Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
|
|
- Lilian Mortensen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne@math.ku.dk susanne 7. undervisningsuge, mandag 1
2 Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n, p), og at vi har observeret X = x hvor n er givet. Sidste uge lærte vi at estimere p: ˆp = x n og at konstruere et approksimativt 95% konfidensinterval for vores estimat: ( ˆp 1.96sˆp ; ˆp sˆp ) hvor vi estimerer spredningen af estimatoren til sˆp = ˆp(1 ˆp) n 2
3 Antag for eksempel at n = 18 og at vi observerer X = ˆp 1.96 sˆp 0.45 ˆp 2/3 ˆp sˆp 0.88 } {{ } 95% CI 1 p Antag nu at vi har en hypotese om at p = p 0. Naturligt spørgsmål: Er data foreneligt med vores hypotese? 3
4 Hvad nu hvis vores hypotese er p = 0.5? Er data foreneligt med vores hypotese? 0 ˆp 1.96 sˆp 0.45 p 0 ˆp 2/3 ˆp sˆp 0.88 } {{ } 95% CI 1 p 4
5 Hvad nu hvis vores hypotese er p = 0.25? Er data foreneligt med vores hypotese? 0 ˆp 1.96 sˆp 0.45 ˆp 2/3 ˆp sˆp 0.88 p 0 }{{} 1 p 95% CI 5
6 Eksempel Produktsammenligning ved partest. Kan en forsøgsperson kende forskel mellem type A og type B af et produkt? Lad sandsynligheden for at personen udpeger det korrekte produkt være p. Hvad svarer p = 1 /2 til? 6
7 Eksempel Produktsammenligning ved partest. Kan en forsøgsperson kende forskel mellem type A og type B af et produkt? Lad sandsynligheden for at personen udpeger det korrekte produkt være p. Hvad svarer p = 1 /2 til? Hvad svarer p = 1 til? 6
8 Eksempel Produktsammenligning ved partest. Kan en forsøgsperson kende forskel mellem type A og type B af et produkt? Lad sandsynligheden for at personen udpeger det korrekte produkt være p. Hvad svarer p = 1 /2 til? Hvad svarer p = 1 til? Hvad svarer p < 1 /2 til? 6
9 Antag nu at forsøget gentages n = 8 gange, og at de enkelte forsøg er uafhængige (er det en rimelig antagelse?). Lad X betegne antallet af gange personen udpeger det korrekte produkt. Antag nu at personen udpeger det korrekte produkt alle 8 gange: X = 8. Kan vi konkludere at personen kan smage forskel? 7
10 Antag nu at forsøget gentages n = 8 gange, og at de enkelte forsøg er uafhængige (er det en rimelig antagelse?). Lad X betegne antallet af gange personen udpeger det korrekte produkt. Antag nu at personen udpeger det korrekte produkt alle 8 gange: X = 8. Kan vi konkludere at personen kan smage forskel? For at svare på det antager vi at personen ikke kan smage forskel: p 0 = 1 /2 7
11 Antag nu at forsøget gentages n = 8 gange, og at de enkelte forsøg er uafhængige (er det en rimelig antagelse?). Lad X betegne antallet af gange personen udpeger det korrekte produkt. Antag nu at personen udpeger det korrekte produkt alle 8 gange: X = 8. Kan vi konkludere at personen kan smage forskel? For at svare på det antager vi at personen ikke kan smage forskel: p 0 = 1 /2 Under denne hypotese hvad er da sandsynligheden for det udfald, vi har observeret? 7
12 Vi har under antagelsen om at p = 1 /2 at P (X = 8) = = = Med andre ord: Hvis personen ikke kan kende forskel og vi gentager dette eksperiment 1000 gange (hver gang prøver personen 8 gange), forventer vi at ca 4 gange ud af de 1000 ville personen udpege det korrekte produkt alle 8 gange. Er det på den baggrund plausibelt at p = 1 /2? 8
13 Definition 4.9 En hypotese (eller nulhypotese) i en statistisk model er et simplificerende udsagn om modellen, typisk om modellens ukendte parametre. Hypotesen betegnes oftest H 0. Til enhver testsituation hører også en alternativ hypotese H A som vil være gyldig hvis nulhypotesen er falsk. Som regel er den alternative hypotese blot negationen af H 0, dvs H 0 er ikke sand. Hvad betyder simplificerende udsagn om modellen? Hvis H 0 er sand, da gælder en model, der er en delmodel af den oprindelige model. 9
