SOLOW MODELLEN Carl-Johan Dalgaard. Økonomisk Institut, Københavns Universitet. September 2003

Transkript

1 SOLOW MODELLEN Carl-Johan Dalgaard Økonomisk Institut, Københavns Universitet September 2003

2 1. DISPOSITION 1. Den økonomiske ramme (a) Ramme antagelser og modellens ligninger (b) Modellens løsning 2

3 1. DISPOSITION 2. Steady state egenskaber og empiriske implikationer (a) Kan kapitalakkumulation understøtte vedvarende vækst i indkomst per arbejder? (b) Kan modellen motivere vedvarende (30 år + fx) vækstforskelle? Tilpasningsdynamik og konvergenshastigheden (c) Hvor stor indkomst variation kan modellen med rimelighed motivere? (d) Konvergensegenskaber. Udviklingen i relativ produktivitet på tværs af verdens lande. Betinget konvergens, σ-konvergens 3

4 1A. Ramme antagelser Lukket økonomi Kontinuert tid Ingen offentlig sektor 1 vare økonomi: Output Y kan anvendes til forbrug (C) og opsparing/investering (I). Pris på output =1 Fuldkommen konkurrence på alle markeder (vare og faktor (K,L) markedet) 4

5 1A. Modellens ligninger Varemarkedsidentiteten: (tidsangivelser underforstået) Y = C + I + Off. forbrug + Netto eksport... =... =... Ydermere antages at kapitalbeholdningen ændres iflg: K = I δk Samlet haves dermed... =... 5

6 1A. Modellens ligninger Den aggregerede produktionsfunktion Y = F K, L; Ā hvor Ā (indtil videre) er konstant. A1. Homogenitet af grad 1 λy = F λk, λl; Ā,λ>0 K,L omtales som "rivaliserende input"; Ā (teknologi) er "ikke rivaliserende". Implikation: µ K Y = LF L, 1; Ā Lf k; Ā,k K/L 6

7 1A. Modellens ligninger A2. Kapital er essentielt input: F 0,L; Ā =0. Ydermere: f k 0 k, Ā 0,f kk 00 < 0 k (aft. marginalafkast til kap.) f Ā 0 k, Ā > 0,f kā 00 > 0 Samt "Inada-betingelserne": lim k f k 0 k, Ā =0, lim k 0 f k 0 k, Ā = 0 Figure 1: Den aggregrede produktionfunktion 7

8 1A. Modellens ligninger A3. Opsparingsadfærden S = sy, 0 s 1 Adfærdsrelation: Opsparing bestemt som en konstant andel af samlet indkomst. (næsten "Keynesians forbrugsadfærd; C = (1 s) Y. Mankiw og Cambell, 1989: "Rule of Thumb"). A4. Vækst i befolkningen L = nl Hvis alle udbyder 1 enhed arbejdskraft + kompetitive markeder > fuldbeskæftigelse. L = samlet beskæftigelse. 8

9 1B. Modellens løsning Vi startede med at vise K = S δk (A3) = sy δk Indsæt produktionsteknologien (Y = F K, L; Ā ) K = sf K, L; Ā δk. Perarbejder(vhaA1): K L = sf k, Ā δ K L Udnyt k K/L (A4) k = K/L nk. Altså: k = sf k, Ā (δ + n) k. (1) Modellen kan således reduceres til én differentialligning i k. Da Y/L y = f k; Ā fortæller den også hvordan udviklingen er i indkomst pr. capita. 9

10 1B. Modellens løsning Definition: Modellens steady state er k = k : k =0 sf k, Ā = (n + δ) k k =0 Vi kan studere steady state geometrisk(for alternativ: Se Romer, Kap. 1.3). Omform ligning (1) : k/k = s f(k,ā) k (δ + n) Figure 2: Fasediagram og modellens steady state. 10

