Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Transkript

1 Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste matematikfaglige opgaver i Epsilo og ogle udersøgelser. Svarmulighedere til de fagdidaktiske opgaver er så brede, at vi har udladt at foreslå besvarelser hertil. Hvis du magler oget i besvarelsere eller opdager fejl, foreslår vi, at du koordierer dette med dit matematikhold og lader jeres lærer sede iformatioere til e af forfattere.. Børs talbegreber og regeoperatioer omkrig de første skoleår Ige forslag til besvarelser.. Matematiske teorier for aturlige tal Opgave = 8 + e(). Hvis vi beytter regel i defiitioe, får vi = 8 + e() = e(8 + ). Så magler vi at bestemme 8 +. Som ovefor ka vi omskrive 8 + = 8 + e() = e(8 + ), og problemet er u at fide 8 +, me 8 + = e(8) = 9, og vi får derfor 8 + = e(8 + ) = e(9) = 0. Og derefter = e(8 + ) = e(0) =.

2 Opgave 5 I. Vi viser først, at kommutativitete er opfyldt for additio af, altså at der for alle aturlige tal a gælder: a + = + a Dette vises pr. iduktio, altså fra e ede af (formelt uder avedelse af aksiom 5). ) Det gælder for a =, thi + = +, da der står det samme på hver side ) Lad os u atage, at det gælder for e givet tal a, altså at a + = + a. Dette kalder vi vores iduktiosatagelse. Vi vil så vise, at det også gælder for efterfølgere e(a) til a. Vi vil altså vise, at e(a) + = + e(a). (Obs. Vi beviser det for afveksliges skyld på e lidt ade måde ed i hitet i tekste). e(a) + = pr. defiitio. af + e(e(a)) = ige pr. defiitio. af + e(a + ) På de ade side har vi: + e(a) = pr. defiitio. e( + a) = pr. iduktiosatagelse e(a + ) Vi har u vist det øskede, emlig kort skrevet, at e(a) + = + e(a), da begge er lig med e(a + ). Alt i alt har vi vist, at a + = + a, gælder for tallet, og at dee kommutative egeskab edarves fra et givet a til efterfølgere e(a). Det følger herefter af Peaos aksiom 5, iduktiosaksiomet, at egeskabe gælder for alle a. Det gælder derfor, at additio af til a er kommutativ: a + = + a.

3 3 II. Vi lader u a være et vilkårligt, me fastholdt aturligt tal, og lader b være det variable tal, og vil ved et tilsvarede iduktiosbevis efter b bevise, at der altid gælder, at a + b = b + a. ) Vi har etop vist, at dee egeskab gælder for b =. ) Vi atager u, at det for et eller adet b gælder, at a + b = b + a (iduktiosatagelse). Og vi skal bevise, at e(b) også har egeskabe, altså a + e(b) = e(b) + a. a + e(b) = ifølge defiitio. e(a + b) og e(b) + a = ifølge defiitio. (b + ) + a = da + er associativ jf. sætig b + ( + a) = da vi lige har vist, at + er kommutativ ved additio af b + (a + ) = ifølge defiitio. b + e(a) = ifølge defiitio. e(b + a) = ifølge iduktiosatagelse e(a + b) Da højre og vestre side giver det samme, har vi u bevist, at a + e(b) = e(b)+ a. Hermed har vi vist, at a + b = b + a er sadt for b =, og at dee kommutative egeskab edarves fra et b til efterfølgere e(b). Ifølge iduktiosaksiomet (Peaos femte aksiom) gælder det derfor for alle aturlige tal b, at a + b = b + a. Og a var fra starte af et vilkårligt aturligt tal, så det gælder altså geerelt for ethvert valg af såvel a som b.