14 Eksempel 4.16 fortsat Her er nulhypotesen at personen ikke kan kende forskel, dvs mens den alternative hypotese er H 0 : p = 1 2 H A : p > 1 2 Formålet med et statistisk test er at undersøge om data understøtter eller modsiger H 0 - hertil udregnes en teststørrelse. 10
15 Definition 4.10 Antag at vi har observationer X 1,..., X n fra en statistisk model, og at H 0 og H A er henholdsvis en nulhypotese og en alternativ hypotese om modellen. En teststørrelse for H 0 er en stokastisk variabel af formen T = g(x 1,..., X n ) der måler hvor godt data passer til nulhypotesen H 0 i forhold til alternativet H A. Fordelingen af T under H 0 skal kunne beregnes, enten eksakt eller approksimativt. P -værdien for testet baseret på en observeret værdi T obs er lig sandsynligheden for værdier af T som er mindst lige så kritiske (som T obs ) for H 0 i forhold til H A, hvor sandsynligheden udregnes i fordelingen af T under H 0. 11
16 Eksempel 4.16 fortsat Her anvendtes som teststørrelse blot det observerede antal korrekte svar: T = X Hvad betyder i dette tilfælde værdier af T der er mere kritiske end T obs? Under H 0 er p = 1 /2, under H A er p > 1 /2 Hvis X/n > 1 /2 er kritiske værdier T T obs. Hvis X/n 1 /2 er alle værdier af T mindst lige så kritiske som T obs. 12
17 Da X/n = 8/8 = 1 > 1 /2 er kritiske værdier T T obs = 8, dvs kun punktet {8}, da T = X {0, 1,..., 8}. Da T = X er fordelingen af teststørrelsen under H 0 kendt: T Bin(8, 1 /2) Vi får P værdi = P (T T obs ) = P (T = 8) =
18 Hvad siger P -værdien? Hvis H 0 er sand, er T fordelt efter en kendt fordeling. Vi sammenholder vores (afledte) observation T obs med denne fordeling. Hvis et udfald som T obs er meget usandsynligt i denne fordeling er det svært at tro på at H 0 er sand, og at dette udfald blot var ren tilfældighed = vi afviser hypotesen. Hvis et udfald som T obs er sandsynligt i denne fordeling kan vi ikke afvise at H 0 er sand; dette udfald kunne blot være ren tilfældighed = vi accepterer hypotesen. 14
19 Hvad betyder en lav P -værdi? Definition 4.11 Et udfald af et statistisk test kaldes signifikant på signifikansniveau α, hvor 0 α 1, hvis P -værdien er α. Signifikansniveau: risikoen for at drage en fejlslutning på basis af tilfældigheder. Hvornår er noget signifikant? 15
20 Eksempel 4.16 fortsat Antag nu at forsøgspersonen kun kunne udpege 6 korrekte produkttyper ud af 8, dvs T = X = 6. Hvordan beregner vi P -værdien? Udfald som er mere kritiske for H 0 i forhold til H A er {X = 7} og {X = 8}: de er længere væk fra nulhypotesen end det observerede. 16
21 Vi har P værdi = P (X X obs ) = P (X 6) = P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) = ( 8 6 ) (8 6) + ( 8 7 ) (8 7) + ( 8 8 ) (8 6) = = 0.14 Fortolkning? 17
22 6 7 8 Ö Ò Ò Ò Ö ÐÐÙ ØÖ Ö Ø ÙÖ º º ÖÑ Ö Ù Ð Ø X = 6 Ò ÒØ Ø P > 0.05) Ú Ð Ø Ú Ò Ò Ú Ú Ø Ö Ú X = 6 ÆË º Å Ø ÒÓÒ¹ Ò ÒØ Ù Ð Ò Ú ÓÖ Ø ÝÔÓØ Ò Ø p = 1/2 Ó Ø ÓÑÑ Ö Ò Ö ÐØ Ò Ò ÓÖ Ð Ô ØÓ ÔÖÓ Ù Ø Öº Ø ÓÑÑ Ö Ò ÐÐ Ú Ð Ù Ö Ø Ò Ø Ò ÚÖ Ò Ø Ð Ð º ÑÖ Ñ Ð ÖØ Ø Ú ÓÐÙØ Ò ÓÒ ÐÙ Ö Ø p = 1/2º Í Ð Ø ÙÒÒ Ó Ù ÑÖ Ø Ø ÑÑ Ñ Ø p = 0.6 ÐÐ Ö p = 0.7 ܺ f(x) ¼º ¼º¾ ¼º½ Ò(8, 1 2 ) X Ó ºº P {}}{ ¼ ¼ ½ ¾ ÒØ Ð Ö Ø x ÙÖ º ÒÓÑ Ð ÓÖ Ð Ò (8, 1/2) = ÓÖ Ð Ò Ò ÙÒ Ö À 0 Ø Ø Ø ÖÖ Ð Ò X ÓÖ Ô ÖØ Ø Ò ÑÔ Ð º½ Ó Ö Ò Ò P ¹ÚÖ Ú Ó ÖÚ Ö Ø ÚÖ X Ó = 6º ÓÖ Ô ÖØ Ø ÑÔ Ð º½ º½ ÒÝØØ Ú Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÝÔÓØ À : p > 1/2º ÖÙÒ Ð Ò ÓÖ Ø ÖÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø Ø Ð p¹úö Ö > 1/2 Ø Ø ÓÖ ÐÐ p¹úö Ö 1/2 Ú Ö Ø Ú Ò Ø ÙÒ Ö ÓÑ ÓÑÑ Ö Ò ÓÚ Ö ÓÚ Ø ÙÒÒ Ò ÓÖ Ð Ô ØÓ ÔÖÓ Ù Ø Ö Ó Ø Ø Ð Ð Ø p < 1/2 Ú Ö Ú Ò Ð Ø Ø ÓÖ Ø ÒÒ ØÝÔ ÓÖ Ó Ñ ÙÒÒ 18 ØÝ Ô Ø Ö Ú Ö Ø Ò Ð ÓÖ Øº ÀÚ Ñ Ò Ö ÒÓ Ò Ô Ð ÒØ Ö ÐÐ Ö ÓÖ Ò Ú Ò ÓÑ ØÙ Ø ÓÒ Ò ÒÖ
23 H 0 accepteres H 0 afvises H 0 er sand OK Type I fejl sandsynlighed 1 α α (signifikansniveau) H 0 er falsk Type II fejl OK sandsynlighed β 1 β (styrke) 19
