מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לתלמידי הנדסת חשמל

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לתלמידי הנדסת חשמל"

Transkript

1 אוניברסיטת תל אביב מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לתלמידי הנדסת חשמל חוברת התרגול נערך ע''י אופיר הררי

2 תוכן עניינים 4 1 מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות 8 מרחב הסתברות סימטרי, הכלה והפרדה 1 3 קומבינטוריקה בסיסית 18 4 הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות 6 5 משתנים מקריים, התפלגויות בדידות 34 6 משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב 41 7 התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון 49 8 תוחלת ושונות 58 9 הפונקציה יוצרת המומנטים 6 10 ההתפלגות הנורמלית התפלגויות דו מימדיות, התפלגות מותנית, אי תלות 79 1 שונות משותפת ומתאם משפט התוחלת השלמה, סכום של משתנים מקריים בלתי תלויים אי שוויונות, חוקי מספרים גדולים ומשפט הגבול המרכזי הסקה סטטיסטית, שערוך אופטימלי 1 16 שאלות חזרה שאלות העשרה 1

3 הקדמה חוברת זו מיועדת לתלמידי הקורס ''מבוא להסתברות וסטטיסטיקה'' הניתן לתלמידי הנדסת חשמל באוניברסיטת תל אביב, אך התכנים אותם היא מכסה מתאימים ברובם לכלל תלמידי הפקולטה להנדסה. הגרסא הראשונית של חוברת זו נערכה בתקופה שקדמה לסמסטר ב' של שנת הלימודים תש''ע 010) והתבססה על תרגילים שנאספו לאורך השנים על ידי מרצים ומתרגלים שונים, וביניהם: ד''ר שלומי רובינשטיין, ד''ר רועי טפר, ד''ר יובל הלר, ד''ר גייל גלבוע פרידמן וד''ר ריקי רות גרין. מאז ועד עתה החוברת ממשיכה להתעדכן בקביעות בהתאם לשינויים בתכנית הקורס ובצרכי הסטודנטים כפי שהם משתקפים בהרצאות ובכיתות התרגול. החוברת כוללת כ 90 תרגילים רובם מרובי סעיפים) ופתרונות מלאים במגוון נושאים, המהווים את הבסיס לשיעורי התרגול הניתנים ב 14 השבועות בהם ניתן הקורס. הערות ותיקונים יתקבלו בברכה בכתובת הדואר האלקטרוני שלי המופיעה על עמוד השער. אופיר 3

4 פרק 1 מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות הגדרות קבוצה היא אוסף של עצמים שונים, ללא חשיבות לסדר הופעתם כאשר אין משמעות לאיבר המופיע יותר מפעם אחת). אם x הוא איבר בקבוצה A נרשום x, A אחרת הקבוצה הריקה) } { φ, {פיטר שילטון,דייגו מראדונה,סוס, 1,3,a }, A קבוצת המספרים הממשיים, R נרשום x. / A דוגמאות לקבוצות: קבוצת המספרים השלמים חיוביים ושליליים), Z { }, B {,3,4,5,6} x Z x 6, C. C[0,1] { x+iy { f : [0,1] R } x,y R, i 1 } f רציפה נאמר שקבוצה A מוכלת בקבוצה B ונסמן A B אם לכל a A מתקיים.a B.A B. B נקראת תת קבוצה של A B. B A וגם A B אם A B { x פעולות על קבוצות: }.1 החיתוך של קבוצות A ו B הוא x A וגם x B הערה 1 קבוצות A ו B תקראנה זרות אם.A B φ בהתאם, קבוצות A 1 A,..., n תקראנה זרות בזוגות אם כל זוג קבוצות A i ו A j כאשר i < j n 1 הן זרות. 4

5 פרק 1. מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות.A B { x }. האיחוד של קבוצות A ו B הוא x A או x B 3. נהוגלהניחאתקיומהשלקבוצה''אוניברסלית''הכוללתאתכלהאיברים. קבוצהכזו אותה מרחב המדגם ומסמנים נקראת בדרך כלל העולם ובתורת ההסתברות } מכנים.Ā {ω אותה ב Ω. המשלים של קבוצה A יהיה אם כן Ω ω / A { }.4 נגדיר הפרש של קבוצות ע''י.A\B x A x / B A B A B A A B B A B Ω Ω A A A A\B B B\A Ω Ω איור 1.1: משמאל למעלה, בכיוון השעון: דיאגרמות וון של החיתוך של A ו B, האיחוד של A ו B, ההפרש הסימטרי של A ו B והמשלים של A. תכונות סימטריות: A B B A.1 A B B A. אסוציאטיביות: 5

6 פרק 1. מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות A B C) A B) C.1 A B C) A B) C. דיסטריביוטיביות: A B C) A B) A C).1 A B C) A B) A C). כללי דה מורגן: A B Ā B.1 A B Ā B. דוגמאות 1. מטילים קובייה הוגנת. נסמן ב A את אוסף התוצאות הזוגיות, ב B את אוסף התוצאות שאינן עולות על 3 וב C את אוסף התוצאות האי זוגיות. א) רשמו את מרחב המדגם Ω בצורה מפורשת, A ו B. ב) רשמו את A B,A B ו B. ג) מהו?A B C האם B A, ו C זרות בזוגות? א) {1,,3,4,5,6} Ω. B {1,,3}, A {,4,6}, ב) {} A B B {4,5,6}, A B {1,,3,4,6},. ג),A B C φ אך B,A ו C אינן זרות בזוגות שכן.A B φ. הוכיחו את כלל הדיסטריביוטיביות הראשון:. A B C) A B) A C) נניח ש C),x A B אזי x A וגם,x B C כלומר: x A וגם x B או ש x A וגם,x C ומכאן ש A C),x A B) לכן C) A B. A B) A C) להיפך, נניח ש A B) A C),x אזי x A B או ש.x A C אם x A B אזי x A וגם,x B ולבטח x A וגם x B C מאחר ו,B B C ולכן C).x A B באופן זהה מראים שאם x A C אזי.A B) A C) A B C) ובכל מקרה,x A B C) הראינו הכלה דו כיוונית, ולכן הקבוצות שוות. 6

7 פרק 1. מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות 3. הוכיחו את הכללת כלל דה מורגן השני:. n A i n i1 i1 Ā i n n n ω A i ω / A i ω / A i i ω Āi i ω Ā i. i1 i1 i1 ולכן הקבוצות שוות. n n וגם Ā i A i i1 i1 n n הראינו ש A i Ā i i1 i1 7

8 פרק מרחב הסתברות סימטרי, הכלה והפרדה תזכורת: יהא Ω מרחב המדגם של ניסוי כלשהו. מידת הסתברות על Ω היא פונקציה { } אוסף תתי P : R הקבוצות של Ω המקיימת את התכונות הבאות הנקראות אקסיומות ההסתברות):.A לכל מאורע PA) 0.1.PΩ) 1. ).A 1,A,... לכל סדרת מאורעות זרים בזוגות P A i P A i ).3 i1 i1 תחת הנחת האקסיומות הנ''ל ניתן להוכיח כי מידת הסתברות מקיימת גם את התכונות הבאות:.A לכל מאורע 0 PA) בפרט 1 ולכן, A B עבור PA) PB).1.Pφ) בפרט 0 ולכן, A לכל מאורע P Ā ) 1 PA). יחדיו, הזוג Ω,P) נקרא מרחב הסתברות למעשה היה עלינו להגדיר מושג נוסף שדה מאורעות, F אך זה אינו נכלל בחומר הקורס). כאשר Ω היא קבוצה סופית של תוצאות נאמר ש Ω,P ) מרחב הסתברות סופי. אם בנוסף Pω) זהה לכל ω Ω נאמר ש Ω,P ) מרחב הסתברות סימטרי. במרחב הסתברות סימטרי מתקיים A, PA) כאשר מייצג את גודל המאורע. Ω 8

9 פרק. מרחב הסתברות סימטרי, הכלה והפרדה לכל זוג מאורעות A ו B מתקיים עקרון ההכלה וההפרדה. PA B) PA)+PB) PA B) בדומה, עבור שלושה מאורעות PA B C) PA)+PB)+PC) PA B) PA C) PB C)+PA B C), ובהכללה למספר כלשהו של מאורעות n ) P A i i1 n n PA i ) PA i A j ) i1 1 i<j n n + PA i A j A k ) + 1) n 1 PA 1... A n ). 1 i<j<k n דוגמאות: 1. מטילים קובייה פעמיים. א) מהו מרחב המדגם? ב) נסמן ב A את המאורע שתוצאות שתי ההטלות זהות וב B את המאורע שסכום ההטלות 4. רשמו את המאורעות A ו B. ג) חשבו את הסתברות כל אחד מן המאורעות. ג) { } א) {1,...,6} Ω 36 ; Ω x 1,x ) : x 1,x { } { } ב) 1,1),,),...,6,6) A. B 1,3),,),3,1),. PA) A Ω , PB) B Ω קוף מקליד באופן אקראי 5 פעמים על מקלדת בת 100 מקשים. א) מהו מרחב המדגם של הניסוי? מהו גודלו? 9

10 פרק. מרחב הסתברות סימטרי, הכלה והפרדה ב) יהא A המאורע שמתקבל במקום כלשהו בפלט הרצף ''גאון''. אילו תוצאות מממרחב המדגם מכיל A? ג) מהי ההסתברות ל A? מטעמי נוחיות נסמן את המקשים השונים במקלדת ב a. 1 a, a,..., 100 { } א) } 100 Ω 100 5, Ω x 1,...,x 5 ) : x 1,...,x 5 {a 1,...,a { } ב) } 100 {a 1,...,a :,ג,א,ו,ן),ג,א,ו,ן, ) A A 00, ג) /100 PA) 3. סקר שנערך באוניברסיטאות העלה: 30% מהסטודנטים לא שותים 50% מהסטודנטים לא מעשנים 35% מהסטודנטים גם שותים וגם מעשנים א) כמה סטודנטים לא שותים ולא מעשנים? ב) בנוסף העלה הסקר כי: 60% מהסטודנטים משחקים סנוקר, ורבע מאלו המשחקים סנוקר גם מעשנים ושותים. חצי מהסטודנטים שלא שותים לא משחקים סנוקר. חמישית מהסטודנטים שלא מעשנים לא משחקים סנוקר. מהו אחוז הסטודנטים שלא שותים, לא מעשנים ולא משחקים סנוקר? א) נגדיר A שותה, B מעשן, ונזכר בעקרון ההכלה והדחייה לשני מאורעות: מהנתונים כעת. PA B) PA)+PB) PA B) P A) , P B) ו 0.35 A B) P ולכן PA B).. P Ā B ) P A B ) 1 P A B)

11 פרק. מרחב הסתברות סימטרי, הכלה והפרדה ב) נסמן בנוסף C משחק סנוקר, ועל פי המידע הנוסף. P Ā C ) ו 0.15 P B C) 0.1, PC) 0.6 בהתאם PA C) PA)+PC) PA C) [ ] PA)+PC) 1 PĀ C) ) 0.45, PB C) PB)+PC) PB C) PB)+PC) [ 1 P B C) ] ) 0. ולסיום נפעיל את עקרון ההכלה והדחייה לשלושה מאורעות PA B C) PA)+PB)+PC) PA B) PA C) PB C) +PA B C) ולפיכך C), P Ā B C ) 1 PA B כלומר: 5% מהסטודנטים לא שותים, לא מעשנים ולא משחקים סנוקר. 11

12 פרק 3 קומבינטוריקה בסיסית תזכורת: מספר הצירופים תת קבוצות) בגודל k מתוך n עצמים שונים הוא המקדם הבינומי ) n n!. k k!n k)! זהו מספר האפשרויות לבחור k עצמים מתוך n ללא החזרה. מספר התמורות סידורים בשורה) של n עצמים שונים הוא!n. מספר האפשרויות לבחור עם החזרה k עצמים מתוך n עצמים שונים הוא. n k עקרון החיבור: אם B m, A n ובנוסף A B φ אזי. A B m+n עקרון הכפל: אם B m, A n ונגדיר את המכפלה הקרטזית של A ו B להיות. A B n m אזי A B { a,b) a A, b B } דוגמאות: 1. בכתה 14 בנים ו 16 בנות. א) מה מספר הדרכים לבחור ועד בן 3 תלמידים כך ש i. הועד לא ימנה רק בנים?.ii ראש הועד יהיה בן?.iii ייבחרו בנפרד ראש ועד, ממלא מקום וגזבר? 1

13 פרק 3. קומבינטוריקה בסיסית ב) בכמה אופנים נוכל לבחור ועד כתה בן 5 תלמידים, ועדת קישוט בת 3 תלמידים ושני נציגים למועצת התלמידים? ) 30 א) i. סך כל האפשרויות לבחור ועד בן 3 תלמידים הוא, כאשר מספר הועדים ) 3 ) המונים בנים בלבד הוא, לכן מספר הועדים המבוקשים הוא 3 3 ) 14. דרך אלטרנטיבית היא לספור את מספר הועדים בהם ישנה בת אחת, 3 שתיים או שלוש, ולקבל ) ) ) ) ) אפשר לבדוק שבשני המקרים מקבלים ii כאן קודם כל עלינו ) לבחור בן אחד מתוך 14 ולאחר מכן תלמידים מתוך 9 ה 9 הנותרים, ובסה''כ 14..iii כאן נצטרך לבחור תלמיד אחד מתוך 30 להיות ראש הועד, אחד מבין 9 הנותרים להיות ממלא המקום ואחד מבין 8 הנותרים להיות הגזבר, ובסה''כ דרך נוספת לראות זאת היא לבחור 3 תלמידים לועד ואז לחלק את התפקידים ב! 3 אופנים, כלומר ) 30. 3! 3 ב) נבחר 5 תלמידים לועד הכתה מתוך ה 30, מבין 5 הנותרים נבחר 3 לועדת קישוט, ובסופו של תהליך נבחר תלמידים מתוך ה הנותרים. לסיכום: ) ) ) דרך נוספת לבחון את הבעיה היא סידור בשורה שבה כל מקום מייצג תלמיד) של 30 כדורים, כאשר על 5 מתוכם כתוב ''ועד כתה'', על 3 אחרים כתוב ''ועדת קישוט'', על שניים נוספים ''מועצת תלמידים'' ועל היתר לא רשום כלום. סך כל הסידורים של 30 כדורים בשורה הוא!30, אך כשמקזזים את הסידורים הפנימיים של כל קבוצת כדורים מקבלים, 30! 5! 3!! 0! וכל אחד יכול לפתוח את הביטויים ולראות שהם שווים. 13

14 פרק 3. קומבינטוריקה בסיסית. כמה פתרונות במספרים טבעיים יש למשוואה? x 1 +x + +x m n נמיר את הבעיה המקורית לבעיה שקולה: מהו מספר הדרכים לחלק n כדורים זהים ל m תאים שונים ממוספרים m 1)? נדמיין את הכדורים מסודרים בשורה כאשר m התאים מוגדרים ע''י 1 m מקלות החוצצים בין הכדורים: לפנינואםכןהבעיהשלסידורn+m 1 עצמיםמשניסוגיםבשורה, כאשרn מןהעצמים הם מסוג אחד הכדורים) ו 1 m האחרים הם מן הסוג השני. התשובה, אם כן, היא ) n+m 1)! n+m 1. n!m 1)! n 3. מגרילים באקראי מטריצה n k מתוך {m,...,1,}. א) כמה מטריצות כנ''ל קיימות? ב) בכמה מן המטריצות הנ''ל בדיוק r מן האיברים הם '1'? ג) בהנחה שהמטריצה ריבועית k n) בכמה מן המטריצות הנ''ל מופיע '1' אחד בדיוק בכל שורה ובכל עמודה? א) במטריצה nk תאים, אשר עשוייםלקבלכלאחדמאיברי {m,...,1,} באופןבלתי תלוי זה בזה, ובסה''כ m nk בחירות אפשריות למטריצה. ) nk ב) ראשית נבחר r מקומות עבור '1': לצורך כך ישנן בדיוק בחירות אפשריות. r כעת נמלא ) באופן אקראי את nk r התאים האחרים מתוך {m,...,}, ובסה''כ nk 1 m) nk r מטריצות שונות עונות על הדרישה. r ג) מס' הדרכים לבחור מקומות ל ' 1 ' כך שיהיה אחד בדיוק בכל שורה ובכל עמודה הוא כמס' הדרכים לסדר את {n,...,1} בשורה, כלומר:!n. לדוגמא, המטריצה הבאה מתאימה לסידור 3,),1,4 המקום השני בשורה הראשונה, הראשון בשורה השניה, הרביעי בשורה השלישית והשלישי בשורה הרביעית). לאחר שסיימנו למקם את ה ' 1 ' ים, כל שנותר הוא למלא את יתר n n התאים באיברים מתוך {m,...,}, ובסה''כ nn 1) n!m 1) מטריצות שונות עונות על הדרישה. 14