11 1B. Et par observationer vdr. Steady state Entydig (ikke triviel) steady state (globalt) stabil (givet k (0) > 0, da limt k = k > 0) k fastlagt af "strukturelle karakteristika". k / s > 0, k / n < 0, k / Ā >0 To ord om "Kaldor s stylized facts": (i) Relativt konstant y/k forhold, (ii) relativt konstant lønkvote wl/y. (Tjekkes til øvelserne). Rige lande er karakteriseret ved: højt s, Ā lav n (y = f k, Ā ) 11

12 2A. Om steady state vækst i indkomst per capita Kan kapitalakkumulation understøtte vedvarende vækst i indkomst per arbejder? (Y/L) = y = f k, Ā. Så svaret er tydeligvis nej. Kan vi "fikse" det? Figure 3: Tekniske fremskridt 12

13 2A. Om steady state vækst i indkomst per capita Formelt udvider vi nu modellen Y = F (K, AL), hvor A/A = g. Harrod neutrale tekniske fremskridt nødvendige for eksistens af steady state. Konst. skalaafkast fastholdes: λy = F (λk, λal). ³ k Implikationer for analysen: y = ALf, k K/AL. (før blot y = Lf (k),k = K/L). Dynamikken ³ k k = sf (g + n + δ) k. Steady state: k = k : k =0.Bemærk µ y Y ³ k = = Af L µẏ y = x. 13

14 2B. Kan modellen motivere vedvarende vækstforskelle? Mulighed 1: g varierer > forskelle i (ẏ/y). Problematisk da g er eksogen, og ikke-observerbar. > (ẏ/y) variation skyldes variation i g er en tom udmelding. Hvis den neoklassiske ramme skal være "god nok" kræves at vi kan motivere forskelle i ẏ/y uden at appelere til (eksogene) forskelle i g. M.a.o : forskelle i g skal helst være relativt uvæsentlig i praksis. Alternativ? Forskelle skyldes tilpasningsdynamik til steady state. 14

15 2B. Kan modellen motivere vedvarende vækstforskelle? Eksempel. Betragt to lande. Land 1: høj s og relativt højt initial k (OECD); land 2: lav s, relativt lavt initialt k (Afrika). Figure 4: Forskelle i vækst Kvalitativt fint nok...men duer det kvantitativt? 15

16 2B. Kan modellen motivere vedvarende vækstforskelle? Spg: Hvor hurtigt lukkes afstanden til st. st? (1) Konvergenshastigheden, (2) tilføj tidsdimension. Det dynamiske system (hvor A nu ignoreres) k = sf (k) (n + δ) k G (k) Taylor approx. omkring steady state (k = k ) k ' 0+G 0 (k )(k k ) G 0 (k )=... 16

17 2B. Kan modellen motivere vedvarende vækstforskelle? d (k k ) /dt = k d (k k ) /dt ' λ (k )(k k ) hvor λ (k )= 1 f 0 (k ) k /f (k ) (n + δ), eller udtryk for konvergenshastigheden Figure 5: konvergenshastigheden 17

18 2B. Kan modellen motivere vedvarende vækstforskelle? Fortolkning: Konvergenshastigheden afhænger af 1. f 0 (k )k f(k ) = Hvis f0 (k )k f(k stiger svarer det til... ) Hvis vi havde brugt en Cobb-Douglas produktionsfunktion y = f (k) = k α,daer f0 (k )k f(k =... ) 2. n, δ. Øget befolkningsvækst, øger konvergenshastigheden: Figure 6: konvergenshastigheden 18

19 2B. Kan modellen motivere vedvarende vækstforskelle? Bemærk at vi blot opererer med en 1. ordens differentialligning d (k k ) /dt ' λ (k )(k k ) def x k k > ẋ = λ (k ) x, med løsning x (t) =x (0) e λ(k )t. Altså haves k (t) k k (0) k = e λ(k )t Halveringstiden t 1/2 = ln (1/2) λ (k ). f 0 (k )k f(k ) Nummeriske værdier: =1/3, n =0.01,δ =0.05 >t 1/2 = ln (1/2) / ((2/3) 0.06) ' 17. (evt tilføj g=0.02) 19