4 4 Opgave 8 Ma ka bede de studerede om at sætte sig ed og lade være med at sidde flere på hver stol. Hermed etableres e ijektiv afbildig fra mægde af studerede til mægde af stole. Hvis der så viser sig at være ubesatte stole, så er afbildige klart ikke surjektiv, og ifølge vores defiitio på færre ed (defiitio 5) er der færre studerede ed stole. Hvis vi skal afgøre det, før de studerede komme id i lokalet og stadig vil være tro mod vores defiitio 5, så kue vi lave følgede afbildig fra mægde af stole til mægde af studerede. Vi ummererer stolee fortløbede fra og opad. Ligeledes med de studerede. Fuktioe kytter så stole med ummer til de studerede med ummer, stole med ummer til de studerede med ummer osv. Vi ka hurtigt afgøre, hvilke vej dee afbildig ikke vil være surjektiv. Det er altså blot e dybere måde at avede tællemetode på. De mægde, der optælles til det største tal i tælleremse, har også flest elemeter. Lad f være afbildige, der til ethvert primtal p i [300,400] kytter tallet p. Da dette tal er lige er det sammesat. Dee klart ijektive afbildig rammer dog ikke alle sammesatte tal, idet 400 ikke rammes. Når der således fides e ijektiv, me ikke surjektiv afbildig fra mægde af primtal til mægde af sammesatte tal, så er der pr. defiitio 5 tale om, at der er færre primtal ed der er sammesatte tal. (Primtallee mellem 300 og 400 er: 307, 3, 33, 37, 33, 337, 347, , 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397. Der er altså 6 sådae primtal. Dermed er der 84 sammesatte tal i itervallet, altså er det rigtigt, hvad vi skriver). Taflet klarer vi emt, hvis vi ka se, at der er e dessertgaffel ved hver kuvert, og der også er et portvisglas ved hver kuvert. Hermed etableres e bijektio fra mægde af dessertgafler til mægde af kuverter og herfra til mægde af portvisglas. De sammesatte fuktio bliver e fuktio fra mægde af dessertgafler til mægde af portvisglas. (Læsere bedes bære over med, at vi således problematiserer det helt elemetære, me det er missioe med dette kapitel). Opgave 6 3 Kald resultatet af 6 3 for a. Da gælder i følge defiitioe, at a + 3 = 6. a er altså det tal, vi skal lægge 3 til for at få 6. Prøver vi efter ved at skyde på ogle tal eller ved at tælle, fider vi, at a = 3. Hvis vi går helt ed til defiitioere, ka vi berege som e() + 3 = e( + 3) = e(5) = 6. 6 : 3 Kald resultatet af 6 : 3 for a. Da gælder i følge defiitioe, at a 3 = 6. a er altså det tal, vi skal gage 3 med for at få 6. Prøver vi lidt efter, fider vi hurtigt, at a =. Hvis vi går helt ed i defiitioe er 3 = e() 3 = = = 6, og altså skal vi gage 3 med for at få 6. (a + b) b = a. For at vise dette skal vi ifølge defiitioe vise, at (a + b) = a + b, hvilket er sadt. ( a b) : b = a. For at vise dette skal vi ifølge defiitioe vise, at ( a b) = a b, hvilket er sadt.

5 5 Opgave ( a : b) : c = a : ( b c) Kalder vi ( a : b) : c for z, fortæller defiitio 8., at ( a : b) = z c. Bruges defiitio 8. edu egag fås, at a = z c b. Multiplikatio er associativ og kommutativ, så vi ka tillade os i stedet at skrive a = z ( c b) = z ( b c), hvilket pr. defiitio af divisio (8.) betyder, at a : ( b c) = z. Derfor er ( a : b) : c = a : ( b c), idet de begge er lig z. a : ( b : c) = ( a : b) c Som i boges bevis for de aaloge regel med vil vi her gage på begge sider af lighedsteget med (b : c). Vestreside bliver så a : ( b : c) ( b : c) = a. Højreside er dermed ( a : b) c ( b : c) = ( a : b) ( b : c) c = ( a : b) b = a, og da de begge er lig a, er de opridelige lighed også sad. Opgave 5,,,,, 3,,, 3, 4,... så er ummer 8 på liste. Hvorår kommer vi til 7 e brøk med sum af tæller og æver på 38? 0 Dee brøk vil efter systematikke ovefor være de 7. brøk i opskrivige af brøker med tæller + æver = 38. Vi magler blot at fide ud af, hvor mage brøker vi har skrevet, ide dem med tæller + æver = 38 dukker op. Der er brøk med tæller + æver = Der er brøker med tæller + æver = 3 Der er 3 brøker med tæller + æver = 4... Der er 36 brøker med tæller + æver = 37. Derfor har vi skrevet = brøker, ide vi går i gag med dem, hvor tæller + æver = er derfor ummer = på liste, hvis det ikke var, fordi vi vil udgå at tælle 0 brøker, der agiver samme ratioale tal med to gage. Så koklusioe er, at vi år frem til brøke 7 seest, år vi har talt brøker op. 0

