Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
|
|
|
- Svend Lauritsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Januar 2004, opgave måske Calculus Uge
2 Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Definition En 1. ordens differentialligning 1 kaldes separabel. dy dx = g(x)f(y) Calculus Uge
3 Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Definition En 1. ordens differentialligning 1 kaldes separabel. Løsning Integration 2 dy dx = g(x)f(y) dy f(y) = g(x)dx Fastlægger løsninger optil en konstant. Calculus Uge
4 Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Eksempel 1 er separabel. dy dx = 6x 2 2y + cos(y) Calculus Uge
5 Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Eksempel 1 er separabel. Løsning dy dx = 6x 2 2y + cos(y) (2y + cos(y))dy = 6x 2 dx Calculus Uge
6 Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Eksempel 1 er separabel. Løsning dy dx = 6x 2 2y + cos(y) (2y + cos(y))dy = 6x 2 dx Giver løsning bestemt ved ligningen 3 y 2 + sin(y) = 2x 3 + C Calculus Uge
7 Logistisk ligning [S] 7.5 The logistic equation Eksempel 1. ordens differentialligningen 1 dp dt = kp(1 P K ) kaldes den logistiske ligning. Calculus Uge
8 Logistisk ligning [S] 7.5 The logistic equation Eksempel 1. ordens differentialligningen 1 dp dt = kp(1 P K ) kaldes den logistiske ligning. Løsning Ligningen er separabel 2 dp P(1 P/K) = kdt Calculus Uge
9 Logistisk ligning [S] 7.5 The logistic equation Eksempel - fortsat dp 2 P(1 P/K) = integreres til løsninger kdt 4 P(t) = hvor K 1 + Ae kt A = K P(0) P(0) Calculus Uge
10 Vækst [S] 7.4 Exponential growth and decay 1 dy dt = ky Vækstligningen er separabel med løsninger dy y = kdt ln y = kt + C y = Ae kt Calculus Uge
11 Vækst [S] 7.4 Exponential growth and decay 1 dy dt = ky Vækstligningen er separabel med løsninger dy y = kdt A fastlægges ved ln y = kt + C y = Ae kt y(0) = Ae 0 = A Calculus Uge
12 1. ordens ligning [S] 7.4 Exponential growth and decay 2 Sætning Løsningen til begyndelsesværdiproblemet er givet ved dy dt = ky y(0) = y 0 y(t) = y 0 e kt Calculus Uge
13 1. ordens lineær ligning [DL] 1. Lineær ligning Definition 1.1 Den lineœre 1. ordens differentialligning er dy dx = a(x)y + b(x) En partikulær løsning er en differentiabel funktion y(x) som opfylder y (x) = a(x)y(x) + b(x) Den fuldstœndige løsning er en angivelse af alle løsninger. Ligningen dy = a(x)y kaldes homogen og er den homogene dx part af den inhomogene, b 0, ligning ovenfor. Calculus Uge
14 Superposition [DL] 1. Lineær ligning Sætning 1.2 Hvis z 1 (x),z 2 (x) er løsninger til den homogene lineœre differentialligning dy dx = a(x)y så er enhver linearkombination også en løsning. z(x) = C 1 z 1 (x) + C 2 z 2 (x) Calculus Uge
15 Superposition [DL] 1. Lineær ligning Sætning fortsat Hvis z 0 (x) er en løsning til den inhomogene lineœre differentialligning dy dx = a(x)y + b(x) så er enhver løsning af formen y(x) = z(x) + z 0 (x) hvor z(x) er en løsning til den homogene part af systemet. Calculus Uge
16 1. ordens lineær ligning [DL] 1. Lineær ligning Sætning 1.3 Den lineœre ligning med konstante koefficienter dy dx = ay + b har fuldstœndig løsning givet ved a = 0: a 0: y(x) = C + bx hvor C er arbitrœr. y(x) = Ce ax b a Calculus Uge
17 1. ordens lineær ligning [DL] 1. Lineær ligning Sætning 1.4 Den homogene lineœre ligning har fuldstœndig løsning dy dx = a(x)y y(x) = Ce A(x) hvor C er arbitrœr og A(x) = a(x) dx Calculus Uge
18 1. ordens lineær ligning [DL] 1. Lineær ligning Sætning Bevis dy dx = a(x)y er separabel med løsninger dy y = a(x)dx ln y = A(x) + K y(x) = Ce A(x) Calculus Uge
