בגרות חורף בגרות קיץ 2014 מועד ג' בגרות חורף בגרות קיץ 2015 מועד ב' בגרות חורף תשובות סופיות:...

Transkript

1 תוכן העניינים: בגרות חורף בגרות קיץ 014 מועד א'... 5 בגרות קיץ 014 מועד ב'... 8 בגרות קיץ 014 מועד ג' בגרות חורף בגרות קיץ 015 מועד א' בגרות קיץ 015 מועד ב' בגרות חורף תשובות סופיות:... 5 חורף...:014 5 קיץ 014 מועד א':... 6 קיץ 014 מועד ב':... 7 קיץ 014 מועד ג':... 8 חורף...:015 9 קיץ 015 מועד א': קיץ 015 מועד ב': חורף...:

2 שאלון 807 בגרות חורף 014. y 4x 1 1 הנקודות א. ו- C x, y D x נמצאות ברביע הראשון על הפרבולה, y x a ענה על תתי הסעיפים הבאים: 4. m y y 1 הראה כי שיפוע המיתר CD הוא i..cd היא אמצע המיתר x,3 הנקודה מצא את. m נתון כי מרחק כל נקודה על הפרבולה הנתונה מהישר.1,0 למרחקה מהנקודה x הוא.6 מרחק הנקודה C מהישר a מהו הערך של? a נמק. i..cd מצא את משוואת הישר שווה )1 נתונים הווקטורים: AB w, AC v, AD u )ראה ציור(. DAB 90, BAC נתון: DAC 60. u v w א. האם ייתכן ששלושת הווקטורים u, v, w נמצאים במישור אחד? נמק. נתון גם כי הווקטור AP au bv w מאונך למישור a,abc ו- b הם פרמטרים )ראה ציור(. מצא את האורך של AP )ערך מספרי(. היעזר בחישובים טריגונומטריים ומצא את הזווית בין המישור PCB ד. ובין המישור.ABC )

3 . z1 5i המקום הגאומטרי של המספרים המרוכבים z מקיים 7. arg w המקום הגאומטרי של המספרים המרוכבים w x iy מקיים 45 (. w היא הזוית בהצגה הקוטבית של arg w ( המקום הגאומטרי של המספרים המרוכבים w חותך את המקום הגאומטרי של המספרים המרוכבים z בנקודות B ו- C. סרטט באותה מערכת צירים סקיצות של שני המקומות הגיאומטריים. א. הנקודות B ו- C מייצגות במישור גאוס את המספרים. arg z בהתאמה. מצא את z ו- המרוכבים 1 z z 1 )3. f x e נתונה הפונקציה x א. מצא:. f x את תחום ההגדרה של הפונקציה i.. f ' x את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה ', y f x. x 0, y f x והראה כי נקודה זו נמצאת על גרף הפונקציה נפגשות בנקודה אחת בלבד. y f x הפונקציות y f 'x ו- )הנקודה שמצאת בסעיף ב(. השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי פונקציות אלה. 8e f a שווה ל, a 1, x ועל ידי הישר a מצא את הערך של. a תוכל להשאיר ln בתשובתך. )4 3

4 ענה על הסעיפים הבאים: א. קבלן מציע דירות למכירה בתשלומים חודשיים. בתאריך 1/1/01 התשלום החודשי עבור הדירה היה 5900 שקל, ובכל חודש התשלום גדל ב- 0.%. המשכורת החודשית של רן בתאריך 1/1/01 הייתה, 8000 ובכל חודש היא גדלה ב- 1.%. רן יכול להתחיל לשלם עבור הדירה רק אחרי התאריך שבו התשלום החודשי עבור הדירה יהיה 60% ממשכורתו החודשית. כעבור כמה חודשים שלמים מהתאריך 1/1/01 יוכל רן להתחיל לשלם עבור הדירה? n n. f x x ln הפרמטר n הוא מספר טבעי וזוגי. נתונה הפונקציה x.i מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. f x f x קבע אם הפונקציה i היא זוגית או אי-זוגית. נמק. הראה כי יש רק ישר אחד המשיק לגרף הפונקציה לציר ה-, x ומצא את משוואתו. f x ומקביל )5 הערה: אין קשר בין סעיף א לסעיף 4

