Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.

Transkript

1 Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23

2 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1) og X N(µ,σ 2 /n) (vilkårlig stikprøvefordeling). 2. Ukendt σ: T = X µ S/ t(n 1) n (normalfordelt stikprøve). S 2 : n 1 σ 2 S2 χ 2 (n 1) (normalfordelt stikprøve). 2/23

3 t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling u l l,u: henholdsvis 25% fraktil -1.5 IQR og 75 % fraktil IQR 3/23

4 Eksempel Histogram af s 2 værdier beregnet udfra 1000 stikprøver hver med n = 10 og σ = 1. s^2 Density Viser fordelingen af S 2 for gentagne eksperimenter! 4/23

5 Sensitivitet overfor afvigelser fra normalitet T: t-fordeling robust overfor afvigelser fra normalitet af fordelingen af observationerne X 1,...,X n. (n 1)S/σ 2 : χ 2 fordeling sensitiv overfor afvigelser fra normalitet. 5/23

6 Punktestimater Empirisk middelværdi X og median X begge estimater af parameter θ = µ. Histogrammer for normalfordelte stikprøver hver med n = 10. Histogram over gennemsnit sd=0.32 Histogram over Median sd=0.37 Bemærk: begge estimater er middelværdirette E( X) = E( X) = µ = 0 men X er mest præcis (efficient) i tilfælde af normalfordelte stikprøver. 6/23

7 Konfidensintervaller Estimat ˆθ giver bedste bud på værdien af θ udfra en stikprøve. Men hvilke andre værdier kunne være plausible bud på θ? Konfidensinterval: et (tilfældigt) interval [ˆθ L, ˆθ U ] så intervallet med en given sandsynlighed indeholder θ. 7/23

8 Konfidensinterval for µ X generelt det bedste estimat for µ. Naturligt at vælge konfidensinterval centreret om X: [ X a, X + a] Finde a så interval indeholder µ med given sandsynlighed. 8/23

9 Ex 95% konfidensinterval for µ når σ kendt Da har vi og Z = X µ σ/ n er N(0, 1) P( 1.96 < Z < 1.96) = 95% 1.96 < Z < σ n < X µ < 1.96 σ n X 1.96 σ n < µ < X σ n 9/23

10 Ex 95% konfidensinterval for µ når σ kendt (fortsat) Dvs. er et 95 % konfidensinterval. [ X 1.96σ/ n, X σ/ n] NB tilfældigt interval, da X tilfældig hvorimod θ = µ er fast (men ukendt) I 95% af vores eksperimenter vil intervallet indeholde θ. NB: estimationsfejl X µ mindre end 1.96σ/ n med sandsynlighed 95 %. I praksis repræsenterer konfidensinterval et interval af plausible værdier for den ukendte parameter. 10/23

11 Eksempel: konfidensinterval er stokastisk µ = 5 σ = 1 n = 10 Værdier af X for 5 forskellige stikprøver: Tilsvarende 95 % konfidensintervaller: [ X 1.96/ 10, X / 10]: [4.39,5.63] [4.55,5.79] [4.63,5.87] [4.61,5.85] [4.67,5.91] 50 konfidensintervaller: konfidensinterval stikproeve nummer 11/23

12 Ex 9.2 side 275 X baseret på 36 målinger af zink-koncentrationer er 2.6 og σ = % konfidensinterval er [2.5, 2.7]. 99 % konfidensinterval: z = hvorved 99 % interval bliver [2.47, 2.73]. Omvendt: antag at vi gerne vil have at bredden af 99 % interval kun er 0.1. Hvad kan man så gøre? 12/23

13 99 % konfidensinterval for µ når σ ukendt Da har vi og T = X µ S/ n er t(n 1) P(t < T < t ) = 99% t < T < t t S n < X µ < t S n X t S n < µ < X + t S n Dvs. er et 99 % konfidensinterval. [ X t S/ n, X + t S/ n] 13/23

14 Ex 9.5 side 280 Indhold af syre: 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10, 10.2, 9.6 (n=7) x = 10 og s = Da t (7 1) = fås 95 % konfidensinterval [9.74, 10.26]. 14/23

