Udsagnslogik. Anker Mørk Thomsen. 6. december 2013

Transkript

1 Udsagnslogik Anker Mørk Thomsen 6. december 2013

2 Logiske Udsagn Sætningstyper Spørgende (interrogative): Hvor længe bliver du i byen? Befalinger (imperative): Gå tilvenstre efter næste sving? Ønsker (optative): Jeg ville gerne en tur til Rom i år Påstande (deklarative): Huset er rødt Et logisk udsagn er en påstand, som er enten sand eller falsk.

3 Boolske Operatorer Udtryk Navn Normal udtale P Q ækvivalens P er ækvivalent med Q P Q disjunktion P eller Q P Q konjunktion P og Q P Q implikation P medfører Q P Q konsekvens P følger af Q P Q biimplikation P hvis og kun hvis Q P negation ikke P

4 Boolske Operatorer Udtryk Navn er true, hvis og kun hvis P Q ækvivalens præcist et lige antal operander er false P Q disjunktion mindst én af operanderne er true P Q konjunktion alle operanderne er true P Q implikation Q er true eller P er false P Q konsekvens P er true eller Q er false P Q biimplikation P Q Q P P negation P er false

5 Præcedensregler Præcedens og

6 Omvendt polsk notation (postx notation) Dijkstras vigesporsalgoritme. Udtrykket omgives af et start- og slutsymbol, som ophæver hinanden. F. eks. #. Eks. #(a + b) 4 b 3 # Vigesporet er en stak, hvor man gemmer operander og parenteser Venstre- og højreparenteser ophæver hinanden Boolske operatorer Aritmetiske operatorer Precedence: fortegn (+, ) + og ^ potensopløftning

7 Udførelse af postx-udtryk Udførelse af et udtryk, der er på OPN Værdier stakkes Operationer udføres ved at fjerne operanderne fra stakken, udføre operationen og gemme resultatet på stakken

8 Sandhedstabeller P false false true true Q false true false true P Q R false false false false false true false true false false true true true false false true false true true true false true true true

9 Sandhedstabeller P Q P Q false false true false true false true false false true true true

10 Operatorernes egenskaber Denition Egenskaber ved operatorer. En operator er symmetrisk eller kommutativ, hvis og kun hvis a b = b a for alle a og b, hvor kan bruges. En operator er associativ, hvis og kun hvis (a b) c = a (b c) for alle a, b og c, hvor kan bruges. Denition Neutralt element. Et neutralt element e for en operator er deneret ved, at den ingen virkning har på resultatet, dvs. at x e = x.

11 Operatorernes egenskaber Operatorerne, og er alle associative og symmetriske (kommutative). Og de har alle et neutralt element, nemlig Operator Neutralt element Udtryk true (P true) P false P false P true P true P

12 Operatorernes egenskaber Denition Nul-element. Et nul-element nul for en operator er et element, som giver nul som resultat for alle værdier. Altså er x nul = nul for alle x, hvor kan anvendes. Operatorerne og har begge et nul-element. Operator Nul-element Udtryk true P true true false P false false

13 Boolske Udtryk Gyldigt udtryk En identier U op V Kommentar F. eks. P, Q, R21, U, V hvor op er en af,,,, og U og V er gyld U hvor U er et gyldigt udtryk (U) hvor U er et gyldigt udtryk

14 Boolske Udtryk Bachus-Naur notation U ::= true false var U ::= U op U U ::= ( U ) U ::= U op ::= var ::= identier

15 Boolske Udtryk Udtrykket (p q r p) q er et gyldigt logisk udtryk. Evalueret i tilstanden {p = true, q = false, r = true} fås (true false true true) false som er true. Prøv at nde en tilstand, hvor udtrykket er false Øvelse. Antag, at din computer kan evaluere 10 8 /n boolske udtryk U med n variabler hvert sekund. Hvor stor må n være, for at computeren kan udføre evalueringen af U i alle mulige tilstande indenfor ét år.

16 Boolske Udtryk Evaluering af boolsk udtryk. true false true [evaluering af, h/ojeste prioritet] true false [evaluering af ] true

17 Boolske Udtryk Evaluering af boolsk udtryk true false (false true true) [evaluring af ] true true (false true true) [evaluering af f /orste ] true (false true true) [evaluering af i parentes] true (true true) [evaluering af i parentes] true true [evaluering af ] true

18 Regneregler for boolske operatorer Symmetrisk p q q p og p q q p Kaldes også kommutativ Associativ p (q r) (q p) r og p (q r) (q p) r Idempotens p p p og p p p Neutralt element p true p og p false p Nul værdi p false false og p true true Enten-eller p p Modstrid p p false Exkluderet middel p p true Implikation p q p q Lighed (p q) (p q) Absorbering p (p q) p og p (p q) p Distribution p (q r) (p q) (p r) og p (q r) (p q) (p r) demorgans love (p q) p q og (p q) p q