5 שאלון 807 בגרות קיץ 014 מועד א' ענה על הסעיפים הבאים: א. מצא את המשוואה של המקום הגאומטרי של הנקודות, שהמרחק של כל אחת מהן מהישר:, 5x1 y13 0 הוא.3 מהי משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים המשיקים בשתי נקודות למקום הגאומטרי שמצאת בסעיף א? האם ציר ה- y יכול להשיק בנקודה 0,0 לאחד המעגלים שבסעיף ב? נמק. נתונה פירמידה ישרה,SABC שבסיסה ABC הוא משולש שווה-צלעות. גובה הפירמידה הוא.SO נקודה E היא אמצע SO )ראה ציור(.. SF t נקודה F מקיימת: SC נסמן:. OS w, AC v, AB u 1 נקודה K מקיימת:. SK u v w מצא את הערך של, t אם ידוע שהנקודות K, F ו- E נמצאות על ישר אחד. )1 ) 5

6 ענה על הסעיפים הבאים: א. סרטט במישור גאוס סקיצה של המקום הגאומטרי של המספרים. z 3 נמק. 3i המרוכבים z המקיימים: 3 המקום הגאומטרי שבסעיף א נפגש עם ציר ה- x נתונה הנקודה. בנקודה z 1 M 3, 3 המספר המרוכב z. נסמן ב- O את ראשית הצירים. נמצא על המקום הגאומטרי שבסעיף א כך שהמרובע z1mz O הוא דלתון. מצא את הזווית החדה של הדלתון. ענה על תתי הסעיפים הבאים: i. מצא את הארגומנט של. z מבין המספרים המרוכבים z שבסעיף א, מהו המספר שיש לו הארגומנט הגדול ביותר? מהו ארגומנט זה? )3 בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת, fx המוגדרת לכל. x א. על פי הגרף של fx מצא תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה, f x המוגדרת לכל. x נמק. נתון כי גרף הפונקציה f x חותך את ציר ה- y בחלקו השלילי. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. f x 0.5x x נתון גם: a, f x x ae הוא פרמטר. היעזר בנתונים בגרף של fx וחשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f x ועל ידי הצירים. )4 6

7 נתונה הפונקציה c, log 4 4 f x x x c הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה יש אסימפטוטה שמשוואתה. x א. ענה על תתי הסעיפים הבאים:. c מצא את ערך הפרמטר i. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. i מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים..iv סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. v. ענה על תתי הסעיפים הבאים:. g x f x נתונה הפונקציה.i סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. g x עבור אילו ערכים של שני פתרונות בלבד? k יש למשוואה g x k )5 7

8 שאלון 807 בגרות קיץ 014 מועד ב', y 4x נקודה A נמצאת ברביע הראשון על הפרבולה. y שמשוואתה 3x ישר המשיק לפרבולה בנקודה Bמקביל למיתר O ( OA ראשית הצירים(. דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה-. x הישר חותך את המשיק בנקודה C..C של הנקודה x שיעור ה- - x C נסמן:.A של הנקודה x שיעור ה- - x A היעזר בעובדה שהנקודה C נמצאת על פרבולה שמשוואתה וענה על הסעיפים א, ב ו-. x A x C את א. הבע באמצעות.OA את השיפוע של הישר x C הבע באמצעות נתון גם כי שטח המשולש BCA הוא מצא את השיעורים של הנקודה C. )1 במשולש,ABC גובה המשולש לצלע AB הוא.CD. AD t AB נסמן:, CB v, CA u נתון:. CB, CA 1, 3 cos ACB 4 ) א. חשב את הערך של t בעזרת חשבון וקטורים. סרטט את המשולש ABC ואת הגובה CD כך שהסרטוט יתאים לערך של t שחישבת בסעיף א. נקודה E נמצאת על הצלע BC )בין B ל- C(. CE 3 נתון גם:. נסמן:. CD h BE 5 הבע את AE באמצעות u ו- h בלבד. 8

9 . ענה על הסעיפים הבאים: 4 z א. פתור את המשוואה: z, 1 הוא מספר מרוכ 1 z 1 האם שלושה מן הפתרונות שמצאת בסעיף א נמצאים על המקום הגאומטרי של המספרים המרוכבים w השונים מ- 0? 107 arg w נמק. ומקיימים: 53 x 3 a, f x הוא פרמטר. נתונה הפונקציה ax e א. ענה על תתי הסעיפים הבאים: f? f x מהו תחום ההגדרה של הפונקציה i. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x עם הצירים. בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת. f x היעזר בנתונים הרשומים בגרף, ומצא: i. ערך מספרי עבור שיעור ה- x וערך מספרי עבור שיעור ה- y של נקודת הקיצון של הפונקציה, f x וקבע את סוגה. ערך מספרי עבור שיעור ה- x וערך מספרי עבור שיעור ה- y של נקודת הפיתול של הפונקציה. f x וכלפי מטה של הפונקציה x i את תחומי הקעירות כלפי מעלה סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. )3 )4 9

