "יש לי קלמר ירוק", = C "יש לי תיק סגול". רשמו את הפסוקים הבאים באמצעות הסימנים,C,,,,,. איש לי עיפרון אדום וקלמר ירוק:. באין לי תיק סגול:. גיש לי קלמר ירוק או יש לי עיפרון אדום:. דאם יש לי תיק סגול אזי יש לי קלמר ירוק:. 11

13 מבוא ללוגיקה מתמטית 3 הפסוקים שהופיעו בתרגיל 2 היו: = "יש לי עיפרון אדום", = "יש לי קלמר ירוק", = C "יש לי תיק סגול". רשמו את הפסוקים הבאים באמצעות הסימנים C,,,,,, וסימני הסוגריים )ו-(.. איש לי עיפרון אדום וקלמר ירוק, ואין לי תיק סגול:. בלא נכון שיש לי תיק סגול וקלמר ירוק:. גאין לי קלמר ירוק או יש לי עיפרון אדום וקלמר ירוק:. דאם יש לי תיק סגול אזי אין לי קלמר ירוק:. האם אין לי תיק סגול אזי יש לי קלמר ירוק:. ואין לי תיק סגול, אין לי קלמר ירוק ויש לי עיפרון אדום: 4 הפסוקים שהופיעו בתרגילים 2 ו- 3 היו: = יש לי עיפרון אדום, = "יש לי קלמר ירוק, = C "יש לי תיק סגול. רשמו את המשמעות המילולית של פסוקים אלה:. א( ( C :. ב) ( )) ( C (:. ג( ) ( C ):. ד) C ( )) (( C) (: 12 תרגילים 3 ו- 4 אינם פשוטים כפי שהם נראים. לאחר שסיימתם לענות עליהם, ב דקו את תשובותיכם בפתרונות המופיעים בסוף החוברת.

14 3. ערך האמת של פסוק מתמטיקה שכדאי לדעת כל פסוק יכול להיות או נכון או לא נכון. יש פסוקים נכונים )כמו "השמש זורחת במזרח ושוקעת במערב."(, יש פסוקים שאינם נכונים )כמו "היום יום רביעי ומחר יהיה יום שישי"( ויש פסוקים שיכולים להיות נכונים ויכולים להיות לא נכונים )כמו "היום יום שלישי"(. לתכונה זו של הפסוק היותו נכון או לא נכון קוראים ערך האמת של הפסוק. ערך האמת של פסוק הוא "אמת" אם הפסוק נכון והוא "שקר" אם הפסוק אינו נכון. ערך האמת של הפסוק "השמש זורחת במזרח" הוא "אמת", וערך האמת של הפסוק "לבריטניה ולישראל יש גבול משותף" הוא "שקר". ערך האמת של הפסוק "אתמול הלכתי לגינה והתנדנדתי בנדנדה" יכול להיות "אמת" או "שקר": אם אתמול הלכתי לגינה והתנדנדתי בנדנדה, אזי ערך האמת של הפסוק הוא "אמת", ואם אתמול לא הלכתי לגינה, או הלכתי לגינה אך לא התנדנדתי בנדנדה, הרי שערך האמת של הפסוק הוא "שקר". ערך האמת של הפסוק יכול להשתנות בזמן: אם היום אלך לגינה ואתנדנד בנדנדה, הרי שמחר ערך האמת של הפסוק "אתמול הלכתי לגינה והתנדנדתי בנדנדה" יהיה נכון, גם אם היום ערך האמת של הפסוק הוא "שקר". ערך האמת של פסוק הוא המשמעות שלו. למעשה, המשמעות היחידה שיש לפסוקים בשפת תחשיב הפסוקים היא "אמת" או "שקר". 5 לכל אחד מהפסוקים, רשמו אם ערך האמת שלו "אמת" או "שקר". שימו לב שאת ערך האמת של פסוק קובע האדם שעליו מדבר הפסוק בנקודת הזמן שבה הפסוק נאמר. לכן, בסעיפים 2 ו- 4 של התרגיל מדובר בכם: בכיתה שלכם ובמשפחה שלכם. הערה זו מתייחסת גם לתרגילים הבאים בחוברת. פסוק 1 ראש 1. הממשלה הראשון של מדינת ישראל היה דוד בן גוריון. 2 בכל 2. יום שלישי יש למחנכת שלי יום חופשי. 6= להורים 4. שלי יש שלושה ילדים. 5 לכל 5. אדם יש בדיוק שלושה ילדים. אמת שקר 13

15 מבוא ללוגיקה מתמטית פסוקים הנכונים בכל מקרה הם פסוקים מיוחדים כאשר אנו נתקלים בפסוק כזה איננו צריכים לחשוב אם התנאים שבהם הוא נכון מתקיימים. למשל, הפסוק "בכל יום שלישי יש למחנכת שלי יום חופשי" נכון רק אם למחנכת שלי יש יום חופשי ביום שלישי. כדי לומר אם ערך האמת של פסוק זה הוא אמת או שקר עלינו לחשוב אם אכן למחנכת יש יום חופשי בימי שלישי. פסוקים הנכונים תמיד חוסכים מא תנו את מלאכת החשיבה. פסוקים כאלה נקראים "ט או טו לו ג יו ת". המילה ט או טו לו ג י ה מקורה ביוונית: "טאוטו" פירושו "מיותר" ו"לוגוס", כזכור, פירושו "אמירה". כלומר, טאוטולוגיה היא אמירה מיותרת, שכן ברור שהיא נכונה. ט או טו לו ג י ה היא פסוק נכון בכל מקרה: ערך האמת שלו תמיד "אמת". בדומה לכך, פסוק שתמיד אינו נכון נקרא "סתירה". גם כאשר אנו מתבקשים להכריע מה הוא ערך האמת של פסוק כזה אין צורך לחשוב אם תנאים מסוימים מתקיימים, שכן סתירה בכל מקרה אינה נכונה. סתירה היא פסוק שאינו נכון בכל מקרה: ערך האמת שלו תמיד "שקר". דוגמאות לטאוטולוגיה הן: 1 שמי יואל או שמי אינו יואל =82.2.5> אם תתלוש דף מהמחברת יהיה בה דף אחד פחות ממספר הדפים שיש בה עכשיו. 4. דוגמאות לסתירות הן:.5< היום יום חמישי ומחר יהיה יום שני לכל מי שחובש כובע צהוב אין כובע על הראש לא נכון ששמי יואל ולא נכון ששמי אינו יואל. 4. דרך פשוטה ליצור סתירה היא להוסיף את המילים "לא נכון ש-" לטאוטולוגיה. למשל: הפסוק "אם תתלוש את הדף יהיה במחברת דף אחד פחות ממה שיש בה עכשיו" הוא טאוטולוגיה, והפסוק "לא נכון שאם תתלוש את הדף יהיה במחברת דף אחד פחות ממה שיש בה עכשיו" הוא סתירה. אפשר בדרך זו גם ליצור טאוטולוגיה מסתירה: הפסוק "ירד היום גשם של שושנים" תמיד אינו נכון ולכן הוא סתירה, והפסוק "לא נכון שירד היום גשם של שושנים" תמיד נכון ולכן הוא טאוטולוגיה. 14

16 מתמטיקה שכדאי לדעת 6 לכל אחד מהפסוקים רשמו אם הוא טאוטולוגיה, סתירה או לא זה ולא זה. פסוק טאוטולוגיה סתירה לא טאוטולוגיה ולא סתירה 1 אני 1. בן אדם. 2 אני 2. בן אדם או אני חילזון. 3 לא 3. נכון שאני בן אדם. 4 לא 4. נכון שלא נכון שאני בן אדם. 5 החלון 5. פתוח, או החלון סגור והווילון פתוח..10> < מרובע 8. הוא מצולע בעל ארבע צלעות. 7 רשמו שתי טאוטולוגיות ושתי סתירות: 15

17 מבוא ללוגיקה מתמטית טבלאות אמת בסעיף זה נעסוק בערכי אמת של פסוקים מורכבים ואיך אפשר להסיק אותם מערכי האמת של הפסוקים האטומיים המרכיבים אותם. נסמן = "יש לי עיפרון אדום". הפסוק " אינו נכון", שאותו אנחנו מסמנים ב-, אומר "אין לי עיפרון אדום". מה הוא ערך האמת של הפסוק? ערך האמת של הפסוק הפוך מערך האמת של הפסוק : אם יש לי עיפרון אדום, כי אז הפסוק נכון והפסוק אינו נכון; ואם אין לי עיפרון אדום, הפסוק אינו נכון והפסוק נכון. אם הפסוק היה מציין עובדה אחרת, למשל = "קוראים לי רון", עדיין ערך האמת של הפסוק היה הפוך מערך האמת של הפסוק. אנו רואים שערך האמת של הפסוק אינו תלוי בעובדה שהפסוק מייצג, אלא בערך האמת שלה. תופעה דומה מתרחשת בכל פסוק מורכב. לדוגמה, נסמן = "יש לי עיפרון אדום", = "יש לי קלמר ירוק". הפסוק " וגם ", שאנחנו מסמנים ב-, אומר שיש לי עיפרון אדום וקלמר ירוק. פסוק זה נכון וערך האמת שלו הוא "אמת" אם יש לי עיפרון אדום וגם יש לי קלמר ירוק כלומר, אם ערך האמת של הפסוק הוא "אמת" וגם ערך האמת של הפסוק הוא "אמת". גם אם נשנה את ההצהרות שמייצגים הפסוקים ו-, למשל אם = "בירושלים חיים 700,000 איש", = "המרחק בין תל אביב לירושלים הוא 67 קילומטר", אזי ערך האמת של הפסוק יהיה "אמת" רק אם ערכי האמת של שני הפסוקים ו- יהיו "אמת". שתי הדוגמאות שהבאנו מראות שאפשר לקבוע את ערך האמת של פסוק מורכב מערכי האמת של הפסוקים האטומיים המרכיבים אותו. לטבלה המקשרת בין ערכי האמת של הפסוקים האטומיים לערך האמת של הפסוק המורכב קוראים טבלת האמת של הפסוק. במקום לסמן את ערך האמת של פסוק ב"אמת" וב"שקר", נוהגים לסמן ערך זה ב- וב-, בהתאמה. האות היא קיצור של המילה true )נכון באנגלית( והאות היא קיצור של המילה false )שגוי באנגלית(. טבלת האמת של פסוק היא טבלה המקשרת בין ערכי האמת של הפסוקים האטומיים המרכיבים את הפסוק לבין ערך האמת של הפסוק.

18 מתמטיקה שכדאי לדעת 4.1. טבלת האמת של פסוק השלילה נתחיל מטבלת האמת של הפסוק המורכב הפשוט ביותר, : העמודה הימנית בטבלה מציינת את ערכי האמת האפשריים של הפסוק האטומי, והעמודה השמאלית מציינת את ערך האמת המתאים של הפסוק המורכב. השורה הראשונה )מתחת לשורת הכותרת הכחולה( מתייחסת למקרה שבו הפסוק נכון: ערך האמת שלו. במקרה זה הפסוק אינו נכון, ולכן ערך האמת שלו. השורה השנייה בטבלה מתייחסת למקרה שבו הפסוק אינו נכון: ערך האמת שלו. במקרה זה הפסוק נכון, ולכן ערך האמת שלו טבלת האמת של הפסוק המורכב "וגם" זוהי טבלת האמת של הפסוק המורכב : בטבלה זו, שתי העמודות הימניות מציינות את ערכי האמת האפשריים של שני הפסוקים האטומיים ו- המרכיבים את הפסוק המורכב, והעמודה השמאלית מציינת את ערכי האמת המתאימים של הפסוק המורכב. כמה שורות יש בטבלת האמת של פסוק? כל שורה בטבלת האמת מתייחסת להצבה מסוימת של ערכי אמת בכל אחד מהפסוקים האטומיים המרכיבים את הפסוק המורכב. למשל, הפסוק המורכב תלוי בפסוק אטומי יחיד,. לפסוק יש שני ערכי אמת אפשריים, ו-, ולכן בטבלת האמת של הפסוק יש שתי שורות, שורה אחת לערך האמת ושורה אחת לערך האמת. הפסוק המורכב מכיל שני פסוקים אטומיים ו-, ולכל פסוק אטומי יש שני ערכי אמת אפשריים ו-. לכן בטבלה יש 4=2 2 שורות, המתאימות למקרים אלה: )א( נכון ו- נכון, )ב( נכון ו- אינו נכון, )ג( אינו נכון ו- נכון, )ד( אינו נכון ו- אינו נכון. בהמשך נראה משפטים מורכבים המכילים שלושה פסוקים אטומיים, ו- C, ובטבלת האמת שלהם יהיו 8=2 2 2 שורות. השורה הראשונה בטבלת האמת של הפסוק אומרת שכאשר ערך האמת של הפסוק הוא וערך האמת של הפסוק הוא, גם ערך האמת של הפסוק הוא. ואכן, הפסוק ="בירושלים חיים 700,000 איש" נכון וגם הפסוק ="המרחק בין תל אביב לירושלים הוא 67 קילומטר" נכון, ולכן גם הפסוק " וגם " נכון. 17

19 מבוא ללוגיקה מתמטית אם לפחות אחד מהפסוקים ו- אינו נכון, גם הפסוק " וגם " אינו נכון. לדוגמה, אם המרחק בין תל אביב לירושלים אינו 67 קילומטר )כלומר, הפסוק אינו נכון( כי אז גם הפסוק "בירושלים חיים 700,000 איש וגם המרחק בין תל אביב לירושלים הוא 67 קילומטר" אינו נכון. לכן בשורה השנייה של הטבלה המתאימה למקרה שבו ערך האמת של הפסוק הוא וערך האמת של הפסוק הוא ערך האמת של הפסוק הוא. בדומה לכך, ערך האמת של הפסוק הוא גם כאשר ערך האמת של הוא וערך האמת של הפסוק הוא )השורה השלישית בטבלה(. ערך האמת של הפסוק הוא גם כאשר ערכי האמת של שני הפסוקים האטומיים ו- הוא )השורה הרביעית בטבלה(. במילים אחרות, הפסוק נכון רק אם גם הפסוק נכון וגם הפסוק נכון. דבר זה אינו מפתיע, שכן זוהי בדיוק המשמעות המילולית של הפסוק! 4.3. טבלת האמת של הפסוק המורכב "או" את כתיבת טבלת האמת של הפסוק המורכב "או" נשאיר לקוראים. זכרו שהפסוק נכון אם לפחות אחד משני הפסוקים או נכון. 8 טבלה זו היא טבלת האמת של הפסוק. מלאו אותה! 18

20 מתמטיקה שכדאי לדעת 4.4. טבלת האמת של פסוק תנאי הפסוק המורכב משמעו "אם אזי ". כדי לבנות את טבלת האמת של הפסוק, נתבונן בפסוק המורכב "אם תיתן לי שני שקלים אזי אני אתן לך שוקולד". זהו פסוק מורכב המכיל שני פסוקים אטומיים: = "אתה תיתן לי שני שקלים", = "אני אתן לך שוקולד". באילו מקרים ההצהרה "אם תיתן לי שני שקלים אזי אני אתן לך שוקולד" נכונה? אם אתה תיתן לי שני שקלים ואני אתן לך שוקולד אז תהיה ההצהרה נכונה. אם אתה תיתן לי שני שקלים ואני אסרב לתת לך שוקולד ההצהרה לא תהיה נכונה. ומה אם אתה לא תיתן לי שני שקלים? במקרה זה, מכיוון שלא קיימת את התנאי, אין שום סיבה שאני אקיים את המסקנה, ולכן אם לא תיתן לי שני שקלים, ההצהרה "אם תיתן לי שני שקלים אזי אני אתן לך שוקולד" נכונה, בין שאתן לך שוקולד ובין שלא אתן לך שוקולד. נתבונן בפסוק תנאי נוסף שמדגים אותה נקודה. הפסוק "אם לאימי קוראים מרדכי אזי אני אתן לך מתנה" הוא פסוק תנאי שצורתו שבו = "לאימי קוראים מרדכי", = "אתן לך מתנה". ילדים שאומרים פסוק זה ואינם נותנים מתנה אינם משקרים, משום שלאימם לא קוראים מרדכי. גם כאן, אם התנאי של הפסוק אינו נכון )לאימי לא קוראים מרדכי(, הפסוק כולו נכון, בין שהמסקנה נכונה ובין שאינה נכונה. הדיון מביא אותנו לטבלת האמת של הפסוק המורכב : 19