6 6 3. Positiossystemer og regealgoritmer Opgave a = = Opgave Opgave

7 7 Opgave Som ma ka se i to-tabelle i base V er lige tal repræseteret både med ulige og lige slutciffer. Det er derfor ikke emt at afgøre om går op i et tal opskrevet i base V. 5 X = 0 V, og det er derfor emt at afgøre, om det går op i et tal skrevet i base V. det sker etop, år tallet slutter på Elevers opfattelse af og regig med flercifrede tal Til dette kapitel er der ikke forslag til opgave besvarelser.

8 8 5. Talteori Opgave 3 Det ser ud som om x π(x) stiger med ca.,3 hver gag. Derfor er det bedste bud, at 0 3 = 8,9 så π(0 3 ) π(0 3 ) 0 3 : 8, På hjemmeside ka ma fide det præcise atal Opgave 7 Hvis x er de alder Diophat opåede, ka oplysigere oversættes til Bardom 6 x Ugdom x Vokse og ugift 7 x Gift og barløs 5 Idtil søe dør x Herefter lever ha i yderligere 4 år. x = 6 x + x + 7 x + x x = 5 8 x x = 9 x = 84 Opgave 0 ) Der er 3 4 = divisorer. ) De 8 divisorer er p 0 q 0 r 0, p q 0 r 0, p 0 q r 0, p 0 q 0 r, p q r 0, p q 0 r, p 0 q r og p q r. 3) Divisorer i p er, p, p,..., p, p dvs. i alt + divisorer. 4) Overlades til læsere. x y z 5) Fra pukt 4 ved vi, at p q... r har ( x + )( y + )... ( z + ) divisorer år p, q,..., r er primtal. ( x + )( y + )... ( z + ) ka ku give hvis alle faktorer på ær é er og de sidste er. Derfor må det eftersøgte tal være et primtal opløftet i 0 potes. 0 = 5 og der er således ikke plads til større primtal opløftet i 0 potes. Det eftersøgte tal er derfor 5.

9 9 6. Talmøstre og figurrækker Opgave 4 Summe af de første aturlige tal S( ). Da S( + ) = ( ) + + ( + ) = S( ) + + har vi e rekursiv formel for talfølge S( + ) = S( ) + +. Opgave postulerer, at vi ka fide S( ) = ( + ), og vi skal bevise dette pr. iduktio. I. Første skridt er at vise, at formle er korrekt, år =. S () = ( + ) =, hvilket er summe af det første aturlige tal. II. Vi atager u, at formle gælder for tallet, altså at vi ka berege summe af de første aturlige tal som S( ) = ( + ), og så skal vi bevise, at formle også gælder for ummer +. Hvis vi sætter + id i formle, får vi S( + ) = ( + )( + + ) = 3 ( = + )( + ) Vi skal altså ud fra S( ) = ( + ) prøve at bevise S( + ) + +. Det eeste, vi ved med sikkerhed, er, at vi ka berege S( + ) ud fra sammehæge S( + ) = S( ) + +. Da vi har ataget, at S = + ka vi berege S( + ) til S( + ) = S( ) + + = ( + ) + + = + + = + Så det lykkedes os at bevise 3 = ( ) ( ), S( + ) = + +. Det sidste udtryk er det samme som formle gav, og der er derfor overesstemmelse mellem det formle fortæller og de rekursive sammehæg, og iduktiosbeviset er fuldført, idet vi u ka avede iduktiosaksiomet, Peaos 5. aksiom.

