Impulsbevarelse ved stød

Transkript

1 Iulsbevarelse ved stød Indhold. Centralt stød.... Elastisk stød Uelastisk stød Iulsbevarelse ved stød Centralt elastisk stød Centralt fuldstændig uelastisk stød Ekseler og ogaver...6 Ole Witt-Hansen 977 (06

2 Iulsbevarelse ved stød. Centralt stød Vi skal i det følgende beskæftige os ed de lovæssigheder der gælder, når to legeer støder saen i et centralt stød. Centralt, betyder at legeerne før og efter stødet bevæger sig langs sae rette linie. Nedenfor er skitseret de tre faser af et centralt stød. To legeer ed asserne og bevæger sig hen iod hinanden ed hastighederne u og u. Stødet: De to legeer åvirker hinanden ed kræfter F og. Herved deforerer de to legeer hinanden. F De to legeer fjerner sig nu fra hinanden ed hastighederne v og v. Eventuelt kan de to legeer være trykket saen til et legee, der bevæger sig ed deres fælles hastighed v v. Beærk, at alle variable for. legee har indeks (, og tilsvarende for legee. Beærk endvidere at alle hastigheder før stødet betegnes ed bogstavet u, en hastighederne efter stødet betegnes ed bogstavet v. (Vigtigt for overblikket Vi antager, at der ikke forekoer gnidningskræfter ed underlaget, således at de eneste kræfter, der åvirker de to legeer, er de kræfter, hvored de åvirker hinanden. Vi betragter nu to rinciielt forskellige situationer.. Elastisk stød De to legeer vil under stødet deforere hinanden, og deres kinetiske energi vil under stødet være delvis odannet til otentiel energi, en å grund af elasticiteten vil den otentielle energi igen blive odannet til kinetisk energi. Et elastisk stød er derfor defineret ved at den kinetiske energi er bevaret. Et elastisk stød kan f.eks. (ed god tilnærelse realiseres, når to billard kugler støder saen. 3. Uelastisk stød Et fuldstændig uelastisk stød er karakteriseret ved, at de to legeer arbejder sig (uelastisk ind i hinanden, og efter stødet fortsætter so et legee, ed deres fælles hastighed. Et fuldstændig uelastisk stød, kan f.eks. realiseres ved at skyde et rojektil ind i en træklods, hvor det bliver siddende.

3 Iulsbevarelse ved stød De fleste stød vil nok være en elleting elle de to tilfælde, hvor legeerne nok er adskilt efter stødet, en hvor der er et tab i kinetisk energi å grund af friktion. Når den kinetiske energi ikke er bevaret kaldes stødet for uelastisk. På trods af forskelligheden i de tre tyer af stød, vil vi alligevel vise, at der gælder en og sae lovæssighed for de alle. Dette kaldes for iulsbevarelse (bevægelsesængdebevarelse. 4. Iulsbevarelse ved stød Vi betragter derfor et centralt stød, der kan være enhver af de tre tyer. Vi antager at stødet varer tidsruet Δt. I dette tidsru antages at legeerne åvirker hinanden ed kræfterne: F og F. Ifølge Newtons 3. lov er F og F til ethvert tidsunkt lige store og odsat rettede: F F Under stødet får legee ( en hastighedstilvækst: v v u og legee ( får en hastighedstilvækst: v v u. De to legeers (gennesnitlige acceleration under stødet, kan da bestees ved at dividere hastighedstilvæksten ed Δt. Vi oskriver derfor Newtons. lov for de to legeer under stødet: (. v v F a F a t t Ved anvendelse af Newtons 3. lov: v v (.3 F F ( v u ( v u t t Ordnes leddene i den sidste ligning, så hastighederne efter stødet står å venstre side og hastighederne før stødet, står å højre side, får an: (.4 v v u u Man definerer et legees iuls (bevægelsesængde so roduktet af et legees asse og dets hastighed. Iuls betegnes ed bogstavet. Iulsen er lige so hastigheden en vektor. (.5 v Af (.4ses, at suen af de to legeers iuls efter stødet er lig ed suen af de to legeers iuls før stødet. Dette kaldes for (.6 Iulsbevarelse ved vekselvirkning (stød elle to legeer

4 Iulsbevarelse ved stød 3 Beærk, at da vi regner ed vektorer, har vi intet antaget o, at stødet var elastisk eller centralt. Iulsbevarelsen gælder uindskrænket, også i de tilfælde, hvor den ekaniske energi ikke er bevaret. Næst efter energibevarelse er iulsbevarelse nok den vigtigste lovæssighed i fysikken. Af definitionsligningen (.5 ses, at iuls har SI-enheden kg /s. Vil vi nu betragte det central elastiske og det fuldstændig uelastiske stød i detaljer. 5. Centralt elastisk stød Kun for at lette regningerne, gennefører vi ekselet ed den antagelse at legee ( er i hvile før stødet, så u = 0. Resultaterne for det generelle tilfælde er anført bagefter. Vi droer endvidere vektorsybolerne, idet der er tale o retlinede bevægelser, ens hastighederne fortsat skal regnes ed fortegn. For det elastiske stød gælder både iulsbevarelse og bevarelse af den kinetiske energi. (.6 I : u v v (Iulsbevarelse, hvor u = 0 II : u v v (Bevarelse af den kinetiske energi Af disse (to ligninger ed to ubekendte, kan an beregne hastighederne v og v efter stødet. Da det ikke er lineære ligninger, gøres det ved følgende oskrivninger, (so er vist en ikke forklaret i detaljer: I : v (.7 II : ( u v v ( u v I : ( u v v ( u v ( u v II : v I det sidste udtryk divideres da I o i II. (I skal dog beholdes, hvis vi skal regne ensbetydende I : ( u v v I : ( u v v II : ( u v v II u v v v 0 : I : u v 0 I : ( u v ( u v II : v 0 II : v u v De sidste to ligninger er to lineære ligninger ed to ubekendte, og de løses å sædvanlig vis. (.8 v u v u v 0 v u

