Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Transkript

1 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen af udbudspris. Eleven skal kort præsentere, hvad der skal besvares i dette spørgsmål og begrunde valg af diagram. Der skal titler på akserne. Der vælges et histogram med en intervalbredde på , da dette giver en overskuelig præsentation.. Histogrammet vælges, fordi der er mange forskellige observationer. b) Forskellige deskriptorer til at beskrive fordelingen af udbudspris: En hjælp for eleverne kan være, at eleven kort begrunder sine valg af deskriptorer. Det er ikke en mangel, såfremt eleven ikke gør dette. Det er vigtigt, at eleven ikke blot giver et print af samtlige deskriptorer. Af deskriptorer vælges typeinterval, gennemsnit og kvartilsæt. Typeintervallet for at se i hvilket interval der er flest huse til salg, gennemsnittet fordi den gennemsnitlige udbudspris er interessant og kvartilsættet for at få en vurdering af forskellen i priserne. Typeintervallet aflæses på histogrammet som det interval med størst frekvens. Det ses, at det er intervallet [ ; ]. Gennemsnittet findes i Nspire under statistiske beregninger som x. Og kvartilsættet bestemmes som Q1, Med og Q3 også under statistiske beregninger:

2 Det fremgår af ovenstående, at gennemsnittet er kr. 1.kvartil er kr. Medianen er kr. og 3.kvartil er kr. c) xy-plot og lineær regression af U( x) a x b. Det er vigtigt, at der er titler på akserne. Det er i orden, at lave plot såvel som regressionslinje i samme koordinatsystem, men det er vigtigt, at forskriften for regressionslinjen angives i teksten. xy-plottet laves i Nspire, hvor størrelse er x og udbudspris er y : Den lineære regression bestemmes ligeledes i Nspire:

3 Vi ser, at m i Nspire regressionen svarer til a i u(x) dvs. hældningstallet og b svarer til b. Forskriften er U( x) 14395,3 x ,65 d) Indlæg til boligsiden: Eleverne skal beskrive resultaterne af besvarelserne af spørgsmålene a), b) og c) i et sprog, som ikke nødvendigvis kræver matematisk forståelse. Det er vigtigt, at eleverne ikke tolker som f.eks. Der er mange dyre fritidshuse. Eleven skal ej heller gætte på sammenhænge og forklaringer. Eksempelvis: Nogle af fritidshusene er dyre, fordi de nok ligger tæt på stranden. Det er vigtigt, at besvarelsen af alle spørgsmålene inddrages i d), hvor det er i orden også at inddrage andre deskriptorer end de 3 valgte deskriptorer. Indlægget skal være en sammenhængende tekst i hele sætninger. Jeg har kigget på 100 fritidshuse udbudt på Rømø, hvor størrelsen og udbudspriserne på husene er givet. Den grafiske præsentation af husenes udbudspriser viser, at priserne varierer fra ca kr. til kr., og at de fleste huse har en udbudspris under kr. Den gennemsnitlige udbudspris på de 100 huse er kr. 25% af husene koster højst Halvdelen af husene koster højst kr. og 75% af husene koster højst kr. I intervallet mellem og kr. er der udbudt 14 huse ud af de 100. Dette prisinterval er det mest almindelige. Der er en sammenhæng mellem størrelse og udbudspris. I gennemsnit stiger udbudsprisen med kr. pr. kvadratmeter. Der er dog variationer, således at nogle store huse ikke kan holde kvadratmeterprisen, mens mindre huse har en højere kvadratmeterpris end den gennemsnitlige. (Forklaringsgraden på den lineære sammenhæng mellem størrelse og pris er ca. 57%).