19 1. ordens lineær ligning [DL] 1. Lineær ligning Sætning 1.5 Den generelle lineœre ligning dy dx har fuldstœndig løsning = a(x)y + b(x) y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) hvor C er arbitrœr og A(x) = a(x) dx, B(x) = e A(x) b(x)dx Calculus Uge
20 1. ordens lineær ligning [DL] 1. Lineær ligning Sætning 1.3, Bevis z(x) = e A(x) y(x) opfylder ligningen som integreres til dz dx = e A(x) b(x) z(x) = B(x) + C og forlænges til y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) Calculus Uge
21 1. ordens lineær ligning [DL] 1. Lineær ligning Metode 1.6 dy = a(x)y + b(x) dx 1. Bestem en stamfunktion A(x) = a(x) dx 2. Bestem en stamfunktion 3. Skriv løsningen B(x) = e A(x) b(x)dx y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) Calculus Uge
22 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1.7 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y + 2y = xe 2x + 3 Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) = 2. Calculus Uge
23 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 1.7 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y + 2y = xe 2x + 3 Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) = 2. Løsning a(x) = 2,b(x) = xe 2x + 3 Calculus Uge
24 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave fortsat A(x) = a(x)dx = 2dx = 2x B(x) = e A(x) b(x)dx = e 2x (xe 2x + 3)dx Som giver = 1 2 x e2x Calculus Uge
25 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave fortsat fuldstændig løsning y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x) = Ce 2x + ( 1 2 x e2x )e 2x = Ce 2x x2 e 2x Calculus Uge
26 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave fortsat I den partikulære løsning bestemmes C ved y(0) = 2. y(0) = Ce = 2 Calculus Uge
27 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave fortsat I den partikulære løsning bestemmes C ved y(0) = 2. I alt er løsningen y(0) = Ce = 2 y(x) = 1 2 e 2x x2 e 2x = 1 2 (1 + x2 )e 2x Calculus Uge
28 Rovdyr-byttedyr [S] 7.6 Predator-prey systems Lotka-Volterra ligningerne dr 1 dt dw dt = kr arw = rw + brw er et system af koplede differentialligninger, der beskriver en udviklingen i en bestand af rovdyr W(t) (ulve) og byttedyr R(t) (harer) med tiden t. Calculus Uge
29 Rovdyr-byttedyr [S] 7.6 Predator-prey systems Lotka-Volterra ligningerne dr 1 dt dw dt = kr arw = rw + brw er et system af koplede differentialligninger, der beskriver en udviklingen i en bestand af rovdyr W(t) (ulve) og byttedyr R(t) (harer) med tiden t. Det er ikke muligt at løse disse analytisk (ved udtryk i elementære funktioner af t). Calculus Uge
30 Lineært system [DL] 2. Lineært system Definition 2.1 Ved et lineœrt differentialligningssystem med konstante koefficienter forstås dy 1 dx = a 11 y a 1n y n + b 1 dy 2 dx = a 21 y a 2n y n + b 2. dy n dx = a n1 y a nn y n + b n Calculus Uge
31 Lineært system [DL] 2. Lineært system Definition 2.1 Ved et lineœrt differentialligningssystem med konstante koefficienter forstås dy 1 dx = a 11 y a 1n y n + b 1 dy 2 dx = a 21 y a 2n y n + b 2. dy n dx = a n1 y a nn y n + b n En løsning er differentiable funktioner x y 1 (x),...,x y n (x) som indsat opfylder lignningerne. Calculus Uge
32 Lineært system [DL] 2. Lineært system Definition matrixform For n n matricen A = (a ij ), koefficientmatricen, og n søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) skrives det lineære differentialligningssystem dy dx = Ay + b Calculus Uge
33 Lineært system [DL] 2. Lineært system Definition matrixform For n n matricen A = (a ij ), koefficientmatricen, og n søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) skrives det lineære differentialligningssystem En løsning Skrives dy dx = Ay + b x y(x) = y 1 (x). y n (x) Calculus Uge