10 0 Vi giver edu et iduktiosbevis for e af formlere fra opgave 3 Vi fadt for dobbelttrappe, at D( ) = D( ) + 4 +, eller samme formel udtrykt for ummer + : D( + ) = D( ) + 4( + ) +. Vi har også agivet, at vi tror, at vi ka berege D( ) ud fra formle D( ) = + 3, me dette er edu ikke bevist. Vi vil u ved hjælp af et iduktiosbevis påvise, at der faktisk gælder aturlige tal. D( ) = + 3 for alle I. For at beytte iduktiosbeviset, skal vi sikre os, at formle passer for =. D () = + 3 = 4, hvilket er det korrekte atal tædstikker. II. Vi atager derfor, at formle er korrekt for ummer, altså at vi ka berege atal tædstikker i de te figur ved D( ) = + 3. Vi skal u bevise, at formle også er korrekt for figur ummer +. Vi vil først lige fide ud af, hvorda de formel egetlig ser ud for D( + ). Sætter vi + id i formle, får vi D( + ) = ( + ) + 3( + ) = ( ) 3( ) = Vi skal u bevise at D( ) = + 3 medfører, at D ( + ) = Det eeste vi med sikkerhed ved er, at D( + ) = D( ) + 4( + ) +. Vi ka berege D( + ), idet vi på højre side idsætter D( + ) = D( ) + 4( + ) + = 3 4( ) = D( ) = + 3. Vi får så altså præcis det øskede, det samme som formle giver, år vi idsætter +. Vi ka u ud fra iduktiosaksiomet slutte, at formle tal. D( ) = + 3 gælder for alle aturlige Opgave 5 I opgave er de rekursive sammehæg, at L() = L( ) +, og vi ka sige, at L(0) = 0. For at berege L(5) ka vi derfor berege j. 5 j=

11 Opgave 7 Fra opgave har vi. Trekattal: T ( ) = T ( ) + og T(0) = 0, vi ka derfor berege Firkattal: F( ) F( ) T ( ) = j. j= = + og F(0) = 0, vi ka derfor berege F( ) = ( j ) Sekskattal: S( ) S( ) 4 3. = + og S(0) = 0, vi ka derfor berege S( ) = ( 4 j 3) k-kattal: K( ) = K( ) + ( k ) ( k 3) og K(0) = 0, vi ka derfor berege j= ( ) K( ) = ( k ) j ( k 3) Fra opgave 3 har vi j=. Trekatere : T ( ) = T ( ) + 3. T(0) = 0 passer id i systemet, vi ka derfor berege T ( ) = 3 j. j= Firkatere : F( ) = F( ) + +. F(0) = 0 passer ikke id i systemet, vi er derfor ødt til at stoppe optrævlige et skridt tidligere og berege. F( ) = F() + ( j ) = 4 + ( j ) j= j= Dobbelttrappe : D( ) = D( ) D(0) = 0 passer ikke id i systemet, vi er derfor ødt til at stoppe optrævlige et skridt tidligere og berege. D( ) = D() + (4 j + ) = 4 + (4 j + ) j= j= Sekskatere : T ( ) = T ( ) + 4. T(0) = 0 passer ikke id i systemet, vi er derfor ødt til at stoppe optrævlige et skridt tidligere og berege T ( ) = T () + 4 = + 4. j= j= j=

12 Opgave 0 Hvis atallet af måder ma ka lave e sti med domiobrikker kaldes D() har vi D() = D() = D() = D(3) = 3 = D() + D() D(4) = 5 = D() + D(3)

13 3 D(5) = 8 = D(3) + D(4) D(6) = D(4) + D(5) Der gælder altså geerelt D() = D( ) + D( ), hvilket er samme rekursive sammehæg som for Fiboacci-tallee. Der fides også e formel for D(), me de er (lige som for Fiboacci-tallee) ikke helt em at fide: D( ) = 5 + +

14 4 9. Variable Opgave 3 A = B + 3 B B + = ( C + ) eller C = Regearket ka se således ud, hvor B's alder er fri. Og vi fider løsige Vi ka også skrive det ret algebraisk op og klare det ved ligigsløsig B = ( C + ) = C + A = B + 3 = C = C + 5 Idsættes dette i A + B + C = 8 får ma: C + (C + ) + (C + 5) = 5C + 7 = 5C = 5 C = 3 hvilket hurtigt løser problemet.