15 פרק 3. קומבינטוריקה בסיסית 4. ביטוי מתמטי תקין הכולל n סוגריים שמאליים דהיינו ')' ו n סוגריים ימניים ) '' הוא כזה שבו מס' הסוגריים הימניים בשום שלב לא עולה על מס' הסוגריים השמאליים. ) ) ) ) לדוגמא: הוא ביטוי מתמטי תקין, בעוד ש אינו ביטוי מתמטי תקין. ) ) ) ) ) א) מהו מס' הביטויים המתמטיים התקינים הכוללים n סוגריים שמאליים ו n סוגריים ימניים? ב) מהי ההסתברות שביטוי מתמטי אקראי הכולל n סוגריים שמאליים ו n סוגריים ימניים יהיה תקין? א) מס' הסידורים הכולל של n זוגות סוגריים ) כנ''ל הוא כמס' הבחירות עבור המקומות n בהם נשים את הסוגריים הימניים למשל):. n נתמקד כעת במס' הביטויים שאינם תקינים: בכל ביטוי לא תקין קיים המקום הראשון שבו מס' הסוגריים הימניים עולה לראשונה על מס' הסוגריים השמאליים. עד אותו המקום מס' הסוגריים הימניים שווה בדיוק למס' הסוגריים השמאליים. לאחר אותו מקום ועד סוף הביטוי) מס' הסוגריים השמאליים גדול ב 1 ממס' הסוגריים הימניים זאת כי בסופו של ביטוי מס' הסוגריים מכל סוג משתווה).. ) ) ) }{{} 3 מכל סוג ) שמאליים ו 1 ימני {}}{ ) בדוגמא שלנו: נשתכנע כעת כי מס' הביטויים שאינם תקינים הוא כמס' הביטויים הכוללים n סוגריים, כאשר מתוכם 1+n ימניים: כל ביטוי לא תקין ניתן להפוך לביטוי כנ''ל ע''י החלפת כל סוגר ימני החל מהמקום בו לראשונה עולה מס' הסוגריים הימניים על מס' הסוגריים השמאליים לא כולל) בסוגר שמאלי, ולהיפך. כך למשל בדוגמא שלנו יהפוך הביטוי המקורי ל. ) ) ) }{{} 3 מכל סוג ) 1 שמאלי ו ימניים {}}{ ) ) 15

16 פרק 3. קומבינטוריקה בסיסית להיפך: בהנתן ביטוי עם 1+n סוגריים ימניים ו n 1 סוגריים שמאליים, נוכל לשחזר ממנו ביטוי לא תקין עם n סוגריים מכל סוג ע''י ביצוע הפעולה ההפכית איתור המקום הראשון בו מס' הימניים עולה על מס' השמאליים והחלפת סוגי הסוגריים לאחריו). לדוגמא: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) }{{}}{{} 3 שמאליים ו 5 ימניים 4 שמאליים ו 4 ימניים הראינו אם כן שקיימת התאמה חד חד ערכית בין מס' הביטויים הלא תקינים הכוללים n סוגריים שמאליים ו n סוגריים ימניים לבין מס' הביטויים הכוללים + n ) 1 סוגריים ימניים ו 1 n סוגריים שמאליים, ומספרם של האחרונים הוא כמובן n, ולפיכך n+1 מס' הביטויים הלא תקינים מס' הביטויים הכולל מס' הביטויים התקינים ) ) n n n)! n n+1 n!n! n)! n+1)!n 1)! n)! n!n! [ 1 n ] 1 ) n n+1 n+1 n. 3.1) סדרת המספרים 3.1 מוכרת כ ''סדרת מספרי קטאלן''.Catalan) ב) כאמור, גודל מרחב ) המדגם כלל הביטויים האפשריים עם n סוגריים ימניים ו n n סוגריים שמאליים) הוא, ולכן ההסתברות שביטוי אקראי יהיה תקין היא n ) 1 n n+1 n. ) 1 n n+1 n.5 תהיינה {a,b,c} X ו {1,,3,4} Y שתי קבוצות. א) כמה פונקציות f : X Y קיימות? ב) כזכור, פונקציה f : X Y היא חד חד ערכית אם לכל איבר בתמונה של f ). כמה פונקציות יש לכל היותר מקור אחד ב X fx 1 ) fx ) x 1 x חד חד ערכיות f : X Y קיימות? 16

17 פרק 3. קומבינטוריקה בסיסית ג) כזכור, פונקציה f : Y X היא על אם לכל איבר ב X קיים איבר ב Y שמועתק אליו דרך f. כמה פונקציות על f : Y X קיימות? א) כל אחד מ 3 איברי X יכול לבחור עם החזרה) להיות מועתק לכל אחד מ 4 איברי Y, ולכן מס' הפונקציות האפשריות הוא ב) נבחר ) 3 איברים מ Y שיהוו את התמונה של f ונחלק אותם באקראי בין איברי X: 4 4!3 פונקציות חד חד ערכיות אפשריות. 3 ג) עלינו לחלק 4 כדורים שונים איברי Y) בין 3 תאים שונים איברי X). ''נצמיד'' מן הכדורים ביחד כך ) שיהוו יחידה אחת, ואת 3 היחידות נחלק באקראי בין 3 התאים, 4 ובסה''כ 36!3 פונקציות מ Y על X. המחשה של הרעיון ניתן לקבל באיור למטה. X a b c Y

18 פרק 4 הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות תזכורת: ההסתברות למאורע A בהנתן שהתרחש מאורע B בעל הסתברות חיובית) הינה. P A B ) def PA B) PB) אם בנוסף A הוא בעל הסתברות חיובית מתקיים כלל בייז Bayes). P A B ) P B A ) PA) PB) i. אזי ניתן לחשב את תהא,... A 1,A סדרת מאורעות זרים בזוגות כך ש A i Ω הסתברות מאורע כלשהו B באמצעות נוסחת ההסתברות השלמה. PB) i P B A i ) PAi ) זוג מאורעות A ו B נקראים בלתי תלויים אם PA)PB). PA B) אם A ו B הם בעלי הסתברות חיובית אזי הם בלתי תלויים. P A B ) PA) ו P B A ) PB) 18

19 פרק 4. הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות דוגמאות: 1. סער נכנס לקולנוע שבו מוקרן מותחן רומנטי קומי. סער עשוי להתאהב בכוכבת בסיכוי 1/, לחטוף התקפת פחד בסיכוי 1/3 ולחטוף התקפת צחוק בסיכוי 1/6. ידוע כי יקרה לו בדיוק אחד מהמאורעות, אך הוא עלול למות כתוצאה מכל אחד מהם: אם סער מתאהב, ההסתברות שהוא מת מאהבה היא 1/3. אם סער צוחק, קיימת הסתברות של 1/ שהוא ימות מצחוק. בסוף הסרט, כשמצא הסדרן את גופתו של סער, הוא חישב ומצא שההסתברות לכך שהוא מת דווקא מצחוק היא 1/4. מה הסיכוי לכך שכשסער פוחד הוא מת מפחד? נסמן את ההסתברות המבוקשת ב p וניעזר בעץ הסתברויות. סער הולך לסרט 1 6 צוחק 1 3 מפחד 1 מתאהב 1 מת לפי המידע מהסדרן 1 חי p מת סער 1 p חי 1 3 מת 3 חי 4.1). ) 1 סער P 4 P סער מת צחק סער ) מת צחק ) 1/6 1/ ) סער סער P P מת מת נחשב לפי נוסחאת ההסתברות השלמה) סער מת P ) פחד) P ) פחד מת P +התאהב) P ) התאהב מת P צחק) P ) צחק מת +P +p p , /1 p/3+1/4 p 1 4 נציב בחזרה ב 4.1 ונקבל 19

20 פרק 4. הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות. מטילים זוג קוביות עד אשר מתקבל לראשונה סכום מספרים שהוא גבוה מ 10. א) מה ההסתברות שמספר הניסיונות יהיה קטן מ 10? ב) מה הסיכוי שהסכום 1 יתקבל לפני הסכום 11? א) נחשב את ההסתברות לקבל סכום הטלות גדול מ 10 P { 5,6),6,5),6,6) }) , P ובהתאם סכום ההטלות קטן מ 10 ) וההסתברות שמס' הנסיונות יהיה גדול מ 10 היא ההסתברות שבכל 9 הנסיונות הראשונים נקבל סכום הטלות קטן מ 10, כלומר 11/1) 9. P אם כך פחות מ 10 נסיונות ) 1 P 10 נסיונות ומעלה ) 1 ) P 1 יתקבל לפני 11 1 בנסיון ה k ) P ב) נשים לב שעבור k נתון k 1 ) יתקבל 10 או 11 פחות ב 1 k 1 הנסיונות הראשונים P 1 יתקבל לפני 11 ) P k1 ונחשב באמצעות נוסחאת ההסתברות השלמה ) ) 1 יתקבל 1 בנסיון 1 בנסיון P ה k ה k לפני 11 k1 ) k m0 ) m /

21 פרק 4. הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות נראה תוצאה כללית יותר: תהיינה A ו B שתי תוצאות ניסוי שונות המתקבלות בהסתברויות P A ו, P B בהתאמה. חוזרים על הניסוי עד שמתקבלת אחת מהשתיים. נחשב ע''י התנייה בתוצאת הניסיון הראשון: ) A מתרחש p P לפני B ) ) A מתרחש בנסיון 1 בנסיון 1 P P יצא A יצא A לפני B ) ) A מתרחש בנסיון 1 בנסיון 1 +P P יצא B יצא B לפני B A מתרחש +P לפני B ) לא A P ולא B ) לא A ולא B 1 P A +0 P B +p 1 P A P B ) p P A P A +P B. קיבלנו, אם כן, את התוצאה האינטואיטיבית, לפיה ההסתברות להתרחשות A לפני B ו A היא ההסתברות היחסית שלו מתוך מרחב מדגם הכולל את התוצאות B בלבד. נוכל כעת להגדיר A יתקבל סכום הטלות 1 ו B יתקבל סכום הטלות 11 ובהתאם לתוצאה שקיבלנו. PB מתרחש לפני A) 1/36 1/36+/ סיגנל בינארי מועבר במערכת רועשת. אם הסיגנל הוא '0', ההסתברות שיועבר בטעות ערך '1' היא q 0 ואילו אם הסיגנל הוא '1' ההסתברות שיועבר בטעות '0' היא q. 1 א) נניח שהמקור משדר '0' בהסתברות p ו '1' בהסתברות p 1. מה ההסתברות שיתקבל הסיגנל הנכון? ב) מה ההסתברות לשדר 1011 ללא טעויות? ג) במאמץ לשפר את אמינות המערכת משדרים כל סיגנל שלוש פעמים, והוא מפוענח לפי הרוב אם הרוב הוא '1' אז '1' ולהיפך). מה הסיכוי ש '0' שמשודר יפוענח כראוי? 1

22 פרק 4. הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות ד) נניחשהמקורמשדר' 0 'בהסתברותp ו ' 1 'בהסתברות 1 p,ונניחשהפענוחמתבצע כמו בסעיף הקודם. התקבלו הסיגנלים 101. מה ההסתברות שהשדר היה '0'? P א) יתקבל הנכון ) P יתקבל הנכון שודר 0 ) P שודר 0 ) +P יתקבל הנכון שודר 1 ) P שודר 1 ) 1 q 0 )p+1 q 1 )1 p) ב) כאן נניח שאין תלות בין השידורים של סיגנלים שונים, ונקבל ) 1011 ללא. P 1 q 0 )1 q 1 ) 3 טעויות ג) על מנת ש 0 יפוענח כראוי יש לפענח נכונה לפחות ) פעמיים מתוך השלוש. נזכור 3 שעבור פענוח נכון של שניים מתוך שלושת השידורים יש אפשרויות, ובסה''כ ) ) 0 3 יפוענח. P 1 q 0 ) q 0 +1 q 0 ) 3 כראוי P ד) ראשית התקבל 101 ) P התקבל 101 שודר 0 ) P שודר 0 ) +P התקבל 101 שודר 1 ) P שודר 1 ) 1 q 0 )q 0p+1 q 1 ) q 1 1 p).

23 פרק 4. הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות זו ההזדמנות להזכר בנוסחאת Bayes, P A B ) P B A ) PA) PB) P ולחשב שודר 0 התקבל 101 ) P שודר ) התקבל שודר P ) התקבל P ) 1 q 0 )q 0p 1 q 0 )q 0p+1 q 1 ) q 1 1 p). 4. בספרייה 10 ספרי הסתברות, מהם 5 הכוללים פתרונות. סטודנט המעונין לשאול ספר מקבל את אחד הספרים באקראי עם או בלי פתרונות). נאמר שהגעתם לספריה במטרה לשאול ספר בהסתברות והספרן מיידע אתכם שאחד הספרים כבר הושאל. אתם מקבלים ספר באקראי ומחזירים אותו כעבור 3 ימים, אז מגיע אחד מחבריכם ושואל גם הוא את אחד הספרים. נסמן: A ''הספר ששאלתם כולל פתרונות'' ו B ''הספר שחברכם שאל כולל פתרונות''. האם המאורעות A ו B בלתי תלויים? ראשית, נחשב תוך התנייה על הספר שהושאל מהספרייה לפני בואנו) ) הספר ששאלנו P כולל פתרונות ) ) שאלנו עם הספר שהושאל הספר שהושאל P P עם פתרונות עם פתרונות פתרונות ) ) שאלנו עם הספר שהושאל הספר שהושאל +P P ללא פתרונות ללא פתרונות פתרונות , כלומר 1 PB) PA) זאת מפני שבהיעדר מידע על סוג הספר שהושאל לפני בואנו, החבר למעשה חוזר על הניסוי שלנו בתנאים זהים). 3

24 פרק 4. הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות כעת נוכל לתאר את השתלשלות העניינים האפשרית באמצעות עץ הסתברויות, תוך התמקדות בשני הענפים המובילים ל : A B ספר הושאל מהספריה לפני בואנו 4 9 החבר שאל החבר שאל... עם פתרונות עם פתרונות... 1 בלי פתרונות 5 9 שאלנו עם פתרונות 1 עם פתרונות 4 9 שאלנו עם פתרונות מהתרשים נלמד ש, PA B) 1 ) ) PA)PB) ומכאן שהמאורעות תלויים! יתר על כן. P B A ) P A B) PA) > PB) איךזהייתכן? ובכן, אםלמשלהספרששאלנוכללפתרונות, הרישהדברמעידעלסבירות גבוהה יותר לכך שכרגע יש בספריה רוב לספרי הסתברות עם פתרונות, מה שמגדיל גם את הסיכוי של חברנו לשלוף בתורו ספר עם פתרונות. 5. המערכת שבציור מכילה מס' רכיבים בלתי תלויים ופועלת בהסתברות של

25 פרק 4. הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות חלק ב' חלק א' p p המערכת פועלת כשורה אם שני החלקים פועלים כשורה. חלק א' פועל כשורה אם לפחות P אחד המסלולים שבו פועל כשורה. מצאו את p. המערכת פועלת אי תלות P ) P חלק ב' פועל חלק א' פועל חלק א' פועל ) P חלק ב' פועל ) ) 0.9 [ 1 P חלק א' מושבת )] P הענף התחתון מושבת הענף האמצעי מושבת הענף העליון מושבת אי תלות P הענף העליון מושבת P הענף האמצעי מושבת P הענף התחתון מושבת 0.9 [1 1 p ) 1 0.9) ) ] 0.9 [ p ) ]. מהנתון: )] 0.9 [ p, מחלצים באמצעות מעט אלגברה ומקבלים 0.7 p. 5