34 Lineært system [DL] 2. Lineært system Notation 2.2 Givet n n matricen A = (a ij ) og n søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) kaldes systemet dy dx = Ay homogent og er den homogene part af det inhomogene, b 0, system dy dx = Ay + b Calculus Uge
35 Superposition [DL] 2. Lineært system Sætning 2.3 Betragt n n matricen A = (a ij ) og n søjlen y(x) = (y i (x)). Hvis z 1 (x),z 2 (x) er løsninger til det homogene lineœre differentialligningssystem dy dx = Ay så er enhver linearkombination også en løsning. z(x) = C 1 z 1 (x) + C 2 z 2 (x) Calculus Uge
36 Superposition [DL] 2. Lineært system Sætning fortsat Betragt yderligere n søjlen b. Hvis z 0 (x) er en løsninger til det inhomogene lineœre differentialligningssystem dy dx = Ay + b så er enhver løsning af formen y(x) = z(x) + z 0 (x) hvor z(x) er en løsning til den homogene part af systemet. Calculus Uge
37 Lineært system [DL] 2. Lineært system Sætning 2.4 Betragt n n matricen A = (a ij ) og n søjlen y(x) = (y i (x)) samt det homogene lineœre differentialligningssystem dy dx = Ay Hvis u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, så er y(x) = Ce λx u løsninger, hvor C er arbitrær. Calculus Uge
38 Lineært system [DL] 2. Lineært system Sætning 2.5 Betragt n n matricen A = (a ij ) og n søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) samt det lineœre differentialligningssystem dy dx = Ay + b En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = b. Hvis yderligere u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, så er løsninger, hvor C er arbitrær. y(x) = e λx u + v Calculus Uge
39 Lineært system [DL] 2. Lineært system Sætning 2.6 Betragt n n matricen A = (a ij ) og n søjlen y(x) = (y i (x)) samt det homogene lineœre differentialligningssystem dy dx = Ay Hvis matricen U med søjler u 1,...,u n diagonaliserer A med egenvœrdier λ 1,...,λ n, Au j = λ j u j, så er den fuldstændige løsning givet ved y(x) = C 1 e λ 1x u C n e λ nx u n hvor C 1,...,C n er arbitrœre. Calculus Uge
40 Lineært system [DL] 2. Lineært system Sætning 2.7 Betragt n n matricen A = (a ij ) og n søjlerne b = (b i ), y(x) = (y i (x)) samt det lineœre differentialligningssystem dy dx = Ay + b En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = b. Hvis matricen U med søjler u 1,...,u n diagonaliserer A med egenvœrdier λ 1,...,λ n, Au j = λ j u j, så er den fuldstændige løsning givet ved y(x) = C 1 e λ 1x u C n e λ nx u n + v hvor C 1,...,C n er arbitrœre. Calculus Uge
41 Opgave [DL] 2. Lineært system Opgave opgave måske Calculus 2... Betragt differentialligningssystemet y 1 = y 1 + y 2 y 2 = 8y 1 y 2 Det oplyses, at vektoren u = (1, 2) er en egenvektor for matricen ( ) 1 1 A = 8 1 Angiv den løsning y(x) = (y 1 (x),y 2 (x)) der opfylder y(0) = u, altså (y 1 (0),y 2 (0)) = (1, 2). Calculus Uge
42 Opgave [DL] 2. Lineært system Opgave opgave måske Egenværdien λ = 3 fås af udregningen ( )( ) ( ) Au = = = 3u I følge [DL] Sætning 2.4 er ( ) y(x) = Ce 3x 1 2 løsninger for alle valg af C. Calculus Uge
43 Opgave [DL] 2. Lineært system Opgave opgave måske ( ) y(x) = Ce 3x 1 2 som opfylder (y 1 (0),y 2 (0)) = C(1, 2) = (1, 2) fås for C = 1. Den ønskede løsning skrevet ud y 1 (x) = e 3x y 2 (x) = 2e 3x Calculus Uge
44 Opgave [DL] 2. Lineært system Opgave 2.9 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet y 1 = y 1 + 2y 2 8 y 2 = 2y 1 + y 2 7 Calculus Uge
45 Opgave [DL] 2. Lineært system Opgave 2.9 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet y 1 = y 1 + 2y 2 8 y 2 = 2y 1 + y 2 7 Løsning Koefficientmatricen er A = ( ) Calculus Uge