21 מבוא ללוגיקה מתמטית 4.5. טבלאות אמת של פסוקים מורכבים נוספים לפעמים נתון לנו פסוק מורכב עוד יותר, ואז נחשב את טבלת האמת שלו בשלבים. למשל, ננסה לרשום את טבלת האמת של הפסוק.) ( )) ( ( לשם כך נרשום טבלה בעלת 4 שורות, אחת לכל אפשרות של ערכי האמת של ושל, ו- 6 עמודות. בשתי העמודות הראשונות נרשום את ארבע האפשרויות של ערכי האמת של ושל. אנו רואים שבפסוק המורכב ) ( )) ( ( מופיעים הפסוקים ו-. לכן בשתי העמודות הבאות נמלא את ערכי האמת של פסוקים אלה: כאשר ערך האמת של הפסוק הוא, ערך האמת של הפסוק הוא, וכאשר ערך האמת של הפסוק הוא, ערך האמת של הפסוק. באופן דומה אנו ממלאים את העמודה של הפסוק. הוא כעת אפשר לחשב את ערך האמת של הפסוק. ( ) נוסיף אותו בעמודה החמישית של הטבלה. הדרך הפשוטה ביותר לעשות זאת היא להתבונן בעמודות המתאימות לפסוקים ו- שחישבנו קודם ולהשתמש בטבלת האמת של הפסוק "וגם", שגם אותה כבר חישבנו. ( ) 20

22 מתמטיקה שכדאי לדעת לסיום, נחשב את טבלת האמת של הפסוק המורכב שממנו התחלנו,.) ( )) ( ( אפשר לעשות זאת אם נתבונן בעמודות המתאימות לפסוקים ו-( (, ונשתמש בטבלת האמת של הפסוק שחישבנו בתרגיל 8. ) ( )) ( ( ( ) יש דרך קצרה יותר לחישוב טבלת האמת של פסוק, אך היא דורשת השקעת מחשבה רבה יותר. מבנהו של הפסוק ) ( )) ( ( הוא "פסוק או פסוק", ולכן הוא נכון אם לפחות אחד משני הפסוקים המרכיבים אותו נכונים, כלומר אם ערך האמת של הוא או ערך האמת של הפסוק ( ) הוא. ערך האמת של הוא אם ערך האמת של הוא וערך האמת של הפסוק ( ) הוא אם ערך האמת של הוא וערך האמת של הוא. נרשום אם כן ו- בטבלת האמת של הפסוק בשורות המתאימות למקרים אלה: ערך האמת של הוא )שורות שלישית ורביעית( וערך האמת של הוא ושל הוא )שורה שנייה(. בשורה הנותרת ערך האמת של הפסוק ) ( )) ( ( אינו, ולכן הוא. נרשום זאת בשורה הראשונה של טבלת האמת. לסיכום, טבלת האמת של הפסוק ) ( )) ( ( היא זו: ) ( )) ( ( באופן לא מפתיע, קיבלנו אותה תוצאה בשתי הדרכים שבהן ערכנו את חישוב ערכי האמת. 21

23 מבוא ללוגיקה מתמטית 9 חשבו את טבלת האמת של הפסוק.) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ( ) 10 חשבו את טבלת האמת של הפסוק.)C ( )) (( ) ( (C ( )) (( ) ) ( ) C ( ) C 22

24 מתמטיקה שכדאי לדעת 11 חשבו את טבלת האמת של הפסוק.) ( C)) (( ) C( ( ( C)) (( ) C) ( ) C ( C) C C כפי שאמרנו, טאוטולוגיה היא פסוק שערך האמת שלו תמיד "אמת" בטבלת האמת שלו מתקבל אך ורק הערך. ואילו סתירה הוא פסוק שערך האמת שלו תמיד "שקר" בטבלת האמת שלו מתקבל אך ורק הערך. 12 אילו מהפסוקים הבאים הם טאוטולוגיות, אילו סתירות ואילו אינם טאוטולוגיות ואינם סתירות? אפשר להיעזר בטבלה המופיעה אחרי התרגיל. כשתמלאו את הטבלה, פסוק שהעמודה המתאימה לו מכילה פעמיים את הסימן הוא טאוטולוגיה, פסוק שהעמודה המתאימה לו מכילה פעמיים את הסימן הוא סתירה, ופסוק שהעמודה המתאימה לו מכילה הן והן אינו טאוטולוגיה ואינו סתירה. פסוק טאוטולוגיה סתירה לא טאוטולוגיה ולא סתירה א. ב. ( ) ג. ד. ( ) 23

25 מבוא ללוגיקה מתמטית ( ) ( ) 13 אילו מהפסוקים הבאים הם טאוטולוגיות, אילו סתירות ואילו אינם טאוטולוגיות ואינם סתירות? אפשר להיעזר בטבלאות המופיעות אחרי התרגיל. פסוק טאוטולוגיה סתירה לא טאוטולוגיה ולא סתירה א. ב. ) ( ג. ) (( ) ( )) (( ) ד. ( ) ( ( )) (( ) ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 24

26 מתמטיקה שכדאי לדעת לעתים נתונה לנו טבלת אמת ואנחנו צריכים לרשום את הפסוק המתאים לה. נתבונן בטבלת האמת הזו, למשל: פסוק האם אנחנו יכולים למצוא פסוק שזוהי טבלת האמת שלו? בטבלה יש שורה אחת בלבד שבה ערך האמת הוא השורה השנייה. בשורה זו, ערך האמת של הפסוק הוא וערך האמת של הפסוק הוא. במילים אחרות, הפסוק שלנו יהיה נכון רק כאשר נכון ו- אינו נכון. פסוק שמקיים את התכונה הזו הוא הפסוק. ( ) אם אינכם בטוחים בכך, השוו את הטבלה שהבאנו כאן לטבלת האמת של הפסוק ( ) שחישבתם בתרגיל 13. ומה באשר לטבלת אמת זו: פסוק טבלה זו נכונה בשני מקרים: כאשר נכון ו- אינו נכון. כאשר אינו נכון ו- אינו נכון. ראינו בדוגמה הקודמת שהפסוק ( ) נכון רק כאשר נכון ו- אינו נכון )המקרה הראשון(. בדומה לכך, הפסוק ( ) ( ) נכון רק כאשר אינו נכון ו- אינו נכון )המקרה השני(. פסוק שערך האמת שלו הוא בשני מקרים אלה הוא הפסוק (( ) ( ((.)) ( )) אם אינכם מבינים מדוע זו אכן טבלת האמת של הפסוק, חשבו את טבלת האמת שלו בעזרת הטבלה שלהלן. 25

27 מבוא ללוגיקה מתמטית ( ( )) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) כפי שרואים בטבלה שמילאתם, בטבלת האמת של הפסוק ( ) יש סימון אחד בלבד בשורה המתאימה למקרה הראשון. גם בטבלת האמת של הפסוק ( ) ( ) מופיע סימון יחיד בשורה המתאימה למקרה השני. כאשר נחשב את טבלת האמת של הפסוק (( ) ( )),( ( )) נקבל סימון בכל שורה שבה יש בטבלת האמת של ( ) או בטבלת האמת של.( ) ( ) ולכן נקבל בה שני סימוני, כפי שרצינו. אמנם הצלחנו למצוא פסוק שטבלת האמת שלו היא: פסוק אך יש פסוקים נוספים, ואפילו קצרים, שזוהי טבלת האמת שלהם. נראה פסוק אחד כזה. נשים לב שהעמודה השמאלית הפוכה לעמודה של הפסוק : כאשר ערך האמת של הפסוק הוא, ערך האמת של הפסוק שאותו אנחנו רוצים לבנות הוא, וכאשר ערך האמת של הפסוק הוא, ערך האמת של הפסוק שאותו אנחנו רוצים לבנות הוא. מכאן שהפסוק שאותו אנחנו רוצים לבנות הוא. 14 רשמו פסוק שזוהי טבלת האמת שלו: פסוק תשובה: 26

28 מתמטיקה שכדאי לדעת 5. שקילות של פסוקים בסעיף זה נגדיר באילו נסיבות שני פסוקים הם פסוקים שקולים. נסמן = "חזרתי הביתה", = "דיברתי עם אבא". הפסוק ( ) אומר שלא נכון שחזרתי הביתה ודיברתי עם אבא. אם לא נכון שחזרתי הביתה ודיברתי עם אבא, הרי שלא חזרתי הביתה או לא דיברתי עם אבא, או ששני חלקי המשפט אינם מתקיימים, כלומר לא חזרתי הביתה ולא דיברתי עם אבא. כלומר, הפסוק ( ) שקול לפסוק.( ) ( ) נרשום את טבלאות האמת של שני פסוקים אלה: ( ) ( ) ( ) אנו רואים שטבלת האמת של הפסוק ( ) זהה לטבלת האמת של הפסוק.( ) ( ) שני פסוקים נקראים שקולים אם יש להם אותה טבלת אמת. את השקילות של שני פסוקים נסמן באמצעות הסימן. למשל, נכתוב: ( ) ( ). ( ) 15 רשמו אילו מזוגות הפסוקים שבטבלה שקולים. אפשר להיעזר בטבלה שבסוף התרגיל. פסוק ראשון פסוק שני שקולים לא שקולים.1 ( ) ( ).2 ( ).3 ( ).4 ( ).5 27

29 28 תיטמתמ הקיגולל אובמ.הלבטב רזעיהל רשפא?( C) קוספל לוקש ) ) ( C( קוספה םאה 16 :הבושת C

30 6. כללי היסק מתמטיקה שכדאי לדעת הלוגיקה היא שפה מדויקת ולכן היא מאפשרת לפתח כללים שבעזרתם אפשר להוכיח טיעונים שונים. בסעיף זה נבנה כמה כללי היסק שיאפשרו לנו להוכיח טיעונים כלל ההיסק החיובי נתבונן בדו-שיח בין גיל לאימא. גיל: המורה שלי לחשבון למדה באוניברסיטה. אימא: כיצד אתה יודע זאת? גיל: כדי לקבל תעודת הוראה מורה צריך ללמוד באוניברסיטה, ולמורה שלי יש תעודת הוראה. כלומר, היא למדה באוניברסיטה. גיל מוכיח את הטענה שלו "המורה לחשבון למדה באוניברסיטה" בעזרת שרשרת של טיעונים לוגית. האם דרך ההוכחה של גיל נכונה? נסמן = "למורה יש תעודת הוראה", = "המורה למדה באוניברסיטה". גיל טוען שהפסוק נכון ושהפסוק נכון, ומכאן הוא מסיק כי הפסוק נכון. כדי לראות אם הטיעון של גיל נכון, נתבונן בטבלת האמת של הפסוק : השורה היחידה שבה ערך האמת של הפסוק הוא וערך האמת של הפסוק הוא היא השורה הראשונה )הצבועה באפור( ובשורה זו ערך האמת של הפסוק הוא. מכאן אנו מסיקים כי אם ערך האמת של הפסוק הוא וכן ערך האמת של הפסוק הוא כי אז בהכרח ערך האמת של הפסוק הוא. ולכן הטיעון של גיל נכון: אם למורה יש תעודת הוראה ואם כדי לקבל תעודת הוראה יש ללמוד באוניברסיטה, כי אז בהכרח המורה למדה באוניברסיטה. 29

31 מבוא ללוגיקה מתמטית נסכם את כלל ההיסק שבו השתמש גיל: כלל ההיסק החיובי: אם הפסוק נכון והפסוק נכון, כי אז גם הפסוק נכון. אפשר להשתמש בכלל ההיסק החיובי פעמים אחדות כדי להוכיח טענה. לשם כך נבחן דו-שיח נוסף בין רונית לאבא. רונית: אבא, היום אנחנו צריכים ללכת לאכול גלידה? אבא: מדוע? רונית: נכון שאתה ואימא גאים בי כאשר אני מקבל 95 בבחינה? אבא: נכון. רונית: ונכון שבכל פעם שמישהו במשפחה עושה משהו שאנחנו גאים בו, המשפחה הולכת לאכול גלידה? אבא: נכון. רונית: קיבלתי 95 בבחינה בגיאוגרפיה. לכן צריך ללכת לאכול גלידה. נבדוק שרונית השתמשה בשיחה פעמיים בכלל ההיסק החיובי. לשם כך נסמן: = "קיבלתי 95 בבחינה בגיאוגרפיה", = "אימא ואבא גאים בי", = C "בני המשפחה הולכים לאכול גלידה". רונית אומרת שהפסוק נכון, הפסוק נכון והפסוק C נכון. מכיוון שהפסוקים ו- נכונים, מכלל ההיסק החיובי גם הפסוק נכון: אימא ואבא גאים ברונית. מכיוון שהפסוקים ו- C נכונים, אפשר להשתמש בכלל ההיסק החיובי פעם נוספת ולקבל שגם הפסוק C נכון: יש ללכת לאכול גלידה כלל ההיסק החיובי: תנאי מספיק והכרחי אפשר להתבונן בכלל ההיסק החיובי בדרך נוספת: אם הפסוק נכון, הרי שנכונותו של הפסוק גוררת את נכונותו של הפסוק. לדוגמה, נסמן = "השמיים נקיים מעננים", = "אפשר לראות את השמש מראש הגבעה". הפסוק " " נכון: לכן, כאשר התנאי מתקיים כלומר כאשר השמיים נקיים מעננים בהכרח המסקנה מתקיימת ואפשר לראות את השמש מראש הגבעה. נכונותו של התנאי די בה כדי לגזור את נכונות המסקנה. מסיבה זו נאמר שהפסוק הוא תנאי מספיק לנכונותו של הפסוק. 30

32 מתמטיקה שכדאי לדעת נבחן כעת כמה דוגמאות נוספות של משפטים שהם תנאי מספיק להתקיימותו של משפט אחר. המשפט הזה הוא תנאי מספיק קיבלתי 100 במבחן בספרות הבקעתי היום שער נתתי לאימא נשיקה על הלחי שמי הוא גיל להתקיימותה של המסקנה אימא ואבא גאים בי שיחקתי היום כדורגל פגשתי את אימא בשם שלי יש שלוש אותיות המשפטים המופיעים בעמודה הימנית הם תנאי מספיק להתקיימותם של המשפטים המופיעים בעמודה השמאלית: כאשר אני מקבל 100 במבחן, ההורים שלי גאים בי. אם הבקעתי שער, בהכרח שיחקתי כדורגל. אם נתתי לאימא נשיקה, בהכרח פגשתי אותה. ואם שמי גיל, הלוא בשמי יש שלוש אותיות. נשים לב שלא הכרחי שהפסוק בעמודה הימנית יהיה נכון כדי שהפסוק בעמודה השמאלית יהיה נכון: ייתכן שהתנאי אינו מתקיים )השמיים אינם נקיים מעננים( ובכל זאת המסקנה מתקיימת )אפשר לראות את השמש מראש הגבעה(. דבר זה קורה, למשל, אם בשמיים יש עננים שאינם מכסים את השמש. במקרה זה, ביום חמישי התנאי אינו מתקיים והמסקנה מתקיימת. גם הדוגמאות שהבאנו בטבלה הן של תנאים מספיקים שאינם הכרחיים: ייתכן שאבא ואימא גאים בי אף שלא קיבלתי 100 בבחינה בספרות, למשל הם גאים בי משום שעזרתי לסבא בעבודות הבית; ייתכן ששיחקתי כדורגל אבל לא הבקעתי שער; ייתכן שפגשתי את אימא אבל לא נשקתי לה; וייתכן שבשם שלי שלוש אותיות אבל שמי אינו גיל )משום ששמי דנה(. הנה דוגמאות אחדות של משפטים שהם תנאי הכרחי להתקיימותן של מסקנות: המשפט הזה הוא תנאי הכרחי קיבלתי ציון 100 במבחן האחרון בספרות אלך היום לבית הספר אגיע היום לשדה התעופה להתקיימותה של המסקנה אקבל ציון 100 בספרות בתעודת סוף שנה אפגוש היום את המורה לאזרחות אטוס היום לחו ל כדי לקבל ציון 100 בספרות בתעודת סוף השנה עלי לקבל ציון 100 בכל המבחנים בספרות, ובפרט היה עלי לקבל ציון 100 במבחן האחרון. כדי לפגוש את המורה לאזרחות אני חייב לבקר בבית הספר. וכדי לטוס לחו"ל אני חייב להגיע לשדה התעופה. 31

