cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.
|
|
- Kim Krog
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er dog vigtigt her, at ma bemærker hvad lemmaet egetlig er: defiitioe på tæthedsfuktioer. Supplerede opgave Betragt målrummet R, BR, λ. i Afgør hvilke af følgede fuktioer tilhører L λ du skal begrude dit svar: ut sit + t cost, vt + t, wt e t, zt e t. Bemærk først, at u, v, w og z er kotiuerte og dermed Riema-itegrable på alle afsluttede og begræsede itervaller; edvidere er de også målelige ikke-egative fuktioer. Vi ka også øjes med at fide fx lim ut dt sup N ut dt, altså bestemme e græse for e følge af Riema-itegraler. Årsage er, at u N givet ved u [,] u er e voksede følge af ikke-egative målelige fuktioer, med supremum og græseværdi lig u, således at vi ved Beppo-Levis sætig 9.6 blot skal fide supremum eller græseværdie for [,] u dλ, som jf. Theorem.8 er lig det tilsvarede Riema-itegral som vi emt ka fide. Lad os begyde med u. Idet ut +t for alle t R og dt arcta arcta arcta, + t har vi dermed ut dt [,] u dλ [,] + t dλt dt arcta + t jf. Properties 9.8 og Theorem.8. Idet arcta er begræset opadtil af π, har vi dermed, at u dλ sup ut dt π, N hvormed u L λ jf. Theorem.3.
2 Fuktioe v er straks lidt sværere. Bemærk først, at cost for alle t [ 3π, 5π ] og t [ 7π, 9π ]. Ved π-periodicitet af cost fås derfor, at cost, for x [ π, + ] π. Alle oveståede åbe itervaller er Borel-mægder og idbyrdes disjukte. Kaldes foreige for A, har vi, at A samt at A A, hvor A [ π, + π]. Dermed følger af Corollary 9.9, at v dλ A v dλ A v dλ A v dλ. Lad os derfor lege med A v dλ først. Idet vi har for x A, at vt Properties 9.8, at A v dλ A t + t dλt + π π + t +t + t dt,, følger af idet t +t er Riema-itegrabel på ethvert afsluttet og begræset iterval grudet kotiuitet. Vi har da, at + π π dt log + t π log log + + π π log + π +. log + log π log π + π Ved skriver vi π + + som π + + ; ved beytter vi, at π. Derfor vil N A v dλ N + π π + t dt N log +. + Ka vi vise, at det sidste udtryk ovefor går imod for N, vil vi kue slutte, at v ikke er itegrabel og derfor ikke ligger i L λ. Sæt a + for N. Atag, at N log + a kovergerer imod a R for N. Da dee følge er voksede, vil også følge, at følge har supremum lig a se Kalkulus, kapitel. Da ville N a + a + a N, hvormed N N log a log + a + a N log + a a, så N a e a for vilkårligt N. Imidlertid ved vi, at følge a divergerer, hvormed vi har e modstrid og dermed det øskede. For w s vedkommede har vi, at wt dt hvormed w dλ, således at w / L λ. e t dt [ e t ] e e, Vi har til sidst z at kigge på. Sidst har vi, at z for z, således at e z e for
3 z, samt at z z for z, hvormed e z e z for z. Altså vil zt dt e t dt + e t dt + dt + e t dt e t dt e t dt + e e + e. e t dt Vi beytter substitutio ved, samt at itegrade er e lige fuktio. Da dette gælder for alle N, vil z dλ + e, hvormed z L λ. ii Lad s > og lad u: R R ved givet ved { /x ux s, hvis < x,, ellers. Vis, at u M + R BR for alle s >. For hvilke s > gælder det, at u L λ? Betragt følgede lemma først: Lemma. Lad A R være åbe og lad f : A R k være kotiuert. Udvidelse f : R R k givet ved fx { fx, hvis x A,, ellers er B /B k -målelig. Bevis. Lad G R k være åbe.; det er ok at vise, at f G er e Borel-mægde for at koklude målelighed. Da vil f G A f G A være åbe i R grudet kotiuitet. Hvis / G, fides itet x f G, således at x A c, thi vi da ville have G fx, e modstrid. Hvis G, vil der for alle x A c gælde, at fx G, hvormed x f G, således at x f G A c. Omvedt gælder altid de modsatte iklusio, således at som