46 Opgave [DL] 2. Lineært system Opgave fortsat Egenværdierne findes som rødder i det karakteristiske polynomium A λi 2 = 1 λ λ = λ 2 2λ 3 Calculus Uge
47 Opgave [DL] 2. Lineært system Opgave fortsat Egenværdierne findes som rødder i det karakteristiske polynomium A λi 2 = 1 λ λ Egenværdier = λ 2 2λ 3 λ 1 = 1, λ 2 = 3 Calculus Uge
48 Opgave [DL] 2. Lineært system Opgave fortsat Egenvektorer hørende til egenværdien 1: ( ) ( ) A + I = giver egenvektorer ( ) x 1 = x 2 ( ) ( ) x 2 1 = x 2 x 2 1 Calculus Uge
49 Opgave [DL] 2. Lineært system Opgave fortsat Egenvektorer hørende til egenværdien 3: ( ) ( ) A 3I = giver egenvektorer ( ) x 1 x 2 = ( ) ( ) x 2 1 = x 2 x 2 1 Calculus Uge
50 Opgave [DL] 2. Lineært system Opgave fortsat Den fuldstændige løsning til den homogene part y 1 = y 1 + 2y 2 y 2 = 2y 1 + y 2 er i følge [DL] Sætning 2.6 y(x) = C 1 e x 1 + C 2 e 3x Skrevet ud y 1 (x) = C 1 e x + C 2 e 3x y 2 (x) = C 1 e x + C 2 e 3x Calculus Uge
51 Opgave [DL] 2. Lineært system Opgave fortsat En konstant løsning y(x) = v = (v 1,v 2 ) skal opfylde 0 = v 1 + 2v = 2v 1 + v 2 7 Calculus Uge
52 Opgave [DL] 2. Lineært system Opgave fortsat En konstant løsning y(x) = v = (v 1,v 2 ) skal opfylde 0 = v 1 + 2v = 2v 1 + v 2 7 Løsning Dette løses v = ( ) 2 3 Calculus Uge
53 Opgave [DL] 2. Lineært system Opgave fortsat Den fuldstændige løsning til systemet y 1 = y 1 + 2y 2 8 y 2 = 2y 1 + y 2 7 er i følge [DL] Sætning 2.7 y(x) = C 1 e x 1 + C 2 e 3x Skrevet ud y 1 (x) = C 1 e x + C 2 e 3x + 2 y 2 (x) = C 1 e x + C 2 e 3x + 3 Calculus Uge
54 Ingen egenværdier [DL] 2. Lineært system Eksempel 2.10 Betragt det lineære system y 1 = y 1 y 2 y 2 = y 1 + y 2 Calculus Uge
55 Ingen egenværdier [DL] 2. Lineært system Eksempel 2.10 Betragt det lineære system y 1 = y 1 y 2 y 2 = y 1 + y 2 Koefficientmatricen A = har karakteristisk polynomium λ 2 2λ + 2 med diskriminant 4 og dermed ingen egenværdier. Calculus Uge
56 Ingen egenværdier [DL] 2. Lineært system Eksempel Løsning Ved brug af komplekse tal findes løsningen ved metoden med egenvektorer y(x) = C 1 e x cosx + C 2 e x sin x sin x cos x Calculus Uge
57 Ingen egenværdier [DL] 2. Lineært system Eksempel Løsning Ved brug af komplekse tal findes løsningen ved metoden med egenvektorer Skrevet ud y(x) = C 1 e x cosx + C 2 e x sin x sin x cos x y 1 (x) = C 1 e x cosx C 2 e x sinx y 2 (x) = C 1 e x sin x + C 2 e x cosx Calculus Uge
58 1 egenværdi [DL] 2. Lineært system Eksempel 2.11 Betragt det lineære system y 1 = 3y 1 + y 2 y 2 = 3y 2 Calculus Uge
59 1 egenværdi [DL] 2. Lineært system Eksempel 2.11 Betragt det lineære system y 1 = 3y 1 + y 2 y 2 = 3y 2 Koefficientmatricen A = har egenværdi 3 og egenrum E 3 = span(e 1 ). Calculus Uge
60 1 egenværdi [DL] 2. Lineært system Eksempel Løsning Løsningen bestemmes ved metoden med egenvektorer y(x) = C 1 e 3x 1 + C 2 e 3x x 0 1 Calculus Uge
61 1 egenværdi [DL] 2. Lineært system Eksempel Løsning Løsningen bestemmes ved metoden med egenvektorer y(x) = C 1 e 3x 1 + C 2 e 3x x 0 1 Skrevet ud y 1 (x) = C 1 e 3x + C 2 e 3x x y 2 (x) = C 2 e 3x Calculus Uge
Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17](/thumbs/62/47131431.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
![Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5](/thumbs/58/42578746.jpg "Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5")
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.
![Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.](/thumbs/56/38544107.jpg "Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.")
Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
![Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19](/thumbs/63/49989105.jpg "Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19")