5 Iulsbevarelse ved stød 4 Af udtrykkene (.8 ses, at hastighederne efter stødet v og v kan beregnes, når hastigheden før stødet u sat asserne og er kendte. Løsningen ed v = 0, har ingen fysisk interesse, da det betyder at legeerne ikke støder saen, en fortsætter ed deres resektive hastigheder. (Men det er en løsning til ligningerne. Af udtrykkene fregår, at v altid er ensrettet ed u, ens v er ensrettet ed u, hvis > (edløb og odsat rettet u, hvis < (refleksion. Hvis =, ser an, at v = u og at v =0. De to legeer bytter hastigheder, et fænoen, der er velkendt fra billard sil. Hvis vi nu antager at er uendelig stor i forhold til (en bold raer et gulv, så kender vi resultatet, so også kan vises ud fra ligningerne (.7, ved at dividere ed i tæller og nævner, og anvende at forholdet : er nul. v u u u v Gulvet bliver liggende, og bolden sringer tilbage ed den sae hastighed. Vi har taget dettte ed, fordi vi skal anvende resultatet i den kinetiske olekylteori, hvor olekyler støder od væggen af en beholder. Det generelle tilfælde, hvor begge legeer er i bevægelse før stødet, kan løses efter den sae etode, ved anvendelse af lidt ateatisk snilde. Resultatet er: I : u u v v (Iulsbevarelse, hvor u <> 0 0 I II u u v : ( u v ( v u II : ( u v ( v u I II Ved at dividere II ed I: : v (Bevarelse af den kinetiske energi : ( u v ( v u : ( u v ( u v ( v u( v u I : ( u v ( v u II : u v v u I : v v u u II : v v u u

6 Iulsbevarelse ved stød 5 I : v v u u II : v v u u ( u v u ( u ( u u ( Her af følger udtrykket for v. Udtrykket for v findes å helt tilsvarende åde. ( u u ( u u (.8 v u v u Indsættes u =0, ses efter en indre reduktion, at an genfinder resultatet (.7 6. Centralt fuldstændig uelastisk stød Ved det fuldstændig uelastiske stød er den kinetiske energi ikke bevaret ved stødet, en den fælles hastighed v = v = v efter stødet kan beregnes ud fra iulssætningen. Vi antager først, at u = 0. (.9 u v v u v Vi udregner dernæst tilvæksten i kinetisk energi. (.0 E kin E kin u ( u v u ( ( u So det fregår af (.0, så er tilvæksten i kinetisk energi altid negativ. Der sker altid et tab i kinetisk energi ved et uelastisk stød. Det generelle tilfælde, hvor begge legeer er i bevægelse før stødet, kan udregnes å lignende vis: (. I : u u v v u u v E kin ( v u u (. E kin ( u u

7 Iulsbevarelse ved stød 6 7. Ekseler og ogaver.3 Ekseel. Hastigheden af et rojektil Et rojektil fra et gevær ed assen = 0 g, skydes ind i en træklods ed assen k = 3,0 kg, hvor den bliver siddende. Klodsen er anbragt å et bord, og bliver so følge af stødet flyttet en strækning s = 5,0, hvorefter den bliver bragt til standsning, so følge af friktionen ed underlaget. Gnidningskoefficienten elle bord og klods er ålt til: µ = 0,0. a beregn klodsens hastighed v lige efter, at rojektilet har rat. b Beregn rojektilets hastighed. cberegn tabet i kinetisk energi og angiv tabet i rocent. dhvorledes osættes den kinetiske energi. Løsning: a Vi anvender arbejdssætningen: Den resulterende krafts (gnidningskraftens arbejde er lig ed tilvæksten i kinetisk energi. F gnidning s 0 ( v k v F gnidning Indsættes heri F gnidning =µ( + k g, finder an ed indsatte talværdier. k s 0,03,0 kg 9,8 / s 5,0 v 4,43 / s 3,0 kg b Vi anvender iulssætningen for fuldstændig uelastisk stød u ( v k k u Indsættes den fundne værdi for v, finder an: u = 669 /s. v c Vi anvender 0,0 kg 3,0 kg 3 E kin E kin (669 / s 4,45 J 3,0 kg 0 u E 4,45 4,48 kin d 00% 99,3% ½ u Dette tab i kinetisk energi osættes til vare i klodsen.4 Ogaver. En lastbil, so vejer 6 ton, støder frontalt saen ed en ersonvogn, der vejer 700 kg. Lastbilens hastighed før saenstødet er 60 k/h og ersonbilens hastighed før saenstødet er -80 k/h. Saenstødet antages at være centralt og fuldstændig uelastisk. a Beregn de to vognes fælles hastighed lige efter stødet, og beregn hastighedstilvæksten for begge køretøjer. b Idet an antager at saenstødet varer 0,5 sek, skal an udregne, hvor store accelerationer føreren i lastbilen og ersonbilen er udsat for under saenstødet. c Under den antagelse, at de begge vejer 80 kg og at de begge sidder i sele, skal an beregne den kraft, so selen åvirkes ed.

8 d Oregnet til tyngdekraft, hvor stor en asse vil det svare til i de to tilfælde. Iulsbevarelse ved stød 7