Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Transkript

1 Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis) Vinkelsummen i en teknt Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE Sinus Bug f sinus b Definition f sinus Sinus i den etvinklede teknt d Sinus i den etvinklede teknt (fotst) e Sinuseltion i skævvinklet teknt osinus Bug f osinus b Definition f osinus osinus i den etvinklede teknt d osinuseltion i skævvinklet teknt (ikke mt -eksmensstof fø mj 2011) Teknttilfælde F Wikipedi, den fie enyklopædi Tngens og mee om den etvinklede teknt

2 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis) To teknte, B og 1 B 1 1 kldes ensvinklede hvis vinklene opfylde = 1, B=B 1 og = 1 Fo sidelængdene i to ensliggende teknte 1 1 gælde: b 1 1 b1 1 k b Elle: De findes et fælles tl, k, sådn t k = 1 b k = b 1 b k = 1 k kldes fostøelsesfkto, sklfkto, målestoksfohold. 2. Vinkelsummen i en teknt En teknts vinkelsum e B + = og beviset: B B B Se evt. figue/nimtion f bevis: 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE I en etvinklet teknt ( 90 vinkel ) gælde Pythgos: hyp b 2 + b 2 = hyp 2 Omfomninge: Youtube-film med bevis: Figu /nimtion til bevis: 2

3 4. Sinus Sinus e en funktion (en knp), de findes på lommeegneen. Den buges blndt ndet til beegninge, de smmenknytte side og vinkle i teknte. Enhve vinkel h en sinus-vædi. Vinklen v = 30 h sinusvædien 0.5 (fokling nedenfo), og det kn vi skive således: sin(v) = 0.5 sin(30 ) = 0.5 elle På lommeegneen indtstes blot: sin(30) = Kun hvis vinkel-enheden unde Mode på lommeegneen e indstillet på Degees (ikke dins ) fås det ønskede tl. 4 Bug f sinus I enhve teknt med siden ovefo vinklen, og siden ovefo vinklen gælde Sinuseltionen : (se bevis og eksemple senee) 4b Definition f sinus Den mtemtiske definition f funktionen sinus knytte sig til en ikel i et koodintsystem. iklen h entum i punktet O = (0,0) og dius 1. ( Enheds-iklen ) Den ønskede vinkel tegnes med høje ben ud lngs den positive del f x-ksen. Skæingspunktet, P, mellem enhedsiklen og vinklens venste ben kldes vinklens etningspunkt P s y-koodint e den støelse, de definees som sinus til vinklen. f det integnede kn vi flæse, t sin(30 ) = 0.5 3

4 Øvelse 1. Indtegn vinklene 90 og 150 i enhedsiklen nedenfo, og flæs vædiene f sin(90 ) og sin(150 ) sin(90 ) = sin(150 ) = 4 Sinus i den etvinklede teknt. En etvinklet teknt,b, med = 90 vendes og dejes og tegnes som vist nedenfo. Nedenunde indtegnes tekntens vinkel i en enhedsikel, og de tegnes en teknt i denne, som blive ensvinklet med teknt B. D tekntene e ensvinklede få vi smme fohold mellem de to lodette side, som mellem de to skå side: (1) Omfomuleing (): Buge vi 1 = sin(90 ) = sin() fås: sin() 1 sin() (sinuseltionen) Elle på hovedet: (2) Oftest tle mn om sinus-eltionene, fodi de e mee end en fomel. Vi kunne hve vendt teknten sådn t vinkel B tog den plds, som hvde, og så ville hve bevist Vi kn smmenftte det sådn, t vi fo en etvinklet teknt h bevist På side 6 vil vi se på en teknt, de ikke e etvinklet. 4

5 4d Sinus i den etvinklede teknt (fotst) En etvinklet teknt,b, med = 90 vendes og dejes og tegnes som vist nedenfo. Nedenunde indtegnes tekntens vinkel i en enhedsikel, og de tegnes en teknt i denne, som blive ensvinklet med teknt B. Fostøelsesfktoen kn ses ved t betgte de to skå side (tekntenes hypotenuse) (1) sin() Sidene i den øveste teknt e ltså gnge så stoe som den nedeste teknts side. Den øveste teknts lodette ktete kn defo beegnes som = sin() hvilket vi kn skive i teknten: 1 sin() (2) sin() I fohold til en spids vinkel,, i en etvinklet teknt gælde følgende hjælpesætning (som hjælpe til beviset fo sinusltionen i en skævvinklet teknt) : Vinkel s modstående ktete e hypotenusen gnge sin() (nde fomuleinge se senee) Figuen kn ntuligvis vende på nde måde. F. eks. spejlvendt: (3) sin() 5

