Videregående Algoritmik. David Pisinger, DIKU. Reeksamen, April 2005

Transkript

1 Vderegåede Algortmk Davd Psger, DIKU Reeksame, Aprl 5

2 Bsecto problemet Gvet e uvægtet graf G = (V, E) samt et heltal k. E bsecto af grafe G er e opdelg af kudere V to lge store mægder S og T. MAX-BISECTION afgørlghedsproblemet er gvet ved { } < V,E,k > : der fdes e bsecto af G = (V,E) MAX-BISECTION(V, E, k) = hvor k eller flere kater krydser sttet. Tlsvarede er MIN-BISECTION problemet gvet ved { MIN-BISECTION(V,E,k < V ) =,E,k } > : der fdes e bsecto af G = (V,E) hvor k eller færre kater krydser sttet. E stas af MAX-BISECTION ka omskrves tl e stas af MIN-BISECTION. Lad det følgede E betege komplemetærmægde af E deferet som (, ) E (, ) E. Q : Hvlke trasformato af MAX-BISECTION tl MIN-BISECTION er korrekt A) V := V, E := E og k := k. D) V := V, E := E og k = k V. B) V := V, E := E og k := V k. E) V := V, E := E og k := ( V /) k. C) V := V, E := E og k := V k. F) V := V, E := E og k := k Q : Hvlket af følgede udsag gælder med skkerhed A) MAX-BISECTION p MIN-BISECTION og MIN-BISECTION p MAX-BISECTION B) MAX-BISECTION p MIN-BISECTION og MIN-BISECTION p MAX-BISECTION C) MAX-BISECTION p MIN-BISECTION og MIN-BISECTION p MAX-BISECTION D) MAX-BISECTION p MIN-BISECTION og MIN-BISECTION p MAX-BISECTION E) MAX-BISECTION P F) MIN-BISECTION P Her betyder P p Q at der helt skkert kke fdes e polyomel redukto af P tl Q. Bsecto som optmergsproblem MIN-BISECTION(V,E,k ) ka formuleres som et mmergsproblem BISECTION-OPT gvet på forme: mmze subect to = = e x ( x ) x = / () = x {,}, =,...,. hvor = V. Kostatere e = hvs kate (, ) E, mes e = hvs kate (, ) E. Beslutgsvarablee ka fortolkes ved sammehæge x = S, og x = T. 5

3 Ved Lagrage-relaxerg af begræsge () fremkommer følgede problem ( ) mmze e x ( x ) + λ x / = = = x {,}, =,...,. Q : Hvad er de største mægde af værder af λ hvor () e relaxerg af ()? A) λ N,λ D) λ N,λ B) λ R,λ E) λ R,λ C) λ R,λ F) λ R () Betragt følgede stas af mmergsproblemet BISECTION-OPT, med = Q 4: Hvad er løsgsværde z af det relaxerede problem () for λ =? 4A) z = 4D) z = 6 4B) z = 4E) z = 8 4C) z = 4 4F) z = Kvadratsk - optmerg Det kvadratske - optmergsproblem QP er gvet ved maxmze d x x N N subect to x {,}, N deferet på mægde N = {,...,}, og med d R for, N. E stas af QP overholder følgede krterer: d R + for alle, N, d R for alle N Edvdere er matrce (d ) symmetrsk (f. Proektopgave ). For at løse stase trasformeres de tl e stas af MAXIMUM-FLOW ved at sætte V = N {s,t} og E = {s} N N N N {t}. Kapactete af katere sættes tl: c s = max{, N d }, c = d, c =, c t = max{, N d } Herved fremkommer følgede etværk, som v beteger N : 6 N, N, N N

4 s 8 v v v 4 v 4 t v 5 Q 5: Hvad er de tlhørede stas (d ) af QP? 5A) D) B) E) C) F) Q 6: Fd et mmalt st (S,T ) etværket N. Hvad er kapactete af dette st? 6A) c(s,t ) = 4 6D) c(s,t ) = 7 6B) c(s,t ) = 5 6E) c(s,t ) = 8 6C) c(s,t ) = 6 6F) c(s,t ) = 9 Q 7: Hvad er de optmale løsgsværd z af de tlhørede QP-stas? 7A) z = 7D) z = 4 7B) z = 7E) z = 5 7C) z = 7F) z = 6 7

5 Q 8: Kapactete af kate (s,) etværket N sættes u tl værde c s = β, således at v får følgede etværk: s β v v v 4 v 4 t v 5 For hvlke værder af β vl de optmale løsg (x,x,x,x 4,x 5 ) tl de tlhørede QP stas være de samme som spørgsmål Q7? 8A) β 8D) β 8B) β 8E) β 8C) β 6 8F) β 6 Approxmatosalgortmer Q 9: Gvet e uvægtet graf G = (V, E), spørger MAX-CUT optmergsproblemet om at fde e opdelg af V S og T = V \ S som maksmerer atallet af kater som krydser sttet. Afgørlghedsproblemet vdes at være N P -fuldstædgt. APPROX-MAX-CUT(V, E) S / T V whle v V så flytg af v, ete fra S tl T eller fra T tl S, øger sttets værd do flyt v retur (S, T ) Bevs at APPROX-MAX-CUT er e polyomeltds -approxmatosalgortme ved at svare på følgede spørgsmål. Det atages at algortme har fået grafe G = (V,E) som ddata og at de returerer sttet (S,T ). a) Argumeter at APPROX-MAX-CUT kører polyomel td. b) For et vlkårlgt v V, lad Ev c være mægde af kater cdete med v som dgår sttet (S,T ), og lad Ev være mægde af kater cdete som kke dgår sttet. Hvorledes forholder Ev c sg tl E v? c) Agv e edre græse for atal kater sttet (S, T) udtrykt ved E. d) Fuldfør bevset for at APPROX-MAX-CUT er e polyomeltds -approxmatosalgortme for MAX-CUT optmergsproblemet. 8