15 5 Opgave 5 ) Lad os sige, at det tager dem tide x. Da det samme arbejde skal udføres er: 4x = 7(6 dage 4 timer) = 4 dage + 8 timer og x altså lig med 0½ dag + 7 timer, hvilket med e 8 timers arbejdsdag giver dage og 3 timer. ) De ee maskie arbejder med e hastighed af oplag pr. 4 dage ( v = ) og de ade maskie 4 arbejder med e hastighed af oplag pr. 8 dage, ( v = ). Hvis de arbejder i d dage er produktioe givet ved d +. Maskiere skal til samme producere et oplag, så der skal gælde: d + = d = d = 7,875 8 Hvis e arbejdsdag er 8 timer skal maskiere arbejde i 7 dage og 3 timer. 3) Hvis vi kalder det atal læs, A kørte de tre første dage, for a, og det atal læs B hhv. C har kørt for b hhv. c, har vi: b = a + 6 c = a + 3 Det samlede atal kørsler er da: a + a a + 3 = 4 3a + 9 = 4 a = 74 De tre har kørt hhv. 74, 80 og 87 læs. 4) B og C har e timelø på t kr. A har så e timelø på,5 t. De skal derfor dele beløbet så A får e adel på,5 t 8 og B og C hver får e adel på t 7,5. Værdie af t er ude betydig, så hvis vi kalder B s adel for b skal A have,5 8 7,5 b Da også C får b udbetalt bliver de samlede udbetalte lø:,5 8 7,5 b + b + b = 564, 5 3, b = 564,5 b = 76 c = 76 a =

16 6 5) 45, , + x 4, 4 = 450 4, 4 x = 3 x = 30 6) Salgsprise skal være 4,50 ikl % fortjeeste. Prise før fortjeeste skal derfor være 3,375 kr./kg. Bladige består af 44 kr. til 3,60 kr./kg og x kg til 3 kr./kg. Der skal derfor gælde 44 3, 60 + x 3 = (44 + x) 3,375 58, 4 + 3x = , 375x 3, 4 = 0,375x x = 86, 4 Ha skal bruge 86,4 kg af kaffe til 3 kr./kg. (Hvis du ikke kue lide de tilbagegåede procetregig i starte af opgave kue de være udgået ved at idrege fortjeeste i selve ligige. Prøv det.)

17 7 Opgave 7 Pyramidestubbes rumfag er 3 h ( G g G g ) er G og g es. Formle bliver da ( ) ( ) + +. Hvis der i virkelighede er tale om et prisme h G + G + G G = h G + G + G = h G, 3 3 hvilket etop er formle for prismets rumfag. Udersøgelse 3 Hvis s er sækige i prise målt i kr., ka ma beskrive atallet af passagerer som s. Billetprise er 8 s s 8 s. Der fides ige. De samlede idtjeig er derfor ( )( ) mage måder at bestemme maksimum for dee fuktio på. De optimale løsig ligger ved e s- værdi på 9 eller ca.,75 kroer. Realistisk set må ma ok rude prise ed med et helt atal kroer fx kroer. 0. Geometri i de første skoleår Der er ige besvarelsesforslag til dette kapitel.

18 8. Flytiger, eksperimetelt og teoretisk Opgave A s m (T) s k (T) C B m k s (T) A C B m k s m (s (T)) s (s k (T)) s (s m (T)) A s m (s k (T)) C B m k

19 9 A s k (s m (T)) C B m k s s s s er e drejig på 80 grader om de to lijers skærigspukt k s er e parallelforskydig. m k m sk er e parallelforskydig med samme lægde me modsat retig af sm s. k Opgave 6 Der er ikke tale om e spejlig her og heller ikke e parallelforskydig. Me der ka heller ikke være tale om e drejig, da omløbsretige i trekate er aderledes i billedtrekate ed i de opridelige. Der er altså tale om e y slags flytig. Flytige er e såkaldt glidespejlig. A parallelforskydes først mod højre, hvorefter de spejles over i B. Opgave 0 ) Ifølge sætig gælder der, at e refleksio er e isometri. Ifølge sætig gælder der: Hvis f og g er to isometrier, så er de sammesatte f g også e isometri. Derfor er såvel sm sl som s sm sl isometrier. ) Da trekate A C B på figur i kapitel er lig de opridelige trekat, vil både A og B ligge lige lagt fra C og C. A og B ligger altså på midtormale til C og C og flyttes derfor ikke ved spejlig i lije.