26 פרק 5 משתנים מקריים, התפלגויות בדידות תזכורת: משתנה מקרי הוא גודל כמותי הנמדד בניסוי שערכו לא ידוע מראש. משתנה מקרי בדיד X מקבל מספר בן מנייה סדרה) של ערכים,... x 1,x בהסתברויות,... p 1,p בהתאמה. צירוף הערכים ש X מקבל וההסתברויות בהן הם מתקבלים נקרא התפלגות X. רשמית משתנה מקרי הוא פונקציה. X : Ω R לדוגמא, אם X הוא סכום ההטלות בהטלת זוג קוביות מתקיים 4 ) 1,3) X X 6,5) ) 11, וכו'. פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי בדיד X היא הפונקציה. P X x) PX x) P { ω Ω Xω) x }) פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה מקרי לאו דוקא בדיד) היא הפונקציה. F X x) PX x) lim ו זוהי פונקציה מונוטונית לא יורדת, רציפה מימין המקיימת 0 Xx) x F. lim x F X x) 1 ניסוי ברנולי הוא ניסוי שתוצאותיו האפשריות הן 'הצלחה' המתקבלת בהסתברות p ו 'כשלון' המתקבל בהסתברות p 1). נניח שמבצעים n ניסויי ברנולי בלתי תלויים ומסמנים ב X את מספר ההצלחות שהתקבלו. במקרה כזה נאמר ש X מתפלג בינומית עם פרמטרים n ו p, נסמן Binn,p) X ומתקיים 6

27 פרק 5. משתנים מקריים, התפלגויות בדידות. PX k) ) n p k 1 p) n k, k 0,1,,...,n k נניח שמבצעים סדרת ניסויי ברנולי בלתי תלויים ומסמנים ב X את מספר הנסיונות שנדרשו עד שהתקבלה 'הצלחה' בפעם הראשונה. במקרה כזה נאמר ש X מתפלג גיאומטרית עם פרמטר p, נסמן Geomp) X ומתקיים. PX k) 1 p) k 1 p, k 1,,... נאמר שמשתנה מקרי X מתפלג פואסון עם פרמטר λ אם מתקיים PX k) e λλk k!, k 0,1,,... סימון: Poisλ). X מקובל להשתמש בהתפלגות פואסון במודלים של מניית אירועים בזמן מספר השיחות המתקבלות במרכזייה בשעה, מספר הרכבים שעוברים בצומת מסוים בשעות הבוקר וכו'). התפלגות פואסון מתקבלת כגבול של ההתפלגות הבינומית כאשר מספר הנסיונות n שואף לאינסוף וההסתברות להצלחה p שואפת לאפס ביחס ישר למספר הנסיונות. במקרה כזה פרמטר התפלגות פואסון הגבולית יהיה. λ np נניח שברשותנו אוכלוסיה בגודל N הכוללת D פרטים ''מיוחדים'' ואנו דוגמים ממנה ללא החזרה)תת קבוצה בגודל n ומסמנים ב X את מספר ה ''מיוחדים''שהוצאנו. במקרה זה נאמר ש X מתפלג היפרגיאומטרית עם פרמטרים D N, ו n, נסמן HGN,D,n) X ומתקיים PX k) ) ) D N D k n k ), N n k max{0,n N +D},1,...,min{D,n}. 7

28 פרק 5. משתנים מקריים, התפלגויות בדידות דוגמאות: 1. מטילים קובייה הוגנת 3 פעמים, ויהא X התוצאה הגבוהה ביותר שהתקבלה. א) חשבו את פונקצית ההסתברות k PX עבור 6,...,1 k ב) שרטטו את גרף ההתפלגות המצטברת t) F X t) PX א) מרחב המדגם של 3 הטלות קובייה מונה, כאמור, תוצאות אפשריות. המאורע ''התוצאה הגבוהה מבין השלוש אינה עולה על k'' מורכב מכל השלשות של מספרים בין 1 ל k, ולפיכך גודלו k 3 המאורע''התוצאה הגבוהה מבין השלוש היא בדיוק k ''מונהאתתוצאותהמאורע הקודם, לאחר שננכה ממנו את תוצאות המאורע ''התוצאה הגבוהה מבין השלוש אינה עולה על 1,''k ומכאן שגודלו 1) 3 k. k 3 מצירוף אלה נסיק כי. PX k) k3 k 1) 3 16, k 1,...,6 נציב את ערכי k השונים ונרשום את התוצאות בטבלה k PX k) 1/16 7/16 19/16 37/16 61/16 91/16 F X t) 0 t < 1 1/16 1 t < 8/16 t < 3 7/16 3 t < 4 64/16 4 t < 5 15/16 5 t < 6 1 t 6 ב) את הגרף המתקבל ניתן לראות באיור 5.1 8

29 פרק 5. משתנים מקריים, התפלגויות בדידות F X t) t איור 5.1: גרף ההתפלגות המצטברת בבעיה 1. מחלקים באקראי 4 כדורים ל 5 תאים. נסמן ב X את מספר התאים שבהם כדורים בדיוק. רשמו את פונקצית ההסתברות של X. מרחב המדגם בבעיה זו הוא חלוקה של 4 כדורים זהים) ל 5 תאים. כל אחד מן הכדורים יכול ''לבחור'' כל אחד מן התאים 5 אפשרויות לראשון, 5 אפשרויות לשני וכו'), ולכן בדוגמא זו, Ω 0 X: מצב זה מתאפשר כאשר כל אחד מן הכדורים נשלח לתא אחר, כאשר 3 מן הכדורים נשלחים לתא אחד והרביעי לאחר או ) כאשר כל הארבעה נשלחים לאותו 5 התא. עבור האפשרות הראשונה ישנם 10!4 סידורים אפשריים בוחרים 4 מיהם ) 4 התאים ) אליהם ) יחולקו הכדורים ולאחר מכן מחלקים ביניהם), ועבור השניה ישנם 80 סידורים בוחרים תא שאליו יישלחו 3 כדורים, תא אחר שאליו יישלח הכדור הנוסף, ו 3 כדורים מתוך הארבעה שיישלחו ביחד לאותו התא). עבור האפשרות השלישית, בוחרים תא אחד מתוך 5 5 אפשרויות) שאליו ישלחו כל הכדורים, כך שבסה''כ. PX 0)

30 פרק 5. משתנים מקריים, התפלגויות בדידות הכל 1 X: מצב זה מתאפשר כאשר שניים מבין הכדורים הולכים לתא אחד וכל אחד מן השניים הנותרים הולך לתא אחר. לשם כך עלינו לבחור מיהו התא אליו ילכו שני הכדורים, מיהם שני הכדורים מתוך ה 4 ) שילכו אליו, מיהם שני התאים שיקבלו כדור אחד כ''א מבין ה 4 הנותרים) וכיצד לסדר ביניהם את שני הכדורים, ובסך ) ) ) 5 4 4! 1. PX 1) X: עלינו לבחור מיהם התאים מתוך ה 5 ) שיקבלו כדורים כ''א, ומיהם הכדורים שישלחו לשמאלי למשל), ובסה''כ ) ) 5 4. PX ) נרשום את התוצאות שהתקבלו בטבלה x 0 1 PX x) קל להווכח שסכום ההסתברויות הוא אכן שיכוריוצאמבילויליליבראשיתהציריםונעעלצירהמספריםצעדאחדימינהבהסתברות p או צעד אחד שמאלה בהסתברות p 1. אם הוא נע ימינה אז בהסתברות q הוא מחליק שני צעדים שמאלה. רשמו את פונקציית ההסתברות למיקומו של השיכור לאחר n צעדים. נסמן ב X את מיקום השיכור לאחר n צעדים וב Y את מס' הצעדים ה''מוצלחים'' ימינה ללא החלקה). נשים לב: Y Binomn,p1 q)) מתקיים 5.1) Y מס' הצעדים שמאלה+מס' הצעדים הכושלים ימינה+ n ו 5.) Y מס' הצעדים שמאלה מס' הצעדים הכושלים ימינה X ומחיבור 5.1 ו 5. נקבל ש. X Y n 30

31 פרק 5. משתנים מקריים, התפלגויות בדידות PX k) P Y k +n ) נוכל, אם כן, לרשום עבור n ) k n ) n k+n [p1 q)] n+k [1 p1 q)] n k k nmod) אחרת 0 4. מטילים זוג מטבעות שוב ושוב עד שאחד מהם מראה ''עץ'' והשני ''פלי''. המטבע הראשון מראה ''עץ'' בהסתברות p והשני בהסתברות q. כל ההטלות הן בלתי תלויות. א) זהו את התפלגות מספר ההטלות. ב) מה ההסתברות שבהטלה האחרונה המטבע הראשון הוא זה שמראה ''עץ''? א). P {פלי,עץ),עץ,פלי)} ) p1 q)+1 p)q נזכיר שמספר הניסויים עד הצלחה ראשונה בסדרת נסויי 'הצלחה' ו 'כשלון' בלתי תלויים מתפלג גיאומטרית, לכן אם נסמן ב X את מספר הניסויים המבוקש, בהכרח. X Geom p1 q)+1 p)q ) P ב) הראשון עץ אחד עץ ואחד פלי ) P אחד עץ ואחד פלי ) אחד עץ ואחד פלי הראשון עץ P ) p1 q) p1 q)+1 p)q ) הראשון עץ P והשני פלי ) אחד עץ P ואחד פלי. 31

32 פרק 5. משתנים מקריים, התפלגויות בדידות 5. בעקבות השתוללות של רוצח סידרתי בתל אביב ערכו אנשי המז''פ סדרת בדיקות בסיומם נתן ראש המז''פ לחוקר המשטרה רשימת תכונות מפורטת המתארת את הרוצח. ''מצא אדם שיש לו את התכונות הללו ומצאת את הרוצח שלך''. בתל אביבמתגוררים 10 6 בניאדם,וכלאחדמהםמקייםאתרשימתהתכונותבהסתברות 1/10 6 באופן בלתי תלוי. יהא X מספר התושבים בתל אביב שמתאימים לפרופיל הרוצח. א) כיצד X מתפלג? ב) בהינתן שחוקר המשטרה מצא אדם המתאים לפרופיל, מה ההסתברות שהוא היחיד שמתאים לפרופיל? ג) בהינתן שחוקר המשטרה מצא שני אנשים המתאימים לפרופיל, מה ההסתברות שאין נוספים כאלה? א) שכנעו את עצמכם ש ) 6 Binom10 6,10. X זהו בדיוק המצב הקלאסי n ענק, p זעיר) בו אנו משתמשים בקירוב הפואסוני עם פרמטר 1 np. λ ב) נשתמש בקירוב הפואסוני, ונחשב P X 1 X 1 ) P X 1 X 1) PX 1) PX 1) PX 1) PX 1) e PX 0) 1! 1 e 110 0! e e 1 ג) בדומה P X X ) PX ) PX ) PX ) 1 PX 0) PX 1) e 11! 1 e 110 0! e 111 1! e 1 1 e 1 ) בכנסת ה 18 של מדינת ישראל 4 מתוך 10 חברי הכנסת הן נשים. אם בוחרים באקראי יושבי ראש ל 1 ועדות הכנסת הקבועות, מה ההסתברות שבדיוק 3 מתוכם הן נשים אם 3

33 פרק 5. משתנים מקריים, התפלגויות בדידות א) כל ח''כ יכול לכהן בועדות רבות כרצונו? ב) כל ח''כ יכול לכהן בועדה אחת בלבד? נסמן ב X את מס' חברות הכנסת המכהנות בתפקיד ראש ועדה. א) אם נחשוב על בחירת כל אחד מיושבי ראש הועדות כניסוי עם החזרה, הרי שיש 4,p ומכאן ש לנו 1 ניסויי ברנולי ב''ת שבהם הסיכוי להצלחה הוא ) 1,X Binom 1, ו 5. PX 3) 1 3 ) 1 5 ) 3 ) ב) בשונה מהסעיף הקודם, כאן הבחירה היא ללא החזרה שכן, ח''כ שנבחר לכהן כיו''ר ועדה לא יוכל להבחר לכהן בועדה נוספת). אם נחשוב על חברות הכנסת כ ''מיוחדות'', הרי ש X מונה את מס' המיוחדות שנבחרו בדגימה אקראית של 1 פרטים מתוך אוכלוסיה המונה 10 פרטים שמתוכם 4 מיוחדים, ומכאן ש HG10,4,1). X לפיכך ) ) PX 3) 3 9 ) ההסתברויות בשני המקרים די דומות, אך האם זה מפתיע? לא לגמרי, שכן כאשר האוכלוסיה הולכת וגדלה דין כל בחירה הוא כמעט כדין בחירה עם החזרה היות וההסתברות לבחור את אותו הפרט פעם נוספת הופכת לזניחה בין כה). מסיבה זו ההתפלגות הבינומית עם פרמטרים n ו p) D/N מהווה קירוב סביר להתפלגות ההיפרגיאומטרית כאשר גודל האוכלוסיה N הוא גדול במיוחד. 33

34 פרק 6 משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב תזכורת: A משתנה מקרי רציף הוא משתנה מקרי המקבל ערכים בכל הציר הממשי או בקטע סופי או אינסופי) ממנו זאת בשונה ממשתנה מקרי בדיד, המקבל כזכור סדרת ערכים). בעוד פונקצית ההתפלגות המצטברת של משתנה מקרי בדיד היא רציפה מימין בלבד, פונקצית ההתפלגות המצטברת של משתנה מקרי רציף היא רציפה. נאמר שמשתנה מקרי X הוא רציף לחלוטין אם קיימת פונקציה 0 x) f X כך שלכל A R מתקיים.P X A) f X x)dx בפרט. F X x) P X,x] ) x f X t)dt x R במקרה כזה נקרא ל ) f X הצפיפות של X ומתקיים לפי המשפט היסודי של החדו''א). f X x) d dx F Xx) תנאי מספיק והכרחי לכך ש ) f תהיה צפיפות של משתנה מקרי רציף לחלוטין הוא ש. fx)dx ו 1 x R לכל fx) 0 דוגמאות: 1. אחוז התשובות הנכונות X של סטודנט במבחן באסטרולוגיה מפולג לפי הצפיפות ct100 t) c 1 t c. f X t), c > 0 אחרת 0 34

35 פרק 6. משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב א) אילו ערכים יכולים לקבל c 1 ו c? ב) בהנתן 0 1 c 100,c חשבו את.c ג) מצאו את t). F X ד) חשבו את ההסתברות להכשל ציון נמוך מ 55). ה) חשבו את ההסתברות להכשל אם ידוע שהציון גבוה מ. 40 ו) 5 סטודנטים נגשו למבחן. מה ההסתברות שכולם יעברו? א) מתוך הדרישה ש t) f X תהיה צפיפות של מ''מ מקרי רציף, מתחייב שתהיה אי שלילית. לשם כך. f X t) 0 t100 t) 0 t [c 1,c ] 0 c 1,c f X t)dt c t100 t)dt c ב) על מנת ש t) f X תהיה צפיפות נדרוש c F X t) t f X τ)dτ 0 t < t 150 t) 0 t t > 100 ג) ד) ) X 57.5%) PX < 55) F נכשלים! באסטרולוגיה!!). הסיטואציה P X < 55 X > 40 ) P X < 55 X > 40) P X > 40) ה) מומחשת באיור 6.1. P 40 < X < 55) 1 P X 40) F X55) F X 40) 1 F X 40)

36 פרק 6. משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב f X t) PX 55) t איור 6.1: השטח מתחת לגרף t) f X מייצג את ההסתברות להכשל באסטרולוגיה ו) אי תלות כל ה 5 עברו) P 5 P עבר) ה i הסטודנט [ PX 55) ] 5 i1 [ ] Ft) 0 t < 0 t 1+t t 0. נתונה הפונקציה הבאה: א) האם Ft) הינה פונקציית התפלגות מצטברת של מ''מ רציף X? ב) מצאו את t). f X ג) מהו האחוזון ה 95 של X? 36

37 פרק 6. משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב א) i. נבדוק גבול ב : lim Ft) lim 0 0 t t.ii נבדוק גבול ב : t lim Ft) lim t t 1+t 1 t): מונוטונית לא יורדת לכל > 0 Ft) נבדוק ש.iii. d dt Ft) 1 1+t) > 0.iv נבדוק רציפות ב 0 t במקרה הבדיד מספיק לבדוק רציפות מימין): t. lim t 0 +Ft) lim t 0 + t lim t 0 Ft) Ft) עונה על כל הדרישות מפונקציית התפלגות מצטברת, לכן התשובה חיובית.. f X t) dft) dt 0 t < t) t > 0 ב) t) f X אינה מוגדרת בנקודה 0 t, אך לא תהיינה לכך כל השלכות חישוביות. על צורת העקום ניתן ללמוד מאיור 6.. ג) נסמן את האחוזון המבוקש ב. t 0.95 זהו המספר המקיים 0.95 ) 0.95, PX t Ft 0.95 ) t t 0.95 t ) 0.95 t ומכאן 3. מושוןיוצאמביתואלהתחנההקרובה. בהסתברות /3 מחכהלושםמונית,ואזהואעולה עליה. המונית הבאה מגיע בעוד T דקות כאשר 0,10)U T, ובכל מקרה יגיע אוטובוס בעוד 5 דקות בדיוק. מושון יעלה על מי מביניהם שיגיע קודם. מצאו את ההתפלגות המצטברת של משך ההמתנה של מושון. 37