20 2C. Muligheden for at motivere indkomstforskelle Det naturlige er at evaluere disse udfra steady state implikationerne af modellen (langsigtsforskelle) f (k ) k = n + δ s Brug C-D teknologi (igen ignoreres A) y = k α Så i st.st m y = y = µ K Y µ s n + δ α 1 α α 1 α. 20

21 2C. Muligheden for at motivere indkomstforskelle Parameterisering: α =1/3 >α/(1 α) =1/2. Empirisk observerede investeringsrater (over længere perioder): s max ' 0.4,s min ' 0.1. y 1 max s y min s = µ = Empirisk observeret variation? Tilføj forskelle i n... 21

22 2D. Konvergensegenskaber. Figure 7: betinget konvergens Fra et empirisk synspunkt forudsiger modellen betinget konvergens (BK). Defintion BK: over tid vil lande med ens strukturelle karaketeristika ( s, n) konvergere i indkomst per capita. Eller: Givet strukturelle karakteristika vil initialt fattige lande vokse hurtigere end initialt rigere lande. ln yt+1 ln yt = β 0 + β 1 ln yt + z, β 0 > 0,β 1 < 0. hvor z repr. de strukturelle karakteristika. 22

23 2D. Konvergensegenskaber. Definition. σ konvergens: σ-konvergens optræder hvis spredningen i indkomst per beskæftiget aftager over tid. Empirisk: ingen tegn på σ konvergens globalt...men det siger modellen heller ikke bør være tilfældet! Tag et ekstremt eksempel "Absolut konvergens": z er uden betydning. Dvs ln yt+1 ln yt = β 0 + β 1 ln yt + ui, E(ui) =0,var(ui) =σu. (2) På langt sigt forudsiger denne model (men ikke Solow modellen) at den forventede indkomst bliver E (y) β 0 /β 1, ens for alle lande. Så her må der da være σ-konvergens... 23

24 2D. Konvergensegenskaber Tag variansen på log indkomst per capita (isolér ln yt+1 i ligning (2) og tag variansen) σy (t +1)=(β 1 +1) 2 σy (t)+σu φ σy (t),σu,σ y (0) given. Figure 8: σ-konvergens? 24

25 2D. Konvergensegenskaber 1. Selv HVIS alle lande konvergerer mod samme steady state ("absolut konvergens") kan σ-divergens opstå i tilpasningen. Kræver σ (0) < σ. Hvis landendes steady state ydermere påvirkes af z > σ.ligeså lidt grund til at være sikker på σ-konvergens. 2. Mere bredt: MankandermedIKKEslutte,atennegativ samvariation mellem vækst og initial indkomst relative indkomstforskelle forsvinder over tid! (Galton s fallacy). 25

26 3. Opsummering Konklusion 1. Uden tekniske fremskridt ingen vækst i indkomst per capita på langt sigt. Konklusion 2. Vedvarende vækstforskelle kan alligevel motiveres... af tilpasningsdynamikken! Transitionen til steady state er, under plausible antagelser, langvarig Konklusion 3. Modellen forudsiger betingetkonvergens. Dette forklarer hvorfor vi ser en negativ samvariation mellem initial indkomst per capita (i 1960 fx) og efterfølgende vækst ( fx) hvis landegrupper med relativt ens strukturelle karakteristika observeres (OECD landende fx), men ikke dersom meget forskellige lande inddrages (jf. Romer s figur ). 26

27 3. Opsummering Konklusion 4. Modellen forudsiger ikke σ-konvergens. Galton s fallacy. Konklusion 5. Problemet er, at modellen har vanskeligt ved at motivere forskelle i indkomstniveauer (hvis vi ikke kan appelere til teknologi). Max variation under modellen er en faktor 2, men vi observerer forskelle mindst 10 gange større! Udestående. Hvad med økonomisk politik? Hvordan påvirker fx. tilstedeværelsen af en offentlig sektor vækstprocessen? Bør staten intervenere? Ramsey-Cass-Koopmans modellen... 27