15 Konfidensinterval for σ 2 Da vil og n 1 σ 2 S2 χ 2 (n 1) P ( χ n 1 σ 2 S2 χ 2 ) = 95% χ n 1 σ 2 S2 χ χ (n 1)S 2 χ Dvs. 95 % konfidensinterval for σ 2 er [ ] (n 1)S 2 (n 1)S2 χ 2, χ σ 2 (n 1)S 2 1 χ σ 2 (n 1)S2 χ /23

16 Ex 9.17 side 307 Stikprøve: 46.4, 46.1, 45.8,...,46.0 (n=10) s 2 = Find 95 % konfidensinterval for σ 2. 16/23

17 Konfidensintervaller i SPSS Vi har kigget på konfidensintervaller i tre tilfælde idag: 1. Konfidensinterval for middelværdi, hvor varians er kendt 2. Konfidensinterval for middelværdi, hvor varians er ukendt 3. Konfidensinterval varians Tilfælde 2 kan udregnes via SPSS ved at gå ind i Analyze Compare means One-sample T-Test og gå ind under options for at vælge intervallet (95%, 99%,...) Der er ingen funktion til 1 og 3 men SPSS kan selvfølgelig stadig bruges til mellemregninger (udregning af x, s, samt opslag af fraktiler i normal-, t- eller χ 2 -fordelingerne). 17/23

18 Vedr. engelsk sprogbrug Man bruger ofte betegnelsen standard error for standardafvigelsen for et estimat. Ex standard error for X er σ 2 /n = σ/ n. 18/23

19 Hypotese test: illustration udfra check af mønt Kast med mønt 50 gange. X antal plat. Sandsynlighed for plat: p. Hypotese H 0 : p = 0.5 (mod alternativ p 0.5). Ex antag vi har observet plat 35 gange. Jo større afstand fra 25 des mere grund til at mistro H 0. Sandsynlighed for større afstand (under antagelse af p = 0.5): P(X 15 eller X 35) = Vi kan nu forsøge at lave en beslutningsregel udfra forkast/acceptområder, eksempelvis: Forkastelsesområde: F = {0,...,17, 33,...,50} Acceptområde: A = {18,...,32}. 19/23

20 Forskellige typer af fejl når vi forkaster/accepterer Notationen P p ( ) nedenfor betyder at den pågældende sandsynlighed er udregnet ved brug af denne parameter p. Y = beslutning {A, F } Fejl af type I: Y = F (forkast at p = 0.5) når p = 0.5 Fejl af type II: Y = A (acceptér at p = 0.5) når p 0.5 Signifikans niveau: α = P(type I fejl) = P(forkaste sand nulhypotese) = P 0.5 (Y = F). Styrkefunktion: 1 β(p) = P(forkaste falsk nulhypotese) = P p (Y = F) (hvor β(p) = P(type II fejl) = P(acceptere falsk nulhypotese) = P p (Y = A)) Bemærk at falsk ovenfor svarer til en eller anden p forskellig fra 0.5, og sand svarer til p = 0.5 (nulhypotesen). 20/23

21 Type I og type II fejl H 0 sand H 0 falsk Accept H 0 korrekt afgørelse type II fejl (ssh. β) Forkast H 0 type I fejl (ssh. α) korrekt afgørelse Optimalt: lille α og lille β. NB for en given stikprøve størrelse n kan vi ikke formindske α uden samtidig at øge β og omvendt. 21/23

22 Hypotese test: test af hypotese vedr. µ (σ kendt) Hypoteser: H 0 : µ = 68, H 1 : µ 68 Antagelser: σ = 3.6 kendt og n = 36 Store eller små værdier af teststørrelser er kritiske. X µ henhv. Z = X µ σ/ n Accept hvis X i A = [67, 69] og forkast hvis X i F =], 67[ ]69, [. Hvad er nu P(type I) og P(type II)? Hvordan kan vi reducere α = P(type I)? Hvordan kan vi reducere β = P(type II) for fast værdi af α? 22/23

23 Styrkefunktion H 0 : µ = 68 forkastes hvis X mindre end 67 eller større end β(µ) er styrken når middelværdi er µ. Plot af styrke: styrke n=36 n= mu 23/23