38 פרק 6. משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב f X t) t איור 6.: גרף פונקציית הצפיפות t) f X בשאלה נסמן את משך ההמתנה של מושון ב X. נשים לב שזמן ההמתנה כולל מרכיב בדיד משך ההמתנה המתקבל במידה ומחכה מונית בתחנה, 0 דקות, או במידה ועולים על האוטובוס, 5 דקות), ומרכיב רציף מונית לא מחכה אך מקדימה את האוטובוס). נגדיר A המונית מחכה בתחנה או עולים על האוטובוס. נשים לב שאם המונית לא מחכה בתחנה, בגלל התפלגות משך ההמתנה למונית הבאה ההסתברות שהאוטובוס יקדים את המונית היא, 1/ ולכן ) ) מונית מחכה מונית מחכה P בתחנה בתחנה PA) P A ) ) מונית לא מונית לא +P A P מחכה בתחנה מחכה בתחנה נגדיר כעת את Y להיות הרכיב הבדיד של משך ההמתנה, כלומר: משך ההמתנה בהנתן 38

39 פרק 6. משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב PY 0) P X 0 A ) PX 0 A) PA) P שהתקיים A. נחשב ) מונית מחכה בתחנה PA) , PY 5) P X 5 A ) P PX 5 A) PA) P עלינו על האוטובוס מונית לא מחכה ואוטובוס מקדים את הבאה PA) 1/3 1/ 5/6 1 5, PA) ). PY t) t 0 t 5 F Y t) 0 t < t < 5 1 t 5 ולסיכום כעת, Z יהיה הרכיב הרציף של משך ההמתנה של מושון, ז''א משך ההמתנה בהנתן ש A לא התרחש, ומונית לא חיכתה בתחנה אך הקדימה את האוטובוס.. F Z t) 0 t < 0 t 5 0 t < 5 1 t 5 עפ''י הגדרה, U0,5), Z כלומר 39

40 פרק 6. משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב 5 6 PA) PX Y) ו 1 6 PĀ),PX Z) ומכאן קיבלנו ש F X t) P X t X Y ) PX Y)+P X t X Z ) PX Z) 5 6 PY t)+ 1 6 PZ t) 5 6 F Y t)+ 1 6 F Z t) 0 t < 0 t t < 5 1 t 5. F X t) t איור 6.3: ההתפלגות המצטברת של משך ההמתנה של מושון בתחנה 40

41 פרק 7 התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון תזכורת: נאמר ש X מתפלג אחיד רציף) בקטע [a,b] אם X הוא בעל הצפיפות 1 x [a,b] b a f X x) אחרת 0. F X x) 0 x < a x a b a a x b 1 x > b ובהתאמה ההתפלגות המצטברת סימון: Ua,b). X נאמר ש X מתפלג מעריכית עם פרמטר λ אם X הוא בעל הצפיפות λe λx x 0 f X x) 0 x < 0 ובהתאמה ההתפלגות המצטברת 1 e λx x 0. F X x) 0 x < 0 41 סימון: Expλ). X

42 פרק 7. התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון f X t) F X t) 1 b a 1 0 a b t 0 a b t איור 7.1: פונקצית הצפיפות משמאל) וההתפלגות המצטברת של מ''מ אחיד. ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזכרון:. P X > t+s X > t ) P X > s) f X t) F X t) λ 1 0 t 0 t איור 7.: פונקצית הצפיפות משמאל) וההתפלגות המצטברת של מ''מ מעריכי. תהליך פואסון הוא תהליך מנייה של אירועים בזמן {0 t, X} t כאשר X t הוא מספר האירועים שנצפו עד זמן t) בעל התכונות הבאות:. X מספרי האירועים שנצפו במקטעי זמן לא חופפים הם בלתי תלויים. 3. מספר האירועים הנצפים במקטע זמן באורך s מתפלג Poisλs) ללא חשיבות לרגע 4

43 פרק 7. התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון תחילת המקטע, כאשר λ נקרא פרמטר הקצב של התהליך. באופן מדויק. P X t+s X t k) P X s k) e λsλs)k k! t 0 הזמן הבינמופעי ה i, T, i בתהליך מנייה הוא הזמן שחולף בין הרגע בו נצפה האירוע ה i 1 לרגע בו נצפה האירוע ה i. ניתן להוכיח כי תהליך מנייה הוא תהליך פואסון עם פרמטר קצב λ הזמנים הבינמופעיים של התהליך הם מ''מ מעריכיים ב''ת המתפלגים Expλ). דוגמאות: 1. זמן שירות X ללקוח בודד) של פקיד בדואר מתפלג באופן מעריכי עם פרמטר 1/. בניסיון לקצר את זמן השרות בוצע מחקר שקבע כי ע''י אימון של פקידי הדואר לדיבור מהיר יותר ניתן לקבל זמן שרות חדש Y המקיים. Y 1 X מצאו את הצפיפות של. Y F Y t) PY t) P 1 X + 1 ) 10 t P X t 1 ) 5 0 t 1 5 < 0 { 1 exp 1 t 1 )} 5 t t < 1 10 { 1 exp t 1 )} 10 t 1 10, 43

44 פרק 7. התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון f Y t) df Yt) dt 0 t < 1 10 { exp t 1 )} 10 ומכאן שהצפיפות ניתנת ע''י t השוואה בין צפיפות משך השירות לפני ואחרי האימון בדיבור מהיר ניתן למצוא באיור 7.3. f X t) f Y t) t איור 7.3: צפיפות משך השירות, לפני ואחרי אימון בדיבור מהיר. שמוליק הוא מהנדס חשמל עסוק. זמן היציאה של שמוליק מהעבודה בערב, X, מתפלג. Y מצאו את התפלגות. Y 1+ 1 X 7,9)U, ומשך הנסיעה של שמוליק הביתה הינו נזכור כי ההתפלגות המצטברת של מ''מ בעל התפלגות Ua,b) היא 0 s < a s a 7.1), Fs) a s b b a 1 s > b 44

45 פרק 7. התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון F Y t) PY t) P 1+ 1X ) t P X 1 ) t 1 ולכן ) F X 1 t 1 0 1/t 1) t 1 < t t 1 > 9 0 t < t 10 t 1) 10 9 t t > f Y t) df Yt) dt 1 t 1) t [ 10 9, 8 ] 7 אחרת 0 קל לבדוק ש F X t) f X t) t t איור 7.4: ההתפלגות המצטברת משמאל) והצפיפות של משך הנסיעה הביתה 45

46 פרק 7. התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון 3. מספר הפונים לנציב תלונות הסטודנטים באוניברסיטה מתנהג בקירוב כמו תהליך פואסון. בממוצע פונים בכל יום סטודנטים. א) מה ההסתברות שביום ג' תהיה לפחות פניה אחת? ב) מה ההסתברות שהן ביום ב' והן ביום ג' תהיה פנייה אחת אם ידוע שביום א' היו 4 פניות? ג) מהי התפלגות מספר הימים בשבוע בהן היתה לפחות פניה אחת? נסמן את מס' הפניות ביום ה i ב, X i ונזכיר ש X Poisλ) PX k) e λ λk k!, k 0,1,,... א). PX 3 1) 1 PX 3 0) 1 e 0 0! 1 e ב) נזכר בתכונה חשובה של תהליך פואסון, לפיה מס' האירועים הנצפים בקטעי זמן זרים הם בלתי תלויים. לאור זאת P X 1 X 3 1 X 1 4 ) PX 1)PX 3 1) ) e 1 4e 4. 1! ג) ניתןלחשובעלהבעיהכאילומדוברבסדרהשל 7 ניסוייםבלתיתלוייםעםההסתברות להצלחה שחישבנו בסעיף הראשון, לכן, אם נסמן ב Y את מס' הימים בשבוע בהם נרשמו פניות, הרי ש ) Binom7,1 e. Y.4 מספרהתקלות, X,באינטרוולהזמן 0,t ] t ברשתתקשורתהואתהליךפואסון{ 0,t {X t 1 תקלות λ. עם קצב ממוצע של שעה 4 א) מהי ההסתברות לתקלה אחת לכל היותר ב 4 השעות הראשונות ו תקלות לכל הפחות ב 8 השעות שלאחר מכן? ב) מאז התקלה האחרונה עברו 3 שעות. מהי ההסתברות שנשלים 5 שעות רצופות ללא תקלה? 46

47 פרק 7. התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון ג) ב 1 השעות הראשונות התרחשה תקלה אחת. מהי ההסתברות שהיא התרחשה בקטע [5,9]? ד) ב 0 השעות הראשונות התרחשו 10 תקלות. מהי ההסתברות ש מתוכן התרחשו בקטע 1]?[10, א) נשתמש כאן באי התלות של מס' התקלות המתרחשות במקטעי זמן זרים ובהתפלגות פואסון של מס' התקלות עם קצב פרופורציונלי לאורך מקטע הזמן, כדי לקבל P X 4 X 0 1,X 1 X 4 ) P X 4 X 0 1)P X 1 X 4 ) P X 4 1)P X 8 ) e )] 1+ )[1 e 0.5 4) )1 1! 1! ב) אם נסמן ב Y את משך הזמן בין התקלה האחרונה לתקלה הבאה, הרי ש Y Exp0.5). נשתמש בחוסר הזכרון של Y כדי לקבל. P Y 5 Y 3 ) PY ) 1 F Y ) e ג) עבור Y, הזמן עד התקלה הראשונה, נקבל P 5 Y 9 X 1 1 ) P 5 Y 9,X 1 1) P X 1 1) P X 5 X 0 0,X 9 X 5 1,X 1 X 9 0) P X 1 1) P X 5 X 0 0)P X 9 X 5 1)P X 1 X 9 0) P X 1 1) e e )e e )

48 פרק 7. התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון באופן כללי, בהנתן שהתרחש אירוע יחיד עד זמן t הזמן הבינמופעי הראשון מתפלג אחידבקטע 0,t ], ולכןההסתברותשהואהתרחשדווקאבקטע[ a,b ] המוכלבקטע. b a היא [0,t) t ד) כל אחת מהתקלות יכולה להתרחש ב [ 1,10] באופן ב''ת באחרות. הסיכוי ''ליפול'' דווקא בקטע הזה הוא, p לכן בהנתןשהיו 10 תקלות מס'התקלותשהתרחשוב [ 10,1 ]מתפלג Binom10,0.1, ולפיכך ההסתברות שבדיוק תקלות התרחשו בקטע היא. )[ ] [ ]

49 פרק 8 תוחלת ושונות תזכורת: נאמר שמ''מ בדיד X המקבל את הערכים,... x 1,x בהסתברויות,... p 1,p בהתאמה הוא בעל תוחלת אם הטור x i p i מתכנס. במקרה כזה התוחלת של X היא i. E[X] i x i p i בדומה, אם X מ''מ רציף בעל צפיפות x) f X התוחלת של X היא E[X] xf X x)dx במידה והאינטגרל מתכנס בהחלט. השונות של מ''מ X במידה וקיימת) מוגדרת ע''י, V[X] E { [X EX)] } אולם פיתוח קצר מראה כי ניתן לפשט את הביטוי ולחשבה ע''י. VX) E [ X ] {E[X]}. σ X שימו לב כי מ''מ בעל שונות הוא בהכרח בעל סטיית התקן של X הינה V[X] תוחלת. עבור מ''מ בעל שונות X וזוג קבועים ממשיים a ו b מתקיים. E[aX +b] ae[x]+b, V[aX +b] a V[X] 49

50 פרק 8. תוחלת ושונות לתוחלת תכונת הליניאריות: יהיו X 1 X,..., n מ''מ בעלי תוחלת ו a 1 a,..., n קבועים ממשיים, אזי [ n ] n. E a i X i a i E[X i ] i1 i1 תכונה זו אינה מתקיימת עבור השונות באופן כללי פרטים מדוייקים יותר בהמשך הקורס). תוחלת של טרנספורמציה של מ''מ: יהא X מ''מ ותהא )g פונקציה ''סבירה'' למשל רציפה למקוטעין, אך אפשר להסתפק גם בפחות מזה), אזי gx)px x) בדיד X. E [ gx) ] x gx)f X x)dx רציף X דוגמאות: 1. אתם יורים באקראי אל מטרה עגולה שרדיוסה 10 ס"מ, כאשר נקודת הפגיעה מתפלגת אחיד על פני המטרה. פגיעה במרחק שאינו עולה על 1 ס"מ ממרכז המטרה מזכה ב 10 נק', פגיעה במרחק שבין 1 ס"מ ל 3 ס"מ מזכה ב 5 נק' ואילו פגיעה במרחק של 3 ס"מ עד 5 ס"מ מזכה ב 3 נק'. מהי תוחלת מספר הנקודות שתצברו בנסיון יחיד? ב 3 נסיונות? נסמן את מספר הנקודות בסיבוב יחיד ב X, ואת מרחק הפגיעה מהמטרה ב R. נשים לב שעבור 10 r,f R r) PR r) r /100,0 ולכן PX 10) P0 R 1) F R 1) F R 0) 1 100, PX 5) P1 R 3) F R 3) F R 1) , PX 3) P3 R 5) F R 5) F R 3) , ולסיכום 50

51 פרק 8. תוחלת ושונות איור 8.1: שאלה 1. x PX x) 3/4 4/5 /5 1/100 אם כן, תוחלת צבירת הנקודות בסיבוב אחד היא, E[X] x xpx x) ואם נסמן כעת ב X i את צבירת הנקודות בסיבוב ה i, i, 1,,3 וב T את צבירת הנקודות ב 3 סיבובים, הרי ש,T X 1 +X +X 3 ומכאן ש. E[T] E[X 1 +X +X 3 ] E[X 1 ]+E[X ]+E[X 3 ] מטילים מטבע עד שיוצא 'עץ' בפעם הראשונה. אם 'עץ' התקבל לראשונה בנסיון ה n, נקבל n n/ ש"ח אם n זוגי ונשלם n n/ ש"ח אם n אי זוגי. נסמן ב X את הרווח שלנו. P מהמשחק. מהי תוחלת X? עבור,n k הרווח שלנו יהיה /k), n /n k לכן ) X k k ) k 1, k 1,,... 51

52 פרק 8. תוחלת ושונות בדומה, עבור 1 k,n נשלם 1) /k, n /n k 1 ומכאן ש. P ) X k 1 k 1 ) k 1 1, k 1,,... מכאן E[X] x xpx x) k1 k1 k k ) k 1 k1 1 k 1 k 1, k1 k 1 k 1 ) k 1 1 ואף אחד משני הסכומים הנ"ל לא מתכנס, לכן תוחלת X אינה מוגדרת. זהירות! מפתה לסדר מחדש את איברי הסכומים לטור אחד באופן הבא [ 1 xpx x) ] [ ] x [ 1+ + ] ln 0.69, אולם טור זה אינו מתכנס בהחלט, ועל כן על פי הגדרה X אינו בעל תוחלת. 3. לקבוצת כדורגל מתוכננים שני משחקים. יש לה סיכוי 0.4 לא להפסיד את המשחק הראשון, ו 0.7 לא להפסיד את השני, באופן בלתי תלוי בראשון. עבור כל משחק, אם איננה מפסידה, יש לה סיכוי זהה לתיקו ולניצחון באופן בלתי תלוי במשחק השני). הקבוצה מקבלת נקודות לניצחון, נקודה לתיקו ואפס להפסד. מצאו התפלגות, תוחלת ושונות מספר הנקודות של הקבוצה. משחק משחק נצחון תיקו הפסד נצחון תיקו הפסד 5

53 פרק 8. תוחלת ושונות נסמן את מס' הנקודות בו זוכה הקבוצה לאחר שני המשחקים ב X ונחשב, ) {הפסד,הפסד)} P PX 0), ) {תיקו,הפסד),הפסד,תיקו)} P PX 1) ) {נצחון,הפסד),תיקו,תיקו),הפסד,נצחון)} P PX ) ,, ) {נצחון,תיקו),תיקו,נצחון)} P PX 3) ) {נצחון,נצחון)} P PX 4) נסכם את התוצאות בטבלה x x PX x) ונחשב E[X] , E [ X ] , V[X] E [ X ] { E[X] } ) בכד N כדורים ממוספרים N,...,1,. מוציאים n כדורים ללא החזרה. X המספר הגבוה ביותר מבין הכדורים שהוצאו. א) רשמו את התפלגות. X ב) חשבו את תוחלת. X ) N א) סךכלהאפשרויותלהוציאn כדוריםמתוך N הואכאמור. אםבנוסףנדרוש n שהמספרהמירבילאיעלהעל, k הרישעלינולהצטמצםלבחירהשלn כדוריםמתוך 53