24 Definition 4.12 Betragt en statistisk model hvori der er givet en nulhypotese H 0, en alternativ hypotese H A og en teststørrelse T for H 0 mod H A. Testet T kaldes et ensidet test hvis de kritiske værdier er et interval enten af formen {T t} eller af formen {T t}, altså at enten store værdier eller små værdier af T er kritiske. Testet T kaldes et tosidet test hvis de kritiske værdier er af form som en foreningsmængde {T t 1 } {T t 2 }, altså at både store og små værdier af T er kritiske. 20
25 Definition 4.13 Betragt en statistisk model med en hypotese H 0, en tilhørende teststørrelse T og en observeret værdi T obs. P -værdien for testets udfald beregnes, alt efter om testet er ensidet eller tosidet, efter følgende retningslinier: 1. Ensidet test. Hvis det kritiske område er af formen {T t} (dvs store værdier er kritiske), er P = P (T T obs ). Hvis det kritiske område er af formen {T t} (dvs små værdier er kritiske), er P = P (T T obs ). 2. Tosidet test. P = 2 min{p (T T obs ), P (T T obs )}. I begge tilfælde udregnes sandsynlighederne i fordelingen af T under H 0. 21
26 Ensidet test: H 0 : p = 1/2 og H A : p > 1/2 ; P = P (T T obs ) Bin(8,1/2) f(x) X obs } {{ } } {{ } P (T T obs ) P (T T obs ) 22
27 Ensidet test: H 0 : p = 1/2 og H A : p < 1/2 ; P = P (T T obs ) Bin(8,1/2) f(x) X obs } {{ } } {{ } P (T T obs ) P (T T obs ) 23
28 Tosidet test: H 0 : p = 1/2 og H A : p 1/2 ; P = 2 min{p (T T obs ), P (T T obs )} Bin(8,1/2) f(x) X obs } {{ } } {{ } P (T T obs ) P (T T obs ) 24
29 Tosidet test: H 0 : p = 1/2 og H A : p 1/2 ; P = 2 min{p (T T obs ), P (T T obs )} Bin(8,1/2) f(x) X obs }{{} P (T T obs ) }{{} P (T T obs ) 25
30 Test i binomialfordelingen Lad X Bin(n, p). Vi estimerer ˆp = X /n. Vi ønsker at teste hypotesen: hvor p 0 (0, 1) er et kendt tal. H 0 : p = p 0 Teststørrelse: observationen X. Beregning af P -værdi for udfaldet X obs afhænger af den alternative hypotese: H A : p > p 0 : P = P (X X obs ) H A : p < p 0 : P = P (X X obs ) 2P (X X obs ) for ˆp p 0 H A : p p 0 : P = 2P (X X obs ) for ˆp < p 0 26
31 Beregning af P -værdi (testsandsynlighed) P (X x) = P (X x) = x ( n i n ( n i i=0 i=x ) p i 0(1 p 0 ) (n i) ) p i 0(1 p 0 ) (n i) Hvis n er stor er det besværligt at regne ud. Man kan bruge normalfordelingsapproksimationen: ( ) x np 0 P (X x) Φ np0 (1 p 0 ) ( ) x 0.5 np 0 P (X x) 1 Φ np0 (1 p 0 ) 27
32 Eksempel Nedarvning hos fluer Krydsningsforsøg med fluer: i en afkomstgeneration på 176 individer var 46 mutanter af en bestemt type. En genetisk hypotese forudsiger at forholdet mellem normale og muterede individer er 3 : 1. Er det i overensstemmelse med data? Statistisk model: X Bin(n, p) Her er n = 176 og p = mutationssandsynligheden. Vi estimerer ˆp = 46/176 = Nulhypotese: H 0 : p 0 = Alternativ hypotese: H A : p Teststørrelse: X Testsandsynlighed: P (X 46) (da ˆp > p 0 ). 28
33 P (X 46) = 1 P (X 45) = 1 45 i=0 ( 176 = = Alternativt kan denne sandsynlighed approksimeres: i ) 0.25 i (1 0.25) (176 i) P (X 46) 1 Φ ( = 1 Φ(0.261) = = Se også Tabellen E.1 side 304 i MS. ) (1 0.25) 29
34 Note 4.9 Maximum likelihood metoden er en standardmetode til at estimere parametrene i en model. Det er en generel metode, der (i princippet) giver en løsning automatisk udfra modellen. På samme vis findes en generel (automatisk) metode til at konstruere en teststørrelse ud fra den statistiske model og hypotesen: 30
35 Antag at vi har en model med parameter θ og en hypotese H 0. Lad ˆθ være maximum likelihood estimatet for θ i modellen, dvs L(ˆθ) L(θ) for alle θ i parameterrummet, hvor L(θ) er likelihoodfunktionen. Lad ˆθ 0 være maximum likelihood estimatet for θ i den reducerede model givet ved H 0, dvs L(ˆθ 0 ) L(θ) for alle θ i nulhypotesen. (For nu lad ˆθ 0 = θ 0 ). 31
36 Teststørrelsen Q = L(ˆθ 0 ) L(ˆθ) kaldes kvotientteststørrelsen eller likelihood ratio teststørrelsen. Den kan antage værdier mellem 0 og 1. (Hvorfor det?) 32