20 0 Opgave De tre lijer går geem samme pukt: f = s s j sk bliver til e ormal spejlig. Betragt f = s ( s j sk ). Her er s j sk e drejig om lijeres skærigspukt, og de ka derfor erstattes af spejlig i to adre lijer, bare de har samme vikel mellem sig og samme skærigspukt. Vi ka derfor vælge e lije q så s j sk = s sq j k j q På dee måde bliver flytige til f = s ( s s ) = s ( s s ) = ( s s ) s = s, altså blot e spejlig i é lije, som hævdet. j k q q q

21 Opgave 4 ) Det er i begge tilfælde e parallelforskydig, der fører A over i C. Altså g f og f parallelforskydige lags diagoale fra A til C. Lad f være drejige s j s, g drejige s sk og d drejige s k s. Karakteriser flytigere f g og f d g er begge = j k = j k f g s s s s s s e drejig på 80 grader om B. f d = s s s s er e parallelforskydig mod vestre med det dobbelte af AD. j k Dette ka idses ved at fide, hvorda et par pukter flyttes eller ved at rege mere algebraisk på de idgåede spejliger, fx ka s s erstattes med s s, hvorefter vi ka berege: f d s s s s = j k til s j l k l s, der ses at være de påståede parallelforskydig.

22 . Symmetrier og møstre i verde og i geometrie Opgave 3 ) D D 6 D C D D Idet vi observerer, at stjere i sig selv har større symmetri emlig D 5. Det taoistiske symbol har e drejig på 80 grader, så selv om farvere ikke kommer på plads, ka ma med god ret sige, at symmetrigruppe er C. ) Læsere skal selv eksperimetere her, så vi har lavet to fejl i de følgede figurer. C 4 C D D 3

23 3 Se evetuelt Her ka du bare trykke på de øskede symmetrigruppe og få god tekisk støtte til at lave ege rosetter. D Opgave Se evetuelt her (alle adresser er lokaliseret d. 6/6 008)

24 4 Opgave 0 ) Såda 6 prismer laver et tæt budt, år de lægges samme på de lage led. Budtere bliver til prismer over e regulær sekskat. Såda tre budter ka lægges tæt samme, og flere ka føjes til, så rummet udfyldes. ) Prøver ma efter, vil ma fide, at det for de skæve prismers vedkommede er bedst, hvis det vikelrette tværsit er e ligesidet trekat. 3) Ja, hvis der på gulvet er e tæt fliselægig med fliser, der er cm høje, så ka ma jo bare lægge gulvet 0 gage og dermed få et 0 cm højt udsit af rummet fyldt med prismer, og dette ka getages for de æste 0 cm, osv. Prismere beståede af 0 fliser ka fylde rummet. 4) Tre skæve pyramider ka fx dae e kasse.

25 5 3. De elemetære skolematematik, perspektiveret ved symmetrier og flytigsregig Opgave Firkater. Hvis e firkat har e drejig på 80 grader som e symmetri, betyder det, at de modståede sider bliver parallelle og lige store, da de føres over i hiade ved dee drejig. Figure er altså er parallelogram. I et skævt parallelogram er der ikke yderligere symmetrier, så symmetrigruppe idskræker sig til C. Hvis parallelogrammet har alle fire sider lige store me stadig skæve vikler bliver det e rombe. Hvis parallelogrammet ku har de modståede side lige store me rette vikler bliver det et ikke-kvadrattisk rektagel. I begge tilfælde bliver symmetrigruppe D. A B C Begge figurer ka karakteriseres ved to tal. Rektaglet ved sidelægdere og rombe ved e vikel og sidelægde (eller ved de to diagoaler). Hvis både vikler og sider bliver lige store, er det tale om et kvadrat, og symmetrigruppe øges til D 4. Kvadratet er som bekedt karakteriseret ved si sidelægde.

26 6 Vi magler at bevise, at der skal tre stykker til at karakterisere et parallelogram. Hvis vi ku har givet sidere, altså lavet et parallelogram af to gage to lister slået samme med fire søm i hjørere er det som bekedt lidt slattet og ka klappes helt samme, så der skal også e af viklere med for at karakterisere et specifikt parallelogram, i alt tre stykker. Trekater De ligesidede trekat har symmetrigruppe D 3 og ligebeede trekater (med to forskellige sidelægder) har symmetrigruppe D. Det er klart, vi ka øjes med sidelægde for at karakterisere e specifik ligesidet trekat, mes begge sidelægdere skal med i de trekat, der ku er ligebeet. E vilkårlig trekat er ifølge de første kogruessætig fastlagt ud fra sie tre sider, så ma ka øjes med tre stykker til at fastlægge ehver trekat, me det er u ikke lige meget hvilke tre stykker ma vælger. Her er et eksempel på tre stykker, der ikke slår til at karakterisere e trekat ude symmetri etydigt: b = cm a = cm <A = C b a A B B' Der er to trekater, emlig ABC og AB C, der opfylder kravee. Vi påstår i boge, at e trekat ikke ka have symmetrigruppe D. Hvorda ka vi bevise det? Jo, for symmetrigruppe D ideholder e rotatio på 80 grader. Og hvis e rotatio på 80 grader fører e trekat over i sig selv, så vil e af trekates sider herved føres over i e ade af sidere, som ødvedigvis ville blive parallel med de første. Me disse to sider vil mødes i et hjøre, hvor topvikle så ville blive på 0 grader. Der ville altså være tale om e sammeklappet trekat, og de er ikke i ormal geometri at rege for e trekat (me hvis de var, så er det sadt ok at symmetrigruppe er D ).