54 ) k k הכדורים הנושאים את המספרים הנמוכים, ולכך n ) k פרק 8. תוחלת ושונות אפשרויות, לכן. PX k) n ) N n ) k 1 בדומה, PX k 1) n ) N n ) k n ) k 1 n [ ] k 1)! k n!k n 1)! k n 1 ואם נשים לב ש k 1)! n!k n 1)! ) k 1 n 1, n k n k 1)! n 1)!k n)! PX k) PX k) PX k 1) נקבל שעבור k n, n+1,..., N ) ) ) k k 1 k 1 n n n 1 ) ), N N n n 8.1). ומתוך הידיעה שסכום ההסתברויות הוא 1 נקבל את הזהות המענינת N kn ) k 1 n 1 ) N n 54

55 פרק 8. תוחלת ושונות E[X] N ) k 1 k n 1 ) N n kn n N ) k n ) N n kn 8.1 N k 1)! k n 1)!k n)! n n ) N n kn ) N +1 n n+1 ) n N +1 N n+1 n. ב) k0 5. מצאו את התוחלת והשונות של מ''מ גיאומטרי. ראשית כל נזכור שעבור < 1 x מתקיים x k 1 1 x כאשר ההתכנסות היא במ''ש, ולכן, k1 kx k 1 d dx x k d 1 dx1 x 1 8.) 1 x) k0 וע''י הכפלת שני האגפים ב x נקבל. kx k k1 x 1 x). k1 k x k 1 d dx גזירה נוספת של שני האגפים תניב kx k d x dx1 x) 1+x 8.3) 1 x) 3 k1 כעת, עבור Geomp) X נחשב. E[X] kpx k) p k1 p) k 1 8. p 1 p 1 p k1 k1 55

56 פרק 8. תוחלת ושונות, E [ X ] k PX k) p k 1 p) k p p p 3 k1 k1 p p בדומה. V[X] E [ X ] {E[X]} p p 1 p 1 p p ולסיום. E[X], E [ X ]. f X x) 0 x < 1 3 x 4 x 1 6. יהא X מ''מ בעל הצפיפות חשבו את התוחלת והשונות של. X ראשית נחשב את התוחלת dx xf X x)dx 3 1 x x x dx f X x)dx 3 1 x 3 x. V[X] E [ X ] {E[X]} 3 x1 x1 ) כעת ולכן השונות היא 7. מקל באורך 1, שבמרחק p מקצהו השמאלי מצויר קו, נשבר בנקודה אקראית שמיקומה X מתפלג 0,1)U. מהי תוחלת אורך חלק המקל השבור שעליו יופיע הקו? נסמן ב L p את אורך קטע המקל עליו מסומן הקו. כפי שניתן לראות באיור 8., מתקיים 1 X X < p, L p X) X X p 56

57 פרק 8. תוחלת ושונות X 1 X p איור :8. שאלה. 7 E[L p ] p 0 L p x)f X x)dx 1 x)dx+ 1 p ולכן מהמשפט על תוחלת של טרנס' של מ''מ) 1 0 xdx L p x) 1dx ] p [x x x0 + x 1 xp 1 +p1 p). 1 p, כלומר: כאשר מעניין להיווכח שתוחלת אורך המקל המקסימלית מתקבלת כאשר הקו מסומן בדיוק במרכז המקל. 57

58 פרק 9 הפונקציה יוצרת המומנטים תזכורת: המומנט מסדר k של מ''מ X אם קיים) הוא התוחלת [k. E [ X M X t) E [ e tx] הפונקציה יוצרת המומנטים של מ''מ X מוגדרת ע''י e tx k PX x k ) בדיד X k e tx f X x)dx 9.1) X רציף עבור כל t בו הטור או האינטגרל מתכנס). מקור השם נעוץ בכך שאם המומנט מסדר k של מ''מ X קיים נוכל לחשב אותו ע''י. E [ X k] dk M X t) 9.) dt k t0. M X t) k0 אם X הוא בעל מומנטים מכל סדר נוכל לפתח 0) X t k 9. E [ X k] t k 9.3) k! k! M k) k0 חשיבותה של נוסחא 9.3 היא בכך שאם אנו יודעים לפתח את הפונקציה יוצרת המומנטים של X לטור חזקות מהצורה M X t) c k t k אזי מיחידות פיתוח מקלורן נוכל לקבל k0 את המומנטים של X ע''י. E [ X k] k! c k 9.4) 58

59 פרק 9. הפונקציה יוצרת המומנטים משפט היחידות של הפונקציה יוצרת המומנטים: אם t) M X מוגדרת עבור ערכי t בקטע פתוח הכולל את 0 אזי היא מגדירה את התפלגות X באופן יחיד. במילים פשוטות: אם X ו Y בעלי אותה הפונקציה יוצרת המומנטים אזי הם שווי התפלגות. דוגמאות: 1. מצאו את הפונקציה יוצרת המומנטים של Expλ), X ותנו ביטוי למומנטים מכל M X t) 0 e tx λe λx dx λ e t λ)x dx λ 0 t λ et λ)x x0 λ λ t 1 1 t/λ, סדר. כאשר האינטגרל מתכנס רק עבור. t < λ נפתח אם כן, M X t) 1 1 t/λ t k λ k k0 ומהערה k! 9.4. E [ X k] נערוך בדיקה קצרה: λk, E[X] 1! λ 1 1 λ, E[ X ]! λ λ ולכן, V[X] E [ X ] {E[X]} λ 1 λ 1 λ ואלה אכן התוחלת והשונות של מ''מ מעריכי כפי שהכרנו.. א) תהא t) M X הפונקציה יוצרת המומנטים של מ''מ X ויהא c קבוע ממשי. בטאו את הפונקציה יוצרת המומנטים של X. c+ 59

60 פרק 9. הפונקציה יוצרת המומנטים. M X t) e4t חשבו את ב) יהא X מ''מ שהפונקציה יוצרת המומנטים שלו היא 6 5et. PX 5). M X+c t) E [ e tx+c)] E [ e ct e tx] e ct E [ e tx] e ct M X t) א) נחשב ב) נוכל לרשום, M X t) e4t 1/6e t 6 5e t e3t ומטבלת ההתפלגויות 1 5/6e t M Y t) pe t 1 1 p)e t היא הפונקציה יוצרת המומנטים של מ''מ ) Geomp), Y ) לכן ממשפט היחידות 1 ולפי תוצאת הסעיף הקודם) +3 Y X כאשר,Y Geom ומכאן 6. PX 5) PY ) 1 1 ) פיצריה מציעה n סוגים שונים של פיצה, הנמכרים כולם באותה שכיחות. ביום נתון מגיעים אל הפיצריה K לקוחות בלתי תלויים זה בזה, כאשר K הינו מ''מ בעל פונקציה יוצרת מומנטים ידועה, t). M K מצאו ביטוי לתוחלת מס' סוגי הפיצה השונים הנמכרים ביום נתון. הפיצה מסוג i נמכרה 1 X i אחרת 0 נגדיר את האינדיקטורים הבאים:, i 1,...,n ונזכור שההסתברות שהפיצה ה i תמכר היא ההסתברות שלא תבחרנה תמיד 1 n האחרות, כלומר, P X i 1 K k ) ) k n 1 1 n 60

61 פרק 9. הפונקציה יוצרת המומנטים ומכאן E[X i ] PX i 1) P X i 1 K k ) PK k) k0 [ ) ] [ k n 1 ) ] K n 1 1 PK k) 1 E n n k0 1 E [ { exp ln n 1 ) } ] K 1 M K ln n 1 ) n n. E[X] n i1 E[X i ] n [1 M K ln n 1 )] n ו 61

62 פרק 10 ההתפלגות הנורמלית תזכורת: משתנה מקרי נורמלי ) X N µ,σ הוא בעל צפיפות, f X x) 1 } { σ π exp x µ), < x < σ כאשרµ הואתוחלתההתפלגותוצירהסימטריהשלהצפיפות)ו σ היאהשונותהמגדירה עד כמה מרוכז ה''פעמון'' סביב התוחלת). כל משתנה מקרי נורמלי ניתן להפוך למשתנה מקרי נורמלי סטנדרטי ע''י פעולת תקנון 10.1) X Nµ,σ ) X µ σ N0,1) באופן הבא: פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי היא. Φz) 1 π z e x / dx לצערנואיןביטויבנוסחאסגורהלחישובערכיפונקציהזועבורערכי z שוניםואנונאלצים להיעזר בחישוב נומרי באמצעות מחשב או בטבלה הנורמלית. להתפלגות המצטברת התכונה 10.). Φ z) 1 Φz) 6

63 פרק 10. ההתפלגות הנורמלית 10.3). z α z 1 α האחוזונים של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית מקיימים f Z z) Φz) z z איור 10.1: ההתפלגות המצטברת מימין) והצפיפות של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית דוגמאות: 1. יהא X מ''מ נורמלי עם תוחלת 1 ושונות. 4 א) מה הסיכוי ש X בין 0 ל 4? ב) מהו האחוזון ה 5 של X? 0 1 P0 X 4) P P 10. Φ 1 X 1 X 1 3 ) [ 3 1 Φ 4 1 ) ) ) Φ Φ 1 ) )] 1 Φ ) 3 +Φ ) 1 1 א) טבלה

64 פרק 10. ההתפלגות הנורמלית ב) נראה משהו כללי יותר: נאמר ש ) X Nµ,σ ונסמן ב xאת α האחוזון ה 100α של. X מהגדרת, α P X x α ) P האחוזון X µ x ) α µ ) 10.1 x α µ Φ σ σ σ ומכאן, ע''י הפעלת הפונקציה ההפכית ל )Φ על שני האגפים נקבל 10.4), z α x α µ σ x α µ+σz α כאשר zהוא α האחוזון ה 100α של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית. נשתמש בתוצאה שקיבלנו כדי לחשב. x z z 0.75 טבלה קוטר ברגים במ''מ) בתהליך ייצור מסוים מתפלג ). Nµ,σ בורג נחשב תקין אם קוטרו סוטה מהתוחלת בפחות משתי סטיות תקן. א) מה ההסתברות שבורג כלשהו בתהליך הייצור הוא תקין? ב) מהי תוחלת ושונות מספר הברגים הפגומים ביום בו יוצרו 10,000 ברגים? ג) בביקורת איכות נבדקים כל יום 50 ברגים. אם יותר משניים מהם פגומים, הייצור נפסק. מה ההסתברות שהייצור ייפסק? ד) מה ההסתברות שהייצור ייפסק לראשונה ביום החמישי? P X µ σ ) P X µ σ ) 10.1 Φ) Φ ) א) 10. טבלה Φ)

65 פרק 10. ההתפלגות הנורמלית ב) נגדיר: Y מס' הברגים הפגומים, וברור ש , Binom10 4, Y לכן, E[Y] V[Y] ג) נגדיר: Z מס' הברגים הפגומים בביקורת האיכות, 50,0.0456)B Z, ונחשב ) 50, p 0 PZ 0) , p 1 PZ 1), p PZ ) ) ) ייצור) P עוצרים PZ > ) 1 p 0 p 1 p 0.4 ד) נגדיר: W מס' הימים לעצירת הייצור בפעם הראשונה, ומהסעיף הקודם ברור כי. PW 5) 1 0.4) Geom0.4), W לכן 3. א) מצאו את הפונקציה יוצרת המומנטים של מ''מ נורמאלי סטנדרטי ותנו ביטוי למומנטים מכל סדר. ב) השתמשו בתוצאת הסעיף הקודם כדי למצוא את הפונקציה יוצרת המומנטים של M X t) 1 π e tx e x / dx 1 π z x t e t / 1 π e z / dz e t /. מ''מ נורמלי כלשהו. א) עבור N0,1) X } exp { x t) e t / dx 65

66 פרק 10. ההתפלגות הנורמלית מכאן, M X t) e t / t /) k k0 k! k0 t k k k! ולכן. E [ X k] k)! k k! ; E [ X k+1] 0 ב) נרחיב את התוצאה עבור ) : X Nµ,σ נוכל לרשום X µ+σ Z כאשר N0,1), X ומכאן M X t) M µ+σz t) e µt M σz t), M σz t) E [ e tσz)] E [ e σt)z] M Z σt) תוצאה קודמת e σ t / ו. M X t) exp {µt+ 1 } σ t ולסיכום.4 מ''מU נקראלוג נורמליעםפרמטריםµ ו σ אם. lnu Nµ,σ מצאואתהתוחלת והשונות של. U מההגדרה, U e X כאשר ), X Nµ,σ לכן X]. E[U] E [ e מכאן ניעזר טבלה tx] M X t) E [ e exp {tµ+ 1 } σ t } E[U] M X 1) exp {µ+ σ, E[U ] E [ e X] M X ) exp{µ+σ }, בפונקציה יוצרת המומנטים 66

67 פרק 10. ההתפלגות הנורמלית ולבסוף. V[U] E [ U ] { E[U] } e µ+σ e µ+σ e µ+σ e σ 1 ) ההתפלגות הלוג נורמלית משמשת, בין היתר, לחיזוי הערך של מניה בנקודת זמן, דרך המודל הסטוכסטי הנקרא תנועה בראונית גיאומטרית. בהתאם למודל זה, המנה של מחיר המניה בזמן t+ t ומחירה בזמן t היא מ''מ לוג נורמלי עם פרמטרים µ t ו, σ t כאשר מנות המתייחסות למקטעי זמן זרים הן ב''ת. הפרמטר µ נקרא פרמטר הסחיפה.volatility) הוא מקדם התנודתיות σ ו drift) בשנת 1973 פרסמו Scholes,Black ו Merton נוסחא לתמחור אופציות call אירופאיות המבוססת על תנועה בראונית גיאומטרית, שבסופו של דבר זיכתה אותם בפרס נובל בכלכלה. באיור 10. תוכלו לראות שלושה מימושים ריאליזציות)שונים של תנועה בראונית גיאומטרית עם פרמטר סחיפה 0.1 µ ומקדם תנודתיות 0.1 σ. האם הגרפים הללו מזכירים במקצת את הגרפים מהעתונות הכלכלית...? St) t איור 10.: סימולציה של תנודות במחיר מניה בהתאם לתנועה בראונית גיאומטרית. 67

68 פרק 11 התפלגויות דו מימדיות, התפלגות מותנית, אי תלות תזכורת: יהיו X ו Y זוג מ''מ בדידים המוגדרים על אותו מרחב הסתברות Ω,P), אזי פונקצית ההסתברות המשותפת של X ו Y היא P XY x,y) P X x,y y) לכל x ו y בטווח של X ו Y, בהתאמה. פונקצית ההסתברות השולית של X היא. P X x) y P XY x,y) בדומה נוכל לחשב את פונקצית ההסתברות השולית של Y. פונקצית ההסתברות המותנית של X בהנתן Y y היא. P X Y x y ) P XYx,y) P Y y) בדומה נוכל לחשב את פונקצית ההסתברות המותנית של Y בהנתן X. x אם X ו Y זוג מ''מ רציפים וקיימת פונקציה x,y) f XY כך שלכל A R ), P X,Y) A f XY x,y)dxdy נקרא ל x,y) f XY הצפיפות המשותפת של X ו Y. בפרט, x,y) f XY חייבת להיות אי שלילית ולקיים 1 XYx,y)dxdy. f R A 68

69 פרק 11. התפלגויות דו מימדיות, התפלגות מותנית, אי תלות f X x) הצפיפות השולית של X במקרה כזה תהיה f XY x,y)dy ובדומה נוכל למצוא את הצפיפות השולית של Y. נוכל להגדיר בנוסף את פונקציית ההתפלגות המצטברת של המ"מ X,Y) ע''י. F XY x,y) x. F XY x,y) P X x,y y) y במקרה הרציף יתקיים f XY u,v)dvdu ו f XY x,y) F XY x,y) x y הצפיפות המותנית של X בהנתן Y y תהיה f X Y x y) f XY x,y) f Y y) ובדומה נוכל למצוא את הצפיפות המותנית של Y בהנתן X. x. E [ X Y y ] התוחלת המותנית של מ''מ X בהנתן Y y היא ) xp X Y x y בדידים Y ו X x xf X Y x y ) dx 11.1) X ו Y רציפים נשים לב שהתוצאה המתקבלת היא פונקציה של y, ולכן אם באופן פורמלי נכתוב Y בכל מקום בו רשום y באגף ימין של 11.1 נקבל ש E [ X ] Y הוא מ''מ שהוא פונקציה של המשתנה המקרי,Y המקבל את הערכים ] y E [ X Y בהסתברויות y).p Y נאמר שזוג מ''מ X ו Y הם בלתי תלויים אם לכל זוג מאורעות A,B Ω מתקיים. P X A,Y B) P X A)P Y B) בהכללה, נאמר ש { X} k היא סדרת מ''מ בלתי תלויים אם לכל תת סדרה סופית מתוכה X k1,...,x kn ולכל אוסף מאורעות A 1,...,A n מתקיים. P X k1 A 1,...,X kn A n ) P X k1 A 1 ) P X kn A n ) מ''מ בדידים X ו Y הם ב''ת y) P XY x,y) P X x)p Y לכל x ו y ) y P X Y x לכל x ו y עבורם > 0 x) P X ו P X x), P Y X y x ) P Y y).p Y y) > 0 69