37 Teststørrelsen Q = L(ˆθ 0 ) L(ˆθ) kaldes kvotientteststørrelsen eller likelihood ratio teststørrelsen. Den kan antage værdier mellem 0 og 1. (Hvorfor det?) Jo mindre Q er, jo mere strider data mod hypotesen (Hvorfor det?) 32
38 Teststørrelsen Q = L(ˆθ 0 ) L(ˆθ) kaldes kvotientteststørrelsen eller likelihood ratio teststørrelsen. Den kan antage værdier mellem 0 og 1. (Hvorfor det?) Jo mindre Q er, jo mere strider data mod hypotesen (Hvorfor det?) Dvs testet er et ensidet test, hvor små værdier af Q er kritiske. P -værdien eller testsandsynligheden ɛ(x) ved kvotienttestet er hvor Q(x) = Q obs. P værdi = ɛ(x) = P (Q(X) Q(x)) 32
39 Test i binomialfordelingen Hypotese: Test ved kvotientteststørrelsen: H : p = p 0 Q(x) = L(x, p 0) L(x, ˆp) 33
40 Test i binomialfordelingen Hypotese: H : p = p 0 Test ved kvotientteststørrelsen: Q(x) = L(x, p 0) L(x, ˆp) = ( n x ) p x 0 (1 p 0 ) n x ( n x )ˆpx (1 ˆp) n x 33
41 Test i binomialfordelingen Hypotese: H : p = p 0 Test ved kvotientteststørrelsen: Q(x) = L(x, p 0) L(x, ˆp) = ( n x ) p x 0 (1 p 0 ) n x ( n x )ˆpx (1 ˆp) n x = p x 0(1 p 0 ) n x ) x ( 1 x n ( x n ) n x 33
42 Q x Q(x) ved test af p = 0.5 i binomialfordeling med n =
43 Q x Q(x) ved test af p = 0.5 i binomialfordeling med n =
44 Q x Q(x) ved test af p = 0.5 i binomialfordeling med n =
45 Testsandsynlighed ɛ(x) = P p0 (Q(X) Q(x)) 37
46 Q x x = 10 38
47 Q x x = 10; Q(10) = 1 39
48 Q x (x E : Q(x ) Q(10)) 40
49 Q x P ( Q(X) Q(10) ) = 1 41
50 Q x x = 8 42
51 Q x x = 8; Q(8) =
52 Q x (x E : Q(x ) Q(8)) 44
53 Q x P ( Q(X) Q(8) ) < 1 45
54 Q P ( Q(X) Q(15) ) < P ( Q(X) Q(8) ) x 46
55 Beregning af testsandsynlighed ɛ(x) = P p0 (Q(X) Q(x)) = {x {0,1,...,n}:Q(x ) Q(x)} ( ) n x p x 0 (1 p 0 ) n x 47
56 Beregning af testsandsynlighed ɛ(x) = P p0 (Q(X) Q(x)) = = {x {0,1,...,n}:Q(x ) Q(x)} {x {0,1,...,n}:Q(x ) Q(x)} ( ) n x p x 0 (1 p 0 ) n x ( ) n (1 x 2 ) n (hvis p 0 = 1/2) 47
57 Beregning af testsandsynlighed ɛ(x) = P p0 (Q(X) Q(x)) = = = {x {0,1,...,n}:Q(x ) Q(x)} {x {0,1,...,n}:Q(x ) Q(x)} ( ) n x p x 0 (1 p 0 ) n x ( ) n (1 x 2 ) n (hvis p 0 = 1/2) {x {0,1,...,x,n x,...n}} ( n x )( 1 2) n (hvis x < n/2) 1 (hvis x = n/2) ( n )( 1 n {x {0,1,...,n x,x,...n}} x 2) (hvis x > n/2) 47
58 Beregning af testsandsynlighed Hvis n er stor er det besværligt at regne ud. Heldigvis kan vi approksimere for 0 < p 0 < 1 og n stor (og np 0 5 og n(1 p 0 ) 5): ɛ(x) 1 F χ 2 1 ( 2 log Q(x)) 48
59 F χ 2(x) ( 2log Q) 1 F χ x Q 49
60 Beregning af testsandsynlighed Hvis n er stor er det besværligt at regne ud. Heldigvis kan vi approksimere for 0 < p 0 < 1 og n stor (og np 0 5 og n(1 p 0 ) 5): ɛ(x) 1 F χ 2 1 ( 2 log Q(x)) 50
61 Beregning af testsandsynlighed Hvis n er stor er det besværligt at regne ud. Heldigvis kan vi approksimere for 0 < p 0 < 1 og n stor (og np 0 5 og n(1 p 0 ) 5): ɛ(x) 1 F χ 2 1 ( 2 log Q(x)) Eksempel: p 0 = 1/2, n = 20, x = 8 (NB: n er ikke stor) Q(x) = ( 8 20 ( 1 2 )20 ) 8 ( ) 20 8 =
62 Beregning af testsandsynlighed Hvis n er stor er det besværligt at regne ud. Heldigvis kan vi approksimere for 0 < p 0 < 1 og n stor (og np 0 5 og n(1 p 0 ) 5): ɛ(x) 1 F χ 2 1 ( 2 log Q(x)) Eksempel: p 0 = 1/2, n = 20, x = 8 (NB: n er ikke stor) ( 1 2 )20 Q(x) = ( 8 ) 8 ( ) = F χ 2 1 ( 2 log Q(x)) = 1 F χ 2 1 ( 2 log(0.6685)) =
63 Beregning af testsandsynlighed Hvis n er stor er det besværligt at regne ud. Heldigvis kan vi approksimere for 0 < p 0 < 1 og n stor (og np 0 5 og n(1 p 0 ) 5): ɛ(x) 1 F χ 2 1 ( 2 log Q(x)) Eksempel: p 0 = 1/2, n = 20, x = 8 (NB: n er ikke stor) ( 1 2 )20 Q(x) = ( 8 ) 8 ( ) = F χ 2 1 ( 2 log Q(x)) = 1 F χ 2 1 ( 2 log(0.6685)) = ( ) 20 (1 ) 20 ɛ(x) = = x 2 {x [0,8] [12,20]} 50
