Hamiltons princip. Et systems bane (i konfigurationsrummet) fra t 1 til t 2 er bestemt

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Hamiltons princip. Et systems bane (i konfigurationsrummet) fra t 1 til t 2 er bestemt"

Sven Thomsen
6 år siden
Visninger:

1 Hamtons prncp.1 Konfguratonsrum q 3 Et systems bane ( konfguratonsrummet) fra t t er bestemt af, at aktonsntegraet I = Lt har en statonær vær. t q 1 q () Systemet ska være monogensk, vs. ae kræfter (ekskusvt bnngskræfter) ska være bestemt ve et generaseret skaært potentae V = V (q 1,...,q n, q 1,..., q n,t). () L er Lagrangefunktonen L = L(q 1,...,q n, q 1,..., q n,t)=t V. () At aktonsntegraet er statonært betyer, at et er ekstremat eer at ntegraes varaton er 0: δi = δ L(q 1,...,q n, q 1,..., q n,t) t =0 (v) V ska vse, at Lagranges gnnger Hamtons prncp.

2 Varatonsregnng (Euer-Lagrange) (). To varabe: J = Statonær vær af J = f(x, ẋ, t)t, x = x(t), ẋ = x t Varaton af x(t): x 7 x(t, α) =x(t)+αη(t), me bbetngese η( )=0ogη(t )=0. J(α) = t Z 1 t f x(t, α), ẋ(t, α),t t og en statonær vær af J f(x 1,x, ẋ 1, ẋ,t)t ³ J α J ³ f α = x x α + f ẋ t. Devs ntegraton af sste e: ẋ α Z f ẋ t ẋ α t = f x f x ³ f x t = t ẋ αt ẋ α t ẋ α t = ³ J h f x = α α=0 x α ³ f x ³ f t = t ẋ α α=0 x f t ẋ ³ J Ska gæe for vkårgt η(t), vs. δj = δα =0 f α α=0 x t x 1 7 x 1 (t, α) =x 1 (t)+αη 1 (t), x 7 x (t, α) =x (t)+αη (t) Z J t ³ f α = x 1 x 1 α + f ẋ 1 ẋ 1 α + f x x α + f ẋ t og erme ẋ α ³ J h³ f = f ³ f η α α=0 x 1 t ẋ 1 + f η 1 x t ẋ t =0 som umebart kan generaseres t et vkårgt anta (uafhængge) varabe. α=0 =0. ³ f x t ẋ α t η t ³ f =0 ẋ

3 Varatonsregnng (Euer-Lagrange) ().3 δj = δ f(x 1,...,x n, ẋ 1,...,ẋ n,t)t =0 f f =0, x t ẋ =1,,...,n Eksempe (): Korteste afstan meem to punkter (0, 0) og (a, b) panen Kvaratet på enfferentee bueænge: (s) =(x) +(y). For en parametrske kurve (x, y) = x(t),y(t) ³ s ³ x ³ Z y t pẋ gæer = + eer s =(±) + ẏ t t t t, f = p f ẋ + ẏ, x =0, f ẋ = ẋ pẋ + ẏ, δs =0 0 ³ ẋ pẋ =0 t + ẏ ẋ pẋ + ẏ = c 1 og tsvarene ẏ eer pẋ + ẏ = c ẏ = α ẋ, α = c. c 1 Antages y = y(x) fås at ẏ = y 0 (x)ẋ og erme at y 0 (x) =α. Løsnngen er en rette ne y(x) =αx + β = b a x s = p 1+(y0 ) ẋt = Z a 0 p 1+(b/a) x = p a + b Eksempe (): Hamtons prncp δi = δ L(q 1,...,q n, q 1,..., q n,t) t =0 L Lagrange gnnger: L =0, =1,,...,n q t q

