1 Geometri & trigonometri

Transkript

1 1 Geometri & trigonometri Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant ene vinkel er lige 90 stumpvinklet trekant ene vinkel er større end 90 spidsvinklet trekant ene vinkel er mindre end 90 ligebenet trekant to side er lige lange A = C a = c ligesidet trekant alle tre sider er lige lange A= B= C=60 o = 3 a = b = c ensvinklede trekanter A= A', B=B ' = C=C ' a b = a ' b', b c = b ' c ', c a = c' a ', trigonometri.odt Side 1 /7 Jakob Gudmandsen

2 1.0.2 Yderligere forhold for vilkårlige trekanter højde står vinkelret på modstående side ift. vinkelspids median forbinder vinkelspids med midt på modstående side vinkelhalveringslinie deler vinkelspids i 2 lige store vinkler midtnormal står vinkelret ud fra midt på side indskrevne cirkel har centrum i skæringspunktet for trekantens medianer. radius, således at cirklen har siderne som tangenter omskrevne cirkel har centrum i skæring mellem trekantens midtnormaler. radius, således at cirklen skærer vinkelspidserne For yderligere geometriske definitioner, se Ole Haubo Christensens upload, på CFU_Aarhus, på: %2FOle+Haubo+Christensen%2FMatematik%2FFormel.pdf som er formelsamling for Folkeskolens afsluttende prøver i matematik (tast Ctrl+klik). trigonometri.odt Side 2 /7 Jakob Gudmandsen

3 1.1 Afstanden mellem to punkter i xy-planet afstand a 2 b 2 = c 2 BC 2 AC 2 = AB 2 omsat til punkterne A & B's koordinater i xy-planet, hvor y = BC = y b y a og x = AC = x b x a heraf følger AB = y b y a 2 x b x a 2 Illustration 1: afstanden mellem 2 punkter i xy-planet 1.2 Trigonometriske funktioner Cosinus Sinus Tangens = x v = cos 1 v sin v = x v = sin 1 v tan v = x v = tan 1 v sin v tan v = tan 1 v = sin v Bemærk: tangens bliver til tider betegnet ved tg(v), ligesom de inverse trigonometriske funktioner kan kaldes acos, asin, atan. Ved de inverse funktioner skal opmærksomheden henledes på definitionsmængde og relationer der medfører flere løsninger: Invers Cosinus, Dm(f)=[-1;1] = cos v Invers Sinus, Dm(f)=[-1;1] sin v = sin 180 v Invers Tangens, Dm(f)= R {± } tan v = tan v 180 Disse løsninger kan konstateres ved iagttagelse på 1.3 enhedscirklen. trigonometri.odt Side 3 /7 Jakob Gudmandsen

4 1.3 Enhedscirklen Defineret som cirklen med centrum i Origo (x,y) = (0,0) og med radius r = 1. Positiv omløbsretning er mod uret.. cos(v) aflæses på 1.aksen sin(v) aflæses på 2.aksen tan(v) aflæses på x=1 sin x tan v = v {90 o, 270 o,osv.} ret linjes hældning: = y x tan v = sin v 0 0 = = tan v Illustration 2: enhedscirklen, r = 1 P = cos v ;sin v Q = 1 ; tan v Se eksakte værdier for trigonometriske funktioner ved nogle vinkel-værdier på (tast Ctrl+klik). 1.4 Cirkel med vilkårlig radius For tilsvarende cirkel med vilkårlig radius = r, gælder at sidelængderne skaleres med en faktor k = r, hvorved koordinaterne for punktet P bliver: P = x p ; y p = r cos v ;r sin v og Q = x q ; x q = r ; r tan v...præcis som enhedscirklen, men skaleret med faktoren r. når tangens udregnes på baggrund af tan v = r sin v r = sin v vil den altid være uafhængig af radius, men som skitseret til højre er den her aflæst på den lodrette linje x=r i stedet for x=1, hvorfor aflæsningen giver r tan(v). Illustration 3: cirkel med radius r trigonometri.odt Side 4 /7 Jakob Gudmandsen

5 1.5 Retvinklede trekanter pythagoras a 2 b 2 = c 2 relationer jfr.illustration 3 side 4 1 a=c sin A c= a A=sin a sin A 1 c b=c cos A c= b A=cos b cos A 1 c a=c cos B c= a B=cos a cos B c b=c sin B c= b sin B a = b tan A b = b = a tan B a = hældning for c B=sin 1 b c a tan A b tan B = y x A = tan 1 a b B = tan 1 b a = c sin A c cos A Illustration 4: retvinklet trekant = sin A cos A = tan A Summeret op med prosa: Cosinus til en vinkel er lig med den hosliggende katete divideret med hypotenusen Sinus til en vinkel er lig med den modstående katete divideret med hypotenusen Tangens til en vinkel er lig med den modstående katete divideret med hosliggende katete Det vil sige at når der oprereres med en vinkel, hypotenusen og vinklens hosliggende katete bruges Cosinus, en vinkel, hypotenusen og den modstående katete bruges Sinus og har vi en vinkel og de to katete bruges Tangens. trigonometri.odt Side 5 /7 Jakob Gudmandsen

6 1.6 Vilkårlige trekanter for vilkårlige trekanter (ikke nødvendigvis retvinklede) gælder der følgende generelle sammenhænge: areal h B A trekant = 1 2 h G = c sin A = a sin C Illustration 5: en vilkårlig trekant Sinusrelationer sin A sin B sin C = = a b c eller a sin A = b sin B = c sin C arealberegning Cosinusrelationer A trekant =½bc sin A =½ac sin B =½ab sin C eller a 2 =b 2 c 2 2bc cos A b 2 =a 2 c 2 2ac cos B c 2 =a 2 b 2 2ab cos C cos A = b2 c 2 a 2 2bc cos B = a2 c 2 b 2 2ac cos C = a2 b 2 c 2 2ab eller ('Det dobbelttydige tilfælde') b = c cos A ± a 2 c 2 sin 2 A c = b cos A ± a 2 b 2 sin 2 A c = a cos B ± b 2 a 2 sin 2 B a = c cos B ± b 2 c 2 sin 2 B a = b cos C ± c 2 b 2 sin 2 C b = a cos C ± c 2 a 2 sin 2 C trigonometri.odt Side 6 /7 Jakob Gudmandsen

7 1.7 Sammenhænge mellem trigonometriske funktioner Nedenstående sammenhænge og relationer kan vises ved betragtninger på 1.3 enhedscirklen Overgangsformler cos v = sin v = sin v cos v 180 = cos v sin v 180 = sin v 180 = cos v sin v 180 = sin v cos 180 v = cos v sin 180 v = sin v cos v 90 = sin v sin v 90 = cos v 90 = sin v sin v 90 = cos v cos 90 v = sin v sin 90 v = a 2 b 2 = c 2, cos 2 v sin 2 v = 1 1 tan 2 1 v = cos 2 v 1 cot 2 1 v = sin 2 v tan v = tan v tan v 180 =tan v tan 180 v = tan v tan 90 v = tan v tan 90 v = tan v tan v 90 = tan v sin v tan v = 1 cot v = tan v = sin v tan v cot v = 1 trigonometri.odt Side 7 /7 Jakob Gudmandsen