64 Beregning af testsandsynlighed ɛ(x) 1 F χ 2 1 ( 2 log Q(x)) Eksempel: p 0 = 1/2, n = 1000, x = 450 (NB: n er stor) ( 1 2 )1000 Q(x) = ( 450 ) 450 ( ) = F χ 2 1 ( 2 log Q(x)) = 1 F χ 2 1 ( 2 log( )) = ( ) 1000 (1 ) 1000 ɛ(x) = = x 2 {x [0,450] [550,1000]} 51
65 1 F χ 2 ( 2log Q) approksimation n=8 n = 20 n = 100 n = Q 52
Estimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 1. IH kapitel 6
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 IH kapitel 6 Overheads til forelæsninger. Uge 41/2005 1 Test i Polynomialfordelingen Forsøg: n uafhængige gentagelse af forsøg med m udfald. Vi observerer x = x 1,...,
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÅÓØ Ú Ö Ò ÑÔ Ð Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ Ú Ö Ò Ö χ 2 ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÃÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ Ò Ú Ö Ò ÀÝÔÓØ Ø Ø Ú Ö Ò Ö Ì Ø Ò Ú Ö Ò Ì Ø ØÓ Ú Ö Ò Ö F ¹ ÓÖ Ð Ò Ò ÀÝÔÓØ Ø
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ÁÒ Ö Ò ÓÖ Ú Ö Ò Ö Ô µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ÈÖ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ËÓ ØÛ Ö Ê Ö Ú Ò Ø Ø Ø Æ Ð Ø Ð Ö Ö Ñ Ø ÐÐ Ò Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò ½ ÁÒØÖÓ Ó Ö Ú Ò Ø Ø Ø Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½¼ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ¹ Ò Ö Ô Ø Ø ÓÒ ÀÝÔÓØ Ø Ø Ó ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ËØÝÖ Ó Ø ÔÖ Ú Ø ÖÖ Ð ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø ÑÔ Ð ½ Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò Å Ò Ø Ú Ö Ò Å Ù Ò
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð Ó ËØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÒ Ñ Ò Ø º ¹ º º½¹ º µ Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÎÆ Ò Ë e Î e Æ Å ÒÙØ ÆÓØ Ø Ø Ð Å ¾ ÖÙÒ Î Ú Ð ÖÚ ¼ Ñ º Ùº ÁÅ Ë Í Ç Ò º ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ½ ÇÔÖ Ø Ò ÖÙÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÑÖ º º º º º º
Læs mereTidlige eksempler. Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning Repetition Statistik Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne New England Journal of Medicine gav i 2000 et
Læs mereËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ ÖÓÙÔº ËÓÑ ³ Ü ³ ÚÐ Ñ Ö Ò ÐÐ Ö Ú Ö Ú Ö Ö Ø Ó ÔÖÓ ÔÐÓØ Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÔÐÓØ Ñ Ö Ò ÖÓÙÔ» Ü Ü ½ Ú Ü Ü ¾ Ö Ñ Ü ½ Ó Ø µ Ð Ð À µ Ú ÐÙ À ¾µ Ñ ÒÓÖ ÆÇ
ÇÔ Ú Ú Ö Ð Ú Ö Ò Ò ÐÝ ÇÔ º½ Ð Ö Ú Ò Ø Ö Ú Ö Ø Ò º º Ð Ø Ù ÖºÞ Ð ÞÓ ÒÔÙØ ÖÓÙÔ Ñ Ö Ò Ø Ð Ò Ø Ú º¼¼ Ø Ú º ¼ Ø Ú º Ø Ú ½¼º¼¼ Ø Ú ½ º¼¼ Ø Ú º ¼ Ô Ú ½½º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½¼º¼¼ Ô Ú ½½º Ô Ú ½¼º ¼ Ô Ú ½ º¼¼ Ò Ò
Læs mereÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½
ÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ò ÂÈ Ø ÐÐ Ñ ÓÑÔÖ ÓÒ Â Ò ÎÓ Ð Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¼Ø ¾¼½½ ½» ½ ÒÓ Ò Ò Ò Ö Ð ÒÓ Ò Ò Ò Ö Ð ¾» ½ ÖÓÑ Ù ÑÔÐ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØÓ ³ Ö ÓÐÓÖ Ô» ½ ÖÓÑ Ù ÑÔÐ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØÓ ³ Ö ÓÐÓÖ Ô Ê ÙØ ÓÒ Ó Ô Ø Ð Ö ÓÐÙØ
Læs meredeta = A = deta = a 11 deta 11 a 12 det A 12 + a 13 deta 13 deta = deta = 1(0 2) 5(0 0) + 0( 4 0) = 2 deta = a i,j deta i,j
Ä Ò Ò ØÖ Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÔ Ú Ö Ä Ú Ø ÓÖÑ Ð Ø Ö Ó Ì ÓÑ Â Ò Ò ÓÒØ ÒØ ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö ½º½ Í Ú Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÑÔ Ð Í Ú Ð Ò Ø ÓÖ
Læs mere½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò µ ÔÖÓ Ö Ñ ÐÓ ÓÙØÔÙØ Ú Ò Ù Ö Ö ÔÖÓ Ù Ö ÖØ Ò ÐØ Ø Ó ÙÑ ÒØ Ö Ë Ë Æ Ä ËÌ Ñ ÒÙ» Ñ ¹ÓÖ ÒØ Ö Ø ÓÚ Ö Ý Ò Ò Ö Ú Ö Ó Ö Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ
Ð Ø Ø Ø ¾º ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ÄÝÒ ÙÖ Ù Ë Ë Ò ÐÝ Ø ÁÒ Ð Ò Ò Ø Ð ÔÖÓ ÙÖ Ö Ö Ò Ù ØÞ¹Â Ö Ò Ò Ó Ø Ø Ø Ð Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÓÐ ÙÒ Ú Ò Ã Ò ÚÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¹Ñ Ð Ó Ø Øº Ùº ØØÔ»» Ø ºÔÙ ÐØ º Ùº»» м ¾ ½ Ë Ë ÔÐ Ý Ñ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ
Læs mereHypotesetests, fejltyper og p-værdier
Hypotesetests, fejltyper og p-værdier Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 25, 2018 Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Hypotesetests, Universitet
Læs mereDagens program. Praktisk information:
Dagens program Praktisk information: Husk hjemmeopgaven i statistik Hypoteseprøvning kap. 11.2,11.3 og 11.8 Eksempel på test Styrkefunktionen kap. 11.2 Stikprøvens størrelse kap. 11.3 Likelihood ratio
Læs mereŠРº Â Ö Ò Ò À ÖØÞ ÔÖÙÒ ¹ÊÙ ÐÐ Ö Ñ Ö Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ì Ò Ö ÙÖ Ø ÓØÓÑ ØÖ ÃÙ Ð Ó Ñ Ö ¾¼¼ ÈÖ Á Ø ÖØ Ò ½ ¼¼ Ø ÐÐ Ø Ú ØÖÓÒÓÑ Ö Ò Ð Ø Ð Ú Ø ÙØÖÓÐ Ø Ñ Ò ÑÐ Ò Ö Ø ÖÒ Ö Ò Ö ÓÑ Ö Ö Ð Ø Ú Ñ Ò ØÙ Ô ØÖ Ð Ð Ö Ø Ò Ó ÔÓ
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele
Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereEt statistisk test er en konfrontation af virkelighenden (data) med en teori (model).
Hypotesetests, fejltyper og p-værdier og er den nu også det? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet (updated: 2019-03-17) 1 / 40 Statistisk test Et statistisk test er en konfrontation
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Indledende om Signifikanstest Boldøvelser
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Indledende om Signifikanstest Boldøvelser 1 Påstand: Et nyt præparat M virker mod migræne. Inden præparatet kan markedsføres, skal denne påstand
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1
Læs mereTest i polynomialfordelingen
Statisti og Sadsylighedsregig STAT apitel 4.4 Test i polyomialfordelige Lad X (X,..., X ) Poly (, p). Observatio: (,..., ) der agiver atal udfald, 2,..., Susae Ditlevse Istitut for Matematise Fag Email:
Læs mereË Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ Ñ
Ë Ö ØÐ Ñ Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÖ Ó Ö Ò Ð Å½ µ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Å Ø Ñ Ø ² Ø ÐÓ ËÝ Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ß Ç Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä Ö Ò ½ º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÐÐ Ú ÒÐ ÐÔ Ñ Ð Ö Ð Ö Ó ÒÓØ Ø Ö Øºµ ÑØ ÖÙ ÐÓÑÑ Ö Ò Ö Ö Ø ÐРغ Ñ Ò ØØ Ø Ø Ö ÓÔ Ú Ö Ô ÒÙÑÑ
Læs mereÇÚ Ö Ø ½ ¾ ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ó ÓÖ Ð Ò Ö ÌØ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ Å ÐÚÖ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð Î Ö Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ÖØ ØÓ Ø Ú Ö Ð ÍÒ ÓÖÑ ÓÖ Ð Ò Ò ÑÔ Ð
ÃÙÖ Ù ¼¾ ¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø Ð ËØ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ò Ã Ô Ø Ð ÃÓÒØ ÒÙ ÖØ ÓÖ Ð Ò Ö Â Ò ÃÐÓÔÔ Ò ÓÖ Å ÐÐ Ö ÌÍ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø ¾ ¼¼ ÄÝÒ Ý ÒÑ Ö ¹Ñ Ð Ñ ÑѺ ØÙº Â Ò Ãº Å ÐÐ Ö Ñ ÑѺ ØÙº µ ÁÒØÖÓ
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative
Læs mereMat2SS Vejledende besvarelse uge 11
MatSS Vejledende besvarelse uge Eksamen V99/00 opg. a Kønsfordelingen 996 den samme for de tre skoler Mænd Kvinder I alt København 5 = n x 56 = x 8 = n Odense 9 = n x 06 = x 5 = n Århus 0 = n x 40 = x
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒØ Ð Ö Ó Ø Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ ÖÑ Å Ø ÈÓ Ø ÓÖ Ö Ã¹ÌÍ ÅÓÖØ ÒÀ Ö ½¾º ÔÖ Ð¾¼¼¼ ½ ÀÚ ÖÅ Ø ÈÓ Ø Å Ø ÈÓ Ø Ö ØÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ÔÖÓ ¹ Ö ØÔÅ Ø ÓÒغ ØÅ Ø ÈÓ Ø¹ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÒÓÔ Ö ØØ Ð Ø Ò Ö Ö Ò ÐÐ Ö Ö ÙÖ Öº Å Ø ÈÓ
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs merePraktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser
Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereq 1 q 2 x 1 x 2. E(x, p, X, P) = 1 2M P x X.