4 Lagrange-mutpkatorer.4 At fne ekstremum af F (x, y) mebbetngesenf(x, y) =0eranaogttatbestemme ekstremum af G(x, y) =F (x, y)+λf(x, y), hvor x og y er uafhængge varabe. λ kaes for en Lagrange-mutpkator (Øvese). Generaseret t mange varabe kan Lagrange-mutpkatorer benyttes t at bestemme e generaseree bnngskræfter svarene t en eer fere (m) bnnger: L = T V = L(q 1,...,q n, q 1,..., q n,t) f α = f α (q 1,...,q n,t)=0 (α =1,...,m). mx Inføres L = L + λ α f α kanhamtonsprncpbenyttes: δi = δ L t =0, α=1 L afhænger af n m uafhængge og m afhængge koornater, mens ae n varabe ska antages uafhængge L. Metoen er kun anveneg for (sem-)hoonomske bnnger. De n Lagrangegnnger, uet fra varatonsprncppet δi = 0, samt e m betngeser f α = 0 gver en bestemmese af e n generaseree koornater q (t) samtem Lagrangemutpkatorer λ α (t), hvor λ α (t) bestemmer e n komponenter af bnngskræfterne Q f (t): Q f = L Q f t q q = ³ (L L) (L L) mx f α = λ t q q Ae vrknnger af anre (påtrykte + anre bnngs-) kræfter er metaget L = T V,og Q f er erfor bnngskræfterne fra e m bnnger. Bemærk, at kravet om at et vrtuee arbee af bnngskræfterne er 0 ska stagvæk være opfyt, P Qf δq =0. α=1

5 Eksempe: Runng på skråpan.5 x F Mgcos φ θ O Rng: masse M raus r (I) Newton: () Mẍ = Mgsn φ F () Mr θ = Fr (moment om O) () Runng x = rθ ẍ = 1 g sn φ, F = 1 Mgsn φ (II) Lagrange (generaseree koornater x, θ): Mg φ L = T V = 1 Mẋ + 1 Mr θ ( Mgxsn φ) Bnng: f(x, θ) =x rθ =0 Bnngen emnerer én varabe (r θ = ẋ): L = L(x, ẋ, t) =Mẋ + Mgxsn φ t ẋ L x =Mẍ Mgsn φ =0 (III) Lagrange-mutpkator: L = L + λf = 1 Mẋ + 1 Mr θ + Mgxsn φ + λ(x rθ) L = Mẍ Mgsn φ λ =0, t ẋ x Q t θ L θ = Mr θ + λr =0, Qθ = λ f θ = λr x = λ f x = λ Insættes f(x, θ) =0,eerr θ =ẍ ẍ = 1 g sn φ, λ = Mẍ Mgsn φ = 1 Mgsn φ = F

6 Bevaresessætnnger og symmetrer.6 Hvs V kke afhænger af ṙ er L ẋ = T ẋ = ẋ h X 1 m (ẋ + ẏ + ż ) = m ẋ = p x Den generaseree bevægesesmænge p svarene t koornaten q efneres som: p L q For partker me annger e er V (generaseret) hastghesafhængg og p x 6= m ẋ : L = X h 1 m ṙ e φ(r )+e A(r ) ṙ p x = L = m ẋ ẋ + e A x At L er cyksk mht. koornaten q,eeratq er en cyksk koornat, betyer at L er uafhængg af q.erettetfæefås: 0= L L = L = t q q t q t p = ṗ eer p = konstant når L =0. q Den generaseree bevægesesmænge af en cyksk (uafhængg) koornat er bevaret. For aee partker er p (kke m ṙ ) bevaret, hvs φ og A er uafhængge af r (og A 6= 0). Cykske koornater kan entfceres ve symmetrbetragtnnger: Systemet har en transatonssymmetr når q 7 q + δq kke ænrer e fysske forho V og T og erme L uafhængg af q eer q er en cyksk koornat. Transatonssymmetr mht. q mefører at p er bevaret. Én-partke eksemper: V er konstant angs x: L cyksk mht. x og p x er bevaret. V rotatonssymmetrsk om z: L er cyksk mht. φ og p φ = L z =(r p) z = mr φ er bevaret. N partker: V (r) uafhænggafx: R x er en cyksk koornat og P x = MṘx er konstant.

7 Eksemper på transaton().7 For et konservatvt system (V er uafhængg q ) p = L = T og f. Lagranges gnnger ṗ q q = L = T V = T + Q q q q q r (q α ) p α = T = ³ 1 q α q α n q α r (q α + q α ) Antag, at q α 7 q α + q α svarer t en transaton af systemet,vs.ataestevektorerænresmenq α, hvor α er et bestemt neks og n er en konstant vektor: r = m q α 0 r (q α + q α ) r (q α ) q α F r = X Q α = X X m ṙ = X m ṙ ṙ = X q α Hvs bnngerne kke afhænger ekspct af t: X T = 1 M k q q k, M k = X r m r, se (1.7) q q k k M k = X ³ r m q r + r r =0, et α q q k q q k T er uafhængg af q α og erme ṗ α = T + Q = Q α. α = nq α q α = n F n = F n se (1.49) m v r = n X m q v = n P α r = n er konstant. Hvs V (q α )=V (q α + q α ) Q α =0 og p α er en bevægeseskonstant.

8 Eksemper på transaton () For et konservatvt system (V er uafhængg q ) p = L = T og f. Lagranges gnnger ṗ q q = L = T V = T + Q q q q q n r (q α ) θ p α = T = ³ 1 q α q α r (q α + q α ) q α 7 q α + q α svarer t en rotaton af systemet: Ae stevektorer rees vnken n q α om n, hvor α er et bestemt neks, og n er en konstant vektor. r (q α + q α )=r (q α )+[n r (q α )]q α eer r = n r Q α = X X m ṙ = X m ṙ ṙ = X q α Hvs bnngerne kke afhænger ekspct af t: X T = 1 M k q q k, M k = X r m r, q q k k M k = X ³ r m r + r r = X q q k q q k T er uafhængg af q α og erme ṗ α = T + Q = Q α. α F r = X F n r = n X r F = n N m v n r = n X r (m v )=n L m ³ n r q r q k + r q n r q k =0. Hvs V (q α )=V (q α + q α ) Q α =0 og p α er en bevægeseskonstant..8

9 Jacobs ntegra og energbevarese.9 L t = X L t = X L q q t t + X q q + X L q q t + L t L q q t + L t = X L og Lagranges gnnger = L q t q q t q + L t Jacobs ntegra eer energfunktonen : h(q 1,...,q n, q 1,..., q n,t) X L q L q opfyer reatonen h t = L, vs. afhænger L kke ekspct af t er Jacobs ntegra bevaret. t h er mange tfæe en totae energ af systemet. Det er tfæet, hvs V kke afhænger af q,ogt er kvaratsk eer en homogen funkton af. gra q h = X q p L = X L q L = X T q q (T V )=T (T V )=T + V = E q [Homogen funkton af nte gra: f(τx 1, τx,...,τx p )=τ n f(x 1,x,...,x p ) px f(x 1,x,...,x p ) x = nf(x x 1,x,...,x p ) (Euers teorem, øvese).] =1 For en aet partke fås: L = 1 mṙ qφ(r)+qa(r) ṙ, p x = mẋ + qa x, h = ẋp x + ẏp y + żp z L = ẋ(mẋ+qa x )+ẏ(mẏ +qa y )+ż(mż +qa z ) 1 m(ẋ +ẏ +ż )+qφ q(a x ẋ+a y ẏ +A z ż) = 1 m ẋ + ẏ + ż + qφ = T + qφ = E (et magnetske fet ufører ntet arbee, et F B = qv B er vnkeret på r = vt). Benyttes Rayeghs sspaton F = 1 kv fås Q = F q og h t = E t = F

Relaterede dokumenter

Classical Mechanics (3. edition) by Goldstein, Poole & Safko

Classical Mechanics (3. edition) by Goldstein, Poole & Safko Classcal Mechancs (3. eton). by Golsten, Poole & Safko Mekansk bevægelse af en partkel: Newtons anen lov v = r p, p = mv, F = t t ṗ Bevarelsesteorem for en partkels bevægelsesmænge: Hvs en totale kraft