4 Opgave 9 En virksomheds omsætning og omkostninger er beskrevet ved to funktioner givet ved forskrifterne hvor R er omsætningen i mio. kr., C er omkostningerne i mio. kr. og x er afsætningen i ton. Begge funktioner er begrænset af definitionsmængden i intervallet [0;30]. a) Gør rede for, at overskuddet P kan beskrives ved den oplyste funktion, og bestem overskuddet ved en afsætning på 12 ton. Det er vigtigt, at der kommenteres på fremgangsmåden i CAS-værktøj, og at der konkluderes på det enkelte spørgsmål. Da funktionerne er defineret i maple kan de blot trækkes fra hinanden, dermed fås forskriften for overskuddet P, som er defineret i intervallet [0;30]. hvilket betyder, at en afsætning på 12 ton giver virksomheden et overskud på mio. kr. b) Den afsætning, der giver maksimalt overskud skal bestemmes. Der er flere fremgangsmåder, der er acceptable til bestemmelse af, om der er ekstrema. Der skal argumenteres fyldestgørende. Til bestemmelse af mulige ekstrema løses ligningen. Da definitionsmængden er begrænset i intervallet [0;30], forkastes løsningen x På baggrund af graf for P og beregningen kan det konkluderes, at der eksisterer maksimalt punkt for x Dette betyder, at en afsætning på ton giver virksomheden maksimalt overskud.

5 Opgave 10 a) Konstruktion af skema: Det er underordnet om rækker og søjler er byttet om. Det er ikke nødvendigt at eleven forklarer tekniske detaljer om hvorledes data er talt op. Epinion har lavet en undersøgelse for Rejsekort A/S hvor de har stillet spørgsmålet: Vil du anbefale rejsekortet til andre? Data ligger i en fil i excel og de er talt op ved hjælp af knappen "pivottabel" Så fås skemaet Det betyder at der f.eks er 323 fra hovedstadsområdet der har svaret Ja på spørgsmålet. b) For at undersøge om der er en sammenhæng mellem brugernes svar på spørgsmålet og hvilken landsdel de kommer fra opstilles en nulhypotese. Det er vigtigt at eleven altid formulerer en nulhypotese og en alternativ hypotese i henhold til opgavens kontekst. Det er vigtigt at eleven i teksten fremhæver nøgletal fra CAS-værktøjet. Eleven bør undersøge størrelsen af de forventede værdier. I tilfælde af at nulhypotesen forkastes bør eleven kommentere på bidragene til teststørrelsen. - der er uafhængighed mellem svaret på spørgsmålet og hvilken landsdel man kommer fra. - der er ikkeuafhængighed mellem svaret på spørgsmålet og hvilken landsdel man kommer fra. Hypotesen testes vha et chi-i-anden-test og forudsætningerne for at bruge testet er at de forventede værdier er større end 5. Det er de, så testet kan udføres

6 Det ses at chi-i-anden-teststørrelsen på er meget større end den kritiske værdi på Derfor forkaster vi vores nulhypotese og konkluderer dermed et der er en sammenhæng mellem brugernes svar på spørgsmålet og hvilken landsdel man kommer fra. Hvis vi ønsker at undersøge hvilke svar der bidrager mest til chi-i-anden-teststørrelsen udregnes bidragene: Som det ses er det især er Nordjyderne der ikke svarer nej så ofte som forventet.

7 Opgave 11C Lad x betegne antal campinghytter og lad y betegne antal pladser til campingvogne. a) Forskriften for kriteriefunktionen f skal bestemmes. Dækningsbidraget er 800 kr. pr. dag for en campinghytte og 140 kr. pr. dag for en plads til en campingsvogn. Det samlede daglige dækningsbidrag er derfor bestemt ved funktionen b) Bestemmelse af punkt med størst muligt dækningsbidrag. Metodeforklaring i lineær programmering er vigtig: Hvis man anvender niveaulinjer skal der bruges mere end én for at finde maksimum. Hvis der laves hjørneinspektion skal alle punkter undersøges. Man skal gøre rede for bestemmelsen af punkterne. Begrænsningerne for anlæggelse af campingpladsen kan beskrives ved Da der ikke kan laves en negativt antal pladser, så tilføjes begrænsningen Disse begræsninger definerer et polygonområde. Dette tegnes i mit CAS-værktøj, sammen med niveaulinjerne N(50000) og N(65000) for kriteriefunktionen f Begrænsningslinjerne får farverne rød, blå og grøn

8 Det ses at niveauet vokser i pilens retning og at der derfor er maksimum i skæringen imellem den blå og den røde linje. Dette skæringspunkt bestemmes i CAS-værktøjet Det optimale punkt er. Der skal derfor anlægges 75 campinghytter og 100 pladser til campingvogne for at dækningsbidraget bliver størst muligt.