ÁÒ Ð Ò Ò ËØ Ð Ø Ø Ý ÑÓ ÐÐ Ö Â Ò È Ð Ô ËÓÐÓÚ Å Ò ÙÐÐ Ñ ØÖÓ Ø Ø Ö Ò Ú Ö ÓÖ Ö Ö Ñ ÒÖ Ñ Ò ÓÑ Ø Ö Ø Ó Ø Ö Ð Ú Ö Ø ÐÐ Ø Ô Ö ÑÐ Ø Ò Ù ÓÖ Ð Ö Ú Ù ÒØÐ ÓÖ Ö Ø Ö Ó Ö Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ Ø Ò ÓÖ Ö ÐÐ Ö Ú Ð Ò ÓÖØÐÐ Ú Ø Ö Ñ
Læs mereStatDataN: Test af hypotese
StatDataN: Test af hypotese JLJ StatDataN: Test af hypotese p. 1/69 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereBinomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige
Læs mereNanostatistik: Konfidensinterval
Nanostatistik: Konfidensinterval JLJ Nanostatistik: Konfidensinterval p. 1/37 Fraktilpåmindelse u p : Φ(u p ) = p, Φ( z ) = 1 Φ( z ) t p [f] : F t[f] (t p [f]) = p, F t[f] ( t ) = 1 F t[f] ( t ) F-fordeling:
Læs mereÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ ÌÖ È Ö Ò ÓÖ Ó Ë Ð Ø ÓÒ Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼
Ê Ò Ö Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò Û Ð ÐÑ ºÙÒ ¹ º ½ º Þ Ñ Ö ¾¼¼ Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ê Ð Ñ Ò Ò Ø Ó ØÖ Ø Ñ Ò Ê Ø Ö Ñ Ò Ä Ñ Ø Ö ÓÙÖ Ö Ø Ö Ñ ÑÓÖݵ Ü ÛÓÖ Þ ËØÓÖ Ö Ö Ý ÁÒØÖ ÔÖÓ ÓÖ Ô Ö ÐРРѺ È Ò Ó Ò Ö Ø ÓÒ Ó Ð Ø ÓÒ Ð Ø Ò
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereProgram. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data
Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration
Læs mereÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ
Ö ÑÑ Ò Ò Ò ØÚÖ Ò Ö Å Ò À Ò Ò ½ Ä Æ ¾¼¼ ÃË Å ÆËÈÊÇ ÃÌ Æʺ ½»¼ ÁÅÅ ÌÖÝ Ø ÁÅÅ ÌÍ ÓÖÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö Ö Ú Ø ÓÑ ÐÙØØ Ò ÔÖÓ Ø ÓÖ ÓÔÒ Ð Ú Ð Ò Ò ¹ Ö Ö Ò Ö ÒÑ Ö Ì Ò ÍÒ Ú Ö Ø Øº ÇÔ Ú Ò Ö Ù ÖØ Ô ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø
Læs mereOpgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1)
Kursus 02402: Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 9 Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1) Som model benyttes en binomialfordeling, som beskriver antallet, X, blandt
Læs mere1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ Teststatistik P-værdi Signifikansniveau...
Indhold 1 Statistisk inferens: Hypotese og test 2 1.1 Nulhypotese - alternativ.................................. 2 1.2 Teststatistik........................................ 3 1.3 P-værdi..........................................