בעיית העץ הפורש המינימאלי (MST)

בעיית העץ הפורש המינימאלי (MST) בעיית העץ הפורש המינימאלי (MS) נניח שקיימת קבוצת איים שאנו מעוניינים לקשר ביניהם על ידי גשרים, כך שיהיה ניתן לנסוע מאי אחד לכל אי אחר מקבוצה זו. בנוסף, נניח כי הממשלה רוצה להוציא את הסכום המינימאלי האפשרי

Læs mere

ואז שעות () * 1 (a d) (a d) (a d) (a d) a שעות, a d a מכאן: ונקבל: תשובה: (

ואז שעות () * 1 (a d) (a d) (a d) (a d) a שעות, a d a מכאן: ונקבל: תשובה: ( 3.03.6-670 - פתרונות למבחנים פתרון מבחן מס' 7 (ספר מבחנים שאלון 035806) המהירויות של האופנוע, לכן נסמן ב- ואז מכונית המשא והמונית מהוות סדרה חשבונית, קמ"ש את מהירות המשאית, ( ) קמ"ש יסמן את מהירות האופנוע

Læs mere

בהצלחה! מבני נתונים

בהצלחה! מבני נתונים המחלקה למדעי המחשב מבני נתונים 202-1-1031 מבחן מועד א', 05/07/2015 13:30, חומר עזר משך הבחינה פרופ' איתן בכמט, פרופ' פז כרמי, דר' צחי רוזן, דר' דקל צור, פרופ' מיכאל אלקין, גב' אירינה רבייב. עמית בן בסט,

Læs mere

בגרות חורף בגרות קיץ 2014 מועד ג' בגרות חורף בגרות קיץ 2015 מועד ב' בגרות חורף תשובות סופיות:...

בגרות חורף בגרות קיץ 2014 מועד ג' בגרות חורף בגרות קיץ 2015 מועד ב' בגרות חורף תשובות סופיות:... תוכן העניינים: בגרות חורף 014... בגרות קיץ 014 מועד א'... 5 בגרות קיץ 014 מועד ב'... 8 בגרות קיץ 014 מועד ג'... 11 בגרות חורף 015...14 בגרות קיץ 015 מועד א'... 16 בגרות קיץ 015 מועד ב'... 19 בגרות חורף

Læs mere

מבחן בקורס "מבוא לפיזיקה של מוליכים למחצה"

מבחן בקורס מבוא לפיזיקה של מוליכים למחצה מס' ת.ז. מס' קורס: 515.150 סמסטר ב' תשע"ג בחינת מעבר מועד א' תאריך הבחינה:..55 משך הבחינה: 3 שעות מבחן בקורס "מבוא לפיזיקה של מוליכים למחצה" ד"ר אלון באב"ד, ד"ר אמיר נתן ועדו עמית יש לענות על כל השאלות

Læs mere

אלגברה לינארית (2) איתי שפירא פרין, התרגולים והספר של הופמן.

אלגברה לינארית (2) איתי שפירא פרין, התרגולים והספר של הופמן. אלגברה לינארית (2) איתי שפירא עריכה אחרונה: 17 ביולי 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2016 17 זה סיכום של ההרצאות של קלואי פרין, התרגולים והספר של הופמן ijshapira@gmailcom תוכן עניינים I מבוא והשלמות

Læs mere

GMAT פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL MY.GEVA.CO.IL

GMAT פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL MY.GEVA.CO.IL GMAT 3) + פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL MY.GEVA.CO.IL 017-016 חדש! אפליקציית יואל גבע בגרויות GEVA.CO.IL 1-800-0-40-60 הקדמה מורים ותלמידים יקרים, אנו שמחים להגיש לכם חוברת הכנה

Læs mere

עצי 3-2 ועצי דרגות חומר קריאה לשיעור זה. Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( )

עצי 3-2 ועצי דרגות חומר קריאה לשיעור זה. Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( ) 2-3 trees עצי 3-2 ועצי דרגות Lecture5 of Geiger & Itai s slide brochure www.cs.technion.ac.il/~dang/courseds Chapter 19: B trees (381 397) חומר קריאה לשיעור זה Chapter 15: Augmenting data structures (281

Læs mere

תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2

תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 בועז צבאן 1 במרץ 2012 תקציר מפורט של הקורס אלגברה לינארית 2, על פי תקציר קצר יותר, שנכתב על ידי בוריס קוניאבסקי ובועז צבאן לגירסה הנוכחית: נועם ליפשיץ התקציר מתאים כחזרה

Læs mere

תשובות למבחן מתכונת 21.6 באלקטרומגנטיות 2010

תשובות למבחן מתכונת 21.6 באלקטרומגנטיות 2010 ב ג ד תשובות למבחן מתכונת 6 באלקטרומגנטיות 00 א ניקוד פתרון שאלה וסעיף 6 q A q q M N נמצא את השדה הכולל בנקודה M Kq Kq' M נמצא בהתמדה ולכן השדה בנקודה נתון כי המטען q E + r (05r) E q Kq r שווה לאפס מכאן

Læs mere

תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 למדמ"ח (פרט לדטרמיננטות והעתקות לינאריות)

תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 למדמח (פרט לדטרמיננטות והעתקות לינאריות) תקציר הרצאות באלגברה לינארית 2 למדמ"ח (פרט לדטרמיננטות והעתקות לינאריות) בועז צבאן 21 במאי 2012 תקציר זה כולל, עבור חלק מהטענות (בדרך כלל, אלה שאינן מיידיות מההגדרות), את רעיון ההוכחה המרכזי (בצבע כחול),

Læs mere

חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן : חלק א' - שעתיים. פרק 1: שאלון 000.

חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים. משך המבחן : חלק א' - שעתיים. פרק 1: שאלון 000. מבחן מחצית י'- תשס"ז-מועד א' חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון )לא גרפי, ושאינו ניתן לתכנות(, דפי נוסחאות מצורפים משך המבחן : חלק א' - שעתיים עליך לפתור שאלה אחת מתוך שאלות - נתונה הפונקציה: פרק : שאלון 000

Læs mere

PostFix, PreFix, InFix

PostFix, PreFix, InFix ביטויים מתמטיים PostFix, PreFix, InFix אחד היישומים החשובים של הינו ייצוגם של ביטויים מתמטיים. - חיבור, חיסור, כפל, וחילוק הינה פעולה בינארית, כלומר פעולה שבה יש כל אחת מהפעולות המתמטיות אחד - הפעולה החישובית,

Læs mere

ניתוח ישיר של תמונות פשוטות

ניתוח ישיר של תמונות פשוטות ניתוח ישיר של תמונות פשוטות ניסיון ראשוני ונאיבי לשימוש באלגוריתם Watershed כולל שימוש בערך המוחלט של הגרדיינט ליצירת תמונה )לאורך כל העבודה נעשה שימוש בהגדרת הגרדיינט של Sobel לאחר שבחנתי מספר הגדרות

Læs mere

במחילות לילה, שועלים, נחשים

במחילות לילה, שועלים, נחשים נושא 5: יחסי גומלין בין מינים ככלל ותחרות בפרט 1 חזרה : הרכב אוכלוסיות ופיזורן להתפלגות גילאים באוכלוסייה השפעה על אופן וקצב גידולה ניתן לתאר אותה על ידי פירמידת גילאים או טבלאות חיים מינים שונים חיים

Læs mere

מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב

מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב מבוא ללוגיקה מתמטית פרופ אילון סולן בית הספר למדעי המתמטיקה אוניברסיטת תל אביב מבוא ללוגיקה מתמטית כתיבה: פרופ אילון סולן

Læs mere

Q BE ] r R e

Q BE ] r R e מאזן - נכסים = התחייבויות + עצמי נכסים שוטפים מימוש פירעון עד שנה( מזומנים מלאי לקוחות הוצאות מראש נכסים קבועים קרקע ציוד מבנים מקורות המימון התחייבות/ זר שוטפות לטווח קצר עד שנה מהיום. ספקים הלוואות לטווח

Læs mere

ארגון המידע באמצעי אחסון

ארגון המידע באמצעי אחסון ארגון המידע באמצעי אחסון איתן אביאור כל הזכויות שמורות קובץ (File) קובץ (file) יחידת עצמאית לאחסון מידע. הקובץ מורכב מרצף של בתים, המאוחסנים בזה אחר זה בהתקן האחסון כגון: דיסק קשיח, תקליטור, דיסקון וכד'.

Læs mere

תזונה. plastids פיון כחוליות

תזונה. plastids פיון כחוליות "מעבדה מתא לאורגניזם" - 72110 מעבדה מס' - 2 חד-תאיים (Protists) המונח חד-תאיים (או חד-תאונים) מתייחס בדרך כלל ליצורים המורכבים מתא אחד בלבד, והם אאוקריוטים - כלומר בעלי גרעין תא, אברונים נבדלים וממברנות

Læs mere

שינויים בתפיסת מושג המשוואה ודרכי פתרונה בסביבת למידה טכנולוגית )case-study(

שינויים בתפיסת מושג המשוואה ודרכי פתרונה בסביבת למידה טכנולוגית )case-study( שינויים בתפיסת מושג המשוואה ודרכי פתרונה בסביבת למידה טכנולוגית )case-study( תמצית מוגש על ידי חנה שטיין לימוד האלגברה מזוהה )אצל מורים ותלמידים רבים( עם אופרציות בביטויים סימבוליים, התמחות בפתרון משוואות

Læs mere

הלעפה תוארוה ןופלט םגד XL-2067

הלעפה תוארוה ןופלט םגד XL-2067 הוראות הפעלה טלפון דגם XL-2067 לקוח נכבד, ברוך הבא לעולם התקשורת המתקדמת של טרנס-גלובל אינדסטריז פיטיאי בע"מ. אנו מודים לך על שרכשת מוצר זה. אנא קרא בעיון את הוראות ההפעלה שבחוברת זו על מנת שתוכלו להפיק

Læs mere

A-PDF MERGER DEMO ה דבעמ הימיכויב ה קיטניק ל ש זאטרבניא ם ירמשמ ה דבעמ ח"וד

A-PDF MERGER DEMO ה דבעמ הימיכויב ה קיטניק ל ש זאטרבניא ם ירמשמ ה דבעמ חוד ביוכימיה מעבדה APDF MERGER DEMO קינטיקה של אינברטאז משמרים דו"ח מעבדה ביוכימיה מעבדה מס' קינטיקה של אינברטאז משמרים מטרות הניסוי : א. ב. ג. הפקת האנזים. קביעת הפעילות האנזימאטית של אינברטאז בשיטת סאמנר.

Læs mere

201 4 ילוי תונורתפ ןושאר קרפ ת ילולימ הבישח רפסמ הלאשה הבושתה

201 4 ילוי תונורתפ ןושאר קרפ ת ילולימ הבישח רפסמ הלאשה הבושתה תונורתפ -- 0ילוי תונורתפ 0 ילוי ןושאר קרפ תילולימ הבישח רפסמ הלאשה 5 6 7 8 9 0 5 הבושתה הנוכנה רפסמ הלאשה 6 7 8 9 0 הבושתה הנוכנה ינש קרפ תילולימ הבישח רפסמ הלאשה 5 6 7 8 9 0 5 הבושתה הנוכנה רפסמ הלאשה

Læs mere

4X1GE מסוים. בתקווה.

4X1GE מסוים. בתקווה. גלי רקיע - התפשטות גלים בתדר גבוה נכתב ע"י אבנר דרורי 4X1GE כמו שקורה בוודאי להרבה מאיתנו, חשבתי שאני מכיר את נושא התפשטות הגלים. רק באחת מההרצאות שהתקיימו בעבר במסגרת האגודה, גיליתי שהידע שלי מזערי ויש

Læs mere

ב ה צ ל ח ה חמד"ע - מרכז לחינוך מדעי ב ח י נ ה ב כ י מ י ה ב מ ת כ ו נ ת ב ג ר ו ת

ב ה צ ל ח ה חמדע - מרכז לחינוך מדעי ב ח י נ ה ב כ י מ י ה ב מ ת כ ו נ ת ב ג ר ו ת חמד"ע מרכז לחינוך מדעי ב ח י נ ה ב כ י מ י ה ב מ ת כ ו נ ת ב ג ר ו ת 02 נקודות 02 נקודות 022 נקודות 3 יחידות לימוד תשע"ה 1025 א. משך הבחינה: שלש שעות מבנה השאלון ומפתח ההערכה: בשאלון זה שני פרקים. פרק

Læs mere

מבוא בעבודת מחקר זו אבדוק את מערכת הקשרים בין מקורות של מחויבות ארגונית לבין ביטויים שלה,

מבוא בעבודת מחקר זו אבדוק את מערכת הקשרים בין מקורות של מחויבות ארגונית לבין ביטויים שלה, מבוא בעבודת מחקר זו אבדוק את מערכת הקשרים בין מקורות של מחויבות ארגונית לבין ביטויים שלה, בסוגים שונים של ארגונים. שלושת התחומים של המקורות למחויבות ארגונית: חישוביים, ערכיים וזהות העצמי, מבוססים על הלימה

Læs mere

פתיחת דלתות להצלחה בחינוך ובתעסוקה לאנשים עם אוטיזם יום עיון, הקריה האקדמית אונו,

פתיחת דלתות להצלחה בחינוך ובתעסוקה לאנשים עם אוטיזם יום עיון, הקריה האקדמית אונו, פתיחת דלתות להצלחה בחינוך ובתעסוקה לאנשים עם אוטיזם יום עיון, הקריה האקדמית אונו, עופר זהבי: בוקר טוב לכולם. לטובת אלה שהגיעו בזמן אני קורא לכולם לשבת. אנחנו רוצים להתחיל. אנחנו פותחים את היום שבו אנחנו

Læs mere

q 1 *q 2 µ = E r

q 1 *q 2 µ = E r ביוכימיה א' חלק א' בכדי להבין מה הם חיים צריך לדעת את מרכיביהם ואיך יוצרים אותם. מטרת הביניים היא לדעת מהם המולקולות מהם מורכב בעל החיים ומה נחוץ לצורך קיום. ניתן לראות כי מרבית הראקציות בביוכימיה הם בסביבה

Læs mere

חוברת למדריכי כיתות ה'

חוברת למדריכי כיתות ה' חוברת למדריכי כיתות ה' 1 מערך הדרכה לחודש יחיד בקבוצה בנושא "חברות" מיועד לשכבת כיתות ה'. שנת הוצאה: תשע"ה כתיבה ועריכה: נעמה מידן )מחלקת הדרכה( 2 מדריכים יקרים חודש יחיד בקבוצה הוא חודש המוקדש לנושא ה"קבוצה".