33 מבוא ללוגיקה מתמטית נשים לב שהמשפטים בעמודה הימנית אינם תנאים מספיקים להתקיימות המסקנות בעמודה השמאלית: ייתכן שקיבלתי ציון 100 במבחן האחרון בספרות אבל לא אקבל ציון 100 בספרות בתעודת סוף השנה, למשל משום שלא אקבל 100 במבחנים האחרים בספרות השנה. ייתכן שאלך לבית הספר אבל לא אפגוש את המורה לאזרחות, למשל מפני שהיא חולה או אינה מלמדת את הכיתה היום. וייתכן שאגיע היום לשדה התעופה אך לא אטוס לחו"ל, משום שבאתי לקבל את פניה של אחותי, שחזרה מטיול בהודו. 17 במקרים שבטבלה, רשמו אם התנאי הוא תנאי מספיק ולא הכרחי, תנאי הכרחי ולא מספיק, או תנאי הכרחי ומספיק לטענה. היום יום שלישי תנאי מחר יום רביעי מסקנה תנאי הכרחי כן תנאי מספיק כן לצורה זו יש ארבע צלעות לצורה זו יש ארבע צלעות אשחק כדורגל יצור זה הוא יונק יצור זה הוא אדם רון הוא אחי צורה זו היא ריבוע צורה זו היא מרובע אבקיע שער במשחק כדורגל יצור זה הוא אדם יצור זה הוא יונק רון הוא בן ויש לנו אותו הורה 32

34 מתמטיקה שכדאי לדעת 6.3. כלל ההיסק והצבות של משפטים מורכבים כלל ההיסק החיובי אומר כי אם הפסוק נכון והפסוק נכון, גם הפסוק נכון. את האותיות ו- המופיעות בכלל ההיסק אפשר לשנות. למשל, אפשר לכתוב D במקום ואז כלל ההיסק החיובי יאמר שאם הפסוק D נכון ואם הפסוק D נכון הרי שגם הפסוק נכון. כעת, אפשר להחליף את הפסוק המופיע בכלל ההיסק החיובי בפסוק אחר, למשל ב-. מכאן נקבל שאם הפסוק D ( ) נכון ואם D נכון כי אז גם הפסוק נכון, כלומר הפסוק אינו נכון. דוגמה לכך נראה בדו-שיח זה: גיל: אם הגובה שלי היה מטר וחמישים, לא הייתי משחק בנבחרת הכדורגל. אימא: אבל הגובה שלך הוא מטר וחמישים. גיל: ובאמת אינני משחק בנבחרת הכדורגל. גיל השתמש בשני פסוקים: = "הגובה שלי מטר וחמישים" = C "אני משחק בנבחרת הכדורגל", וטען שהפסוק ( C) נכון. אימא טענה שהפסוק נכון, ולכן מכלל ההיסק החיובי נובע שהפסוק C נכון אף הוא, כלומר הפסוק C אינו נכון. 33

35 מבוא ללוגיקה מתמטית 6.4. כלל ההיסק השלילי יום אחד גיל חזר הביתה והתלונן. גיל: היום לא הבנתי את החומר. אימא: למה לא הקשבת בשיעור? גיל: מה? איך את יודעת שלא הקשבתי בשיעור? אימא: כאשר אתה מקשיב בשיעור אתה מבין את החומר. אם לא הבנת את החומר, סימן שלא הקשבת בשיעור! מתברר שגם אימא יודעת להסיק מסקנות בעזרת כללי היסק. נסמן: = "גיל מקשיב בשיעור", = "גיל מבין את החומר". אימא אומרת כי הפסוק נכון, וגיל הודה כי הפסוק אינו נכון. מכאן אימא הסיקה כי הפסוק. אינו נכון. האם אימא צודקת? כדי לדעת זאת, נרשום שוב את טבלת האמת של הפסוק השורה היחידה בטבלת האמת שבה הפסוק אינו נכון והפסוק נכון היא השורה הרביעית )המסומנת באפור(, ובה הפסוק אינו נכון. לכן אימא צודקת וגיל לא הקשיב בשיעור. 34

36 מתמטיקה שכדאי לדעת 18 דן מספר לחברו יובל: "בכל פעם שאני מבקר את בת דודתי יעל אנחנו משחקים שחמט, ובכל פעם שאנחנו משחקים שחמט יעל מנצחת אותי. בשבת האחרונה יעל לא ניצחה אותי בשחמט". "אם כך", אומר יובל, "לא ביקרת השבת את יעל". בתרגיל זה נרשום את הכללים שבהם השתמש יובל כדי להגיע למסקנה שדן לא ביקר את יעל. א. רשמו במילים את הפסוקים שדן מתאר בסיפורו: = = = C ב. רשמו בשפת תחשיב הפסוקים את הפסוקים שדן מצהיר שהם נכונים. ג. רשמו את כל כללי ההיסק שיובל השתמש בהם כדי להגיע למסקנה שדן לא ביקר את יעל, ומה הוא הסיק מכל כלל היסק. 35

37 מבוא ללוגיקה מתמטית 6.5. כללי היסק נוספים יש כללי היסק רבים נוספים. למשל: או כלל ההיסק "וגם": אם הפסוק נכון, כי אז הפסוק נכון אף הוא. כלל ההיסק "או" השלילי: אם הפסוק נכון והפסוק אינו נכון, כי אז הפסוק נכון. כדי להשתכנע שכללי היסק אלו נכונים, נרשום את טבלאות האמת של הפסוקים )מימין( ו- )משמאל(. בטבלת האמת של הפסוק )משמאל( סימ נו את השורה היחידה שבה הפסוק נכון, ובשורה זו הפסוק נכון. לכן כלל ההיסק "אם הפסוק נכון כי אז הפסוק נכון אף הוא" מתקיים. בדומה לכך, בטבלת האמת של הפסוק )מימין( סימ נו את השורה היחידה שבה הפסוק אינו נכון והפסוק נכון, ובשורה זו הפסוק נכון. לכן כלל ההיסק "אם הפסוק נכון והפסוק אינו נכון כי אז הפסוק נכון" מתקיים. 19 הסבירו מדוע מתקיים כלל ההיסק: "אם נכון אזי נכון". אפשר להיעזר בטבלת האמת של הפסוק המופיעה למעלה. 36

38 מתמטיקה שכדאי לדעת 20 הסבירו מדוע מתקיים כלל ההיסק: "אם אינו נכון אזי אינו נכון". אפשר להיעזר בטבלת האמת של הפסוק. 21 רונית מספרת לאבא: "הלכתי לבית הספר וראיתי את חברתי דנה. אם הלכתי לבית הספר, הרי שראיתי את המורה. אתה יודע שאם המורה הייתה חולה לא הייתי רואה אותה בבית הספר". "אם כך", אומר אבא, "המורה לא הייתה חולה היום!" א. רשמו את הפסוקים שרונית מתארת בסיפורה: = = = C = D ב. רשמו בסימונים מתמטיים את הפסוקים שרונית מצהירה שהם נכונים: 37

39 מבוא ללוגיקה מתמטית ג. רשמו את כל כללי ההיסק שבהם השתמש אבא כדי להגיע למסקנה שהמורה לא הייתה חולה, ומה הוא הסיק מכל כלל היסק: 22 נקשיב לשיחה בין גיל לאימא: גיל: אילו היה לי כסף הייתי קונה גלידה. אימא: אם מה שאמרת היה נכון, היה לך כאב שיניים. גיל: אבל אין לי כאב שיניים. אימא: אם כך, לא היה לך כסף. נסמן: = "לגיל היה כסף", = "גיל קנה גלידה", = C "לגיל יש כאב שיניים". רשמו בסימונים מתמטיים את הפסוקים שגיל טוען שהם נכונים: רשמו בסימונים מתמטיים את הפסוק שאימא אומרת שהוא נכון: הסבירו כיצד הגיעה אימא למסקנה שלגיל לא היה כסף: 38

40 7. כ מ תים מתמטיקה שכדאי לדעת לפעמים אנחנו רוצים לייצג פסוקים המתייחסים לקבוצה של אנשים או של עצמים. הנה דוגמאות אחדות: 1 כל 1. ילדי הכיתה למדו ש ב ת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה. 2 כל 2. תלמיד שממוצע ציוניו גבוה מ- 09 קיבל תעודת הצטיינות. 3 כל 3. אחד מהילדים בכיתה מכיר לפחות ילד אחד בכיתה המקבילה. 4 יש 4. ילדים בכיתה שמכירים את כל הילדים בכיתה המקבילה. 5 יש 5. לפחות שלושה תלמידים בכיתה שכל אחד מהם מכיר לפחות שני תלמידים בכיתה המקבילה. בסעיף זה נרחיב את שפת תחשיב הפסוקים: נוסיף שתי אותיות הנקראות "כ מ תים", המאפשרות להביע פסוקים כאלה. כ מ ת אחד מסמן את המילה "לכל", והכ מ ת האחר מסמן את המילה "יש". המילה "כ מ ת" מקורה במילה "כמו ת", שכן הסימונים מאפשרים להביע פסוקים המתייחסים לכמויות הכמת "לכל" כיצד נכתוב את הפסוק "כל ילדי הכיתה למדו ש בת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה"? דרך אחת היא לכתוב את המשפט באמצעות פסוק אטומי: = "כל ילדי הכיתה למדו שבת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה". דרך זו מסתירה את העובדה שלפסוק יש מבנה מיוחד, ושהוא מדבר על עובדה המתקיימת לכל ילדי הכיתה. דרך אחרת היא לסמן = "דני למד שבת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה", = C "רונית למדה שבת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה", = D "גיל למד שבת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה", וכן הלאה: לכל ילד בכיתה נסמן פסוק המציין את העובדה שהוא למד שבת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה. במצב זה, הפסוק יהיה הפסוק המורכב " וגם C וגם D וגם...". שיטת ייצוג זו מרמזת לנו שהפסוק הוא פסוק מורכב ושהוא מתקיים רק אם פסוקים אחרים מתקיימים הפסוקים D C,, וכל הפסוקים הנוספים המתאימים לילדי הכיתה האחרים. אך היא אינה מבהירה שלפסוקים D C,, ולכל הפסוקים הנוספים יש מבנה זהה: בכולם ילד מסוים למד שבת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה. 39

41 מבוא ללוגיקה מתמטית 40 כדי לקצר את הכתיבה, אפשר להגדיר פסוק (x) כך: (x) = "הילד x למד שבת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה". האות האנגלית x אינה מייצגת שם של ילד מסוים אלא היא מייצגת משתנה: היא יכולה לייצג כל שם של ילד בקבוצת ילדים מסוימת. אנו מדברים כאן על קבוצת ילדי הכיתה, ולכן הערך של המשתנה x יכול להיות כל אחד מהשמות של ילדי הכיתה. לקבוצה זו נקרא "תחום ההגדרה של המשתנה x". תחום ההגדרה של משתנה הוא קבוצת הערכים שאותם המשתנה יכול לקבל. אם x= עומר, אזי (x) הוא בעצם )עומר(, והפסוק הוא "עומר למד שבת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה". אם x= גילה, אזי (x) הוא )גילה(, והפסוק הוא "גילה למדה שבת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה". אם איננו יודעים מהו הערך של המשתנה (x) x, אינו פסוק: כל עוד איננו יודעים איזה ילד מייצג x, המשפט (x) אינו הצהרה שיכולה להיות נכונה או לא נכונה. אם נדע מה הערך של המשתנה x רק אז (x) יהיה פסוק, שכן רק אם הערך של x ידוע אפשר לומר אם (x) נכון או לא. למשל, אם גילה למדה שבת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה, הפסוק )גילה( נכון. אך אם עומר היה חולה כאשר המורה לימדה את הנושא, הרי שהפסוק )עומר( אינו נכון. כזכור, הפסוק הוא = "כל ילדי הכיתה למדו שבת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה". ולכן הפסוק הוא: "לכל ילד x בכיתה הפסוק."(x) בשפה הלוגית, את המילה "לכל" רושמים בתו, שהוא האות האנגלית במהופך. אות זו היא האות הראשונה במילה האנגלית,all שפירושה "כל". את הפסוק "לכל ילד x בכיתה הפסוק (x) נכון" נרשום בקיצור כך: x((x)) כתמיד, את הפסוק מתחילים לקרוא מצד שמאל. מתחילים בסימן שאותו אנו קוראים "לכל", אחריו מגיע המשתנה x, ואחריו הפסוק.(x) את הפסוק x((x)) נקרא: "לכל x הפסוק."(x) תמיד יש לציין את תחום ההגדרה של x, שבמקרה שלנו הוא ילדי הכיתה. מובן שאפשר להשתמש במשתנה אחר במקום המשתנה x, למשל y או z. כך, אם תחום ההגדרה של y הוא קבוצת כל הבתים בעולם, ו- C(y) = "לבית y יש גג",

42 מתמטיקה שכדאי לדעת כי אז הפסוק y(c(y)) אומר שלכל הבתים בעולם יש גג. אם תחום ההגדרה של z הוא כל תושבי ישראל שגילם מעל 18 שנים, ו- =D(z) "האדם z הצביע בבחירות האחרונות לכנסת", כי אז הפסוק z(d(z)) אומר שכל תושבי ישראל שגילם מעל 18 שנים הצביעו בבחירות האחרונות לכנסת. כיצד נכתוב בשפת תחשיב הפסוקים: "אם יהיה לנו היום שיעור תנ"ך, אזי כל הילדים בכיתה ילמדו שבת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה"? לשם כך נשתמש בפסוקים אלה: = E "יהיה היום שיעור תנ"ך", (x) = "הילד x ילמד שבת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה", תחום ההגדרה של המשתנה x הוא כל ילדי הכיתה. הפסוק "אם יהיה לנו היום שיעור תנ"ך, אזי כל הילדים בכיתה ילמדו שבת-פרעה מצאה את משה שט בתיבה" ייכתב כך: E x((x)) יש מקרים שבהם נשתמש ביותר ממשתנה אחד במשפט. למשל, כדי לכתוב את הפסוק "כל הילדים בכיתה מכירים את כל הילדים בכיתה המקבילה" נזדקק לשני משתנים: משתנה x, שתחום ההגדרה שלו הוא כל ילדי הכיתה, ומשתנה y, שתחום ההגדרה שלו הוא כל ילדי הכיתה המקבילה. אם נסמן: y", מכיר את ילד x "ילד = (x,y) את הפסוק "כל הילדים בכיתה מכירים את כל הילדים בכיתה המקבילה" נכתוב כך: x y((x,y)) 23 נתבונן בפסוק: "לכל המכוניות בעולם יש ארבעה גלגלים". הציגו את הפסוק בשפת תחשיב הפסוקים וציינו את תחום ההגדרה של המשתנה שבו אתם משתמשים. הפסוק C(x) = תחום ההגדרה של המשתנה x: הפסוק בשפת תחשיב הפסוקים: 41