27 7 Opgave 5 Hvis lijere og j er parallelle, bliver s s j og s j s parallelforskydiger vikelret på lijere, me i hver si retig. Dog er der e udtagelse, hvis lijere ligger ove i hiade, idet sammesætige så er de idetiske flytig. De to flytiger ka derfor ku være es hvis og j er sammefaldede. Hvis lijere ikke er parallelle, er s s j og s j s drejiger om lijeres skærigspukt med hhv. + og det dobbelte af vikle mellem lijere. Hvis drejigere er på 80 grader, er s s j og s j s idetiske og ellers ikke. Koklusioe er, at s s j og s j s er es, år lijere er sammefaldede, eller år lijere er vikelrette.

28 8 Opgave 7 a b = a + b, da er 3 = 3 + = 8 og (3 ) 5 = 8 5 = = Associativitet: ( a b)* c = ( a b) + c = ( a + b) + c = 4a + b + c a ( b c) = a + ( b c) = a + b + c kompositioe er derfor ikke associativ. Kommutativitet: Da 3 = 3 + = 8 og 3 = + 3 = 7 er kompositioe heller ikke kommutativ. a # b = a + b + Kommutativitet: b # a = b + a + = a + b + = a # b, da alm. + er kommutativ. Associativitet: ( a # b) # c = ( a # b) + c + = a + b + + c + = a + b + c + a #( b # c) = a + ( b # c) + = a + b + c + + = a + b + c + Da de to udregiger giver det samme, er kompositioe associativ. Neutralt elemet: a #( ) = a + ( ) + = a ( ) # a = + a + = a - er derfor eutralt. Iverst elemet: Hvis b er iverst til a, skal der gælde: a # b = a + b + = b = a Det iverse til a er derfor -a -, som vi også ka se af de følgede udregig: a #( a ) = a + ( a ) + = ( a ) # a = a + + =

29 9 Opgave Gruppe er kommutativ, da der er symmetri lags diagoale. D 3 er ikke kommutativ, så der ka ikke være tale om de samme gruppe. Derimod er det strukturelt set de samme gruppe som ( C6, ), hvilket ka ses, hvis ma lader svare til e drejig på 60 grader, til e drejig på 0 grader, 3 til 80 grader osv. 4. Eksperimetelle udersøgelser af former i rummet Her er ige forslag til besvarelser, da opgavere i de grad er e opfordrig til selv at udersøge.

30 30 5. Geometri i yere tid Opgave E mulighed er A D C B Opgave 4 Hvis A og B er de eeste kudepukter, der har ulige vales, ka vi tilføje e kat til grafe, som forbider A med B. Derved får alle kudepukter lige vales, og vi ka lave e rudtur i grafe, der starter og slutter i A, og som går ad alle kater. Ved at skifte rudt på de rækkefølge vi går ad katere, ka vi sikre os, at de sidste kat i rudture er de ekstra kat mellem A og B. Ture rudt i grafe ude dee kat vil derfor være e tur rudt ad alle kater fra A til B. Opgave 7 Ved at til tilføje e y kat, der starter i et eksisterede pukt og eder i et yt pukt, øges både P og K med é. Me da de idgår med modsat forteg i formle for Eulertallet, vil ædrigere ophæve hiade. Tilføjes e kat der forbider to pukter kommer de ødvedigvis til at dele et område (e flade) op i to, så i dee situatio forøges F og P begge med, hvilket udliges i Eulertallet, der forbliver på.