dermed altid er afsluttet uaset G. Altså er f G A c {, hvis / G, A c, hvis G, f G f G A f G A c altid e foreig af e åbe mægde og e afsluttet mægde, som dermed er Borel. Lad s > og defiér g :, R ved gs /x s. Da er g kotiuert. Dermed er udvidelse g, givet ved gs for s, og ellers, B/B-målelig. Ved at lægge de B/B-målelige fuktio x til, fås etop u, så u er også målelig jf. Corollary 8.9. Da ux for alle x R, vil dermed gælde, at u M + R BR. Vi har først og fremmest u dλ lim [,] u dλ jf. Beppo-Levis sætig Theorem 9.6 supremum er lig græseværdie for voksede følger. Da u på disse afsluttede og begræsede itervaller er kotiuert, er u Riema-itegrabel, så jf. Theorem.8 vil [,] u dλ / { x s dx { log log, hvis s s, ellers s s s log, hvis s ellers s s, 3
4 Hvis s, vil itegralere altså gå imod ; hvis s >, vil s < og s >, således at s og s for. Altså vil itegralere også gå imod for s >. Slutteligt har vi for < s <, at s for, således at itegralere har græseværdie s for. Altså har vi, at u L λ hvis og ku hvis < s <. iii Lad s > og lad v : R R ved givet ved vx { /x s, hvis x,, ellers. Vis, at v M + R BR for alle s >. For hvilke s > gælder det, at v L λ? Defiér gs x s for x >. Da er g defieret på e åbe mægde og er kotiuert, så gx { /x s, hvis x >,, ellers. er B/B-målelig. Lægges {} x til, fås v, således at v selv er B/B-målelig. Da vx for alle x R, vil v M + R BR. På samme måde som før har vi, at v dλ lim [,] v dλ. Samme argumetatio som i ii giver, at { log log, hvis s [,] u dλ x s dx s s s {, ellers log, hvis s s s, ellers. Vi ser, at itegralere ku går imod oget edeligt hvis s >, så v L λ hvis og ku hvis s >. Supplerede opgave Betragt målrummet N, PN, µ, hvor µ er tællemålet. Lad s > og betragt fuktioe u: N R givet ved uj /j s. For hvilke s > gælder det, at u L µ? Vi har aturligvis, at u er positiv og målelig, hvormed vi har jf. Examples 9. ii, idet µ δ j, at u dµ u dµ uj j s, som vi ved kovergerer hvis og ku hvis s > fra Aalyse. Supplerede opgave 3 i Bestem græse lim cos x + 7 e x dx. Vi vil beytte Lebesgue s Domiated Covergece Theorem Theorem., fremover forkortet DCT. Defiér x + 7 u x cos e x, x R,
5 for alle N; da er u kotiuert og dermed målelig for alle N. Bemærk u, at u x e x. Fuktioe x e x er kotiuert, og dermed Riema-itegrabel på alle afsluttede, begræsede itervaller; tilmed gælder, at Dermed vil e x dx e x dx + e x dx e e e + e e. e x dλx lim e x dx lim e. Altså er x e x ideholdt i L λ. Af Theorem.3 følger u, at alle u er ideholdt i L λ. Bemærk, at x ux : lim u + 7 x cos lim e x cos7e x. Af DCT følger u, at u L λ, samt at x + 7 cos e x dx u dλ u dλ jf. Theorem.. cos7 cos7e x dλx cos7 e x dλx ii Vis, at π lim six dx. Defiér u x [,π] x six. Da er u et produkt af målelige fuktioer deribladt e kotiuert og dermed selv målelig jf. Corollary 8.. Bemærk, at u x [,π] x [,π] x. Idet [,π] er ikke-egativ og målelig, samt [,π] dλ λ[, π] π, følger at alle u L λ for alle N ved Theorem.3. Bemærk, at six six for x [, π] med six <, dvs. for x / { π, 3π }. For x / [, π] vil u x, således at, hvis x π u x six igetig, hvis x 3π, ellers. Hvis vi altså defierer ux { π } x for x R, vil u x ux λ-æste overalt, og DCT giver os u, at π six dx u dλ u dλ λ{ π }, som øsket, idet vi beytter Theorem.8 til de første lighed. Supplerede opgave I dee opgave har vi brug for at itegrere komplekse fuktioer. Dette eme vil blive taget op i Kapitel. Idtil da beytter vi, at itegralet af e kompleks fuktio ka bestemmes ved at iddele de i real- og imagiærdele. Stort set alle resultater i Kapitel om itegralet af reelle fuktioer ka overføres til itegralet af komplekse fuktioer. Betragt målrummet R, BR, λ, lad u L λ, og betragt fuktioe vt uxe ixt dx, t R. π 5
6 Vis, at v er veldefieret og kotiuert. Sæt u x ixux, og atag at u L λ. Vis, at v er differetiabel, og at v t u xe ixt dx. π Fuktioe v kaldes Fourier-trasformatioe af fuktioe u. Bemærk først, at hvis betigelsere i Theorem. Cotiuity lemma er opfyldt, vil v være veldefieret og kotiuert se beviset!. Defiér g : R R R ved gt, x π uxe ixt. For fast t R, vil gt, x ux ux π for alle x R. idet e ixt. Da u L λ, vil x gt, x tilhøre L λ jf. Theorem.3, så a er opfyldt. Holdes x R fast, er t gt, x klart kotiuert, idet ux blot er et tal, så b er opfyldt, og c har vi allerede vist, idet gt, x ux for alle t, x R R og vi ved, at u L λ, idet u L λ jf. Theorem.3. Dermed er vt uxe ixt dx uxe ixt dx π π veldefieret og kotiuert på hele R. Vi går u i gag med at tjekke betigelsere i Theorem.5 Differetiability lemma. Vi lader g være defieret som før. a har vi allerede vist, og for fast x R er t gx, t differetiabel på R med afledt g x, t ux ixe ixt u xe ixt. t π π Slutteligt gælder for alle t, x R, at g x, t t u x u x. π Pr. atagelse gælder u L λ, så u L λ jf. Theorem.3, hvormed betigelse c er opfyldt. Altså er v differetiabel med differetialkvotiet g v t x, t dx u xe ixt dx u xe ixt dx, t π π som øsket. Supplerede opgave 5 Lad X, A være et målbart rum, og lad µ,..., µ k være mål på X, A. Sæt µ µ + + µ k. Gør rede for, at µ er et mål på X, A, vis at L µ L µ L µ k, og vis at u dµ u dµ + + u dµ k for alle u L µ. Vi viste i Supplerede opgave 3.5 fra Uge, at µ var et mål ellers er det også idholdet af Opgave.6 fra Uge. E fuktio u: X R er A/ B-målelig hvis og ku hvis u + og u er, jf. Corollary 8.. Atag derfor, at u: X R er A/ B-målelig. Både u + og u er derfor målelige og ikke-egative fuktioer, og jf. Supplerede opgave 3.5 gælder derfor µ ± dµ u ± dµ + + u ± dµ k u ± dµ j for alle j,..., k. 6
7 Hvis u L µ, vil u +, u L µ jf. Theorem.3, hvormed u ± dµ j µ ± dµ < for alle j,..., k. Altså vil u +, u L µ j for alle j,..., k, så med Theorem.3 sluttes, at u L j for disse j. Hvis omvedt u L µ j for alle j,..., k, vil gælde, at u +, u L µ j for alle j. Altså er summe i altid edelig dvs. <, hvormed µ ± dµ <. Vi slutter, at u +, u L µ, hvormed u L µ. Altså er mægdelighede vist. Slutteligt gælder, at for u L µ, vil u L µ j for alle j,..., k. Da vil u dµ u + dµ u dµ k k u + dµ j u dµ j som øsket. Supplerede opgave 6 k k u dµ j, u + dµ j u dµ j Lad X, A, µ være et målrum, og lad u: X R + være e målelig fuktio. i Vis, at fuktioe t µ u t, er aftagede. Bemærk, at oveståede udtryk altid giver meig, idet u er målelig og t, er e Borel-mægde for ethvert t R. Vi behøver ku at tjekke, at fuktioe er aftagede over de positive tal, idet u t, X for alle t <. Vi får så de kostate værdi µx for t <, som er større ed alle værdier fuktioe atager for t. For t < t vil t, t,, hvormed u t, u t, fordi urbilleder er ice. Grudet mootoi for mål Propositio.3 ii fås u, at µ u t, µ u t,, så fuktioe er aftagede. ii Vis, at u dµ µ u t, dt. Lad os atage først, at f E + A er e simpel fuktio. Vi ka dermed fide e stadardrepræsetatio f y j Aj, hvor A j ere er disjukte målelige mægder i A og y j ere er ikke-egative tal. Vi ka atage, at y j > for alle j, thi hvis et af dem var lig, kue vi blot fjere det tilsvarede led fra oveståede sum ude at ædre på lighede. Edvidere ka vi atage, at y < y < < y ellers ka vi slå A j er samme til ye målelige mægder. For t y vil µ f t, µ f y, grudet i. Idet de største værdi f ka atage er y, vil f y, være de tomme mægde, således at µ f t, for alle t y. Altså vil µf t, dt [, tµf t, dt [,ytµf t, dt. 7
8 Sæt y. Vi påstår u, at for y j t < y j vil f t, A j A for alle j,...,. Lad emlig et sådat j være givet og lad y j t < y j. Hvis x f t,, vil fx > t y j. Specielt vil fx >, så der må ødvedigvis gælde, at x A k for et k,...,. Hvis ikke, vil fx jf. forskrifte på f. Dette k ka ikke opfylde k j, thi vi så ville have fx y k y j, e modstrid. Altså må k {j,..., }, så x A j A. Hvis omvedt x A k for et k j,...,, vil fx y k y j > t, hvormed x f t,. Vi ka u skrive [,ytµf t, [yj,y jtµf t, [yj,y jt µa k, kj [yj,y jtµa j A da A k ere er disjukte. Bemærk, at dette giver oget adet virkelig godt: hvis f er e simpel fuktio, er t [,ytµf t, også e simpel fuktio! Dette vil blive yttigt, år vi geeraliserer. Nu vil [,ytµf t, dt [yj,y jt µa k dt kj kj [yj,y jtµa k dt y j y j µa k k kj y y µa k + y y µa k +? + y y k k µa k + y y µa µa y y + µa y y + + µa y y y µa + + y µa y j µa. Ved spørgsmålsteget er der følgede forklarig: vi samler simpelthe led efter hvert µa k. Fx forekommer µa ku i de første sum, så µa får koefficiet y y ; µa forekommer ku i de to første, så dee får koefficiet y y + y y y y osv., op til µa. Ethvert led har desude µa k som faktor, så vi magler ikke oget efter at have samlet koefficieter på dee måde. Idet f dµ y j Aj dµ y j µa j jf. Properties 9.8, følger, at de øskede lighed gælder for simple fuktioer f E + A. Tilbage til u. Der fides jf. Theorem 8.8 e voksede følge u j j N af simple og ikke-egative fuktioer som kovergerer imod u. Da vil jf. Corollary 9.7 gælde, at u dµ lim u j dµ lim µ u j t, dt. j j Vi fadt før, at t [, tµ u j t, var e simpel fuktio. Beteg dee med f j. Lad t R være fast. For j < k vil u j x u k x, da følge u j var voksede. Vi har altså, at x u j t, medfører u k x u j x > t, så u j t, u t,. Mootoi af mål giver u, at f jx k 8
9 f k x. Da følge af mægder u j t, j N er voksede, gælder jf. Theorem., at lim j µu j t, µ j N u j t,. Vi viser u, at u t, j N u j t,. Hvis ux > t for et x X, ka vi lade ε ux t. Idet u j x ux for j, fides N N så j N medfører u j x ux < t. Dermed vil ux u N x < ux t og derfor u N x > t, så der fides N N så x u N t,. Hvis der omvedt fides j N så x u j t, eller u j x > t, vil ux u j x > t, så x u t,. Altså slutter vi lighede, og dermed vil Derfor vil lim µ u j t, µ u t,. j f j t [, tµ u t, for j. Da f j j N er e voksede følge af simple fuktioer med oveståede som græse, følger u af Corollary 9.7, at µ u t, dt [, tµ u t, dt lim f j dλ lim µ u j t, dt. j j Dermed vil som øsket. u dµ lim j Supplerede opgave 7 µ u j t, dt µ u t, dt, Betragt målrummet N, PN. Lad µ være målet på N, PN givet ved µ j δ j. i Vis, at µ er et sadsylighedsmål. Vi ved allerede fra Opgave.6 ii, at µ er et mål, idet δ j er mål for alle j N. Husk, at δ j A hvis j A og giver ellers. Idet j N for alle j N d oh!, vil δ j N for alle j N, hvormed så µ er et sadsylighedsmål. ii µn j δ j N j, Bestem µe, hvor E N er mægde af lige tal. For lige j N, vil δ j E, og for ulige j N vil δ j E. Altså vil iii µe j δ j E j j j j lige Vis, at N er de eeste ulmægde. 3. Vi viser, at N medfører µn > for N N. Hvis N, fides N, hvormed µn µ{} >, som øsket. 9
10 iv Lad u: N R være givet ved uj 3/ j. Bereg u dµ. Da u er positiv og målelig alle fuktioer N R er jo, følger af Examples 9. ii, at.6 j 3 j 3 u dµ j uj j 3 3. Giv et eksempel på e følge af itegrable fuktioer u j j N med u j x ux for j og alle x, og e itegrabel fuktio u, me så lim j uj dµ u dµ. Modsiger dette DCT, Theorem.? Lad X, A, µ R, BR, µ og defiér u j x j, j x for x R. Da vil u j x for alle x R. Alle u j er er ikke-egative og målelige fuktioer, med u j dλ jλ,, j me u dλ. Dette modsiger ikke DCT, fordi der ikke fides e itegrabel positiv øvre græse w for alle u j er simultat uiformt. Dette ka ses ved hjælp af e tegig; alterativt ka bemærkes at for + x < for et N, vil sup u j x u x. j N Hvis w er e positiv og målelig fuktio på R, BR med w u j for alle j, vil specielt gælde, at w sup j N u j, således at wx [ +, x. Deraf fås ved Corollary 9.9 og Properties 9.8, at. w dλ [ +, dλ Vis, at fuktioe G: R R givet ved Gt : + R\{} sitx x + x dx + +. er differetiabel og fid G og G. Brug et græseargumet, partiel itegratio og formle t t sitx x x sitx til at vise, at tg x sitx t + x dx. R Vi får brug for ogle begræsiger, idet itegrade ellers ka opføre sig ret uterligt. Lad N > og defiér g : N, N R R ved { sitx gt, x x+x, hvis x, hvis x. Vi bemærker for x og t, at sitx x + x tsitx tx + x.
11 Eftersom siu u for u, ka vi grudet kotiuitet af fuktioe { siu u hu u hvis < t hvis t også kokludere, at de er begræset på [, ]. Der fides altså M så hu M for alle u [, ]; for u > vil siu u u, således at fuktioe R R givet ved u { siu u hvis t hvis t er begræset af e kostat M max{m, }. Lad os u se, hvad vi ka gøre med gt, x. Hvis ete x eller t er lig, fås, at gt, x ; hvis x R med x og t N, N med t, vil tx, så gt, x tsitx tx + x t M + x NM + x. Vi fadt i Supplerede opgave, at x +x tilhørte L λ; jf. Theorem. er sidste fuktio ovefor også ideholdt i L λ, så jf. Theorem.3 er x gt, x ideholdt i L λ for ethvert fast t N, N. Altså er a i Theorem.5 opfyldt. Lad u x R \ {} være fast. Da er t gt, x sitx x+x g costx t, x t + x. differetiabel, med differetialkvotiet Hvis x, er gt, x for alle t N, N, som også er differetiabel med g t t, x. Altså er b også opfyldt. Lad til sidst t, x N, N R. Hvis x, vil g t, x t + x. Da g g t t, x hvis x, har vi derfor klart t t, x +x for vilkårlige t, x. Da fuktioe x +x er målelig, itegrabel og ikke-egativ, følger c. Dermed vil fuktioe G: N, N R givet ved sitx Gt x + x dx gt, x dx R\{} omskrivige er gyldig, idet {} er e ulmægde differetiabel med afledet g G costx t t, x dx t R + x dx, idet g costx t t, x +x for æste alle x R. Da N var vilkårlig, slutter vi, at G er differetiabel overalt på R med samme differetialkvotiet. Vi ser straks, at G, samt G dx lim + x dx lim + x [arctax] π + π π. Vi har, at x sitx + x t costx + x,
12 således at tg t R lim lim t costx + x dx lim + x [sitx t costx + x dx x sitx + x dx [sitx lim + x [sitx lim lim + x [ sitx ] ] ] ] } + x {{ } sitx sitx + + R x sitx + x dx x sitx + x dx, dx + x x + x dx som øsket. Ved beyttes Theorem. hvor vi på itegrade har gaget idikatorfuktioer t [,] ; disse produkter har e itegrabel majorat +x, hvormed vi beytter Theorem.8 for at omskrive til Riema-itegraler. Ved beyttes samme trick, hvor vi bemærker, at x sitx + x x + x }{{ + x }}{{. }.6 itegrabel begræset Betragt fuktioere u Q [,] og v { N}. Bevis eller falsificér: For at kue tale om Riema-itegraler betragter vi fuktioere restrigeret til [, ]. i Fuktioe u er på de ratioale tal og ellers. Derfor er u kotiuert overalt, udtage på mægde Q [, ]. Eftersom dette er e ulmægde, er u æste overalt kotiuert og dermed Riemaitegrabel ved Theorem.8. Forkert. u er ikke kotiuert på de irratioale tal i [, ]; tag fx x [, ] \ Q og vælg e følge x Q [, ]. Da vil ux, me ux. Derfor er mægde af tal i, hvor u er diskotiuert ikke e Lebesgue-ulmægde, så u er ikke Riema-itegrabel. ii Fuktioe v er overalt, udtage på værdiere x / for N. Derfor er v kotiuert overalt bortset fra på e tællelig mægde, dvs. e ulmægde, og v er æste overalt kotiuert, og derfor Riema-itegrabel ved Theorem.8. Dette er sadt. v har ku diskotiuitetspukter {} { N}, som stadig er tællelig og derfor har Lebesgue-mål. Altså er v Riema-itegrabel jf. Theorem.8. iii Fuktioere u og v er Lebesgue-itegrable med u dλ v dλ. Dette følger klart, da u og v er positive og målelige; itegralere er lig målet af mægdere idikatorfuktioere tages over, og dermed begge lig, idet mægdere er tællelige.
13 iv Fuktioe u er ikke Riema-itegrabel. Dette er også sadt. Hvis π er e iddelig af [, ], har vi idet både Q [, ] og [, ] \ Q er tætte i [, ], at ifimum over et iterval i iddelige altid er og at supremum over samme er lig. Dermed vil sup π S π [u] og if π S π [u] se otatioe side 9, således at u ikke ka være Riema-itegrabel. 3
Analyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mereDe reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.
De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z
Læs mereOpgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}
Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de
Læs mereTalfølger og -rækker
Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereM Å L T E O R I S A N D S Y N L I G H E D S T E O R I 1. 1 F O R E L Æ S N I N G S N O T E R S V E N D E R I K G R A V E R S E N O G
F O R E L Æ S N I N G S N O T E R T I L M Å L T E O R I O G S A N D S Y N L I G H E D S T E O R I 1. 1 S V E N D E R I K G R A V E R S E N A U G U S T 2 0 0 5 I N S T I T U T F O R M A T E M A T I S K
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereOm Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.
IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.
Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises
Læs mereProgram. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereBjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2
Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs mereDenne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen
Idledig. De modere sadsylighedsteori, hvis aksiomatiske basis blev formuleret af russere A.N. Kolmogorov i 1933 i boge Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitrechug, er bygget op omkrig et tripel ofte beteget
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereUdtrykkelige mængder og Cantorrækker
Udtrykkelige mægder og Catorrækker Expressible sets ad Cator series Matematisk speciale Simo Bruo Aderse 20303870 Vejleder: Simo Kristese Istitut for Matematik Aarhus Uiversitet 208 Abstract This thesis
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs mereNotater til Analyse 1
Alyse 1 Jørge Vesterstrøm Forår 2004 Notter til Alyse 1 Idhold Forord 1 1. Om dobbeltsummer 1 2. Eksistes f e ikke målelig mægde 2 3. Bevis for e del f Prop. 3.15 3 4. Riem-itegrlet og trppefuktioer 4
Læs mereRiemann-integraler. enote Indledning
enote 1 1 enote 1 Riema-itegraler I dee enote vil vi opstille og give eksempler på de tekikker, metoder, og resultater, som er helt ødvedige hjælpemidler år vi skal fide lægder af kurver, arealer af plae
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereDeskriptiv teori: momenter
Kapitel 13 Deskriptiv teori: mometer Vi vil i dette og det følgede kapitel idføre e række begreber der bruges til at beskrive sadsylighedsmål på (R, B). Samtlige begreber udspriger i e eller ade forstad
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereEksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.
Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereGeorg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith
Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.
Læs mereRegularitetsbetingelserne i simple modeller
Kapitel 7 Regularitetsbetigelsere i simple modeller I dette kapitel vil vi udersøge forskellige modeller med uafhægige, idetisk fordelte variable, rækkede fra det trivielle til det gaske geerelle. Målet
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs merer n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n!
Mometproblemet. Lad i dette afsit X betege e stokastisk variabel med mometer af ehver orde. Mometfølge (E[X ]) er derfor e vel defieret reel talfølge bestemt ved fordelige, og spørgsmålet om, de omvedt
Læs mereBaggrundsnote til sandsynlighedsregning
Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereForelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen
Forelæsigsoter til Stokastiske Processer E5 Sved-Erik Graverse Revideret af Ja Pederse Kapitel 12 og Appedix B og G af Ja Pederse 16. august 25 Forord Nærværede otesæt skal bruges i forbidelse med kurset
Læs mereFUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal
FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET...
Læs mereNogle Asymptotiske Resultater. Jens Ledet Jensen Matematisk Institut, Aarhus Universitet. 1 Indledning 1
Nogle Asymptotiske Resultater Jes Ledet Jese Matematisk Istitut, Aarhus Uiversitet Idhold Idhold i Idledig 2 Resultater i et geerelt set-up 7 2. Eksistes af et kosistet estimat............... 7 2.2 Asymptotisk
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereBachelorprojekt for BSc-graden i matematik
D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:
Læs merea b cos. n=1 er positiv på N. Vi kan nu benytte sammenligningskriteriet (sætning ) og sammenligne 2a sin ( )
Opgve Vi skl bestemme de tlpr (, for hvilke række b cos = er koverget. Først beytter vi divergeskriteriet (sætig 2..4) til t kræve t leddee må gå mod ul for gåede mod uedelig. Dette giver os t = b cos()
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereNoter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar
Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereRettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen
Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereTermodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18
ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt
Læs mereRESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.
RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG
Læs mere24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereog Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs mereProjekt 9.10 St. Petersborg paradokset
Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereHovedpointer fra SaSt
Hovedpoiter fra SaSt Marti Nørgaard Peterse 13. februar 2018 Følgede geemgår udvalgte begreber fra E Itroduktio til Sadsylighedsregig af M. Sørese (9. udgave), Itroductio to Likelihood-based Estimatio
Læs mere- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog
Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive
Læs mereDagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro
Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro
Læs mereClaus Munk. kap. 1-3
Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? C ISBN 97 887 7 79 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? ISBN 978877879 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt tl.
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereIndre, ydre, rand og afslutning 2.2. Åbne og afsluttede mængder 2.3. Topologiske begreber. Ækvivalente metrikker 2.4.
MATEMATIK 2~ MATEMATISK ANALYSE 1984-85 Kapitel I. METRISKE RUM 1. Metriske rum. Normerede rum. 1. 1. Metrik 1.2. Normeret rum 1. 3. Kugler i et metrisk rum 1.4. Kovergete følger Opgaver til 1 r. 1.1 r.
Læs mereR E E L L E F U N K T I O N E R.
Købehavs Uiversitets Hateratiske Istitut M A T E M A T I K 2 1962-63 B. Jesse Forelæsiger over R E E L L E F U N K T I O N E R. Mat 2, 1962-63 MI Kap.l Idledig. l. Weierstrass 11 approksimatiossætig. l,
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereDiskrete og kontinuerte stokastiske variable
Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereKvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren
Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk
Læs mereKvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger
Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal
Læs merePrisfastsættelse af digitale goder - Microsoft
Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereForslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende
Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste
Læs mereKompendie Komplekse tal
Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære
Læs mereAnalyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)
Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)
Læs mereAsymptotisk estimationsteori
Kapitel 5 Asymptotisk estimatiosteori De fleste eksperimeter har e idbygget størrelse, som regel kaldet eller N. Dette repræseterer typisk atallet af foretage måliger, atallet af udersøgte idivider, atallet
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereFormelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Læs mereSandsynlighedsregning i biologi
Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs mereStudyGuide til Matematik B.
StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mereProjekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN
Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.
Læs mereKvantitative metoder 2
Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereStatistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :
Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig
Læs mere