43 מבוא ללוגיקה מתמטית 24 נסמן (x) = "ילדה x הגיעה היום לבושה בחצאית ירוקה"; תחום ההגדרה הוא קבוצת כל הבנות בכיתה. רשמו את המשמעות המילולית של הפסוקים: א. )אירית( : ב. )טלי( : ג. ()דינה) ) ()ירדן( ): ד. ()דינה) ) ()ירדן( ): ה. : x((x)) ו. )דני( : דני הוא בן שלומד בכיתה, ומכיוון שאינו נמצא בתחום ההגדרה של המשתנה x, המשפט )דני( אינו פסוק. 25 נתבונן בפסוק: = E "אם לכל ילד בכיתה היו שני אחים, אזי ביום הספורט אפשר היה לארגן משחק כדורגל". נסמן: (x) = "לילד x יש שני אחים", = "ביום הספורט אפשר היה לארגן משחק כדורגל". תחום ההגדרה של x: רשמו את הפסוק E באמצעות (x), והכמת : 26 נסמן: (x) = "הילד x הגיע היום לבית הספר", (x) = "הילד x שמע הרצאה על האדם הקדמון". תחום ההגדרה של המשתנה x הוא קבוצת ילדי הכיתה. רשמו את המשמעות המילולית של הפסוקים: 42

44 מתמטיקה שכדאי לדעת א. : x((x) (x)) כל הילדים בכיתה הגיעו היום לבית הספר ושמעו הרצאה על האדם הקדמון. ב. (x)) : x((x) ג. x((x)) : x((x)) ד. תנו דוגמה למקרה שבו ערך האמת של הפסוק בסעיף ב' הוא "אמת" וערך האמת של הפסוק בסעיף ג' הוא "שקר": ה. ( (x))) : x((x) כמו לכל פסוק, גם לפסוק x((x)) יש ערך אמת. הפסוק x((x)) נכון אם לכל ערך x בתחום ההגדרה מתקיים הפסוק,(x) והוא אינו נכון אם לפחות לערך אחד בתחום ההגדרה של x הפסוק (x) אינו נכון. 27 קיבעו את ערך האמת של הפסוק x((x)) לכל אחת מההגדרות הנתונות של :(x) (x) 1 לילד 1. x יש לב תחום ההגדרה של המשתנה x כל ילדי הכיתה שקר אמת לפעמים אמת ולפעמים שקר 43 2 למדינה 2. x יש נשיא 0 x לילד 4. x אין שיער ג ינג י 5 לאדם 5. x יש בדיוק 3 ילדים כל מדינות העולם כל המספרים כל ילדי הכיתה כל אנשי העולם

45 מבוא ללוגיקה מתמטית 7.2. הכמת "י ש" הכ מ ת "יש" דומה לכמת "לכל" והוא מאפשר לנו לכתוב פסוקים כדוגמת הפסוק "יש ילד בכיתה ששערו ג'ינג'י". נסמן: (x) = "לילד x יש שיער ג'ינג'י". כאשר תחום ההגדרה של המשתנה x הוא ילדי הכיתה, הפסוק "יש ילד בכיתה ששערו ג'ינג'י" נרשם כך: x((x)) הסימן הוא האות האנגלית E במהופך, ואות זו היא האות הראשונה במילה האנגלית,exist שמשמעותה "קיים". לכן סימן זה נבחר לציין את המילה "קיים" בשפת תחשיב הפסוקים. 28 נתבונן בפסוק: "יש מדינה שבירתה לונדון". רשמו את תחום ההגדרה של המשתנה x ואת המשמעות המילולית של המשפט (x) שעבורם הפסוק x((x)) מייצג את הפסוק "יש מדינה שבירתה לונדון". תחום ההגדרה של המשתנה x: " " = (x) 44

46 מתמטיקה שכדאי לדעת 7.3. "יש לפחות שני ילדים ש..." הכמת "לכל" מאפשר להביע פסוקים האומרים שתכונה מסוימת מתקיימת לכל האיברים בקבוצה מסוימת, ואילו הכמת "יש" מאפשר להביע פסוקים האומרים שתכונה מסוימת מתקיימת לפחות לאחד האיברים בקבוצה. יש פסוקים נוספים המתייחסים לכמויות, למשל "יש לפחות שני ילדים בכיתה שקוראים להם עומר", או "יש לכל היותר ילד אחד בכיתה שקוראים לו דוד". נראה עכשיו כיצד אפשר להביע משפטים כאלה באמצעות הכמתים "לכל" ו"יש". כיצד נרשום בשפת תחשיב הפסוקים את הפסוק: "יש בכיתה לפחות שני ילדים ששמם עומר"? כדי שבכיתה יהיו לפחות שני ילדים ששמם עומר, צריך שיהיה בכיתה ילד x ששמו עומר, שיהיה בכיתה ילד y ששמו עומר, ושהילד x יהיה שונה מהילד y. נסמן אם כן: (x) = "שמו של הילד x הוא עומר",."x=y" = (x,y) כלומר, ערך האמת של (x,y) הוא "אמת" רק כאשר x ו- y הם אותו ילד. אם x ו- y מייצגים שני ילדים בכיתה, המשפט הבא אומר ששמו של x הוא עומר, שמו של y הוא עומר, ו- x ו- y אינם אותו ילד: (x) (y) ( (x,y)) בכיתה יש לפחות שני ילדים ששמם עומר אם קיימים ילד x וילד y שעבורם מתקיים המשפט האחרון, כלומר: x y ((x) (y) ( (x,y))) 29 בעזרת (x) ו-( (x,y הרשומים למעלה רשמו בתחשיב הפסוקים: "יש בכיתה לפחות שלושה ילדים ששמם עומר". שימו לב שיש להשתמש בשלושה משתנים x, z y, כדי לתאר שלושה ילדים. 45

47 מבוא ללוגיקה מתמטית 7.4. "יש לכל היותר ילד אחד ש..." כאשר (x) = "לילד x יש שיער ג'ינג'י", ותחום ההגדרה של x הוא ילדי הכיתה, הפסוק x((x)) אומר שיש לפחות ילד אחד בכיתה ששיערו ג'ינג'י. כיצד נכתוב שיש לכל היותר ילד אחד ששיערו ג'ינג'י? נקשיב לשיחה הבאה בין אבא לרונית, שבה רונית מנסה להסביר לאבא כיצד לכתוב פסוק זה. רונית: אם יש לכל היותר ילד אחד ששיערו ג'ינג'י, לא יכול להיות שיש שני ילדים ג'ינג'ים בכיתה. לכן, אם אתה מצביע על ילד ג'ינג'י וגם אני מצביעה על ילד ג'ינג'י אנחנו מצביעים על אותו ילד! אבא: בסדר. רונית: נשתמש במשפט (x,y) שהגדרנו קודם ושמשמעותו היא."x=y" תחום ההגדרה של x ושל y הוא כל ילדי הכיתה. המשתנה x יציין את הילד שעליו אתה מצביע, והמשתנה y יציין את הילד שעליו אני מצביעה. הפסוק הבא אומר שאם x ו- y הם ג'ינג'ים, הם אותו ילד: ((x) (y)) (x,y) והפסוק הבא אומר שכל זוג ילדים שעליהם נצביע אם שניהם ג'ינג'ים הם אותו ילד, והדבר קורה רק כאשר בכיתה יש לכל היותר ילד ג'ינג'י אחד. x y ( ((x) (y)) (x,y) ) אבא: אני חושב שאפשר לרשום את הפסוק הזה בדרך נוספת. נניח שיש לכל היותר ילד ג'ינג'י אחד. אם אני מצביע על ילד x ג'ינג'י ואת מצביעה על ילד y אחר, אז הילד y שעליו אתה מצביע אינו ג'ינג'י. רונית: הגיוני מאוד. אבא: בשפת תחשיב הפסוקים, המשפט שאמרתי הוא: ((x) ( (x,y))) ( (y)) לכן גם פסוק זה אומר שבכיתה יש לכל היותר ילד ג'ינג'י אחד: x y ( ((x) ( (x,y))) ( (y)) ) 46

48 מתמטיקה שכדאי לדעת 30 בתרגיל זה נראה שאת הפסוק "יש בכיתה לכל היותר ילד ג'ינג'י אחד" אפשר לכתוב כך: x y ( (x,y) ((x) ( (y))) ) א. רשמו במילים את משמעות הביטוי ( (y))) :(x,y) ((x) ב. הסבירו מדוע הפסוק ) ( (y))) x y ( (x,y) ((x) אומר שיש בכיתה לכל היותר ילד ג'ינג'י אחד: 31 בתרגיל זה נרשום בשפת תחשיב הפסוקים את הפסוק: "יש בדיוק מדינה אחת שבירתה לונדון". נשים לב שהפסוק "יש בדיוק מדינה אחת שבירתה לונדון" שקול לפסוק "יש לפחות מדינה אחת שבירתה לונדון וגם יש לכל היותר מדינה אחת שבירתה לונדון". נסמן D(x) = "בירתה של המדינה x היא לונדון". א. תחום ההגדרה של x הוא: ב. רשמו בשפת תחשיב הפסוקים את הפסוק "יש לפחות מדינה אחת שבירתה לונדון": ג. רשמו בשפת תחשיב הפסוקים את הפסוק "יש לכל היותר מדינה אחת שבירתה לונדון". השתמשו בפסוק (x,y)."x=y" = ד. רשמו בשפת תחשיב הפסוקים את הפסוק "יש בדיוק מדינה אחת שבירתה לונדון": 47

49 מבוא ללוגיקה מתמטית 7.5. "כל ילד בכיתה מכיר ילד בכיתה המקבילה" בכל הפסוקים שרשמנו עד כה הופיעו הכמת "לכל" )ייתכן שפעמים אחדות( או הכמת "יש" )ייתכן שפעמים אחדות(. נראה עכשיו כיצד אפשר להשתמש בשני כמתים אלה כדי לרשום את הפסוק "כל ילד בכיתה מכיר ילד בכיתה המקבילה". דרך אחת לרשום את הפסוק הזה היא לסמן: C(x) = "הילד x מכיר ילד בכיתה המקבילה". אם תחום ההגדרה של x הוא כל ילדי הכיתה, אזי הפסוק x(c(x)) אומר שכל ילד בכיתה מכיר ילד בכיתה המקבילה. יש דרך נוספת לרשום את הפסוק. נסמן: y. מכיר את הילד x הילד = D(x,y) אם תחום ההגדרה של x הוא כל ילדי הכיתה ותחום ההגדרה של y הוא כל ילדי הכיתה המקבילה, אזי הפסוק x y(d(x,y)) אומר: "כל ילד בכיתה מכיר לפחות ילד אחד בכיתה המקבילה". 32 נתבונן בפסוק: "לכל ילד יש אב ואם". נסמן:,"x הוא האב של y" = (x,y)."x היא האם של z" = (x,z) א. רשמו את תחום ההגדרה של המשתנים y x, ו- z : תחום ההגדרה של x: תחום ההגדרה של y: תחום ההגדרה של z: ב. רשמו את הפסוק "לכל ילד יש אב" באמצעות (x,y) והכמתים ו- : 48

50 מתמטיקה שכדאי לדעת ג. רשמו את הפסוק "לכל ילד יש אם" באמצעות (x,z) והכמתים ו- : ד. רשמו את הפסוק "לכל ילד יש אב ואם" באמצעות,(x,y) (x,z) והכמתים ו-. שימו לב שיש להשתמש פעמיים בכמת. 33 נתבונן בפסוק: = D "לכל ילד יש חבר ששמו אסף". נסמן: (x) = "שמו של x הוא אסף", y". הוא חבר של הילד x "הילד = (x,y) א. תחום ההגדרה של x: ב. תחום ההגדרה של y: ג. רשמו את הפסוק D באמצעות,(x) (x,y) והכמתים ו- : 49

51 מבוא ללוגיקה מתמטית נתבונן בפסוק: = D "לכל ילד ששמו עופר יש חבר ששמו אסף". נסמן: (x) = "שמו של x הוא עופר", (y) = "שמו של y הוא אסף", x". הוא חבר של הילד y "הילד = C(x,y) ברצוננו לכתוב את הפסוק D בשפת תחשיב הפסוקים באמצעות,(x).C(x,y),(y) כיצד נעשה זאת? נשתמש בשני משתנים: x שייצג את הילד שבו מדובר, ו- y שייצג את החבר. מכאן שתחום ההגדרה של המשתנים x ו- y הוא כל הילדים בעולם. מובן שעלינו להתחיל את הפסוק D ב- x, כלומר "לכל ילד", אבל איך נמשיך? לשם כך נצטרך למצוא ניסוח שונה מעט לפסוק D שמשמעותו זהה למשמעות המקורית של הפסוק ואפשר לכתוב אותו בשפת תחשיב הפסוקים. דרך אפשרית לניסוח הפסוק D היא "לכל ילד, אם שמו של הילד הוא עופר כי אז יש לו חבר ששמו אסף". לכן דרך אחת להציג את הפסוק D בשפת תחשיב הפסוקים היא x ((x) ( y((y) C(x,y)))) ניסוח שקול נוסף לפסוק D הוא "לכל ילד, או שמו אינו עופר או יש לו חבר ששמו אסף". נבדוק שהניסוח הזה שקול לניסוח המקורי של הפסוק "לכל ילד ששמו עופר יש חבר ששמו אסף". נתבונן אם כן במשפט "לכל ילד, או שמו אינו עופר או יש לו חבר ששמו אסף". אם שם הילד הוא עופר, הרי שהחלק הראשון של המשפט )"או שמו אינו עופר"( אינו מתקיים, ולכן טבלת האמת של הפסוק המורכב "או" מחייבת שהחלק השני יתקיים, כלומר, יש לילד חבר ששמו אסף. אם שמו של הילד אינו עופר, הרי שהחלק הראשון של המשפט מתקיים, ואז טבלת האמת של הפסוק המורכב "או" אינה מחייבת שהחלק השני של המשפט יתקיים: ייתכן שלילד יש או אין חבר ששמו אסף. מכאן שהפסוק "לכל ילד, או שמו אינו עופר או יש לו חבר ששמו אסף" באמת שקול לפסוק "לכל ילד ששמו עופר יש חבר ששמו אסף". במילים אחרות, את הפסוק D אפשר לכתוב גם כך: x (( (x)) y ((y) C(x,y))) 50

52 מתמטיקה שכדאי לדעת 34 נתבונן בפסוק: = D "לכל ילד ששמו אינו אסף יש חבר ששמו אסף". נסמן: (x) = "שמו של x הוא אסף", x". הוא חבר של הילד y "הילד = C(x,y) רשמו את הפסוק D באמצעות,(x),C(x,y) הכמתים ו- וסימנים לוגיים נוספים. ייתכן שיש להשתמש במשתנים נוספים. שימו לב שיש להשתמש ב-( (x פעמיים! 35 תחום ההגדרה של המשתנה x הוא כל הבנים בכיתה ותחום ההגדרה של המשתנה y הוא כל הבנות בכיתה. תחום ההגדרה של המשתנה z הוא כל ילדי הכיתה )בנים ובנות(. נסמן: D(z) = "לילד z יש חולצה אדומה", C(z) = "הילד z אוהב לשחק כדורגל". רשמו את הפסוקים הבאים באמצעות,D(x) C(y),C(x),D(y) וקשרים לוגיים נוספים. ייתכן שיש להשתמש במשתנים נוספים. א. "כל הבנים בכיתה אוהבים לשחק כדורגל, ויש בת בכיתה הלובשת חולצה אדומה": ב. "כל הבנות בכיתה אוהבות לשחק כדורגל, ואין בת בכיתה הלובשת חולצה אדומה": ג. "אם כל הבנים בכיתה אוהבים לשחק כדורגל, אזי יש בת בכיתה הלובשת חולצה אדומה": ד. "אם יש שתי בנות בכיתה האוהבות לשחק כדורגל, כי אז יש שני בנים בכיתה הלובשים חולצה אדומה". השתמשו בפסוק (x,y) :"x=y" = 51

