Log - Mikro og makroskopiske tilstande, det mikrokanoniske ensemble, multiplicitet og entropi

Transkript

1 Log - Mikro og makroskopiske tilstande, det mikrokanoniske ensemble, multiplicitet og entropi Amalie Christensen 26. februar 2009 Indhold 1 Om spillet 2 2 Multipliciteten af makroskopiske tilstande 3 3 Hvordan udvikler entropien sig i spillet 5 4 Analogien til energi, varme, temperatur, relaxationstid og termisk ligevægt 5 5 Negativ temperatur 6 6 Alternative regler 6 1

2 1 Om spillet Figur 1: Spillet To spillere A og B har hver 7 terninger. 6 terninger ligger i en række på bordet (nummererede 1 til 6), mens den syvende er til at slå med. A s terninger ligger til start med lutter 1 øje opad, mens B s terninger ligger med lutter 6 øjne opad. Spillerne udveksler nu skiftevis fra A til B og omvendt eet øje imellem to terninger, således at hvis A har en etter og B har en sekser, ender A med en toer og B med en femmer. Spillerne slår samtidigt med deres syvende terninger, og slaget identificerer for henholdsvis A og B, hvilken terninger på bordet, der skal udveksles øjne imellem. Såfremt der skulle udveksles et øje fra en entter eller til en seker overspringes slaget. Spillet spilles 150 gange. Spillet består af to systemer kaldet I og T, hver bestående af 6 terninger. Vi har at for ét system, er: n = summen af øjnene g(n) = Multipliciteten af n 2

3 2 Multipliciteten af makroskopiske tilstande Systemet bestående af 6 terninger har 31 mulige makrotilstande, givet ved 6 n 36. Multipliciteterne er regnet ud vha. af et python-program, og ses plottet på figur 2. Som forventet får vi en meget fin gauss-klokke, med peak i n = 21. Figur 2: Multipliciteten plottet mod makrotilstanden I spillet har vi dog ikke med et men med to systemer at gøre, hvert bestående af 6 terninger, og med den samlede sum af øjnene lig 42. Da vi har at den samlede sum skal være 42 er det samlede system symmetrisk, som det også ses i tabellen på figur 3. Multipliciteten g(n) for n = 20 og n = 22 er altså den samme, i dette tilfælde lig Vi kan finde multilpliciteten af makrotilstanden af de to systemer g total, ved at gange g i (n) og g t (n). På figur 4 ses entropien S=ln(g total ) plottet mod n i. 3

4 Figur 3: Multipliciteten plottet mod makrotilstanden Figur 4: Logaritmen til multipliciteten g total plottet mod n i 4

5 3 Hvordan udvikler entropien sig i spillet Det ses tydeligt fra vores beregninger at entropien for systemet S = ln[g total (n i )] er størst ved n i = 21, som er makrotilstanden med den største multiplicitet. Se figur 4. Plottet på figur 5 viser den makroskopiske tilstand af hver spillers terninger for hvert 10. slag. Det ses at ligevægten indstiller sig efter ca. 30 slag på makrotilstanden med n = 21. Dette stemmer meget fint overens med vores beregninger af, at systemets entropi er størst ved n = 21. Figur 5: Makroskopisk tilstand plottet mod nummer slag 5

6 4 Analogien til energi, varme, temperatur, relaxationstid og termisk ligevægt Energi: Energi svarer til øjnene i spillet. Øjnene er den størrelse, der bliver udvekslet, og det samlede antal øjne i de to systemer (i dette tilfælde lig 42) er ligesom energien bevaret. Varme: Udvekslingen af øjne mellem de to systemer, svarer til varmestrøm mellem to systemer - altså udvekslingen af energi. Temperatur: Temperaturen er defineret som 1 = δs og er et udtryk for T δu et systems villighed til at afgive energi. I spillet svarer temperaturen til systemets villighed til at optage eller afgive øjne. En lav temperatur er lig en stor hældning af kurven på figur 4 - altså en stor værdi af δs, da n = U. = δs δu δn Relaxionstid: Svarer i spillet til det antal slag det tager, før summen af øjnene har indstillet sig til ligevægtværdien n = 21. Termisk ligevægt: Ved termisk ligevægt er δs = δs = 0. Dette svarer δu δn i spillet til ligevægtstilstanden, hvor summen af øjnene har indstillet sig til n = Negativ temperatur I spillet lader vi det ene system starte med alle 6 terninger lig 6, og dermed med n = 36. Dette svarer faktisk til en negativ temperatur, da hældningen på figur 4 i dette tilfælde faktisk er negativ. Dette kan ske fordi systemets totale energi er begrænset, og multipliciteten derfor falder når vi nærmer os den maksimale energi. 6 Alternative regler Vi prøvede også spillet med en lidt anden udgave af reglerne. Forskellen bestod i, at spillerne ikke skiftedes til at afgive øjne. Den syvende terning angav positionene af den terning, der skulle afgive/modtage øjne, og værdien af denne terning afgjorde om der skulle afgives eller modtages øjne. Terningen med den mindste værdie modtog et øje. Med disse reglerne ryger man utroligt hurtigt ind i en trapping region, 6

7 hvor der kun er meget få mulige værdier terningerne kan antage - i vores tilfælde 3 og 4. Men det ses at også med disse regler indstiller ligevægten på n = 21 ret hurtigt. Figur 6: Makroskopisk tilstand plottet mod nummer slag for spillet med egne regler 7