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereNanostatistik: Test af hypotese
Nanostatistik: Test af hypotese JLJ Nanostatistik: Test af hypotese p. 1/50 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereStatistiske principper
Statistiske principper 1) Likelihood princippet - Maximum likelihood estimater - Likelihood ratio tests - Deviance 2) Modelbegrebet - Modelkontrol 3) Sufficient datareduktion 4) Likelihood inferens i praksis
Læs mereÇÚÖ Ø ½ ¾ ÁÒØÖÓ ÃÓÒÒ ÒØÖÚÐ ÓÖ Ò ÒÐ ÑÔÐ ½ ØÑÑÐ ØÔÖÚ ØÖÖÐ ÑÔÐ ½ ¹ ÓÖØ Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ Ò ÒÐ ÑÔÐ ½ ¹ ÓÖØ Ø ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ØÓ ÒÐ ÑÔÐ ¾ ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ Ö ÒÐ ÑÔÐ ¾
ÃÙÖ Ù ¼¾¼ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÁÒÖÒ ÓÖ ÒÐ ÔØÐ ½¼µ ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÂÙÒ ¾¼½½ ½» ÇÚÖ Ø
Læs mereLogistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression
Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereHvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau
Hvad skal vi lave? 1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ. Teststatistik P-værdi Signifikansniveau 2 t-test for middelværdi Tosidet t-test for middelværdi Ensidet t-test for middelværdi
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereLogistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression
Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression: Definitioner For en binær (0/) variabel Y antager vi P(Y)p P(Y0)-p Eksempel: Bil til arbejde vs alder
Læs mereNogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest
Frank Bengtson 2013 ÖÒºÒØ ÓÒÑкÓÑ Nogle anvendelser af programmel R, bl.a. til hypotesetest R er specielt egnet til statistik og simulering og kan frit installeres på egen pc. R udfører en programlinje
Læs mereForelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereVejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok
Opgave 1 Vejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok 2 2006 Inge Henningsen og Niels Richard Hansen Analysevariablen i denne opgave er variablen forskel, der for hver af 10 kvinder
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14
Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden
Læs mereDagens program. Praktisk information: Husk evalueringer af kurset
Dagens program Praktisk information: Husk evalueringer af kurset Hypoteseprøvning kap. 11.1-11.3 Fokastelsesområdet kap. 11.1 Type I og Type II fejl kap. 11.1 Styrkefunktionen kap. 11.2 Stikprøvens størrelse
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs mereEstimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs merew j p j 1 w j / p / = 1
ÆÝ Ö Ö ÙÐØ Ø Ö Ò Ò ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ë ÙÐ Ö Ò Ñ Ö Ú Ð Ø Ö Ô Ò ÐØ¹Ñ Ò Öº Ò Ö Ð ¹ÈÓÚÐ Ò ² Æ ÓÐ Ò Ò ½¼º ÒÙ Ö ¾¼¼ ÁÒ ÓÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ö º½ Ã Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1 Tag-hjem prøve 1. juli 2010 24 timer Alle hjælpemidler er tilladt. Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder,
Læs merexi ; ˆσ 2 =, s/ n t(n 1)
ÃÙÖ Ù ¼¾¼¾ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø ÓÖÐ ÒÒ ÃÔØÐ ÀÝÔÓØ Ø Ø ÓÖ ÒÒÑ ÒØ ÓÒ¹ ÑÔÐ ØÙÔµº º¹º ÂÒ ÃÐÓÔÔÒÓÖ ÅÐÐÖ ÌÍ ÁÒÓÖÑØ ÝÒÒ ¼ ¹ ÖÙÑ ¾½ ÒÑÖ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ¾¼¼ ÄÝÒÝ ÒÑÖ ¹ÑÐ ÑÑѺØÙº ÂÒ Ãº ÅÐÐÖ ÑÑѺØÙºµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÐ ËØØ Ø
Læs mereProgram. Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve I SAS. Øvelse: effekt af diæter
Program Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Øvelse: effekt af diæter. Repetition fra sidst... Parrede og ikke-parrede
Læs mereTeoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger
Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte
Læs mere2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.
2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske
Læs mereStatistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable
Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs mereAfsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse
Afsnit 8.3 - E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Først skal normalfordelingen lige defineres i Maple, så vi kan benytte den i vores udregninger. Dette gøres
Læs mereProjektopgave til Mat2SS. Espen Højsgaard (CPR xxxx) Rune Højsgaard (CPR xxxx)
Projektopgave til MatSS Espen Højsgaard (CPR 04038-xxxx) Rune Højsgaard (CPR 090678-xxxx) 1 1 Samme sandsynlighed for drengefødsel Vi har som udgangspunkt for løsning af opgaven brugt følgende tabeller,
Læs mereÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ
ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø Ö Ø ØÙÖ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÁÒØ Ö ØÛ Ò Ó ØÛ Ö Ò Ö Û Ö Ú Ð ØÓ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ËØ Ô ØÓ Ò ÁÒ ØÖÙØ ÓÒ Ë Ø ÓÖ Ú Ò Óѹ ÔÙØ Ö Û Ø Ø Ú Ð Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ØÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÕÙ ÒØ Ø Ú Ñ Ø Ó ÓÛ Ó Ø ÓÑÔ
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereProgram. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen)
Faculty of Life Sciences Program Logistisk regression Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Odds og odds-ratios igen Logistisk regression Estimation og inferens Modelkontrol Slide 2 Statistisk Dataanalyse
Læs mereBasal statistik. 6. februar 2007
Basal statistik 6. februar 2007 Statistisk inferens Sandsynligheder Fordelinger Modeller Statistisk analyse Lene Theil Skovgaard, Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab, Københavns
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs mereStamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Afsluttes juni 2019 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik B Jebbe Lukas
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs mereBasal statistik. 6. februar 2007
Basal statistik 6. februar 2007 Statistisk inferens Sandsynligheder Fordelinger Modeller Statistisk analyse Lene Theil Skovgaard, Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab, Københavns
Læs mereStatikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression
Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives
Læs mereHvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm
Kon densintervaller og vurdering af estimaters usikkerhed Claus Thorn Ekstrøm KU Biostatistik ekstrom@sund.ku.dk Marts 18, 2019 Slides @ biostatistics.dk/talks/ 1 Population og stikprøve 2 Stikprøvevariation
Læs mereStatistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2002 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mere