Læs mere

מפת דרכים לבן משפחה מטפל

מפת דרכים לבן משפחה מטפל מפת דרכים לבן משפחה מטפל המסע האישי שלך עם יקירך! אנחנו כאן בשבילך! www.caregivers.org.il תוכן עניינים ניווט במסע הזמן 3 האם אני בן משפחה מטפל? 4 הטיפול הוא זכות אנושית 5 איך להתארגן ולתכנן? 6 להשיג מידע

Læs mere

התפתחות בהבנת האוטיזם

התפתחות בהבנת האוטיזם התפתחות בהבנת האוטיזם 0222-0202 Michal L. Rutter 12/2/2011, j. Autism and dev. Disorder, 41 : 395-404 תרגמה תמר שחר- MA בפסיכולוגיה, מנהלת מחלקה לחינוך מיוחד בעיריית נתניה. תקציר המאמר ידון בהתקדמות המדעית

Læs mere

חוברת למדריכי כיתות ח'

חוברת למדריכי כיתות ח' חוברת למדריכי כיתות ח' 1 מערך הדרכה לחודש יחיד בקבוצה בנושא "אנחנו והם ח'. " מיועד לשכבת כיתות שנת הוצאה: תשע"ה כתיבה ועריכה: נעמה מידן )מחלקת הדרכה( 2 מדריכים יקרים חודש יחיד בקבוצה הוא חודש המוקדש לנושא

Læs mere

המרת אנרגיה להפקת חשמל

המרת אנרגיה להפקת חשמל אנרגיה והמרתה טכנולוגיה של חומרים תהליכי תיכון וייצור מותאם לתוכנית הלימודים של משרד החינוך 2005 תודה על הלווי והייעוץ המקצועי ל: דר' מיכאל אפשטיין - מכון ויצמן מר ארז אפשטיין - מנכ"ל IT מר אייל ברנר -

Læs mere

התקשרות מתבגר - ריאיון

התקשרות מתבגר - ריאיון התקשרות מתבגר - ריאיון שרף, 1996 1 דפוסי התקשורת והבעה רגשית של מתבגרים בסביבות משפחתיות-חינוכיות שונות מאת: מירי שרף בהדרכת: פרופ' אברהם שגיא פרופ' רחל הרץ-לזרוביץ חיבור לשם קבלת התואר "דוקטור לפילוסופיה"

Læs mere

80H עד אזור הרגיסטרים המיוחדים SFR ( הכתובות מ פעולת האיפוס RESET 27...

80H עד אזור הרגיסטרים המיוחדים SFR ( הכתובות מ פעולת האיפוס RESET 27... , אסמבלי ו C5 תקציר ל MCS5 נערך ע"י : אריה פורת תוכן העניינים סילבוס למקצוע מיקרו מחשבים ושפה עילית...4 נוסחאון משרד החינוך...5 9 מבוא למיקרו בקרים... 9 טבלת השוואה בין מיקרו מעבד למיקרו בקר... 9 המיקרו

Læs mere

מערכות נשימה סגורות - פרק 5

מערכות נשימה סגורות - פרק 5 מערכות סגורות וצלילה ספורטיבית הקמת הארגונים להכשרה בשימוש בניטרוקס בצלילה ספורטיבית בתחילת שנות ה- 09 פתחה את השוק לשימוש בגזים מועשרים בחמצן ובחמצן טהור בצלילה ספורטיבית וכן למערכות נשימה סגורות המחייבות

Læs mere

הקשר בין יצירתיות, מסוגלות והישגים לימודיים ועמדות כלפי למידה מרחוק חקר מקרה

הקשר בין יצירתיות, מסוגלות והישגים לימודיים ועמדות כלפי למידה מרחוק חקר מקרה הקשר בין יצירתיות, מסוגלות והישגים לימודיים ועמדות כלפי למידה מרחוק חקר מקרה וליד אחמד פרופ' שפרה ברוכסון-ארביב למידה מרחוק: הגדרת מושגי המחקר גרימס )1993 )Grimes, סבור שכל למידה פורמאלית מתרחשת כאשר המורה

Læs mere

הבנת הגנטיקה של צבע הפרווה בעכבר ה"פנדה"

הבנת הגנטיקה של צבע הפרווה בעכבר הפנדה בית ספר- "מעלה שחרות" סמל מוסד- 7762 טלפון: 8-635593 יטבתה ד"נ אילות, 8882 הבנת הגנטיקה של צבע הפרווה בעכבר ה"פנדה" עבודת גמר צמודת מקצוע ביולוגיה בהיקף של 5 יח"ל מגישה: יאנה אברמצ'ייב ישוב: שחרות ת.ז.:

Læs mere

פייסבוק כטכנולוגיית איכות חיים בגיל המבוגר סיגל נעים, המחלקה ללימודי תקשורת, אוניברסיטת בן גוריון בנגב

פייסבוק כטכנולוגיית איכות חיים בגיל המבוגר סיגל נעים, המחלקה ללימודי תקשורת, אוניברסיטת בן גוריון בנגב פייסבוק כטכנולוגיית איכות חיים בגיל המבוגר סיגל נעים, המחלקה ללימודי תקשורת, אוניברסיטת בן גוריון בנגב רשתות חברתיות מקוונות האינטרנט - אחד מאמצעי התקשורת הבולטים הגולש - מפאסיבי (מחפש וצורך) לפעיל במרחב

Læs mere

המתן וצפה w&w wait and watch מעקב כל עוד אין צורך בטיפול מדריך לחולים ולבני משפחתם

המתן וצפה w&w wait and watch מעקב כל עוד אין צורך בטיפול מדריך לחולים ולבני משפחתם המתן וצפה w&w wait and watch מעקב כל עוד אין צורך בטיפול מדריך לחולים ולבני משפחתם 2 הערות תוכן העניינים דברי תודה... 4 מבוא... 5 המתן וצפה... 7 אינדיקציות ל-'המתן וצפה'...10 מחלות ספציפיות... 15 סיכום...

Læs mere

אנרגיה בקצב הכימיה פרק ה מדוע מתרחשות תגובות כימיות? ד"ר מרים כרמי ד"ר אדית וייסלברג

אנרגיה בקצב הכימיה פרק ה מדוע מתרחשות תגובות כימיות? דר מרים כרמי דר אדית וייסלברג אנרגיה בקצב הכימיה פרק ה מדוע מתרחשות תגובות כימיות? ד"ר מרים כרמי ד"ר אדית וייסלברג גולת הכותרת בלימודי הכימיה סוף, סוף...תרמודינמיקה! אנרגיה, משקל... קינטיקה, שיווי תגובות חומצה בסיס, חמצון חיזור, שיקוע,...

Læs mere

מפורסמות י באויר ף הבורות.

מפורסמות י באויר ף הבורות. ת ו ב ז ה ע נ י ב י ם כגליון זה 4 תוצאות ולא תרוצים - י. יגיל 5 באויד העולש 18 תצלומים מספרים 32 40 לרקיע פול בריקהיל השאיפה 55 כונזי ור, אמר מר נרפי בלונים זורעי אש 57 קאמיקאזה, טיפות ההתאבדות 62 שכיל

Læs mere

דבר העורך שם המאמר: "בחינת משתנים הקשורים להתנהגות פרואקטיבית במקום העבודה והשוואה בין-תרבותית"

דבר העורך שם המאמר: בחינת משתנים הקשורים להתנהגות פרואקטיבית במקום העבודה והשוואה בין-תרבותית דבר העורך שם המאמר: "בחינת משתנים הקשורים להתנהגות פרואקטיבית במקום העבודה והשוואה בין-תרבותית" מאת: נטע פרנס ופרופ' יצחק הרפז בחרנו להביא בפניכם מחקר ראשוני העוסק בהתנהגות פרואקטיבית בארגונים ובהשפעת

Læs mere

Forever מיליוני אנשים שיצרו ביטחון כלכלי ובריאות טובה יותר בצמיחה מתמדת בשנה עם צפי להמשך צמיחה

Forever מיליוני אנשים שיצרו ביטחון כלכלי ובריאות טובה יותר בצמיחה מתמדת בשנה עם צפי להמשך צמיחה Forever במספרים מעל 155 סניפים ברחבי העולם מחזור של כ- 3 מיליארד $ בשנה עם צפי להמשך צמיחה בצמיחה מתמדת משנת 1978 מעל 250 מוצרים עם פטנטים ייחודיים מיליוני אנשים שיצרו ביטחון כלכלי ובריאות טובה יותר תוכן

Læs mere

- הלעפה תוארוה - יטוחלא ןופלט C-450 םגד : 1

- הלעפה תוארוה - יטוחלא ןופלט C-450 םגד : 1 - הוראות הפעלה - טלפון אלחוטי דגם: 450-C 1 תוכן העניינים 3 4 9-5 9 10-9 11-10 13-11 16-14 21-16 23-22 29-23 30-29 32-30 37-33 38-37 39-38 40 41 43-42 44-43 45 תיאור המכשיר הוראות בטיחות התקנת המכשיר כיוון

Læs mere

תקשורת, תרבות וחברה / ד"ר יריב בן אליעזר

תקשורת, תרבות וחברה / דר יריב בן אליעזר תקשורת, תרבות וחברה / ד"ר יריב בן אליעזר 12.6.07 חומר קריאה לפי סילבוס (בסילבוס יש חלוקה לנושאים בשיעורים לא ממש הייתה...) לפי ההנחיות שניתנו על ידי המרצה בשיעור, להלן רק חומר קריאת החובה למבחן: שעור -

Læs mere

סיכומים פסיכולוגיה התפתחותית

סיכומים פסיכולוגיה התפתחותית סיכומים פסיכולוגיה התפתחותית 150101/1/ שיעור 1 מבוא פסיכולוגיה: מדע החוקר את התנהגות האדם )ובעלי החיים(. יש להבחין בין ההתנהגות הברורה והגלויה )הדברים שניתנים לצפייה ישירה(, לבין התנהגות שאינה נצפית בצורה

Læs mere

המרכז הלאומי לחקר טראומה ורפואה דחופה, מכון גרטנר לחקר אפידמיולוגיה ומדיניות בריאות

המרכז הלאומי לחקר טראומה ורפואה דחופה, מכון גרטנר לחקר אפידמיולוגיה ומדיניות בריאות המרכז הלאומי לחקר טראומה ורפואה דחופה, מכון גרטנר לחקר אפידמיולוגיה ומדיניות בריאות שימוש במודל אופטימיזציה לקביעת נקודות הזנקה של אמבולנסים זמני תגובה לתאונות דרכים בישראל- לקיצור מבוסס מערכת מידע גיאוגראפית

Læs mere

יטוחלא ןופלט ילטיגיד ןובישמ םע םגד KX-TCD445BX

יטוחלא ןופלט ילטיגיד ןובישמ םע םגד KX-TCD445BX הוראות הפעלה טלפון אלחוטי דיגיטלי עם משיבון דיגיטלי דגם KX-TCD445BX טלפון אלחוטי זה תומך בתכונות שיחה מזוהה ושיחה ממתינה מזוהה כדי להציג את מספר הטלפון של המתקשר, יש להירשם בחברת הטלפונים תוכן העניינים

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

החשיפה להוראה מפורשת של חשיבה תהליכית על תפיסתם וביצועיהם של תפיסת ההוראה ויישומה אצל

החשיפה להוראה מפורשת של חשיבה תהליכית על תפיסתם וביצועיהם של תפיסת ההוראה ויישומה אצל תוכנית רוטשילד - ויצמן השפעת החשיפה להוראה מפורשת של חשיבה תהליכית על תפיסתם וביצועיהם של תלמידים ועל תפיסת ההוראה ויישומה אצל מורים מגישה: נורית שושני הכל נכתב כעבודת גמר במסגרת קורס "פיתוח אמצעי למידה"

Læs mere

ס פ ר נ ו?! מ ב ט ע ל פ ע י ל ו ת מ ר כ ז י ה ס י ו ע ב ק ר ב י ל ד י ם ו ב נ י נ ו ע ר ו ב מ ע ר כ ת ה ח י נ ו ך ב י ש ר א ל

ס פ ר נ ו?! מ ב ט ע ל פ ע י ל ו ת מ ר כ ז י ה ס י ו ע ב ק ר ב י ל ד י ם ו ב נ י נ ו ע ר ו ב מ ע ר כ ת ה ח י נ ו ך ב י ש ר א ל ל א ב ב י ת ס פ ר נ ו?! מ ב ט ע ל פ ע י ל ו ת מ ר כ ז י ה ס י ו ע ב ק ר ב י ל ד י ם ו ב נ י נ ו ע ר ו ב מ ע ר כ ת ה ח י נ ו ך ב י ש ר א ל 2 0 0 7 איגוד מרכזי הסיוע לנפגעות ולנפגעי תקיפה מינית בישראל איגוד

Læs mere

סדר ט ו בשבט. writing: Rabi Yaron Nisenholz translation: Rabbin Meir Horden

סדר ט ו בשבט. writing: Rabi Yaron Nisenholz translation: Rabbin Meir Horden סדר ט ו בשבט writing: Rabi Yaron Nisenholz translation: Rabbin Meir Horden חיטה (Chita) Hvede Lad os spise en kage lavet af hvede Tu Bishvat er en helt unik fest i den jødiske kalender. De fleste af vore

Læs mere

רכבת ישראל מכרז מס' TENDER FOR THE SUPPLY AND MAINTENANCE OF ELECTRIC MULTIPLE UNIT (EMU) מסמך ג' נספחים

רכבת ישראל מכרז מס' TENDER FOR THE SUPPLY AND MAINTENANCE OF ELECTRIC MULTIPLE UNIT (EMU) מסמך ג' נספחים רכבת ישראל מכרז מס' 51430 TENDER FOR THE SUPPLY AND MAINTENANCE OF ELECTRIC MULTIPLE UNIT (EMU) מסמך ג' נספחים מסמך ג'- נספחים -23.3.2016 1 מסמך ג' נספחים הוראות לביצוע AS MADE מפרט בקרת איכות של הרכבת

Læs mere

)א( בראשית. אמר רבי יצחק: לא היה צריך

)א( בראשית. אמר רבי יצחק: לא היה צריך פרשת בראשית א א ב ר א ש ית ב ר א א לה ים א ת ה ש מ י ם ו א ת ה א ר ץ: )א( בראשית. אמר רבי יצחק: לא היה צריך להתחיל ]את[ התורה אלא מ"הח דש הזה לכם" )שמות יב, ב(, שהיא מצוה ראשונה שנצטוו ]בה[ ישראל, ומה

Læs mere

דגמים KX-TG7100BX KX-TG7120BX

דגמים KX-TG7100BX KX-TG7120BX הוראות הפעלה טלפון אלחוטי דיגיטלי דגמים KX-TG700BX KX-TG720BX לפני ההפעלה, אנא קראו חוברת זו בעיון ושמרו אותה לשימוש עתידי הקדמה הקדמה תודה לכם על שרכשתם טלפון דיגיטלי אלחוטי מבית Panasonic לכל שימוש

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

גבר, אישה והפרעה: טראומה ראשונית וטראומה משנית בין המטבח לחדר השינה

גבר, אישה והפרעה: טראומה ראשונית וטראומה משנית בין המטבח לחדר השינה גבר, אישה והפרעה: טראומה ראשונית וטראומה משנית בין המטבח לחדר השינה אני מנסה לראות איך אני נחלצת, איך אני אומרת לו שלום, ואיך לעשות את זה עם הילדים. ]...[ אני לא מוכנה להבין יותר, לא מוכנה לתמוך יותר,

Læs mere

Color LaserJet Enterprise M552 Color LaserJet Enterprise M553

Color LaserJet Enterprise M552 Color LaserJet Enterprise M553 Color LaserJet Enterprise M552 Color LaserJet Enterprise M553 M553n M552dn M553dn Installation Guide HE מדריך התקנה www.hp.com/support/colorljm552 www.hp.com/support/colorljm553 1 Select a sturdy, well-ventilated,

Læs mere

הנאורות היא יציאתו של האדם ממצב חוסר הבגרות שהביא על עצמו. חוסר בגרות משמעו

הנאורות היא יציאתו של האדם ממצב חוסר הבגרות שהביא על עצמו. חוסר בגרות משמעו מהי נאורות? הנאורות היא יציאתו של האדם ממצב חוסר הבגרות שהביא על עצמו. חוסר בגרות משמעו חוסר היכולת להשתמש בשכל בלא הנחיה של אחר. כשהסיבה לחוסר הבגרות אינה בעיה שכלית, אלא הימנעות מהחלטה להשתמש בו בלא

Læs mere

עבודות פיתוח אחזקה ושיקום תשתית

עבודות פיתוח אחזקה ושיקום תשתית עבודות פיתוח אחזקה ושיקום תשתית במרכז העיר ספטמבר 1024 1 תוכן העיניינים מסמך א': הקדמה ותכולת העבודה מסמך ב': תנאים כלליים ומפרט מיוחד מסמך ג': כתב כמויות 2 עבודות פיתוח אחזקה ושיקום תשתית במרכז העיר מסמך

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3 Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april

Læs mere

חרדה חברתית בני רוטברג, אבי ויצמן

חרדה חברתית בני רוטברג, אבי ויצמן 6 חרדה חברתית בני רוטברג, אבי ויצמן חרדה חברתית היא מעין מקרה פרטי של חרדה כללית. היא מופיעה החל מגיל הגן. ילדים הלוקים בחרדה חברתית מאוימים מן הצורך לתקשר עם בני גילם. החשש של הילד הוא שמא יתנהג בצורה

Læs mere

Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to

Læs mere

Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to

Læs mere

"קורבנות של הנרטיבים של עצמנו?" תיאור "האחר" בספרי לימוד ישראליים ופלסטיניים ביוזמת "מועצת המוסדות הדתיים בארץ הקודש" דוח מחקר, 4 בפברואר 1023

קורבנות של הנרטיבים של עצמנו? תיאור האחר בספרי לימוד ישראליים ופלסטיניים ביוזמת מועצת המוסדות הדתיים בארץ הקודש דוח מחקר, 4 בפברואר 1023 י- "קורבנות של הנרטיבים של עצמנו?" תיאור "האחר" בספרי לימוד ישראליים ופלסטיניים ביוזמת "מועצת המוסדות הדתיים בארץ הקודש" המחקר מומן בעזרת מענק ל"עתיד שונה" Future) A) Different מהמשרד לדמוקרטיה, עבודה

Læs mere

PC PSI PT JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON MÉTHODES ET EXERCICES. Mathématiques. méthodes et exercices. 3 e.