53 מבוא ללוגיקה מתמטית 7.6 קשרים בין הכמתים "לכל" ו"יש" בסעיף זה נראה שהכמתים "לכל" ו"יש" קשורים זה לזה, ואפשר להביע את האחד באמצעות האחר. נתבונן בפסוק = "לכל ילד בכיתה יש כלב". מכאן x((x)) = כאשר תחום ההגדרה של המשתנה x הוא ילדי הכיתה ו- (x) = "לילד x יש כלב". אם הפסוק אינו נכון, בהכרח יש ילד בכיתה שאין לו כלב. כלומר, יש ילד בכיתה שעבורו הפסוק )(x אינו נכון. במילים אחרות, אם הפסוק אינו נכון כי אז הפסוק x( (x)) נכון! נסכם זאת: הפסוק ( x((x))) שקול לפסוק. x( (x)) 36 נסמן (x) = "לילד x יש אחות ששמה חגית"; תחום ההגדרה של x הוא ילדי הכיתה. א. רשמו את המשמעות המילולית של הפסוק : ( x((x)) ב. רשמו את המשמעות המילולית של הפסוק : x( (x)) ג. הסבירו מדוע הפסוק ( x((x)) שקול לפסוק : x( (x)) 52

54 8. סיכום מתמטיקה שכדאי לדעת בחוברת זו למדנו את שפת תחשיב הפסוקים, שהיא שפה המאפשרת לכתוב משפטים שמשמעותם מוגדרת היטב ואין עליה עוררין. הגדרנו את ערך האמת של פסוק, שאומר אם פסוק נכון או אינו נכון. ראינו כיצד אפשר להסיק מהו ערך האמת של פסוק מורכב מערכי האמת של הפסוקים האטומיים המרכיבים אותו, וכיצד אפשר לטעון טענות לוגיות ולהוכיח את נכונותן. שפת תחשיב הפסוקים היא טעימה ראשונה מהתחום העשיר של לוגיקה מתמטית, העוסק בנושאים מגוונים. בתחשיב הפסוקים, משפטים יכולים להיות נכונים או לא נכונים, ולכן השפה מתארת לוגיקה דו- ערכית: ערך האמת של פסוק יכול להיות אחד משני ערכים אפשריים אמת או שקר. יש לוגיקות רב-ערכיות שבהן משפטים יכולים לקבל ערכים נוספים. לדוגמה, בלוגיקה תלת-ערכית משפטים יכולים להיות נכונים, לא נכונים או בעלי ערך אמת לא ידוע. ראינו כיצד אפשר להוכיח טענות באמצעות כללי היסק. שאלה חשובה בתחום היא אם אפשר להוכיח או להפריך כל טענה. כלומר, אם לכל טענה שאדם יעלה על דעתו אפשר לרשום רשימה של כללי היסק שמהם היא נובעת, או למצוא דוגמה של ערכי אמת למשתנים המרכיבים אותה שעבורם היא אינה מתקיימת. המשפט הידוע בתחום אומר שכאשר השפה שבה אנחנו משתמשים עשירה דיה, יש פסוק שאותו אי-אפשר להוכיח או להפריך. אנחנו מקווים שהחוברת עניינה אתכם ושתמשיכו לקרוא חוברות בסדרה. חוברות נוספות אפשר למצוא באתר האינטרנט שלנו שכתובתו. 53

55 מבוא ללוגיקה מתמטית 9. סיכום המושגים וההגדרות 1. פסוק הוא משפט המציין עובדה שיכולה להיות נכונה או לא נכונה. 2. ערך האמת של פסוק הוא "אמת" אם הפסוק נכון, והוא "שקר" אם הפסוק אינו נכון. 3. טאוטולוגיה הוא פסוק נכון בכל מקרה: ערך האמת שלו תמיד "אמת". 4. סתירה הוא פסוק שאינו נכון בכל מקרה: ערך האמת שלו תמיד "שקר"..5 : " אינו נכון".." וגם " :.6." או " :.7 8. : " גורר את " או "אם נכון אזי נכון". 9. פסוק אטומי הוא פסוק המכיל אות אחת בלבד, C, וכדומה. 10. פסוק מורכב הוא פסוק המכיל לפחות את אחד הסימנים,,,,,. 11. טבלת האמת של פסוק היא טבלה המקשרת בין ערכי האמת של הפסוקים האטומיים המרכיבים את הפסוק לבין ערך האמת של הפסוק כולו. 12. שני פסוקים הם שקולים אם יש להם אותה טבלת אמת. 13. כלל ההיסק החיובי: אם הפסוק נכון והפסוק נכון, כי אז גם הפסוק נכון. 14. כלל ההיסק השלילי: אם הפסוק נכון והפסוק אינו נכון, כי אז גם הפסוק אינו נכון. 15. כלל ההיסק "וגם": אם הפסוק נכון כי אז הפסוק נכון אף הוא. 16. כלל ההיסק "או" השלילי: אם הפסוק נכון והפסוק אינו נכון, כי אז הפסוק נכון. 17. תחום ההגדרה של משתנה הוא קבוצת הערכים שאותם המשתנה יכול לקבל..C(x) מתקיים הפסוק x לכל : x(c(x)) : x(c(x)) קיים x שעבורו הפסוק C(x) מתקיים. 54

56 10. דמויות המופיעות בחוברת אריסטו ) לפני הספירה( היה מגדולי הפילוסופים של העת העתיקה. נוסף על הלוגיקה תרם אריסטו למדעי המדינה: הוא זיהה שיטות ממשל טובות )מלוכה, אריסטוקרטיה ושלטון בעלי הרכוש( ושיטות ממשל שליליות )רודנות, שלטון העשירים ודמוקרטיה( וטען שהן מחליפות זו את זו במחזוריות. הוא תרם גם למדע וכתב על פיזיקה, על ביולוגיה, על אסטרונומיה וקוסמולוגיה. מתמטיקה שכדאי לדעת קריספיוס ) לפני הספירה( היה פילוסוף יווני. הוא פיתח את הרעיונות העומדים מאחורי תחשיב הפסוקים וכללי ההיסק כפי שהבאנו אותם בחוברת. הוא אמר שהיקום הוא הנשמה והמוח השולט של עצמו, וטען שלכל עצם בעולם יש נשמה. פייר א ב ל ר ד ) ( היה פילוסוף ותיאולוג )חוקר דת( צרפתי, שקידם את שיטת ההוכחה הפורמלית. הוא הסתכסך עם המורה שלו וגם עם מלומדים אחרים, נשפט על ידי הכנסייה ונענש לחיות במנזר. למרות זאת נשאר מורה אהוד ותלמידים רבים באו לשמוע את הרצאותיו. Marie-Lan Nguyen 55

בעיית העץ הפורש המינימאלי (MST)

בעיית העץ הפורש המינימאלי (MST) בעיית העץ הפורש המינימאלי (MS) נניח שקיימת קבוצת איים שאנו מעוניינים לקשר ביניהם על ידי גשרים, כך שיהיה ניתן לנסוע מאי אחד לכל אי אחר מקבוצה זו. בנוסף, נניח כי הממשלה רוצה להוציא את הסכום המינימאלי האפשרי

Læs mere

ואז שעות () * 1 (a d) (a d) (a d) (a d) a שעות, a d a מכאן: ונקבל: תשובה: (

ואז שעות () * 1 (a d) (a d) (a d) (a d) a שעות, a d a מכאן: ונקבל: תשובה: ( 3.03.6-670 - פתרונות למבחנים פתרון מבחן מס' 7 (ספר מבחנים שאלון 035806) המהירויות של האופנוע, לכן נסמן ב- ואז מכונית המשא והמונית מהוות סדרה חשבונית, קמ"ש את מהירות המשאית, ( ) קמ"ש יסמן את מהירות האופנוע

Læs mere

פתיחת דלתות להצלחה בחינוך ובתעסוקה לאנשים עם אוטיזם יום עיון, הקריה האקדמית אונו,

פתיחת דלתות להצלחה בחינוך ובתעסוקה לאנשים עם אוטיזם יום עיון, הקריה האקדמית אונו, פתיחת דלתות להצלחה בחינוך ובתעסוקה לאנשים עם אוטיזם יום עיון, הקריה האקדמית אונו, עופר זהבי: בוקר טוב לכולם. לטובת אלה שהגיעו בזמן אני קורא לכולם לשבת. אנחנו רוצים להתחיל. אנחנו פותחים את היום שבו אנחנו

Læs mere

פייסבוק כטכנולוגיית איכות חיים בגיל המבוגר סיגל נעים, המחלקה ללימודי תקשורת, אוניברסיטת בן גוריון בנגב

פייסבוק כטכנולוגיית איכות חיים בגיל המבוגר סיגל נעים, המחלקה ללימודי תקשורת, אוניברסיטת בן גוריון בנגב פייסבוק כטכנולוגיית איכות חיים בגיל המבוגר סיגל נעים, המחלקה ללימודי תקשורת, אוניברסיטת בן גוריון בנגב רשתות חברתיות מקוונות האינטרנט - אחד מאמצעי התקשורת הבולטים הגולש - מפאסיבי (מחפש וצורך) לפעיל במרחב

Læs mere

אלגברה לינארית (2) איתי שפירא פרין, התרגולים והספר של הופמן.

אלגברה לינארית (2) איתי שפירא פרין, התרגולים והספר של הופמן. אלגברה לינארית (2) איתי שפירא עריכה אחרונה: 17 ביולי 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2016 17 זה סיכום של ההרצאות של קלואי פרין, התרגולים והספר של הופמן ijshapira@gmailcom תוכן עניינים I מבוא והשלמות

Læs mere

PostFix, PreFix, InFix

PostFix, PreFix, InFix ביטויים מתמטיים PostFix, PreFix, InFix אחד היישומים החשובים של הינו ייצוגם של ביטויים מתמטיים. - חיבור, חיסור, כפל, וחילוק הינה פעולה בינארית, כלומר פעולה שבה יש כל אחת מהפעולות המתמטיות אחד - הפעולה החישובית,

Læs mere

בהצלחה! מבני נתונים

בהצלחה! מבני נתונים המחלקה למדעי המחשב מבני נתונים 202-1-1031 מבחן מועד א', 05/07/2015 13:30, חומר עזר משך הבחינה פרופ' איתן בכמט, פרופ' פז כרמי, דר' צחי רוזן, דר' דקל צור, פרופ' מיכאל אלקין, גב' אירינה רבייב. עמית בן בסט,

Læs mere

סדר ט ו בשבט. writing: Rabi Yaron Nisenholz translation: Rabbin Meir Horden

סדר ט ו בשבט. writing: Rabi Yaron Nisenholz translation: Rabbin Meir Horden סדר ט ו בשבט writing: Rabi Yaron Nisenholz translation: Rabbin Meir Horden חיטה (Chita) Hvede Lad os spise en kage lavet af hvede Tu Bishvat er en helt unik fest i den jødiske kalender. De fleste af vore

Læs mere

חוברת למדריכי כיתות ה'

חוברת למדריכי כיתות ה' חוברת למדריכי כיתות ה' 1 מערך הדרכה לחודש יחיד בקבוצה בנושא "חברות" מיועד לשכבת כיתות ה'. שנת הוצאה: תשע"ה כתיבה ועריכה: נעמה מידן )מחלקת הדרכה( 2 מדריכים יקרים חודש יחיד בקבוצה הוא חודש המוקדש לנושא ה"קבוצה".

Læs mere

בגרות חורף בגרות קיץ 2014 מועד ג' בגרות חורף בגרות קיץ 2015 מועד ב' בגרות חורף תשובות סופיות:...

בגרות חורף בגרות קיץ 2014 מועד ג' בגרות חורף בגרות קיץ 2015 מועד ב' בגרות חורף תשובות סופיות:... תוכן העניינים: בגרות חורף 014... בגרות קיץ 014 מועד א'... 5 בגרות קיץ 014 מועד ב'... 8 בגרות קיץ 014 מועד ג'... 11 בגרות חורף 015...14 בגרות קיץ 015 מועד א'... 16 בגרות קיץ 015 מועד ב'... 19 בגרות חורף

Læs mere

חוברת למדריכי כיתות ח'

חוברת למדריכי כיתות ח' חוברת למדריכי כיתות ח' 1 מערך הדרכה לחודש יחיד בקבוצה בנושא "אנחנו והם ח'. " מיועד לשכבת כיתות שנת הוצאה: תשע"ה כתיבה ועריכה: נעמה מידן )מחלקת הדרכה( 2 מדריכים יקרים חודש יחיד בקבוצה הוא חודש המוקדש לנושא

Læs mere

עצי 3-2 ועצי דרגות חומר קריאה לשיעור זה. Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( )

עצי 3-2 ועצי דרגות חומר קריאה לשיעור זה. Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( ) 2-3 trees עצי 3-2 ועצי דרגות Lecture5 of Geiger & Itai s slide brochure www.cs.technion.ac.il/~dang/courseds Chapter 19: B trees (381 397) חומר קריאה לשיעור זה Chapter 15: Augmenting data structures (281

Læs mere

מבחן בקורס "מבוא לפיזיקה של מוליכים למחצה"

מבחן בקורס מבוא לפיזיקה של מוליכים למחצה מס' ת.ז. מס' קורס: 515.150 סמסטר ב' תשע"ג בחינת מעבר מועד א' תאריך הבחינה:..55 משך הבחינה: 3 שעות מבחן בקורס "מבוא לפיזיקה של מוליכים למחצה" ד"ר אלון באב"ד, ד"ר אמיר נתן ועדו עמית יש לענות על כל השאלות

Læs mere

מפת דרכים לבן משפחה מטפל

מפת דרכים לבן משפחה מטפל מפת דרכים לבן משפחה מטפל המסע האישי שלך עם יקירך! אנחנו כאן בשבילך! www.caregivers.org.il תוכן עניינים ניווט במסע הזמן 3 האם אני בן משפחה מטפל? 4 הטיפול הוא זכות אנושית 5 איך להתארגן ולתכנן? 6 להשיג מידע

Læs mere

201 4 ילוי תונורתפ ןושאר קרפ ת ילולימ הבישח רפסמ הלאשה הבושתה

201 4 ילוי תונורתפ ןושאר קרפ ת ילולימ הבישח רפסמ הלאשה הבושתה תונורתפ -- 0ילוי תונורתפ 0 ילוי ןושאר קרפ תילולימ הבישח רפסמ הלאשה 5 6 7 8 9 0 5 הבושתה הנוכנה רפסמ הלאשה 6 7 8 9 0 הבושתה הנוכנה ינש קרפ תילולימ הבישח רפסמ הלאשה 5 6 7 8 9 0 5 הבושתה הנוכנה רפסמ הלאשה

Læs mere

תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 למדמ"ח (פרט לדטרמיננטות והעתקות לינאריות)

תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 למדמח (פרט לדטרמיננטות והעתקות לינאריות) תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 למדמ"ח (פרט לדטרמיננטות והעתקות לינאריות) בועז צבאן 21 במאי 2012 תקציר זה כולל, עבור חלק מהטענות (בדרך כלל, אלה שאינן מיידיות מההגדרות), את רעיון ההוכחה המרכזי (בצבע כחול),

