Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Transkript

1 Dagens program Afsnit Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1

2 Beskrivelse af fordelinger Kapitel 3 Fordelinger af stokastiske variabler beskrives kort ved: - Middelværdi (forventet værdi, expected value, mean) - Varians (variation) - Kovarians (samvariation mellem to variabler) - Bruges i beskrivelse af fordelinger - Helt centralt når man træffer beslutninger under usikkerhed 2

3 Middelværdi Definition: X numerisk stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion givet ved f (x). Middelværdien af X er givet ved E (X) = X x xf (x) Bemærk: Ofte betegnes E (X) :μ eller μ X Vægtet gennemsnit af alle de værdier den stokastiske variabel X kan antage Balancepunkt (tyngden i fordelingen) Middelværdien kaldes også: Den forventede værdi 3

4 Eksempe1 1: Fordelingen af X : x f (x) E (X) = ( 1) =0 Fordelingen er symmetrisk omkring 0 Fordelingen af X : x f (x) E (X) = ( 1) = 1 4

5 Eksempel 3.1a i bogen: Valg: 1.Vælgendørogmodtaggevinstenbagdøren 2. Modtage 9000 kroner X : Gevinsten i spillet x f (x) / / /3 Den forventede gevinst i dette spil: Der gælder at: P (X =9000)=0 P (X 9000) = 2/3 E (X) = / / /3 =

6 Eksempel 2: Indikatorvariabler Lad den stokastiske variabel X have følgende fordeling X = ½ 1 med ssh. p 0 med ssh. 1 p Middelværdien af X : E (X) = 1 f (1) + 0 f (0) = 1 P (X =1)+0 P (X =0) = 1 p +0 (1 p) = p = P (X =1) 6

7 Egenskaber ved middelværdi-operatoren: (i) E (c) =c, for enhver konstant c (ii) E (cx) =ce (X), for enhver konstant c (iii) E (X + Y )=E(X)+E(Y) (iv) E (ax + by + c) =ae (X)+bE (Y )+c 7

8 Eksempel 3, (fra sidst): Et spil hvor sandsynligheden for at vinde er 2/3. Spillet spilles 3 gange uafhængigt af hinanden. Y : Antal gange spillet vindes Fordelingen af Y, (se Lec6): y f Y (y) 1/27 6/27 12/27 8/27 Det forventede antal gevinster: E (Y )= P y yf Y (y) =0 1/ / / /27 = 54/27 = 2 8

9 X i = ½ 1 spil nr i vindes 0 spil nr i tabes for i =1, 2, 3 P (X i =1)=2/3, dvs.e (X i )=2/3 Vi har at Y = X 1 + X 2 + X 3 og dermed E (Y )=E (X 1 + X 2 + X 3 )=E (X 1 )+E (X 2 )+E (X 3 )=3 2/3 =2 DefinererennystokastiskvariabelZ Z = Y/3 E (Z) =E (Y/3) = E (Y ) /3 =2/3 9

10 Middelværdien som balancepunkt: X stokastisk variabel med middelværdi μ Definerernystokastiskvariabel Y = X μ E (Y )=E (X μ) =E (X) μ =0 Fordelingen af X er symmetrisk omkring a Dvs. f (x a) =f (x + a) Dette betyder at E (X) =a 10

11 Eksempel 4: Afkast af 2 aktiver To stokastiske variabler X A og X B Den marginale fordeling af X A : x A f XA (x A ) Forventede afkast af aktiv A: E (X A ) = = 525 Den marginale fordeling af X B : x B f XB (x B ) Forventede afkast af aktiv B: E (X B )= =

12 Betinget middelværdi Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 To stokastiske variabler X og Y med simultan sandsynlighedsfunktion f (x, y). Den betingede fordeling af Y givet X = x er givet ved f (y x). Definition: Den betingede middelværdi af X givet Y = y er givet ved E (Y X = x) = X y yf (y x) E (Y X = x) betegnes ofte μ Y x 12

13 Eksempel 4, fortsat Den betingede fordeling af X A givet X B = x B : x A X B = X B = X B = X B = DetforventedeafkastafaktivA givetafkastpåaktivb er 400: E (X A X B =400)= = 462 DetforventedeafkastafaktivA givetafkastpåaktivb er 600: E (X A X B =600)= =

14 Middelværdi af g (X) Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Vi er ofte interesserede i middelværdien af en funktion af en stokastisk variabel X. Der gælder: E [g (X)] = X g (x) f X (x) x Husk E (g (X)) 6= g (E (X)) f.eks. E (X 2 ) E (X) 2 E [ln (X)] ln [E (X)] 14

15 Eksempel 3.1a i bogen, fortsat: Valg: 1.Vælgendørogmodtaggevinstenbagdøren 2. Modtage 9000 kroner Nytte af gevinsterne: u (x) =ln(x) x u(x) f (x) 2000 ln (2000) 1/ ln (5000) 1/ ln (20000) 1/3 Forventede nytte i dette spil: ln (9000) 9.10 E [ln (X)] = ln (2000) 1/3 + ln (5000) 1/3 + ln (20000) 1/

16 Loven om den itererede middelværdi Eksempel 4, fortsat De betingede middelværdier afhænger af værdien af X B og kan dermed opfattes som en funktion af den stokastiske variabel X B. g (X B )=E (X A X B ) Fordelingen af den stokastiske variabel E (X A X B ): E (X A X B ) Sandsynlighed

17 Hvad er middelværdien af denne stokastiske variabel: E [E (X A X B )] = E (X A X B =400) P (X B =400) +E (X A X B =500) P (X B = 500) +E (X A X B =600) P (X B = 600) +E (X A X B =700) P (X B = 700) = = 525 = E (X A ) 17

18 Loven om den itererede middelværdi: For stokastiske variabler X og Y gælder der: E [E (Y X)] = E (Y ) De betingede middelværdier af Y givet X = x kan opfattes som funktioner af den stokastiske variabel X. Dermed kan vi sætte g (X) =E (Y X), ogviharda 18

19 E [E (Y X)] = X x = X x = X x = X y = X y E (Y X) f X (x) X yf (y x) f X (x) y X y y X x f (x, y) y f X (x) f X (x) f (x, y) yf Y (y) =E (Y ) 19

20 Regneregel: For uafhængige stokastiske variabler X og Y gælder der: E [g (X) h (Y )] = E [g (X)] E [h (Y )] E (XY ) = E (X) E (Y ) 20

21 Eksempel 3.1a, fortsat Valg: 1. En mønt kastes. Derefter vælges en dør. Hvis møntkastet blev "plat"får du beløbet bag døren, hvis det blev "krone"får du 2 gange beløbet bag døren. 2. Modtage 9000 kroner Hvad er den forventede gevinst ved valg 1? Møntkastet beskrives ved følgende stokastiske variabel: Y =1hvis "plat" og Y =2hvis "krone" E (Y )=1 1/2+2 1/2 =3/2 X er som før pengene bag den valgte dør. Bemærk X og Y er uafhængige. Gevinsten: XY. Forventede gevinst: E (XY )=E (X) E (Y ) = /2 =

22 Skt. Petersborg paradokset Hvad vil du betale for at deltage i følgende spil? En mønt kastes, indtil den viser krone. Hvis dette sker i n te kast, får du 2 n kroner. Stokastisk variabel X der angiver gevinsten i dette spil Sandsynlighedsfunktionen for X er givet ved f (x) =P (X = x) = 1 x for x =2, 4, 8,... 22

23 Fordelingen af X : n x f (x) 1 2 1/ / / / / / / / / / Forventet gevinst: E (X) = X x xf (x) = X x 1= Hvis man bare ser på den forventede værdi, vil man betale uendeligt meget for at deltage i dette spil. 23

24 Hvorfor er dette ikke tilfældet i praksis? P (X =2)=1/2 P (X 4) = 3/4 P (X 1000) P (X ) Nyttefunktion: u (x) =ln(x) 4kronerer2gangesåmegetværdsom2kroner 8 kroner er 1.5 gange så meget værd som 4 kroner 16 kroner er 1.33 gange så meget værd som 8 kroner osv. 24

25 Forventet nytte: E [u (X)] = X x u (x) f (x) = X x ln (x) f (x) = X n ln (2 n ) 1 2 n =ln(4) Altså er jeg villig til at betale 4 kroner for at deltage i dette spil. 25

26 Eksempler på andre typer nyttefunktioner: Forventet nytte: Forventet nytte: u (x) = u (x) = ½ x for x ellers E [u (X)] = 9 ½ x 0.99 for x ellers E [u (X)]

27 Næste gang Onsdag gennemgåes: Afsnit Varians - Kovarians og korrelation 27