31 3 6. Databehadlig Opgave 3 Det ka være praktisk at have data tilgægelige i e elektroisk udgave for emmere at kue eksperimetere med dem. Dag Dag Dag I magel af e bedre idé prøver vi at lave et søjlediagram over tallee de første dag: Her falder det i øjee, at der er et gaske regulært skift mellem korte og lage søjler, som om e lag vetetid efterfølges af e kortere. Måske skulle vi så prøve at opdele materialet i de kortere og de lage hver for sig, altså vælge hver ade. Vi fortsætter med at gøre det for de første dag, så vi ka bruge de to æste dage til at afprøve de idsigt, vi tror at have vudet ud fra e aalyse af førstedages materiale. Hver ade / korte: Hver ade /lage: Vi ka karakterisere hver talserie ved hjælp af fx miimum, kvartilsæt og maksimum for at se, om det afslører oget iteressat (i et regeark ka det klares i e hådevedig med fuktioe kvartil): deskriptor miimum edre kvartil media øvre kvartil maksimum hjælpetal korte lage Vi observerer, at de lage og de korte vetetider er klart adskilte. Og vi kue ok forvete at de korte også i fremtide ville ligge i 50 ere, mes de lage ville ligge i 80 ere, måske med ekelte afvigelser. Fortsæt selv beskrivelse og udersøgelse.

32 3 Opgave 6 ) Det ka godt være at svømmeveste er e god sikkerhed mod drukig, me argumetet holder ikke, hvilket afsløres, hvis ma skriver oget adet i stedet for svømmeveste, fx havde hat på : I det forløbe år drukede 35 persoer ved bådulykker. Ku fem af dem havde hat på; ige af de adre bar hat. Bærer de selv hat, år de er ude at sejle? Me det mest kritiske spørgmål er: Hvor mage folk til søs bærer egetlig svømmevest? Hvis ku 3% bærer svømmevest og e stikprøve på 35 falder i vadet og druker, så ville vi selv ved virkigsløse svømmeveste ku forvete, at e ekelt af disse havde svømmevest på. Når der u var 5 af de 35, der havde svømmevest på, så syes det at tyde på, at svømmevestee får folk til lettere at falde over bord og druke. De er altså direkte farlige. Overvej, hvor stor e procetdel af befolkige der ormal skal bære svømmeveste til søs, før argumetet i aoce ka siges at holde? ) De sigede død i mieralvad På grafe ka ma se, at hvis alle folk i e mellemstor by på hver dag drikker 0 liter mieralvad fra Perrier, så vil atallet af kræftilfælde ide for de æste 40 år stige med i bye. Hertil kommer forureige fra de lastbiler der hver dag skal brige de ødvedige ½ millioer flasker id til bye. Regerige overvejer at edsætte det størst tilladelige idtag til 5 liter pr. dag, hvilket ca. vil halvere risikoe og i al fald lette på trafikke.

33 33 7. Sadsyligheder i skoles ygste klasser Opgave 3 E teoretisk fortolkig er, at der er gevist, hvis møtes cetrum befider sig ide for et midre kvadrat. s Hvis det store kvadrat har sidelægde s har det midre kvadrat sidelægde s d, hvor d er møtes diameter. Det teoretiske bud på sadsylighede er forholdet mellem de to arealer, altså ( s d) s E to-kroe har e diameter på,45 cm. Hvis vi skal fide de teoretiske gitterstørrelse, der giver sadsylighed på 50% skal vi løse ligige: ( s, 45) s = 0,5.

34 34 Opgave 6 Med tilbagelægig er chacetræet og det reducerede chacetræ, hvor. kugle er rød er De samlede sadsylighed i det uivers, hvor. kugle er rød er 5 5 ( ) ( ) = røde fides ku ét sted med sadsylighed på = Sadsylighede for at få 3 røde, år de. kugle er rød, er 5 5 =

35 35 Opgave 9 Summe af to teriger giver forskellige udfald. Ved hjælp af chacetræ eller adre repræsetatioer ka ma fide sadsylighedere Som spiller har me derfor = 3 chace for at vide i hvert spil. Ved hjælp af et chacetræ ka ma bestemme sadsylighede for 0,, eller 3 gevister i 3 spil. 0 0,963 0,4444 0, 3 0,0370