Læs mere

חרדה חברתית בני רוטברג, אבי ויצמן

חרדה חברתית בני רוטברג, אבי ויצמן 6 חרדה חברתית בני רוטברג, אבי ויצמן חרדה חברתית היא מעין מקרה פרטי של חרדה כללית. היא מופיעה החל מגיל הגן. ילדים הלוקים בחרדה חברתית מאוימים מן הצורך לתקשר עם בני גילם. החשש של הילד הוא שמא יתנהג בצורה

Læs mere

תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2

תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 בועז צבאן 1 במרץ 2012 תקציר מפורט של הקורס אלגברה לינארית 2, על פי תקציר קצר יותר, שנכתב על ידי בוריס קוניאבסקי ובועז צבאן לגירסה הנוכחית: נועם ליפשיץ התקציר מתאים כחזרה

Læs mere

מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לתלמידי הנדסת חשמל

מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לתלמידי הנדסת חשמל אוניברסיטת תל אביב מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לתלמידי הנדסת חשמל חוברת התרגול נערך ע''י אופיר הררי ofirhara@post.tau.ac.il תוכן עניינים 4 1 מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות 8 מרחב הסתברות סימטרי, הכלה והפרדה

Læs mere

GMAT פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL MY.GEVA.CO.IL

GMAT פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL MY.GEVA.CO.IL GMAT 3) + פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL MY.GEVA.CO.IL 017-016 חדש! אפליקציית יואל גבע בגרויות GEVA.CO.IL 1-800-0-40-60 הקדמה מורים ותלמידים יקרים, אנו שמחים להגיש לכם חוברת הכנה

Læs mere

תשובות למבחן מתכונת 21.6 באלקטרומגנטיות 2010

תשובות למבחן מתכונת 21.6 באלקטרומגנטיות 2010 ב ג ד תשובות למבחן מתכונת 6 באלקטרומגנטיות 00 א ניקוד פתרון שאלה וסעיף 6 q A q q M N נמצא את השדה הכולל בנקודה M Kq Kq' M נמצא בהתמדה ולכן השדה בנקודה נתון כי המטען q E + r (05r) E q Kq r שווה לאפס מכאן

Læs mere

התפתחות בהבנת האוטיזם

התפתחות בהבנת האוטיזם התפתחות בהבנת האוטיזם 0222-0202 Michal L. Rutter 12/2/2011, j. Autism and dev. Disorder, 41 : 395-404 תרגמה תמר שחר- MA בפסיכולוגיה, מנהלת מחלקה לחינוך מיוחד בעיריית נתניה. תקציר המאמר ידון בהתקדמות המדעית

Læs mere

ברור חיל גיליון סתיו דמוקרטי גיליון מס' 49 פרוייקט צביעת תחנת האוטובוס תמונות ופרטים נוספים גינת פרחי קרמיקה ליד מועדון יחדיו תמונות נוספות בעמוד 13.

ברור חיל גיליון סתיו דמוקרטי גיליון מס' 49 פרוייקט צביעת תחנת האוטובוס תמונות ופרטים נוספים גינת פרחי קרמיקה ליד מועדון יחדיו תמונות נוספות בעמוד 13. גיליון מס' 49 ברור חיל אוקטובר-נובמבר 2015 תשע"ו גיליון סתיו דמוקרטי פרוייקט צביעת תחנת האוטובוס תמונות ופרטים נוספים בעמוד 16. גינת פרחי קרמיקה ליד מועדון יחדיו תמונות נוספות בעמוד 2 ופרטים על הפרוייקט

Læs mere

נחמה בן ש ך בן פורת נחמה בן ש ך בן פורת יופי נחמה יופי נחמה

נחמה בן ש ך בן פורת נחמה בן ש ך בן פורת יופי נחמה יופי נחמה נחמה בן ש ך בן פורת נחמה בן ש ך בן פורת יופי נחמה יופי נחמה יופי נחמה מאלבום הזיכרונות של נחמה בן ש"ך - בן פורת נחמה בן ש"ך - בן פורת )לבית מישלוב( נחמה יופי מאלבום הזיכרונות בשנים 1950-1928 לזכרם של אמא,

Læs mere

Forever מיליוני אנשים שיצרו ביטחון כלכלי ובריאות טובה יותר בצמיחה מתמדת בשנה עם צפי להמשך צמיחה

Forever מיליוני אנשים שיצרו ביטחון כלכלי ובריאות טובה יותר בצמיחה מתמדת בשנה עם צפי להמשך צמיחה Forever במספרים מעל 155 סניפים ברחבי העולם מחזור של כ- 3 מיליארד $ בשנה עם צפי להמשך צמיחה בצמיחה מתמדת משנת 1978 מעל 250 מוצרים עם פטנטים ייחודיים מיליוני אנשים שיצרו ביטחון כלכלי ובריאות טובה יותר תוכן

Læs mere

)א( בראשית. אמר רבי יצחק: לא היה צריך

)א( בראשית. אמר רבי יצחק: לא היה צריך פרשת בראשית א א ב ר א ש ית ב ר א א לה ים א ת ה ש מ י ם ו א ת ה א ר ץ: )א( בראשית. אמר רבי יצחק: לא היה צריך להתחיל ]את[ התורה אלא מ"הח דש הזה לכם" )שמות יב, ב(, שהיא מצוה ראשונה שנצטוו ]בה[ ישראל, ומה

Læs mere

ס פ ר נ ו?! מ ב ט ע ל פ ע י ל ו ת מ ר כ ז י ה ס י ו ע ב ק ר ב י ל ד י ם ו ב נ י נ ו ע ר ו ב מ ע ר כ ת ה ח י נ ו ך ב י ש ר א ל

ס פ ר נ ו?! מ ב ט ע ל פ ע י ל ו ת מ ר כ ז י ה ס י ו ע ב ק ר ב י ל ד י ם ו ב נ י נ ו ע ר ו ב מ ע ר כ ת ה ח י נ ו ך ב י ש ר א ל ל א ב ב י ת ס פ ר נ ו?! מ ב ט ע ל פ ע י ל ו ת מ ר כ ז י ה ס י ו ע ב ק ר ב י ל ד י ם ו ב נ י נ ו ע ר ו ב מ ע ר כ ת ה ח י נ ו ך ב י ש ר א ל 2 0 0 7 איגוד מרכזי הסיוע לנפגעות ולנפגעי תקיפה מינית בישראל איגוד

Læs mere

ארגון המידע באמצעי אחסון

ארגון המידע באמצעי אחסון ארגון המידע באמצעי אחסון איתן אביאור כל הזכויות שמורות קובץ (File) קובץ (file) יחידת עצמאית לאחסון מידע. הקובץ מורכב מרצף של בתים, המאוחסנים בזה אחר זה בהתקן האחסון כגון: דיסק קשיח, תקליטור, דיסקון וכד'.

Læs mere

התקשרות מתבגר - ריאיון

התקשרות מתבגר - ריאיון התקשרות מתבגר - ריאיון שרף, 1996 1 דפוסי התקשורת והבעה רגשית של מתבגרים בסביבות משפחתיות-חינוכיות שונות מאת: מירי שרף בהדרכת: פרופ' אברהם שגיא פרופ' רחל הרץ-לזרוביץ חיבור לשם קבלת התואר "דוקטור לפילוסופיה"

Læs mere

ניתוח ישיר של תמונות פשוטות

ניתוח ישיר של תמונות פשוטות ניתוח ישיר של תמונות פשוטות ניסיון ראשוני ונאיבי לשימוש באלגוריתם Watershed כולל שימוש בערך המוחלט של הגרדיינט ליצירת תמונה )לאורך כל העבודה נעשה שימוש בהגדרת הגרדיינט של Sobel לאחר שבחנתי מספר הגדרות

Læs mere

Q BE ] r R e

Q BE ] r R e מאזן - נכסים = התחייבויות + עצמי נכסים שוטפים מימוש פירעון עד שנה( מזומנים מלאי לקוחות הוצאות מראש נכסים קבועים קרקע ציוד מבנים מקורות המימון התחייבות/ זר שוטפות לטווח קצר עד שנה מהיום. ספקים הלוואות לטווח

Læs mere

מפורסמות י באויר ף הבורות.

מפורסמות י באויר ף הבורות. ת ו ב ז ה ע נ י ב י ם כגליון זה 4 תוצאות ולא תרוצים - י. יגיל 5 באויד העולש 18 תצלומים מספרים 32 40 לרקיע פול בריקהיל השאיפה 55 כונזי ור, אמר מר נרפי בלונים זורעי אש 57 קאמיקאזה, טיפות ההתאבדות 62 שכיל

Læs mere

סיכומים פסיכולוגיה התפתחותית

סיכומים פסיכולוגיה התפתחותית סיכומים פסיכולוגיה התפתחותית 150101/1/ שיעור 1 מבוא פסיכולוגיה: מדע החוקר את התנהגות האדם )ובעלי החיים(. יש להבחין בין ההתנהגות הברורה והגלויה )הדברים שניתנים לצפייה ישירה(, לבין התנהגות שאינה נצפית בצורה

Læs mere

קולנוע דרום הגות וביקורת יוני 2012

קולנוע דרום הגות וביקורת יוני 2012 קולנוע דרום הגות וביקורת יוני 2012 קולנוע דרום 5 ארז פרי ואפרת כורם 13 הרב מרדכי ורדי 23 תום שובל 37 אפרת כורם וסיגלית בנאי 58 שולה קשת 61 סיגלית בנאי 74 אילן שפית 83 יעל בן צבי מורד 91 ג'אד נאמן 99 יעל

Læs mere

גבר, אישה והפרעה: טראומה ראשונית וטראומה משנית בין המטבח לחדר השינה

גבר, אישה והפרעה: טראומה ראשונית וטראומה משנית בין המטבח לחדר השינה גבר, אישה והפרעה: טראומה ראשונית וטראומה משנית בין המטבח לחדר השינה אני מנסה לראות איך אני נחלצת, איך אני אומרת לו שלום, ואיך לעשות את זה עם הילדים. ]...[ אני לא מוכנה להבין יותר, לא מוכנה לתמוך יותר,

Læs mere

הקשר בין יצירתיות, מסוגלות והישגים לימודיים ועמדות כלפי למידה מרחוק חקר מקרה

הקשר בין יצירתיות, מסוגלות והישגים לימודיים ועמדות כלפי למידה מרחוק חקר מקרה הקשר בין יצירתיות, מסוגלות והישגים לימודיים ועמדות כלפי למידה מרחוק חקר מקרה וליד אחמד פרופ' שפרה ברוכסון-ארביב למידה מרחוק: הגדרת מושגי המחקר גרימס )1993 )Grimes, סבור שכל למידה פורמאלית מתרחשת כאשר המורה

Læs mere

שינויים בתפיסת מושג המשוואה ודרכי פתרונה בסביבת למידה טכנולוגית )case-study(

שינויים בתפיסת מושג המשוואה ודרכי פתרונה בסביבת למידה טכנולוגית )case-study( שינויים בתפיסת מושג המשוואה ודרכי פתרונה בסביבת למידה טכנולוגית )case-study( תמצית מוגש על ידי חנה שטיין לימוד האלגברה מזוהה )אצל מורים ותלמידים רבים( עם אופרציות בביטויים סימבוליים, התמחות בפתרון משוואות

Læs mere

במחילות לילה, שועלים, נחשים

במחילות לילה, שועלים, נחשים נושא 5: יחסי גומלין בין מינים ככלל ותחרות בפרט 1 חזרה : הרכב אוכלוסיות ופיזורן להתפלגות גילאים באוכלוסייה השפעה על אופן וקצב גידולה ניתן לתאר אותה על ידי פירמידת גילאים או טבלאות חיים מינים שונים חיים

Læs mere

4X1GE מסוים. בתקווה.

4X1GE מסוים. בתקווה. גלי רקיע - התפשטות גלים בתדר גבוה נכתב ע"י אבנר דרורי 4X1GE כמו שקורה בוודאי להרבה מאיתנו, חשבתי שאני מכיר את נושא התפשטות הגלים. רק באחת מההרצאות שהתקיימו בעבר במסגרת האגודה, גיליתי שהידע שלי מזערי ויש

Læs mere

הנאורות היא יציאתו של האדם ממצב חוסר הבגרות שהביא על עצמו. חוסר בגרות משמעו

הנאורות היא יציאתו של האדם ממצב חוסר הבגרות שהביא על עצמו. חוסר בגרות משמעו מהי נאורות? הנאורות היא יציאתו של האדם ממצב חוסר הבגרות שהביא על עצמו. חוסר בגרות משמעו חוסר היכולת להשתמש בשכל בלא הנחיה של אחר. כשהסיבה לחוסר הבגרות אינה בעיה שכלית, אלא הימנעות מהחלטה להשתמש בו בלא

Læs mere

q 1 *q 2 µ = E r

q 1 *q 2 µ = E r ביוכימיה א' חלק א' בכדי להבין מה הם חיים צריך לדעת את מרכיביהם ואיך יוצרים אותם. מטרת הביניים היא לדעת מהם המולקולות מהם מורכב בעל החיים ומה נחוץ לצורך קיום. ניתן לראות כי מרבית הראקציות בביוכימיה הם בסביבה

Læs mere

יהודי תימן העלייה מתימן לארץ ישראל החלה בשנת הרמ"ב )1882( ונסתיימה במבצע בית הכנסת בתימן היה מרכז החיים,

יהודי תימן העלייה מתימן לארץ ישראל החלה בשנת הרמב )1882( ונסתיימה במבצע בית הכנסת בתימן היה מרכז החיים, יהודי תימן תימן, המוקפת ימים ומדברית, הייהה מדינה עצמאית, גולה בפני עצמה, שניהלה אורח חיים לתי מתוך חירות רוחנית מוחלטת. העדר רציפות גיאוגרפית עם מרכזי יהדות אחרים ליכד וגיבש את תושביה היהודיים של תימן

Læs mere

לטפל בהפרעת קשב וריכוז דרך טיפול משפחתי - עבודה של שיתוף פעולה

לטפל בהפרעת קשב וריכוז דרך טיפול משפחתי - עבודה של שיתוף פעולה 11 לטפל בהפרעת קשב וריכוז דרך טיפול משפחתי - עבודה של שיתוף פעולה עדנה כצנלסון ואיריס ברנט תקציר מאמרים בנושא טיפול בבעיית קשב וריכוז והיפראקטיביות disorder( )Attention deficit hyperactivity מתמקדים, על

Læs mere

המתן וצפה w&w wait and watch מעקב כל עוד אין צורך בטיפול מדריך לחולים ולבני משפחתם

המתן וצפה w&w wait and watch מעקב כל עוד אין צורך בטיפול מדריך לחולים ולבני משפחתם המתן וצפה w&w wait and watch מעקב כל עוד אין צורך בטיפול מדריך לחולים ולבני משפחתם 2 הערות תוכן העניינים דברי תודה... 4 מבוא... 5 המתן וצפה... 7 אינדיקציות ל-'המתן וצפה'...10 מחלות ספציפיות... 15 סיכום...