10 . f x 39ln 3x 1 f x נתונה הפונקציה 3x 1 )ראה ציור(. א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ענה על תתי הסעיפים הבאים: )5. a מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f x עם ציר ה-. x השטח, המוגבל על ידי גרף הפונקציה, של ידי ציר ה- x ועל ידי, y ומצא את ln 3x1 e 1 x הוא.3.5 הישרים x ו- a 3 e 1 נתון כי. a היעזר בנגזרת של 3.i 4/3 e 1 לפונקציה f x יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה. x 3 מצא עבור אילו ערכי x הפונקציה f x שלילית וגם פונקציית הנגזרת f x שלילית. 10

11 שאלון 807 בגרות קיץ 014 מועד ג' x y נתונה המשוואה a, 1 הוא פרמטר חיובי שונה מ- 4. a a 16 א. מצא עבור אילו ערכים של a המשוואה מייצגת אליפסה. x y אליפסה שמשוואתה 1 חותכת את הקרן השלילית של ציר ה- y בנקודה A. a a 16 הוא המוקד הימני של האליפסה, ו- הוא המוקד השמאלי. F זווית של x יוצר עם הקרן החיובית של ציר ה- AF 1 הישר מצא את משוואת האליפסה. מצא את משוואת המקום הגאומטרי של נקודות הנמצאות במרחקים. y ומקביל לציר ה- F F 1 ומן הישר שעובר דרך המוקד שווים מהמוקד נמק. F 1 בפירמידה משולשת AF,ABCD הוא גובה הפירמידה לפאה,BDC ו- CH הוא גובה הפירמידה לפאה.ABD הישרים AF ו- CH נפגשים בנקודה P )ראה איור(. א. ענה על תתי הסעיפים הבאים:. AP BD הסבר מדוע 0.i. AC BD הוכח כי הוכח כי. AH BD סמן. BA w, BC v, BD u. CBD הוכח כי אם: AB BC אז: ABD )1 ) 11

12 z, zcosisin ונתון מספר מרוכב w שהערך נתון המספר המרוכב. r 0 המוחלט שלו הוא r ו- w א. נמצאים ברביע הראשון. המספר הבע באמצעות ו- r את המספר w. z מקיים: z w 1, w את הצמוד שלו, w, ואת ההופכי שלו,. w סרטט במערכת צירים את מעגל היחידה, והוסף לסרטוט דוגמה של 1 מספר w ושל ההופכי שלו,, עבור. r 1 w 1. a z, a1 שבה a n נתונה סדרה הנדסית w. a 5 הבע באמצעות ו- r את )3 נתונה הפונקציה f x x 1e x x )ראה ציור(. א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. הוכח כי הפונקציה עולה לכל x בתחום ההגדרה שלה. העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה1. x הישר נפגש עם גרף הפונקציה בשתי נקודות בלבד. i. מצא את משוואת המשיק. העתק למחברתך את גרף הפונקציה והוסף לגרף סרטוט של המשיק. i השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ועל ידי המשיק מסתובב סביב ציר ה-. x מצא את נפח גוף הסיבוב שנוצר. )4 1

13 א. בציור שלפניך מוצגים שני גרפים, I ו- II של פונקציות המוגדרות בתחום. 1.1 x 3.1 אחד הגרפים הוא של הפונקציה f x והאחר הוא של פונקציית הנגזרת. f x קבע איזה מבין הגרפים I ו- II הוא של הפונקציה. f x נמק.. g x נתונה הפונקציה f x ln.i מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. g x מה הן האסימפטוטות של g x i המאונכות לציר ה-? x מצא את השיעורים של נקודות הקיצון הפנימיות של )אם יש כאלה(, וקבע את סוגן. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g x. g x.iv.v סרטט סקיצה של גרף הפונקציה חותך את גרף הפונקציה, g x f x בשלוש נקודות. אם נתון כי הישר y 1 )5 13

14 שאלון 807 בגרות חורף 015. x y נתון מעגל שמשוואתו 5 המעגל חותך את ציר ה- x בנקודות A ו- B.. x הוא מיתר במעגל, המאונך לציר ה- MN P xy א. הישרים MB ו- NA נפגשים בנקודה, כמתואר בציור. MN( אינו מונח על ציר ה- (. y y 0 את x 0 ו- x0,. M הבע באמצעות y0 נסמן:.i משוואת הישר,MB ואת משוואת הישר.NA, P xy הנוצרות, הראה כי המקום הגאומטרי של הנקודות. y x באופן שתואר, מקיים את המשוואה: 5 אם המיתר MN מונח על ציר ה-, y מצא את רדיוס המעגל החסום במרובע.MBNA )1 הערה: הפתרון של סעיף ב אינו תלוי בפתרון של סעיף א. נתון משולש שקדקודיו הם:. A 10,3,11, B, 5, 5, C 1,1,1 גובה המשולש לצלע AB הוא.CD א. מצא את השיעורים של הנקודה D. נתונה הנקודה. E1,5, מהי הזווית בין הישר :CE? AB לישר.i? BC לישר? ABC למישור i נמק. חשב את הזווית בין הישר ED לבין המישור.ABC ) 14

15 f וקבע את סוגה. z z i z 3 ענה על הסעיפים הבאים: א. פתור את המשוואה: המספר המרוכב הוא מספר מרוכ הוא הפתרון של המשוואה שבסעיף א. הוא קדקוד הראש של משולש שווה-שוקיים, החסום במעגל שמרכזו z 3 z ו- z 1 z 1 בראשית הצירים. נתון: הם שני הקדקודים האחרים של המשולש.. w z z z 1 3. z 1 המספר המרוכב w מקיים: 3 4 4n חשב את הסכום נתונה הפונקציה n. w w w w w הוא מספר טבעי. ונתונה הפונקציה g x המקיימת: f xm x 3 m, g x f x f x ; g הוא פרמטר. ln 4 ידוע כי הפונקציה g x עולה לכל. x מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקציה g x ועל ידי הצירים. )מצא ערך מספרי(. x, f וקבע את סוגה.. f x mx ln x. fx נתונה פונקציית הנגזרת: x א. מצא את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של פונקציית הנגזרת x מצא את שיעור ה- x לפונקציות ו- של נקודת הקיצון של הפונקציה, g x וקבע את סוגה. יש אותו תחום הגדרה.. g x 1 f x f x הפונקציה g x מקיימת: f x היעזר בסעיפים הקודמים, ומצא:. g x את תחום ההגדרה של i. ד. את השיעורים של נקודת הקיצון של )3 )4 )5 15

16 שאלון 807 בגרות קיץ 015 מועד א' נתונה פרבולה המקיימת. p 0, y px נקודה D נמצאת על הפרבולה ברביע הראשון במרחק 8 מציר ה-. x א. הבע באמצעות p את המרחק של הנקודה D מן המדריך של הפרבולה. מעבירים שני מעגלים: מעגל ראשון שמרכזו בנקודה D ורדיוסו, p 4 מעגל שני שמרכזו במוקד F של הפרבולה. המעגל השני משיק מבחוץ למעגל הראשון ומשיק גם לציר ה-. y היעזר בסעיף א, ומצא את משוואת הפרבולה. נקודה K נמצאת על הפרבולה שאת משוואתה מצאת. דרך הנקודה K העבירו משיק לפרבולה ואנך למשיק. המשיק והאנך חותכים את ציר ה- x בנקודות T ו- S בהתאמה. המרחק בין הנקודה T לנקודה S הוא 16. מצא את השיעורים של הנקודה. K )מצא את שתי האפשרויות.( בתשובתך תוכל להשאיר שורש במידת הצורך. נתון ישר שמשוואתו. x 1,, 4 t1,, מישור מאונך לישר, וחותך את ציר ה- x בנקודה. A נקודה A נמצאת על הקרן החיובית של ציר ה- x במרחק 8 מראשית הצירים. O נקודות B ו- C הן נקודות החיתוך של המישור π עם ציר ה- y ועם ציר ה- z בהתאמה. א. ענה על תתי הסעיפים הבאים: i. מצא את האורך של כל אחד מששת המקצועות של הפירמידה האם הפירמידה OABC היא ישרה? נמק. נקודה D נמצאת על הקטע AC כך ש- OD חוצה-זווית. AOC מהו המצב ההדדי בין הישר OD לישר? BC נמק.. OABC )1 ) 16

17 נתונה המשוואה z, z n 8 הוא מספר מרוכב,. n z i z 0 א. הוכח כי n הפתרונות של המשוואה הם קדקודים של מצולע משוכלל. המספרים z0, z1, z, z3 הם ארבעה קדקודים עוקבים מבין n הקדקודים של המצולע שבסעיף א )לפי סדר המספרים הרשום(. הוא מספר ממשי וחיובי. נמצא במישור גאוס ברביע הראשון. נתון:. z0 z1 z z3 8i מצא את הערך של. n )3 ד. 8 הוא פרמטר גדול מ- 0. f x a x e x נתונה הפונקציה המוגדרת לכל a. x א. הוכח כי הפונקציה f x היא פונקציה אי-זוגית. ענה על תתי הסעיפים הבאים: i. הבע באמצעות a )במידת הצורך( את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, f x וקבע את סוגן. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, f x על ידי ציר ה- x ועל ידי הישרים x 1 ו-, x 1 אם נתון כי. a נתונה הפונקציה g x מצא את שיעורי ה- x המקיימת:. g x f x של נקודות הקיצון של הפונקציה, g x וקבע את סוגן. )4 17

18 a, f x a xln הוא פרמטר גדול מ- 0. x x נתונה הפונקציה א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. f x יש נקודת פיתול אחת בלבד, והבע את שיעור הראה כי לפונקציה f x ה- x שלה באמצעות. a איזה מבין הגרפים IV, III, II, I שלפניך מתאים לגרף של פונקציית? נמק. הנגזרת השנייה f x )5 ד. ה. ענה על תתי הסעיפים הבאים: שווה ל- 0, אם שיפוע המשיק בנקודת הפיתול של f x i. מצא את הערך של. a עבור הערך סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f ' x של a שמצאת. נקודת קיצון? האם עבור הערך של a שמצאת, יש לפונקציה f x i נמק. מצא עבור אילו ערכים של a שיפוע המשיק בנקודת הפיתול של f x גדול מ

19 שאלון 807 בגרות קיץ 015 מועד ב'.i נתונה הפרבולה. y 4x הישרים ו- L משיקים לפרבולה בנקודות A ו- B בהתאמה. הנקודה A נמצאת ברביע הראשון והנקודה B נמצאת ברביע הרביעי, כמתואר בציור. המשיקים נפגשים בנקודה.,1 א. מצא את השיעורים של הנקודה A,ואת השיעורים של הנקודה. B הפרבולה משיקה בנקודה B למעגל שמרכזו K ונמצא על ציר ה-. y )ראה ציור(. מעגל שמרכזו M משיק לציר ה- y בראשית הצירים ומשיק מבחוץ למעגל שמרכזו. K המרכז M נמצא משמאל לציר ה-. y מצא את השיעורים של המרכז. K )1 מצא את משוואת המעגל שמרכזו. M תוכל להשאיר שורש בתשובתך. המקצועות OC,OA ו- OO OABCO AB C x y z m נתון כי המישור 0 הקדקודים.O,C, A m של התיבה מונחים על הצירים כמתואר בציור. עובר דרך הוא פרמטר גדול מ-. 0 א. האם הישר BC מקביל למישור הנתון או חותך אותו? נמק. הישר OM נמצא במישור הנתון, i. האם הישרים BC ו- OM מקבילים? נמק. הבע באמצעות m את המרחק בין הישרים דרך הקדקודים C ו- B העבירו אנכים למישור האנכים חותכים את המישור בנקודות E ו- F. אורך הקטע EF הוא. מצא את הערך של ואינו מתלכד עם הישרOA.. ו- OM. BC ACO. m ) 19

20 ענה על הסעיפים הבאים: א. סרטט המערכת צירים את המקום הגאומטרי המקיים:. z 3i z i z 1 z הוא מספר מרוכ שני מספרים מרוכבים שונים,, z נמצאים על המקום הגיאומטרי ו- z מהראשית. z 1 מראשית הצירים שווה למרחק של שסרטטת. המרחק של. z y 1 הוא מספר ממשי(. מצא את הארגומנט של נתון: ( z1 1iy1 ln a x x a. f הוא פרמטר גדול מ-. 0 נתונה הפונקציה a x א. מצא )הבע באמצעות a במידת הצורך(:. f x את תחום ההגדרה של הפונקציה i. את שתי האסימפטוטות של הפונקציה f x המאונכות לציר ה-. x את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f x )אם יש כאלה(..iv את השיעורים של נקודות הפיתול של הפונקציה f x )אם יש כאלה(. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. f x y משיק לגרף הפונקציה f x בנקודת הפיתול שלה. הישר x לפונקציה f x ולפונקציית הנגזרת f ' x יש אותו תחום הגדרה. סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת. f ' x ציין בגרף את הערכים המספריים של האסימפטוטות ושל נקודות החיתוך עם הצירים )אם יש כאלה(. i )3 )4 0

21 . f x x 4e x. f x נתונה הפונקציה e 4 x e א. ענה על תתי הסעיפים הבאים: i. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f x i מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f המאונכות לצירים. x )אם יש כאלה(. עם הצירים. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x.iv. f x סרטט סקיצה של גרף הפונקציה v. מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקציה, f x על ידי הישר, x 1 על ידי ציר ה- x ועל ידי ציר ה-. y. x בתחום ln F x נתונה פונקציה המקיימת f xdx מצא את שיעורי ה- x של נקודות הקיצון של הפונקציה )אם יש כאלה(. נמק.. Fx )5 1

22 שאלון 807 בגרות חורף 016. מעגל שמרכזו על ציר ה- x עובר דרך 6,3 ו- 1,4 הנקודות: )שאינן קדקודי המלבן שבציור(. הצלע AB של המלבן ABCD מונחת על ישר העובר דרך הנקודות האלה. קדקודי המלבן ABCD נמצאים ברביע הראשון וברביע השני, כמתואר בציור. א. מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-. x המשכי הצלעות BC ו- AD עוברים דרך נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-. x נתון כי המרחק של הצלע DC מראשית הצירים הוא מצא את שטח המלבן. ABCD )1 נתונה פירמידה. AOBC המקצוע AO מונח על החלק החיובי של ציר ה-, x המקצוע CO מונח על החלק החיובי של ציר ה-, z והמקצוע AB נמצא במישור, xy כך ששיעור ה- x ושיעור ה- y של הקדקוד B חיוביים )ראה ציור(. 0, BO 5, CO 1 נתון:, AO 3 א. מהו המצב ההדדי בין הישר AB נמק. מצא את הזווית בין המישור ובין המישור. zy נקודה. ובין ציר ה-? y AC AB CAB D נמצאת במישור מצא את הזווית בין הישר CAB ובמישור. CB כך ש- CD xy למישור CD. zy )

23 המספר המרוכב z 1 נמצא במישור גאוס ברביע הראשון על מעגל שרדיוסו O z z נמצא במישור גאוס ברביע ומרכזו ראשית הצירים O. המספר המרוכב השני על מעגל שרדיוסו 4 ומרכזו ראשית הצירים. O נתון כי הזווית בין הקטע ובין הקטע היא. 60 המספרים O z1 z 1 z ו- z 4 הוא האיבר הרביעי בסדרה זו. א. הראה כי נתון גם: z 1 הם האיבר הראשון והאיבר השני בסדרה הנדסית בהתאמה. z 4 ו נמצאים על קו ישר אחד העובר דרך ראשית הצירים.. z 4. z z i מצא את הארגומנט )הזווית( של מצא את שטח המשולש. z1z z4 ln ax a, f x הוא פרמטר שונה מ-. 0 ax נתונה הפונקציה ענה על הסעיפים א ו-ב עבור. a 0 א. מצא )הבע באמצעות a במידת הצורך(: את תחום ההגדרה של הפונקציה. i.. x את האסימפטוטה של הפונקציה המאונכת לציר ה- את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )אם יש כאלה(. i את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )אם יש כאלה(, וקבע את סוגן..iv סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ענה על הסעיפים ג ו- ד עבור. a 0 סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. נתון כי האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים נפגשות בנקודה.,0 ד. מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף הפונקציה, על ידי ציר ה- x ועל ידי e x )ערך מספרי(. a הישר )3 )4 3

24 x x x a נתונה הפונקציה a, f הוא x e פרמטר גדול מ- 4. בציור שלפניך נתון הגרף של. f x פונקציית הנגזרת השנייה. x אינו חותך את ציר ה- f הגרף של x מוגדרת לכל, x ויורדת בכל f הפונקציה x תחום הגדרתה. א. ענה על תתי הסעיפים הבאים: עם הצירים מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f x i. )אם יש כאלה(. הבע באמצעות a במידת הצורך.. f x מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )אם יש כאלה(. יש נקודות פיתול? נמק. האם לפונקציה f x i. f x סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.iv יש נקודות פיתול? נמק. האם לפונקציית הנגזרת הראשונה f x השטח, המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת הראשונה, f x על ידי הצירים ועל ידי הישר מצא את הערך של 8. 5 e, x 1 שווה ל. a )5 4