6 Talteor og kryptograf Q : a) Brug EXTENDED-EUCLID tl at fde d = gcd(a,b) = ax + by for a = 9 og b = 48. Vs alle mellemregger f.eks. ved brug af e tabel. b) Alce og Bob bruger RSA kryptosystemet år de kommukerer med hade. Alces offetlge øgle er (e,) = (9,65). Bob bruger dee øgle tl at sede hede e kodet besked C(M) = 4. Faktorser = 65 og brug dette tl at fde de orgale besked M. 9

7 Veledede svar S De rgtge trasformato er at sætte: V := V, E := E og k := ( V /) k. Med dee trasformato vl v vse at MAX-BISECTION(V,E,k) = hvs og ku hvs MIN-BISECTION(V,E,k ) =. Atag for e graf G = (V,E) at MAX-BISECTION(V,E,k) =, dvs. der fdes et st (S,T ) hvor mdst k kater krydser sttet. Da S = T = V / vl der e komplet graf være ( V /) kater over sttet. Hvs v beytter samme st (S,T) gælder for komplemetærgrafe at der høst er ( V /) k kater over sttet. De modsatte mplkato vses tlsvarede. Så det rgtge svar er E). S Fra forrge svar ses let at MAX-BISECTION p MIN-BISECTION samt at MIN-BISECTION p MAX-BISECTION Det rgtge svar er C). S Der er tale om e relaxerg for alle λ R. For at dse dette ses at obektfukto og løsgsmægde for det orgale problem er { } f (x) = = = e x ( x ) S = (x,...,x ) {,} =x = / Det Lagrage relaxerede problem har obektfukto og løsgsmægde ( ) } g(x) = e x ( x ) + λ x / T = {(x,...,x ) {,} = = = Det ses let at g(x) = f (x) år x S det det sdste led g(x) blver ul for alle værder af λ R. Samtdg gælder der oplagt at S T. Så F) er korrekt. S 4 Ved Lagrage relaxerg med λ = fås problemet mmze = = x {,}, e x x + = =,...,. x () Der ka omskrves tl et maksmergsproblem maxmze = = e x x x {,}, = x (4) =,...,. Dette er et kvadratsk - optmergsproblem QP gvet ved matrce De optmale løsg tl dette problem er at vælge alle x =. Dette kue v også have dset ved at betragte det orgale problem (), som oplagt atager st mmum hvs alle kuder er samme mægde, dvs. f.eks. x = for alle. Så det rgtge svar er 4.A). 6

8 S 5 De rgtge stas er hvor summe af hver søle er agvet ederste række. Det rgtge svar er 5.A). S 6 Det mmale st er markeret på fgure: s 8 v v v 4 v 4 t v 5 Kapactete af sttet er c(s,t) = 6. Så det rgtge svar er 6.C). S 7 Fra max-flow-m-cut sætge vdes at de maksmale strømg etværk N har værde f = c(s,t) = 6. Fra proektopgave vdes at de optmale løsg tl QP har løsgsværd z = V c s f = ( ) 6 =. Det rgtge svar er 7B). S 8 Fra fgure svar S6 ses at det mmale st er S = {s,} og T = {t,,,4,5}. Fra proektopgave erdres at de optmale løsg tl QP problemet fdes som x = hvs og ku hvs S. Så læge β c(s,t) er sttet uædret. Så det rgtge svar er 8.F). S 9 De ekelte spørgsmål besvares som: a) I hver terato øges obektfuktoe (sttets værd) med mdst. Obektfuktoe ka kke blve større ed E, så v udfører høst O(E) teratoer som hver tager høst O(V ) td. Dermed er det vst at APPROX-MAX-CUT kører O(V E) td. b) For et vlkårlgt v V må der gælde at E v c E v år algortme termerer det v ellers vlle have flyttet kude tl de modsatte mægde. c) Ved at summere resultatet fra forrge delspørgsmål for alle kuder v, må der gælde at atal kater E c over sttet er større ed atal øvrge kater E. Da E c + E = E må der gælde at E c E /. d) E optmal løsg C er opadtl begræset af E. Approxmatosalgortme fder e løsg C A som mdst er E /. Dermed har v C /C A = ρ. Dermed er det vst at APPROX-MAX-CUT er e polyomeltds -approxmatosalgortme for MAX-CUT. 7

9 S a) V fder d = gcd(a,b) = ax + by som = ( ). a b a/b d x y Dermed ser v også at de multplkatvt verse af 9 gruppe Z 48 er 5. b) Alce har offetlg øgle (e, ) = (9, 65). Da = 5 fder v φ() = (5 )( ) = 48. De multplkatvt verse af e modulo φ() er d = 5, som vst opgave a). De verse trasformato er M = C(M) d mod = 4 5 mod = 4 mod 65 = 49 8