Læs mere

ב ה צ ל ח ה חמד"ע - מרכז לחינוך מדעי ב ח י נ ה ב כ י מ י ה ב מ ת כ ו נ ת ב ג ר ו ת

ב ה צ ל ח ה חמדע - מרכז לחינוך מדעי ב ח י נ ה ב כ י מ י ה ב מ ת כ ו נ ת ב ג ר ו ת חמד"ע מרכז לחינוך מדעי ב ח י נ ה ב כ י מ י ה ב מ ת כ ו נ ת ב ג ר ו ת 02 נקודות 02 נקודות 022 נקודות 3 יחידות לימוד תשע"ה 1025 א. משך הבחינה: שלש שעות מבנה השאלון ומפתח ההערכה: בשאלון זה שני פרקים. פרק

Læs mere

מבוא בעבודת מחקר זו אבדוק את מערכת הקשרים בין מקורות של מחויבות ארגונית לבין ביטויים שלה,

מבוא בעבודת מחקר זו אבדוק את מערכת הקשרים בין מקורות של מחויבות ארגונית לבין ביטויים שלה, מבוא בעבודת מחקר זו אבדוק את מערכת הקשרים בין מקורות של מחויבות ארגונית לבין ביטויים שלה, בסוגים שונים של ארגונים. שלושת התחומים של המקורות למחויבות ארגונית: חישוביים, ערכיים וזהות העצמי, מבוססים על הלימה

Læs mere

יוזמות בית ספריות מקדמות פיתוח חשיבה

יוזמות בית ספריות מקדמות פיתוח חשיבה יוזמות בית ספריות מקדמות פיתוח חשיבה משרד החינוך המזכירות הפדגוגית ירושלים, תשס"ט - 2009 צוות היגוי: פרופ' ענת זוהר, ערן ברק-מדינה הערכת תוכניות: ערן ברק-מדינה, דר' הילה אביאלי עריכה: ד"ר שלומית גינוסר

Læs mere

קורות חיים רצפים התפתחותיים לאורך החיים, התסמונות והבעיות הפסיכופתולוגיות בתקופות מעבר שונות

קורות חיים רצפים התפתחותיים לאורך החיים, התסמונות והבעיות הפסיכופתולוגיות בתקופות מעבר שונות A Publication of The Group פסיכיאטריה רבעון בנושא פסיכיאטריה דצמבר - 2007 פברואר 2008 גיליון מס' 6 קורות חיים רצפים התפתחותיים לאורך החיים, התסמונות והבעיות הפסיכופתולוגיות בתקופות מעבר שונות איכות השירות

Læs mere

הלעפה תוארוה ןופלט םגד XL-2067

הלעפה תוארוה ןופלט םגד XL-2067 הוראות הפעלה טלפון דגם XL-2067 לקוח נכבד, ברוך הבא לעולם התקשורת המתקדמת של טרנס-גלובל אינדסטריז פיטיאי בע"מ. אנו מודים לך על שרכשת מוצר זה. אנא קרא בעיון את הוראות ההפעלה שבחוברת זו על מנת שתוכלו להפיק

Læs mere

80H עד אזור הרגיסטרים המיוחדים SFR ( הכתובות מ פעולת האיפוס RESET 27...

80H עד אזור הרגיסטרים המיוחדים SFR ( הכתובות מ פעולת האיפוס RESET 27... , אסמבלי ו C5 תקציר ל MCS5 נערך ע"י : אריה פורת תוכן העניינים סילבוס למקצוע מיקרו מחשבים ושפה עילית...4 נוסחאון משרד החינוך...5 9 מבוא למיקרו בקרים... 9 טבלת השוואה בין מיקרו מעבד למיקרו בקר... 9 המיקרו

Læs mere

תקשורת, תרבות וחברה / ד"ר יריב בן אליעזר

תקשורת, תרבות וחברה / דר יריב בן אליעזר תקשורת, תרבות וחברה / ד"ר יריב בן אליעזר 12.6.07 חומר קריאה לפי סילבוס (בסילבוס יש חלוקה לנושאים בשיעורים לא ממש הייתה...) לפי ההנחיות שניתנו על ידי המרצה בשיעור, להלן רק חומר קריאת החובה למבחן: שעור -

Læs mere

אנרגיה בקצב הכימיה פרק ה מדוע מתרחשות תגובות כימיות? ד"ר מרים כרמי ד"ר אדית וייסלברג

אנרגיה בקצב הכימיה פרק ה מדוע מתרחשות תגובות כימיות? דר מרים כרמי דר אדית וייסלברג אנרגיה בקצב הכימיה פרק ה מדוע מתרחשות תגובות כימיות? ד"ר מרים כרמי ד"ר אדית וייסלברג גולת הכותרת בלימודי הכימיה סוף, סוף...תרמודינמיקה! אנרגיה, משקל... קינטיקה, שיווי תגובות חומצה בסיס, חמצון חיזור, שיקוע,...

Læs mere

הקשר בין אקלים כיתה להישגים לימודיים בהשוואה בין בנים לבנות בכיתה ט'

הקשר בין אקלים כיתה להישגים לימודיים בהשוואה בין בנים לבנות בכיתה ט' בס"ד הקשר בין אקלים כיתה להישגים לימודיים בהשוואה בין בנים לבנות בכיתה ט' מוגשת כחלק מהדרישות לשם קבלת תואר ראשון בהוראה מגישות: שמרית אביעד (אהרון) אודיה אלקסלסי טלפון מרצה: ד"ר יצחק וייס שנה"ל התשס"ו

Læs mere

הבנת הגנטיקה של צבע הפרווה בעכבר ה"פנדה"

הבנת הגנטיקה של צבע הפרווה בעכבר הפנדה בית ספר- "מעלה שחרות" סמל מוסד- 7762 טלפון: 8-635593 יטבתה ד"נ אילות, 8882 הבנת הגנטיקה של צבע הפרווה בעכבר ה"פנדה" עבודת גמר צמודת מקצוע ביולוגיה בהיקף של 5 יח"ל מגישה: יאנה אברמצ'ייב ישוב: שחרות ת.ז.:

Læs mere

אּי תי ג רפוּנ קל 2011 תשע"ב

אּי תי ג רפוּנ קל 2011 תשעב עלוּ ח ה אּי תי ג רפוּנ קל רס חוברת למידה ועזר להדרכה הסוקרת את התפתחות השימוש בחרס ע"י האדם מגילויו ועד ימינו, ופותחת אשנבים מגוונים להכרות מעשירה עם עולם הארכיאולוגיה והמרחב דרך דגש על שברי כלי החרס שאנחנו

Læs mere

החשיפה להוראה מפורשת של חשיבה תהליכית על תפיסתם וביצועיהם של תפיסת ההוראה ויישומה אצל

החשיפה להוראה מפורשת של חשיבה תהליכית על תפיסתם וביצועיהם של תפיסת ההוראה ויישומה אצל תוכנית רוטשילד - ויצמן השפעת החשיפה להוראה מפורשת של חשיבה תהליכית על תפיסתם וביצועיהם של תלמידים ועל תפיסת ההוראה ויישומה אצל מורים מגישה: נורית שושני הכל נכתב כעבודת גמר במסגרת קורס "פיתוח אמצעי למידה"

Læs mere

מדד ההכללה* ה- 4 בחברה הישראלית חברה מכלילה היא חברה חזקה

מדד ההכללה* ה- 4 בחברה הישראלית חברה מכלילה היא חברה חזקה 2016 מדד ההכללה* ה- 4 של אנשים עם מוגבלות שכלית בחברה הישראלית *הכללה - הכנסה לתוך הכלל )מתוך מילון אבן שושן( ובלעז inclusion חברה מכלילה היא חברה חזקה מדד ההכללה ה- 4 של אנשים עם מוגבלות שכלית בחברה הישראלית

Læs mere

הקשר בין אמונות בריאותיות של הורים לבין חגירת ילדים במושבי בטיחות באוכלוסייה הערבית במדינת ישראל

הקשר בין אמונות בריאותיות של הורים לבין חגירת ילדים במושבי בטיחות באוכלוסייה הערבית במדינת ישראל הקשר בין אמונות בריאותיות של הורים לבין חגירת ילדים במושבי בטיחות באוכלוסייה הערבית במדינת ישראל חיר עומרי עבודת גמר מחקרית (תיזה) המוגשת כמילוי חלק מהדרישות לקבלת התואר "מוסמך האוניברסיטה " אוניברסיטת

Læs mere

תזונה. plastids פיון כחוליות

תזונה. plastids פיון כחוליות "מעבדה מתא לאורגניזם" - 72110 מעבדה מס' - 2 חד-תאיים (Protists) המונח חד-תאיים (או חד-תאונים) מתייחס בדרך כלל ליצורים המורכבים מתא אחד בלבד, והם אאוקריוטים - כלומר בעלי גרעין תא, אברונים נבדלים וממברנות

Læs mere

תולדות ייסודו של התלמוד הבבלי כיצירה ספרותית

תולדות ייסודו של התלמוד הבבלי כיצירה ספרותית נחמיה בריל תולדות ייסודו של התלמוד הבבלי כיצירה ספרותית א עם הכרעתה של המדינה היהודית בזרוע הברזל של רומא, החלה תקופה בתולדות הספרות היהודית שמהלכה התאפיין בשקיעה מוחלטת, אך לקראת סיומה היא גילתה התחזקות

Læs mere

חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן : חלק א' - שעתיים. פרק 1: שאלון 000.

חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן : חלק א' - שעתיים. פרק 1: שאלון 000. מבחן מחצית י'- תשס"ז-מועד א' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים משך המבחן : חלק א' - שעתיים עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות - נתונה הפונקציה: פרק : שאלון 000

Læs mere

פרק שלישי: תהליכי הגל ובליזציה מש נים את העולם

פרק שלישי: תהליכי הגל ובליזציה מש נים את העולם פרק שלישי: תהליכי הגל ובליזציה מש נים את העולם בעשורים האחרונים מתרחשים בעולם תהליכים כלכליים ר ב י ע וצמה המכ ונים ג ל ו ב ל יז צ י ה *. לתהליכים אלה יש השפעה על הכלכלה, החברה, התרבות, הפוליטיקה, הסביבה

Læs mere

יגשיה טרופס 6 רפסמ ןויליג 2015 רבוטקוא

יגשיה טרופס 6 רפסמ ןויליג 2015 רבוטקוא ספורט הישגי אוקטובר 2015 גיליון מספר 6 אליפות העולם באתלטיקה בבייג'ין, 2015 2 ספורט הישגי תוכן העניינים מדעי האימון פציעות ספורט 3 דבר העורכים יניב אשכנזי, פרופ' גרשון טננבאום 30 אימוני אינטרוולים עצימים

Læs mere

המרת אנרגיה להפקת חשמל

המרת אנרגיה להפקת חשמל אנרגיה והמרתה טכנולוגיה של חומרים תהליכי תיכון וייצור מותאם לתוכנית הלימודים של משרד החינוך 2005 תודה על הלווי והייעוץ המקצועי ל: דר' מיכאל אפשטיין - מכון ויצמן מר ארז אפשטיין - מנכ"ל IT מר אייל ברנר -

Læs mere

הריאליזם ביצירותיו של אהרן מגד "דוגמאות נבחרות מיצירותיו "

הריאליזם ביצירותיו של אהרן מגד דוגמאות נבחרות מיצירותיו הריאליזם ביצירותיו של אהרן מגד "דוגמאות נבחרות מיצירותיו " الواقعيت في اعمال اهارون ميجد ووماذج مختارة مه اعماله الباحث : עבד رحيم راضي عبد הקדמה המורה רחים ראדי הריאליזם הספרותי במשמעו הכללי מצייג אשר

Læs mere

דבר העורך שם המאמר: "בחינת משתנים הקשורים להתנהגות פרואקטיבית במקום העבודה והשוואה בין-תרבותית"

דבר העורך שם המאמר: בחינת משתנים הקשורים להתנהגות פרואקטיבית במקום העבודה והשוואה בין-תרבותית דבר העורך שם המאמר: "בחינת משתנים הקשורים להתנהגות פרואקטיבית במקום העבודה והשוואה בין-תרבותית" מאת: נטע פרנס ופרופ' יצחק הרפז בחרנו להביא בפניכם מחקר ראשוני העוסק בהתנהגות פרואקטיבית בארגונים ובהשפעת

Læs mere

I ו בצלם ן % י מרכז המידע הישראלי לזכויות הא 1 ם בשטחים i בועדי ןגיון הפרת זכויות האדם של עובדי השטחים בישראל ובהתנחלויות,'. י י. : p f..יד ירושלים ספטמבר 1999 בצלם J a» * י מרכז המידע הישראלי לזכויות

Læs mere

Avir harim tzalul kayayin Vereiach oranim, Nisa beru'ach ha'arbayim Im kol pa'amonim.

Avir harim tzalul kayayin Vereiach oranim, Nisa beru'ach ha'arbayim Im kol pa'amonim. YERUSHALAYIM SHEL ZAHAV Avir harim tzalul kayayin Vereiach oranim, Nisa beru'ach ha'arbayim Im kol pa'amonim. Uvetardemat ilan va'even Shvuyah bachalomah, Ha'ir asher badad yoshevet /nitzevet Uvelibah

Læs mere

7. מעברים לבעלי חיים ופתרונות טכניים אחרים הגישה הכללית 7.2 צמצום אפקט החיץ: מעברים תחתיים 7.1 צמצום אפקט החיץ: מעברים עיליים

7. מעברים לבעלי חיים ופתרונות טכניים אחרים הגישה הכללית 7.2 צמצום אפקט החיץ: מעברים תחתיים 7.1 צמצום אפקט החיץ: מעברים עיליים . מעברים לבעלי חיים ופתרונות טכניים אחרים הגישה הכללית.1 צמצום אפקט החיץ: מעברים עיליים.2 צמצום אפקט החיץ: מעברים תחתיים.3 מניעה וצמצום של תמותת בעלי חיים ושל אפקט החיץ.4 צמצום אפקט החיץ ותמותת בעלי חיים:

Læs mere

Color LaserJet Enterprise M552 Color LaserJet Enterprise M553

Color LaserJet Enterprise M552 Color LaserJet Enterprise M553 Color LaserJet Enterprise M552 Color LaserJet Enterprise M553 M553n M552dn M553dn Installation Guide HE מדריך התקנה www.hp.com/support/colorljm552 www.hp.com/support/colorljm553 1 Select a sturdy, well-ventilated,

Læs mere

מערכת הגנת צד

מערכת הגנת צד Rodi מערכת הגנת צד הוראות שימוש ואחריות HE 2 1 3 1 2 A B C 3 1 2 D E F G H I J איורים ARGENTINA Bebehaus S.A. Tel. + 54 (911) 6265 0665 Fax + 54 (911) 5050 2339 info@bebehaus.com.ar www.bebehaus.com.ar

Læs mere

גלובס לתעשייה רב תחומיות ובין תחומיות באקדמיה ובתעשייה בשיתוף

גלובס לתעשייה רב תחומיות ובין תחומיות באקדמיה ובתעשייה בשיתוף גלובס לתעשייה גיליון מס' 4 מארס 2013 רב תחומיות ובין תחומיות באקדמיה ובתעשייה בשיתוף גיליון מס' 4 מארס 2013 המערכת דבר לתעשייה גלובס רב תחומיות ובין תחומיות באקדמיה ובתעשייה בשיתוף שני אילני קוראים יקרים,

Læs mere

נוקאאוט חרדי מחיצה בכותל מאז ומעולם קצת על הרפורמים רפורמים בקרב יהודי ארה"ב מרכזים רפורמיים בלבד בת"א התבוללות בקהילות ליברליות

נוקאאוט חרדי מחיצה בכותל מאז ומעולם קצת על הרפורמים רפורמים בקרב יהודי ארהב מרכזים רפורמיים בלבד בתא התבוללות בקהילות ליברליות מהדורת יום ו העיתון של כל הציבור החרדי ו' בתמוז תשע"ז 30/6/17 גיליון מס 157 מחיר: 5.00 ש"ח 5.00 20:33 20:33 20:30 20:31 20:32 20:31 20:34 פרשת חקת 19:31 19:28 19:13 19:19 19:20 19:32 19:25 נוקאאוט חרדי

Læs mere

קובי פרץ זוהר שדה פרויקט גמר מוגש על ידי במסגרת הקורס: פרויקט יישומי בהדרכת: המכללה הדתית לחינוך גבעת וושינגטון תמוז, תשס"ד יוני, 4112

קובי פרץ זוהר שדה פרויקט גמר מוגש על ידי במסגרת הקורס: פרויקט יישומי בהדרכת: המכללה הדתית לחינוך גבעת וושינגטון תמוז, תשסד יוני, 4112 השפעת תכנית התערבות על כושר גופני אירובי בריצה ארוכה בין תלמידי כיתות יא'- יב' בעלי הפרעות קשב וריכוז והיפראקטיביות ADHD( (לתלמידים בחינוך הרגיל שלא עברו תכנית התערבות. פרויקט גמר מוגש על ידי קובי פרץ

Læs mere

A-PDF MERGER DEMO ה דבעמ הימיכויב ה קיטניק ל ש זאטרבניא ם ירמשמ ה דבעמ ח"וד

A-PDF MERGER DEMO ה דבעמ הימיכויב ה קיטניק ל ש זאטרבניא ם ירמשמ ה דבעמ חוד ביוכימיה מעבדה APDF MERGER DEMO קינטיקה של אינברטאז משמרים דו"ח מעבדה ביוכימיה מעבדה מס' קינטיקה של אינברטאז משמרים מטרות הניסוי : א. ב. ג. הפקת האנזים. קביעת הפעילות האנזימאטית של אינברטאז בשיטת סאמנר.