PC PSI PT JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON MÉTHODES ET EXERCICES. Mathématiques. méthodes et exercices. 3 e. PC PSI PT MÉTHODES ET EXERCICES JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON Mathématiques méthodes et exercices 3 e édition Conception et création de couverture : Atelier 3+ Dunod, 201 5 rue Laromiguière,

Læs mere

קולנוע דרום הגות וביקורת יוני 2012

קולנוע דרום הגות וביקורת יוני 2012 קולנוע דרום הגות וביקורת יוני 2012 קולנוע דרום 5 ארז פרי ואפרת כורם 13 הרב מרדכי ורדי 23 תום שובל 37 אפרת כורם וסיגלית בנאי 58 שולה קשת 61 סיגלית בנאי 74 אילן שפית 83 יעל בן צבי מורד 91 ג'אד נאמן 99 יעל

Læs mere

תוכנית מבצעית פיתוח אזורי משקיים בעתידך!

תוכנית מבצעית פיתוח אזורי משקיים בעתידך! www.bulgariatravel.org אתרי סקי בבולגריה מולטימדיה תוכנית מבצעית פיתוח אזורי 2007-2013 www.bgregio.eu משקיים בעתידך! הפרויקט ממומן בשיתוף עם האיחוד האירופי באמצעות קרן האירופית לפיתוח אזורי וגם מתקציב

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt

Læs mere

הריאליזם ביצירותיו של אהרן מגד "דוגמאות נבחרות מיצירותיו "

הריאליזם ביצירותיו של אהרן מגד דוגמאות נבחרות מיצירותיו הריאליזם ביצירותיו של אהרן מגד "דוגמאות נבחרות מיצירותיו " الواقعيت في اعمال اهارون ميجد ووماذج مختارة مه اعماله الباحث : עבד رحيم راضي عبد הקדמה המורה רחים ראדי הריאליזם הספרותי במשמעו הכללי מצייג אשר

Læs mere

ברור חיל גיליון סתיו דמוקרטי גיליון מס' 49 פרוייקט צביעת תחנת האוטובוס תמונות ופרטים נוספים גינת פרחי קרמיקה ליד מועדון יחדיו תמונות נוספות בעמוד 13.

ברור חיל גיליון סתיו דמוקרטי גיליון מס' 49 פרוייקט צביעת תחנת האוטובוס תמונות ופרטים נוספים גינת פרחי קרמיקה ליד מועדון יחדיו תמונות נוספות בעמוד 13. גיליון מס' 49 ברור חיל אוקטובר-נובמבר 2015 תשע"ו גיליון סתיו דמוקרטי פרוייקט צביעת תחנת האוטובוס תמונות ופרטים נוספים בעמוד 16. גינת פרחי קרמיקה ליד מועדון יחדיו תמונות נוספות בעמוד 2 ופרטים על הפרוייקט

Læs mere

רשומות קובץ התקנות עמוד

רשומות קובץ התקנות עמוד רשומות קובץ התקנות כ"ב באלול התשס"ח 22 6713 בספטמבר 2008 עמוד תקנות התכנון והבניה (בקשה להיתר, תנאיו ואגרות) (תיקון מס',(3 התשס"ח 2008..................... 1426 תקנות התכנון והבניה (בקשה להיתר, תנאיו ואגרות)

Læs mere

Løsning til eksamen 16/

Løsning til eksamen 16/ 1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen

Læs mere

"פרויקט אישה" - הערכת התכנית לפיתוח מנהיגות נשים בקהילה לקידום בריאות נשים

פרויקט אישה - הערכת התכנית לפיתוח מנהיגות נשים בקהילה לקידום בריאות נשים מרכז סמוקלר לחקר מדיניות הבריאות "פרויקט אישה" - הערכת התכנית לפיתוח מנהיגות נשים בקהילה לקידום בריאות נשים דוח מסכם אירית אלרועי רויטל גרוס יעל אשכנזי ברוך רוזן הדוח מהווה חלק מפרויקט "אישה" וממומן בידי

Læs mere

y = (1 +K")/ (r0 + K" +r1 K' K*) פיקדונות עובר ושב 3. המכפיל* לוח 1 היחס ובין הרזרבה בפועל

y = (1 +K)/ (r0 + K +r1 K' K*) פיקדונות עובר ושב 3. המכפיל* לוח 1 היחס ובין הרזרבה בפועל הקשר ב>ו כמות הכסף לבסיס הכסף אריה מרום 1. מגוא מאמר זה נועד לבחון כיצד תשתנה כמות הכסף במשק, שעה שנתון גודלו של העירוי החיצוני, כמה זמן יארד.וכיצד יתחלק על פני הזמן; וכיצד ישפיע עירוי כזה על גודלם של

Læs mere

יאז. כל טבליה ורודה מכילה: דרוספירנון 3 מ"ג Drospirenone 3 mg לרופא. אסטרוגן (אתינילאסטרדיול) ופרוגסטוגן (דרוספירנון).

יאז. כל טבליה ורודה מכילה: דרוספירנון 3 מג Drospirenone 3 mg לרופא. אסטרוגן (אתינילאסטרדיול) ופרוגסטוגן (דרוספירנון). עלון לצרכנית לפי תקנות הרוקחים (תכשירים) התשמ"ו- 1986 התרופה משווקת על פי מרשם רופא בלבד יאז טבליות מצופות כל טבליה ורודה מכילה: דרוספירנון 3 מ"ג Drospirenone 3 mg אתינילאסטרדיול (כבטדקס קלאטראט) 0.02

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

7. מעברים לבעלי חיים ופתרונות טכניים אחרים הגישה הכללית 7.2 צמצום אפקט החיץ: מעברים תחתיים 7.1 צמצום אפקט החיץ: מעברים עיליים

7. מעברים לבעלי חיים ופתרונות טכניים אחרים הגישה הכללית 7.2 צמצום אפקט החיץ: מעברים תחתיים 7.1 צמצום אפקט החיץ: מעברים עיליים . מעברים לבעלי חיים ופתרונות טכניים אחרים הגישה הכללית.1 צמצום אפקט החיץ: מעברים עיליים.2 צמצום אפקט החיץ: מעברים תחתיים.3 מניעה וצמצום של תמותת בעלי חיים ושל אפקט החיץ.4 צמצום אפקט החיץ ותמותת בעלי חיים:

Læs mere

יוזמות בית ספריות מקדמות פיתוח חשיבה

יוזמות בית ספריות מקדמות פיתוח חשיבה יוזמות בית ספריות מקדמות פיתוח חשיבה משרד החינוך המזכירות הפדגוגית ירושלים, תשס"ט - 2009 צוות היגוי: פרופ' ענת זוהר, ערן ברק-מדינה הערכת תוכניות: ערן ברק-מדינה, דר' הילה אביאלי עריכה: ד"ר שלומית גינוסר

Læs mere

ד"ר שגית לב ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת בר אילן ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת אריאל החוג לגרנטולוגיה, אוניברסיטת חיפה

דר שגית לב ביהס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת בר אילן ביהס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת אריאל החוג לגרנטולוגיה, אוניברסיטת חיפה ד"ר שגית לב ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת בר אילן ביה"ס לעבודה סוציאלית אוניברסיטת אריאל החוג לגרנטולוגיה, אוניברסיטת חיפה מהי גילנות? "גילנות מוגדרת כסטריאוטיפים שליליים או חיוביים, דעות קדומות ו /

Læs mere

תולדות ייסודו של התלמוד הבבלי כיצירה ספרותית

תולדות ייסודו של התלמוד הבבלי כיצירה ספרותית נחמיה בריל תולדות ייסודו של התלמוד הבבלי כיצירה ספרותית א עם הכרעתה של המדינה היהודית בזרוע הברזל של רומא, החלה תקופה בתולדות הספרות היהודית שמהלכה התאפיין בשקיעה מוחלטת, אך לקראת סיומה היא גילתה התחזקות

Læs mere

פרוייקט ייעוץ ארגונומי במרפאות הכללית מחוז חיפה וגליל מערבי

פרוייקט ייעוץ ארגונומי במרפאות הכללית מחוז חיפה וגליל מערבי פרוייקט ייעוץ ארגונומי במרפאות הכללית מחוז חיפה וגליל מערבי בברלי סלומון ענת פנחסוביץ- - פיזיותרפיסטית, מנהלת מכון פיזיותרפיה, נשר פיזיותרפיסטית, מנהלת מכון לבריאות הגב, ורדיה ציפי קנול מנהלת שרותי הפיזיותרפיה

Læs mere

אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות

אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות של מערכת העיכול אסופת מאמרים הפרעות תפקודיות של מערכת העיכול תוכן עניינים 4 הקדמה............................................................................... 7 רקע כללי.............................................................................

Læs mere

אּי תי ג רפוּנ קל 2011 תשע"ב

אּי תי ג רפוּנ קל 2011 תשעב עלוּ ח ה אּי תי ג רפוּנ קל רס חוברת למידה ועזר להדרכה הסוקרת את התפתחות השימוש בחרס ע"י האדם מגילויו ועד ימינו, ופותחת אשנבים מגוונים להכרות מעשירה עם עולם הארכיאולוגיה והמרחב דרך דגש על שברי כלי החרס שאנחנו

Læs mere

יגשיה טרופס 6 רפסמ ןויליג 2015 רבוטקוא

יגשיה טרופס 6 רפסמ ןויליג 2015 רבוטקוא ספורט הישגי אוקטובר 2015 גיליון מספר 6 אליפות העולם באתלטיקה בבייג'ין, 2015 2 ספורט הישגי תוכן העניינים מדעי האימון פציעות ספורט 3 דבר העורכים יניב אשכנזי, פרופ' גרשון טננבאום 30 אימוני אינטרוולים עצימים

Læs mere

פרק שלישי: תהליכי הגל ובליזציה מש נים את העולם

פרק שלישי: תהליכי הגל ובליזציה מש נים את העולם פרק שלישי: תהליכי הגל ובליזציה מש נים את העולם בעשורים האחרונים מתרחשים בעולם תהליכים כלכליים ר ב י ע וצמה המכ ונים ג ל ו ב ל יז צ י ה *. לתהליכים אלה יש השפעה על הכלכלה, החברה, התרבות, הפוליטיקה, הסביבה

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

קובי פרץ זוהר שדה פרויקט גמר מוגש על ידי במסגרת הקורס: פרויקט יישומי בהדרכת: המכללה הדתית לחינוך גבעת וושינגטון תמוז, תשס"ד יוני, 4112

קובי פרץ זוהר שדה פרויקט גמר מוגש על ידי במסגרת הקורס: פרויקט יישומי בהדרכת: המכללה הדתית לחינוך גבעת וושינגטון תמוז, תשסד יוני, 4112 השפעת תכנית התערבות על כושר גופני אירובי בריצה ארוכה בין תלמידי כיתות יא'- יב' בעלי הפרעות קשב וריכוז והיפראקטיביות ADHD( (לתלמידים בחינוך הרגיל שלא עברו תכנית התערבות. פרויקט גמר מוגש על ידי קובי פרץ

Læs mere

I ו בצלם ן % י מרכז המידע הישראלי לזכויות הא 1 ם בשטחים i בועדי ןגיון הפרת זכויות האדם של עובדי השטחים בישראל ובהתנחלויות,'. י י. : p f..יד ירושלים ספטמבר 1999 בצלם J a» * י מרכז המידע הישראלי לזכויות

Læs mere

לארשיב םודא דוד ןגמ האופר ףגא ן טא

לארשיב םודא דוד ןגמ האופר ףגא ן טא 1 מגן דוד אדום בישראל אגף רפואה שרותי אט"ן נהלים ופרוטוקולים רפואיים לעבודת פאראמדיק באט"ן מודל עבודה ללא רופא עודכן באפריל 2008 (עדכון מס. ( 15 2 עמוד תוכן עניינים תוכן מבוא: כללי, מטרה, שיטה מבוא: סמכות

Læs mere

הקשר בין אקלים כיתה להישגים לימודיים בהשוואה בין בנים לבנות בכיתה ט'

הקשר בין אקלים כיתה להישגים לימודיים בהשוואה בין בנים לבנות בכיתה ט' בס"ד הקשר בין אקלים כיתה להישגים לימודיים בהשוואה בין בנים לבנות בכיתה ט' מוגשת כחלק מהדרישות לשם קבלת תואר ראשון בהוראה מגישות: שמרית אביעד (אהרון) אודיה אלקסלסי טלפון מרצה: ד"ר יצחק וייס שנה"ל התשס"ו

Læs mere

קורות חיים רצפים התפתחותיים לאורך החיים, התסמונות והבעיות הפסיכופתולוגיות בתקופות מעבר שונות

קורות חיים רצפים התפתחותיים לאורך החיים, התסמונות והבעיות הפסיכופתולוגיות בתקופות מעבר שונות A Publication of The Group פסיכיאטריה רבעון בנושא פסיכיאטריה דצמבר - 2007 פברואר 2008 גיליון מס' 6 קורות חיים רצפים התפתחותיים לאורך החיים, התסמונות והבעיות הפסיכופתולוגיות בתקופות מעבר שונות איכות השירות

Læs mere

מערכת הגנת צד

מערכת הגנת צד Rodi מערכת הגנת צד הוראות שימוש ואחריות HE 2 1 3 1 2 A B C 3 1 2 D E F G H I J איורים ARGENTINA Bebehaus S.A. Tel. + 54 (911) 6265 0665 Fax + 54 (911) 5050 2339 info@bebehaus.com.ar www.bebehaus.com.ar

Læs mere

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004 1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt

Læs mere

14 מסילות תנועה במסילות - מבט פנים 30 משקוף עיוור מ ע - שרטוט פריקסט, טבלת R1 40 חשמל יציאת חשמל, הירשמן פלאג. 46 צלון באלכסון Align Grills

14 מסילות תנועה במסילות - מבט פנים 30 משקוף עיוור מ ע - שרטוט פריקסט, טבלת R1 40 חשמל יציאת חשמל, הירשמן פלאג. 46 צלון באלכסון Align Grills תוכן עניינים הטכנולוגיה מעולם לא הציבה בפנינו כל כך הרבה הזדמנויות ומורכבויות בתהליך יישום של פרויקט חלונות דלתות והצללות אלומיניום. בחירת השותף הנכון מאפשרת לכם למנף הזדמנויות אלה בפשטות וביעילות, אולם

Læs mere

נחמה בן ש ך בן פורת נחמה בן ש ך בן פורת יופי נחמה יופי נחמה

נחמה בן ש ך בן פורת נחמה בן ש ך בן פורת יופי נחמה יופי נחמה נחמה בן ש ך בן פורת נחמה בן ש ך בן פורת יופי נחמה יופי נחמה יופי נחמה מאלבום הזיכרונות של נחמה בן ש"ך - בן פורת נחמה בן ש"ך - בן פורת )לבית מישלוב( נחמה יופי מאלבום הזיכרונות בשנים 1950-1928 לזכרם של אמא,

Læs mere

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable 3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.

Læs mere

כנס מנדל לחינוך יום חמישי כ א כסלו תשס ט ± בדצמבר כפר המכביה תכנית תקצירים מאמרים

כנס מנדל לחינוך יום חמישי כ א כסלו תשס ט ± בדצמבר כפר המכביה תכנית תקצירים מאמרים כנס מנדל לחינוך יום חמישי כ א כסלו תשס ט ± בדצמבר כפר המכביה תכנית תקצירים מאמרים הקדמה לרגל כנס מנדל לחינוך שנות חינוך בישראל עבר הווה ועתיד המתקיים ב ± בדצמבר בכפר המכביה מוגשת לכם אסופת מאמרים זוÆ

Læs mere