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Calculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
DesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
er en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
DesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Egenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
DesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Lineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
![Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3](/thumbs/91/105982264.jpg "Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3")
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Lineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Reeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Lineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Lotka-Volterra modellen
Lotka-Volterra modellen G4-105 Matematik Aalborg Universitet 20. december 2016 School of Engineering and Science Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst www.ses.aau.dk Titel: Lotka-Volterra modellen Tema:
Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Matematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Mat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26
Lektion ordens lineære differentialligninger
Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante
Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Matematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen September 0, 016 1 Lineære ODE er af første orden 1.1 De grundlæggende definitioner Definition 1.1. Lineære ODE er af første orden er ODE
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Lektion 8 Differentialligninger
Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Prøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig
DOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/55/37584246.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Eksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Eksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER
UDKAST 7122009 Noter til An0 Inst f Matematiske Fag Gerd Grubb December 2009 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 1 Generelle resultater 11 Introduktion I tidligere kurser er der gennemgået
Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger
DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu
Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Udarbejdet af Arne Jensen 1 Indledning I forbindelse med kurset Matematisk Analyse 2 på Mat 2 afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang af 3 ECTS.
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Opgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Lineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Symmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet
Eksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Eksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
DiploMat. Eksempel på 4-timersprøve.
DiloMat. Eksemel å 4-timersrøve. Preben lsholm Maj 4 Ogave Vi skal løse ligningen e i 4 z 3 i = Løsningen skal angives å olær form, dvs. å formen re i, hvor r > og R. Først nder vi e i 4 z = 3 Heraf fås
Differentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002
Differentialligninger og nummeriske metoder Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 1 INDHOLD 2 Indhold 1 Indledning 3 2 Definition af 1. og 2. ordens differentialligninger 3 2.1 1. ordens differentialligninger....................
Ekstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 09 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
MM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen