Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Transkript

1 Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk!

2 Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders lø: Tag e stikprøve fra gruppe af mæd og e stikprøve fra gruppe af kvider og sammelig geemsitsløe for de to grupper.. Kilometer per liter: Tilfældig stikprøve af Toura er og tilfældig stikprøve af Skoda er. Ved e afhægig stikprøve er observatioere i de to grupper parrede. Oftest er det de samme perso/gestad, der bliver observeret i to forskellige situatioer.. Bio bezi kotra almidelig bezi: Vælg tilfældigt et atal VW Toura er og test dem med de to forskellige typer bezi.. Origial Nike sko kotra Super Nike sko: Vælg tilfældigt ogle persoer til at løbe 5 km og lad dem teste begge par sko.

3 Forrige forlæsig Sammeligig af to middelværdier kedt varias orm. pop. eller stort. Hypotesetest + Kofidesiterval Sammeligig af to middelværdier ukedt varias ormal populatio. Hypotesetest + Kofidesiterval Dee forlæsig Sammeligig af to adele. Hypotesetest + Kofidesiterval Parrede observatioer. Hypotesetest + Kofidesiterval Test for es varias i to populatioer

4 Parrede observatioer For de i te perso har vi to observatioer X i, og X i,, fx. blodtryk før og efter behadlig. For de i te perso defierer vi differece D i X i, X i,. Forskelle mellem før og efter ka u udersøges vha. hypotesetest af middeldifferece, μ D. Typisk atagelse er, at differecere er ormalfordelte, D i ~ N(μ D, σ D ). Estimatere for hhv. middelværdi og varias beteges og. x D s D

5 Parrede observatioer Udreg differecer: Nike Super Nike Origial Super-Origial Beregx H 0 : μ μ D D og s D D ud fra differecere. Ha : μd μd 0 xd μd 0 Teststørrelse: t, sd Er t fordeltmed D frihedsgrader, hvis differecere er ormalfordelte. Kofidesiterval: sd xd ± tα 0

6 Samme Historie I R Commader Statistics Meas Paired t-test Bemærk: 95% kofidesiterval for forskelle i middelværdi ideholder 0! p-værdi > 0.05, dvs. vi ka ikke afvise H 0. Dvs. vi ka ikke afvise at de to sko-typer er lige gode.

7 Sammeligig af to adele, p p, store stikprøver H 0 : p p 0 ( dvs. H 0 : p p ) H : p p 0 ( dvs. H 0 : p p ) Teststørrelse z ( ˆ ) +, hvor Hvis H 0 er sad, så gælder Z ~ N(0,). Forkast H 0, år p-værdie er lille, eller sammelig med de kritiskeværdier. p x + + x

8 Eksempel - Titaic Er adele af mæd, der overlevede, p m, de samme som adele af kvider, der overlevede, p k? m 0.98 m

9 Eksempel - Titaic H 0 : p k p m H : p k p m z ˆ k pm ( )(/ k + / m) ( )(/ 443+ / 848) 8.3 xk + xm k + m ( ) + (6 + 37) H 0 forkastes da p-værdie P( Z >8.3) 0.

10 Sammeligig af to adele, p - p D, store stikprøver Hypoteser : H 0 : p p D H : p p D Teststørrelse : z ( ) / + D ( ) / Beslutig : Forkast H, 0 år p - værdie er lille, eller sammelig med de kritiske værdier. Ka også laves som højresidet vestresidet test. test og

11 Kofides iterval for differece, p p, mellem to adele (-α)00% kofides iterval for p p : ( ) ± z α / ( ) + ( ) zα / vælges ige ud fra kofides iveauet. For eksempel for et 95% kofidesiterval, er z 0.05,96. Og ligesom før, hvis kofidesitervallet ideholder 0, svarer det til, at et hypotesetest ikke havde forkastet ul hypotese om at de to middelværdier er es.

12 Eksempel - Titaic Fid et 95% kofidesiterval for forskelle i adele af overlevede bladt mæd og kvider: ( ) ± zα / m k ( ( ) ± ± [ , 0.55] m m m ) + k ( 0.98( 0.98) k k ) ( 0.756) Da kofidesitervallet ikke ideholder ul, ka vi afvise H 0 : μ μ på sigifikasiveau α 0.05.

13 F fordelige og test for lighed af to populatiosvariaser F fordelige er er fordelige af af brøke brøke af af to to chi-i-ade stokastiske variable, der der er er uafhægige og og hver hver er er divideret med med atallet atallet af af des des frihedsgrader. E E F fordelt fordelt stokastisk variable med med k og og k frihedsgrader: f(f).0 F (5,30) F ( k k ) χ k, χ k 0.5 F (0,5) 0.0 F (5,6) F

14 F-tabelle Critical Poits of the F Distributio Cuttig Off a Right-Tail Area of 0.05 k F-fordelige med 7 og frihedsgrader 0.7 k f(f) /F (,7) F (7,) F Det vestresidet kritiske pukt, der hører til F (k,k) er givet ved: F( k, k ) hvor F (k,k) er det højresidet kritiske pukt for e F fordelt stokastisk variabel, me det omvedte atal frihedsgrader.

15 Kritiske pukter i F fordelige F(6, 9), α 0.0 F-fordelig med 6 og 9 frihedsgrader Det Det højresidet kritiske kritiske pukt: pukt: 0.05 f(f) F F (6,9) 3.37 (6,9) 3.37 Det Det tilsvarede vestresidet pukt: pukt: F, 40. ( 96) F 0.95 (/4.0)0.439 F

16 Test for es varias Teststørrelse til test for es populatios varias i to ormalfordelte populatioer er givet ved: F s (, ) s I: I: Tosidet Tosidettest: test: σ σ H 0 : σ σ σ σ H 0 : σ σ H : : σ σ II:Esidet test test σ σ H 0 : σ σ σ σ H 0 : σ σ H : >σ : σ >σ

17 Eksempel Populatio 4 s 0. Sigifika siveau : α 0.05 Kritiske værdier : F 3.8 ( 3,8) Populatio 9 s 0. F (8,3) F.77 (8,3) Hypoteser : H : σ σ 0 H : σ σ Teststørrelse: F (, ) ( 3,8 ) F s s H0 ka ikke forkastes på et 5% sigifikas- iveau, da.9 ikke er større ed 3.8 eller midre ed 0.36.

18 Vigtigste fordeliger i kurset Biomial B(,p) Normal N(μ,σ ) χ χ () Hvis Z, K, Z gælder i Z uafh. og Z i ~ χ ( ) i ~ N(0,), så t t() Hvis Z og X uafh. og Z X ~ χ ( ) så gælder Z ~ N(0,) og X ~ t( ) F F(k,k ) Hvis X og Y uafh. og X ~ χ ( k) og Y ~ χ ( k ) så gælder ( X k ) ( Y k ) ~ F( k, k ) Hvis X ~ t( ) så gælder X ~ F(, )

19 Flyskræk! Passer overskrifte? Politike 6/- 07 Er du tryg ved at flyve? Ja: 86% i % i 007 Er der sket e statistisk sigifikat ædrig? Sum selv svaret ;-)

20 Sidste Summeopgave Atag at der er blevet udspurgt 00 persoer i både 005 og 007. Test på sigifikasiveau α0.05 om der er e forskel i adele af folk, der er trygge ved at flyve. Bestem p-værdie. Hvad syes I om overskrifte?

21 Til efteråret: Økoometri Økoometri: Statistik avedt på økoomiske problemstilliger Idhold: Lieær regressio - Middelværdie er forklaret ved e eller flere kotiuerte forklarede variable Form: 7 forelæsiger efterfulgt af projekt.