Læs mere

ד"ר שגית לב ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת בר אילן ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת אריאל החוג לגרנטולוגיה, אוניברסיטת חיפה

דר שגית לב ביהס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת בר אילן ביהס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת אריאל החוג לגרנטולוגיה, אוניברסיטת חיפה ד"ר שגית לב ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת בר אילן ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת אריאל החוג לגרנטולוגיה, אוניברסיטת חיפה מהי גילנות? "גילנות מוגדרת כסטריאוטיפים שליליים או חיוביים, דעות קדומות ו /

Læs mere

עט השדה עבודה בחברה רב-תרבותית

עט השדה עבודה בחברה רב-תרבותית עט השדה כתב-העת של מיד"א מרכז ידע אשלים גיליון 3 אב תשס"ט יולי 2009 עבודה בחברה רב-תרבותית הוועדה המייעצת הוועדה להוצאה לאור, אשלים עורכת לשון עיצוב גרפי והפקה מזכירת המערכת מנהל ההוצאה לאור כתובת המערכת

Læs mere

יאז. כל טבליה ורודה מכילה: דרוספירנון 3 מ"ג Drospirenone 3 mg לרופא. אסטרוגן (אתינילאסטרדיול) ופרוגסטוגן (דרוספירנון).

יאז. כל טבליה ורודה מכילה: דרוספירנון 3 מג Drospirenone 3 mg לרופא. אסטרוגן (אתינילאסטרדיול) ופרוגסטוגן (דרוספירנון). עלון לצרכנית לפי תקנות הרוקחים (תכשירים) התשמ"ו- 1986 התרופה משווקת על פי מרשם רופא בלבד יאז טבליות מצופות כל טבליה ורודה מכילה: דרוספירנון 3 מ"ג Drospirenone 3 mg אתינילאסטרדיול (כבטדקס קלאטראט) 0.02

Læs mere

כתב עת למורי הכימיה מינהלת מל"מ המרכז הישראלי לחינוך מדעי-טכנולוגי על שם עמוס דה-שליט המחלקה להוראת המדעים

כתב עת למורי הכימיה מינהלת מלמ המרכז הישראלי לחינוך מדעי-טכנולוגי על שם עמוס דה-שליט המחלקה להוראת המדעים על סיון תשע ה יולי 2015 כתב עת למורי הכימיה משרד החינוך המזכירות הפדגוגית, אגף מדעים הפיקוח על הוראת הכימיה מינהלת מל"מ המרכז הישראלי לחינוך מדעי-טכנולוגי על שם עמוס דה-שליט המחלקה להוראת המדעים משרד החינוך

Læs mere

רשומות קובץ התקנות עמוד

רשומות קובץ התקנות עמוד רשומות קובץ התקנות כ"ב באלול התשס"ח 22 6713 בספטמבר 2008 עמוד תקנות התכנון והבניה (בקשה להיתר, תנאיו ואגרות) (תיקון מס',(3 התשס"ח 2008..................... 1426 תקנות התכנון והבניה (בקשה להיתר, תנאיו ואגרות)

Læs mere

y = (1 +K")/ (r0 + K" +r1 K' K*) פיקדונות עובר ושב 3. המכפיל* לוח 1 היחס ובין הרזרבה בפועל

y = (1 +K)/ (r0 + K +r1 K' K*) פיקדונות עובר ושב 3. המכפיל* לוח 1 היחס ובין הרזרבה בפועל הקשר ב>ו כמות הכסף לבסיס הכסף אריה מרום 1. מגוא מאמר זה נועד לבחון כיצד תשתנה כמות הכסף במשק, שעה שנתון גודלו של העירוי החיצוני, כמה זמן יארד.וכיצד יתחלק על פני הזמן; וכיצד ישפיע עירוי כזה על גודלם של

Læs mere

"קורבנות של הנרטיבים של עצמנו?" תיאור "האחר" בספרי לימוד ישראליים ופלסטיניים ביוזמת "מועצת המוסדות הדתיים בארץ הקודש" דוח מחקר, 4 בפברואר 1023

קורבנות של הנרטיבים של עצמנו? תיאור האחר בספרי לימוד ישראליים ופלסטיניים ביוזמת מועצת המוסדות הדתיים בארץ הקודש דוח מחקר, 4 בפברואר 1023 י- "קורבנות של הנרטיבים של עצמנו?" תיאור "האחר" בספרי לימוד ישראליים ופלסטיניים ביוזמת "מועצת המוסדות הדתיים בארץ הקודש" המחקר מומן בעזרת מענק ל"עתיד שונה" Future) A) Different מהמשרד לדמוקרטיה, עבודה

Læs mere

"פרויקט אישה" - הערכת התכנית לפיתוח מנהיגות נשים בקהילה לקידום בריאות נשים

פרויקט אישה - הערכת התכנית לפיתוח מנהיגות נשים בקהילה לקידום בריאות נשים מרכז סמוקלר לחקר מדיניות הבריאות "פרויקט אישה" - הערכת התכנית לפיתוח מנהיגות נשים בקהילה לקידום בריאות נשים דוח מסכם אירית אלרועי רויטל גרוס יעל אשכנזי ברוך רוזן הדוח מהווה חלק מפרויקט "אישה" וממומן בידי

Læs mere

קובץ התקנות רשומות י"ד בכסלו התשע"ו 26 בנובמבר 2015

קובץ התקנות רשומות יד בכסלו התשעו 26 בנובמבר 2015 רשומות קובץ התקנות 26 בנובמבר 2015 7574 י"ד בכסלו התשע"ו עמוד צו ביטוח בריאות ממלכתי )תיקון התוספות השנייה והשלישית לחוק(, התשע"ו- 2015.................. 180 צו ביטוח בריאות ממלכתי )תרופות בסל שירותי הבריאות(

Læs mere

כנס מנדל לחינוך יום חמישי כ א כסלו תשס ט ± בדצמבר כפר המכביה תכנית תקצירים מאמרים

כנס מנדל לחינוך יום חמישי כ א כסלו תשס ט ± בדצמבר כפר המכביה תכנית תקצירים מאמרים כנס מנדל לחינוך יום חמישי כ א כסלו תשס ט ± בדצמבר כפר המכביה תכנית תקצירים מאמרים הקדמה לרגל כנס מנדל לחינוך שנות חינוך בישראל עבר הווה ועתיד המתקיים ב ± בדצמבר בכפר המכביה מוגשת לכם אסופת מאמרים זוÆ

Læs mere

מערכות נשימה סגורות - פרק 5

מערכות נשימה סגורות - פרק 5 מערכות סגורות וצלילה ספורטיבית הקמת הארגונים להכשרה בשימוש בניטרוקס בצלילה ספורטיבית בתחילת שנות ה- 09 פתחה את השוק לשימוש בגזים מועשרים בחמצן ובחמצן טהור בצלילה ספורטיבית וכן למערכות נשימה סגורות המחייבות

Læs mere

"השלטון בישראל בכלל לא שומר על זכויות המיעוט הערבי"

השלטון בישראל בכלל לא שומר על זכויות המיעוט הערבי החפירות בעיצומן מחוז צפון גיליון מס' / 11 נובמבר 2009 ב 15.10.2009 הטרקטורים עלו לשטח והחלה בניית בית הפרקליט של מחוז הצפון מעקב בדק בית // עמ' 9 "השלטון בישראל בכלל לא שומר על זכויות המיעוט הערבי" עו"ד

Læs mere

אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות

אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות של מערכת העיכול אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות של מערכת העיכול תוכן עניינים 4 הקדמה............................................................................... 7 רקע כללי.............................................................................

Læs mere

Find bibelsk undervisning & forkyndelse på:

Find bibelsk undervisning & forkyndelse på: Find bibelsk undervisning & forkyndelse på: http://www.skriften.blogspot.com/ Det er Guds ære at holde en sag skjult, det er kongens ære at udforske en sag Ord 25:2. v1 Dette er Adams slægtsbog. Dengang

Læs mere

לארשיב םודא דוד ןגמ האופר ףגא ן טא

לארשיב םודא דוד ןגמ האופר ףגא ן טא 1 מגן דוד אדום בישראל אגף רפואה שרותי אט"ן נהלים ופרוטוקולים רפואיים לעבודת פאראמדיק באט"ן מודל עבודה ללא רופא עודכן באפריל 2008 (עדכון מס. ( 15 2 עמוד תוכן עניינים תוכן מבוא: כללי, מטרה, שיטה מבוא: סמכות

Læs mere

יום ראשון, ו בניסן תשע ד 6 באפריל 2014 מרכז וואהל, אוניברסיטת בר-אילן

יום ראשון, ו בניסן תשע ד 6 באפריל 2014 מרכז וואהל, אוניברסיטת בר-אילן משרד החינוך המינהל הפדגוגי האגף למחוננים ולמצטיינים יום ראשון, ו בניסן תשע ד 6 באפריל 2014 מרכז וואהל, אוניברסיטת בר-אילן חברי המערכת: שלומית רחמל מאירה אבידר אפרת חן ציקי רדיאנו עריכה לשונית: סטודיו שושנה

Læs mere

14 מסילות תנועה במסילות - מבט פנים 30 משקוף עיוור מ ע - שרטוט פריקסט, טבלת R1 40 חשמל יציאת חשמל, הירשמן פלאג. 46 צלון באלכסון Align Grills

14 מסילות תנועה במסילות - מבט פנים 30 משקוף עיוור מ ע - שרטוט פריקסט, טבלת R1 40 חשמל יציאת חשמל, הירשמן פלאג. 46 צלון באלכסון Align Grills תוכן עניינים הטכנולוגיה מעולם לא הציבה בפנינו כל כך הרבה הזדמנויות ומורכבויות בתהליך יישום של פרויקט חלונות דלתות והצללות אלומיניום. בחירת השותף הנכון מאפשרת לכם למנף הזדמנויות אלה בפשטות וביעילות, אולם

Læs mere

סיור מערת הנטיפים - פעולות האדם משפיעות על התנאים במערכת האקולוגית, במודע ושלא במודע

סיור מערת הנטיפים - פעולות האדם משפיעות על התנאים במערכת האקולוגית, במודע ושלא במודע סיור מערת הנטיפים - פעולות האדם משפיעות על התנאים במערכת האקולוגית, במודע ושלא במודע אפרת קורן, מורה בביה"ס דרכא גדרה, לשעבר מדריכת מוט"ל וחברה במרכז הארצי למורי מוט"ל הקדמה נושאי סביבה שעולים על סדר היום

Læs mere

המרכז הלאומי לחקר טראומה ורפואה דחופה, מכון גרטנר לחקר אפידמיולוגיה ומדיניות בריאות

המרכז הלאומי לחקר טראומה ורפואה דחופה, מכון גרטנר לחקר אפידמיולוגיה ומדיניות בריאות המרכז הלאומי לחקר טראומה ורפואה דחופה, מכון גרטנר לחקר אפידמיולוגיה ומדיניות בריאות שימוש במודל אופטימיזציה לקביעת נקודות הזנקה של אמבולנסים זמני תגובה לתאונות דרכים בישראל- לקיצור מבוסס מערכת מידע גיאוגראפית

Læs mere

בתנשמות ובבזים כמדבירים ביולוגיים בחקלאות סיכום השנה השביעית למיזם, תשע ד 2014

בתנשמות ובבזים כמדבירים ביולוגיים בחקלאות סיכום השנה השביעית למיזם, תשע ד 2014 המיזם הלאומי לשימוש בתנשמות ובבזים כמדבירים ביולוגיים בחקלאות סיכום השנה השביעית למיזם, תשע ד 4 יוסי לשם, אורי פלג, מוטי צ רטר, יואב מוטרו, דן אלון, קובי מירום, שאול אביאל, משה נתן, סיגלית ניר, איתי שמשון,

Læs mere

החוג לסיעוד בית ספר למקצועות הבריאות הפקולטה לרפואה אוניברסיטת תל-אביב סמינר מחקר בסיעוד 18 ביוני 2015 ספר תקצירים

החוג לסיעוד בית ספר למקצועות הבריאות הפקולטה לרפואה אוניברסיטת תל-אביב סמינר מחקר בסיעוד 18 ביוני 2015 ספר תקצירים החוג בית ספר למקצועות הבריאות הפקולטה לרפואה אוניברסיטת תל-אביב סמינר מחקר בסיעוד 18 ביוני 2015 ספר תקצירים 1 תוכן עניינים: בית ספר האקדמי דינה, בילינסון 3 5 -הקשר בין משתנים סוציודמוגרפים ואישיים לבין

Læs mere

יטוחלא ןופלט ילטיגיד ןובישמ םע םגד KX-TCD445BX

יטוחלא ןופלט ילטיגיד ןובישמ םע םגד KX-TCD445BX הוראות הפעלה טלפון אלחוטי דיגיטלי עם משיבון דיגיטלי דגם KX-TCD445BX טלפון אלחוטי זה תומך בתכונות שיחה מזוהה ושיחה ממתינה מזוהה כדי להציג את מספר הטלפון של המתקשר, יש להירשם בחברת הטלפונים תוכן העניינים

Læs mere

- הלעפה תוארוה - יטוחלא ןופלט C-450 םגד : 1

- הלעפה תוארוה - יטוחלא ןופלט C-450 םגד : 1 - הוראות הפעלה - טלפון אלחוטי דגם: 450-C 1 תוכן העניינים 3 4 9-5 9 10-9 11-10 13-11 16-14 21-16 23-22 29-23 30-29 32-30 37-33 38-37 39-38 40 41 43-42 44-43 45 תיאור המכשיר הוראות בטיחות התקנת המכשיר כיוון

Læs mere

עבודות פיתוח אחזקה ושיקום תשתית

עבודות פיתוח אחזקה ושיקום תשתית עבודות פיתוח אחזקה ושיקום תשתית במרכז העיר ספטמבר 1024 1 תוכן העיניינים מסמך א': הקדמה ותכולת העבודה מסמך ב': תנאים כלליים ומפרט מיוחד מסמך ג': כתב כמויות 2 עבודות פיתוח אחזקה ושיקום תשתית במרכז העיר מסמך

Læs mere

תוכנית מבצעית פיתוח אזורי משקיים בעתידך!

תוכנית מבצעית פיתוח אזורי משקיים בעתידך! www.bulgariatravel.org אתרי סקי בבולגריה מולטימדיה תוכנית מבצעית פיתוח אזורי 2007-2013 www.bgregio.eu משקיים בעתידך! הפרויקט ממומן בשיתוף עם האיחוד האירופי באמצעות קרן האירופית לפיתוח אזורי וגם מתקציב

Læs mere