6 4e Sinuseltion i skævvinklet teknt P Betgt denne teknt P, som ikke h nogen ette vinkle. p Den kn deles op i to etvinklede teknte, som det ses neden unde. h Det nye linjestykke, højden h, kn vi udtykke på to måde, ved t se på de to del-teknte sin() sin() Vi kn nemlig buge egle om sinus i hve f de to etvinklede del-teknte, figuene (2) og (3) på foige side. (Ekst øvelse : Opskiv v.h.. figuene fomel fo el f teknt P udtykt ved, p og ) Hemed e den ene f sinuseltionene bevist i den skævvinklede teknt P. Hvis endnu én f tekntens højde ligge inde i teknten, og demed dele den i to etvinklede teknte, så kn esten f sinuseltionene bevises tilsvende (dette e tilfældet hvis P e en spidsvinklet teknt). I den tegnede teknt flde de to nde højde udenfo teknt P. Tegning og bevis skl d udfomes en lille smule ndeledes, men det vil vi ikke fotbe os i he. De gælde: 6

7 5 osinus Også osinus e en funktion (en knp), de findes på lommeegneen, og som blndt ndet buges til teknts-beegninge. Vinklen v = 30 h osinusvædien (fokling nedenfo), og det kn vi skive således: os(v) = os(30 ) = elle På lommeegneen indtstes blot: os(30) = Kun hvis vinkel-enheden unde Mode på lommeegneen e indstillet på Degees (ikke dins ) fås det ønskede tl. 5 Bug f osinus I enhve teknt med vinklen, siden ovefo smt sidene b og gælde osinuseltionen, som blndt ndet kn buges til t beegne vinkel, nå de te side e kendt: (se bevis og eksemple senee) b 5b Definition f osinus Den mtemtiske definition f funktionen osinus knytte sig til en ikel i et koodintsystem. iklen h entum i punktet O = (0,0) og dius 1. ( Enheds-iklen ) Den ønskede vinkel tegnes med høje ben ud lngs den positive del f x-ksen. Skæingspunktet, P, mellem enhedsiklen og vinklens venste ben kldes vinklens etningspunkt P s x-koodint e den støelse, de definees som osinus til vinklen. f det integnede kn vi flæse, t os(30 ) =

8 Øvelse 1. Indtegn vinklene 0, 90 og 150 i enhedsiklen nedenfo, og flæs vædiene f os(0 ), os(90 ) og os(150 ) os(0 ) = os(90 ) = os(150 ) = 5 osinus i den etvinklede teknt. En etvinklet teknt,b, med = 90 vendes og dejes og tegnes som vist nedenfo. Nedenunde indtegnes tekntens vinkel i en enhedsikel, og de tegnes en teknt i denne, som blive ensvinklet med teknt B. Vi gentge he det om sinus f side 2. Det nye e t se på de vndette side: b hhv. os(b) Fostøelsesfktoen kn ses ved t betgte de to skå side (tekntenes hypotenuse) (4) sin() b Sidene i den øveste teknt e ltså gnge så stoe som den nedeste teknts side. Den øveste teknts ktete kn defo beegnes som = sin() b = os() hvilket vi kn skive i teknten: (5) sin() 1 sin() os() I fohold til en spids vinkel,, i en etvinklet teknt gælde hjælpesætningene: Vinkel s modstående ktete e hypotenusen gnge sin() Vinkel s hosliggende ktete e hypotenusen gnge os() os() 8

9 5d osinuseltion i skævvinklet teknt (ikke mt -eksmensstof fø mj 2011) P Betgt denne teknt P, som ikke h nogen ette vinkle. p Den kn deles op i to etvinklede teknte, som det ses neden unde. h f opdelingen fås 1. x + y = p elle y = p x 2. Pythgos x 2 +h 2 = 2 elle h 2 = 2 - x 2 y 2 +h 2 = 2 elle h 2 = 2 - y 2 x h h y 3. osinus i den etvinklede teknt til venste, se figuen (5) på foige side: x = os() h 2 = h 2 2 y 2 = 2 x 2 2 = 2 x 2 + y 2 2 = 2 x 2 + p 2 + x 2 2 p x 2 = 2 + p 2 2 p x 2 = 2 + p 2 2 p os() Dette e en f osinuseltionenes mnge udgve. Kun mål f den opindelige (øveste) teknt indgå:,, p, og F 2. i mmen ovenfo sættes de to fomle fo h 2 lig hinnden. Vi omskive f tedje til fjede linje til venste hefo y 2 idet de buges: F 1. i mmen ovenfo: y = p x smt nden kvdtsætning : ( b) 2 = 2 + b 2 2 b Vi få: y 2 = (p x) 2 = p 2 + x 2 2 p x Til sidst buges 3. i mmen ovenfo: x = os() Se nde udgve i og på side 4, smt i fomelsmling og øvehæfte. (Ovenstående bevis dække kun det tilfælde, hvo højden f P ligge inde i teknten og dens fodpunkt dele siden p i to stykke, x og y. Fomlene gælde dog også i nde tilfælde). F Wikipedi e også nedenstående ovesigt ove, hvonå mn buge sinuseltion og hvonå osinuseltion til t bestemme ukendte side og vinkle i en teknt med te kendte stykke Øvelse: lv opgve til hinnden, de dække de 4 omtlte tilfælde. 9

10 6. Teknttilfælde F Wikipedi, den fie enyklopædi Et teknttilfælde e en slgs egneopgve indenfo geometien: En teknt h te side med hve sin længde, og te hjøne de dnne hve sin vinkel. Givet te f disse i lt seks oplysninge, kldet stykke, gå opgven ud på t beegne de esteende te. Én elle flee løsninge Så længe mindst én f de givne oplysninge e længden på en side, kn det lde sig gøe. Hvis lle te stykke e vinkle, kn mn tegne uendelig mnge teknte i foskellige støelse som h de te givne vinkle - de e ltså ikke én enkelt, utvetydig løsning på opgven i den sitution. I nde tilfælde give beegningene nledning til to løsninge, og følgelig blive svet på opgven, t de findes to teknte de psse til de givne stykke. Fie foskellige tilfælde Løsningsmetoden fhænge f, hvilke stykke de e givet, men botset f det "umulige" tilfælde med te givne vinkle flde lle teknttilfælde i én f følgende fie ktegoie: Mke med bogstve de kendte ( givne ) oplysninge i de tegnede teknte nedenfo: te f støelsene, b,,, B, Givet te side He kn mn buge osinuseltionen til t bestemme de te vinkle. Som kontol kn mn deefte undesøge om summen f de te fundne vinkle e 180. Givet to vinkle og en side I denne sitution kn mn finde den mnglende vinkel ved hjælp f eglen om t tekntens vinkelsum skl væe 180, og deefte buge sinuseltionen til t beegne længden f de te side. Givet en vinkel og to hosliggende side He give osinuseltionen den sidste side, og heefte kn smme fomel buges til t bestemme de øvige to vinkle. Givet en vinkel, en hosliggende og en modstående side Den vinkel de stå ovefo den givne, hosliggende side, kn beegnes ved hjælp f sinuseltionen. I denne sitution bestemme mn vinklen ud f sinus til vinklen, og dette give sædvnligvis nledning til to mulige vinkle; en stump og en spids. Dette give tilsvende nledning til to mulige teknte, som mn må undesøge hve fo sig. Nå denne vinkel e bestemt, kn sidste vinkel beegnes ud f t vinkelsummen skl væe 180, og til sidst findes den sidste side med osinuseltionen - elle med sinuseltionen 10

11 Ekst stof (mest til mt B) : 7. Tngens og mee om den etvinklede teknt En tedje tigonometisk funktion tngens elle kot tn e defineet ud f sinus og osinus, nemlig sådn: Et tleksempel: Definitionen buges ved udledningen f T3 nedenfo. Føst genopfiske vi f side 8 om etvinklede teknte: S1 = sin() S2 S3 b 1 b = os() 2 3 I opgve, hvo hypotenusen ikke indgå, kn mn dividee de to ktete: ltså: T3 11