25 תשובות סופיות: חורף 014: 1. y x1 3 3 a 1 m 3 א. i. הוכחה i. ) א. לא ייתכן ). arg z z 90 1 א. )3 1,e 0x 1, ירידה : x 1 עלייה : א. i. מינימום. 1 ln3 f x הפונקציה x 0 x 0 a א. 1 חודשים. i. היא זוגית. 1. y משוואת המשיק היא i e )4 )5 5

26 קיץ 014 מועד א': 5x1 y x 1y 5 0, 5x 1y א. 6 0 )1 לא. 1. t 3 ) א. i. )3 x, ירידה :.180 z המספר המרוכב הוא 3 א. קעירות :. הארגומנט הוא סרטוט בצד העמוד: x i עלייה :.v x 1, קמירות : x x 1. 1 e e c 4 3,0, 1,0, 0,1 א. i..iv i. )4 )5. k 0 6

27 קיץ 014 מועד ב':. C.5,3 3 xc 1.5 x x C C x A 4 3 x C א. )1 1 א. t 4 7. AE u 8 3 h ) א i, 0, i, כן. )3. 1, 8 e 1,4 e 3,0, 0, 6 א. i. כל x i. מינימום.. x 1 x 1,קעירות : i קמירות : )4 e 1 a e 1,0 3 1 x 3 א. i. ) e 1 e 1. x 3 3 7

28 קיץ 014 מועד ג':. y 16x x y 0 4 א. a 4 1 א. AF i. מאונך למישור הפאה,BDC לכן AP מאונך למישור,BDC ומכאן ש- AP מאונך ל BD הנמצא במישור הפאה.BDC נקבל שמכפלתם הסקלרית שווה ל- 0, כלומר: AP BD 0 הוכחה הוכחה הוכחה. )1 ). 1 1 cis, w rcis, w rcis w r a5 r cis א. )3 1 x א. איור בצד העמוד. הוכחה yx1 i i 3 e 1x x 1 f א. גרף x II הוא של i. או מקסימום.,ln 1.1 x 1 או i x 3 x 1, x 1, x 3, 1x ירידה :.iv עלייה :.v )4 )5 8

29 חורף 015: הוכחה y0 5y0 y0 5y0 y x : NA, y x : MB 5 x 5 x x 5 x א. i. ) i D 4.5,.5,0 א. i. ) z 3 1 i א. הסכום הוא 0. ) )4 1 x e א. x 0 1 מינימום, e e 1 1 מינימום., e e מינימום ד. 1 x, 0.i x e )5 9

30 קיץ 015 מועד א':. 6, 48, 6, 48 y 8x 3 p p א. )1 BC 3, AB 80, AC 80, OC 4, OB 4, OA א. i.8 הפירמידה אינה ישרה )בפירמידה הישרה המקצועות הצדדיים שווים זה לזה(. מצטלבים.. n 8 א. הוכחה ) )3 a, מקסימום e e a, e א. הוכחה i. מינימום, )4 x x 0 מינימום, ד. x מקסימום, מקסימום. א. x 0 ד. i. i לא גרף IV a x ה.. a a )5 30

31 קיץ 015 מועד ב':. x y. m m K 0, 3 א. B1,, A4,4 i. א. הישר BC' מקביל למישור הנתון. i. לא, הישרים BC' ו- O'M מצטלבים. א. איור מופיע בצד. 5 x a, x a א. a x a.i i עלייה : a, a x ירידה: אין..iv 0,0 )1 ) )3 )4 ln 4,0, 0,9.iv x ln, x ln ירידה : אין x ln x ln א. i. i עלייה : או )5.v 1 1 4ln e e x ln 4 מינימום. 31

32 חורף 016: א. 7,0, 3, ) א. הישר AB מקביל לציר ה- y ) א. הוכחה )3 e 1,.iv a e 1 ד.. 3,0 a i x a x a א. i. מקסימום )4 i לא x א. i. עלייה: אין, ירידה: כל לא. a 5 0, a.iv )5 3