CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 29 sider. Skriftlig prøve, den: 14. december 1999 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

Transkript

1 CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 29 sider Skriftlig prøve, den: 14. december 1999 Kursus nr : Kursus navn: Statistik 1 Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige Dettesæterbesvaretaf: (navn) (underskrift) (bord nr) Dererialt30spørgsmål fordelt på 20 opgaver, benævnt opgave 1,2,...,20 i teksten. De enkelte spørgsmål er nummereret fortløbende. Numrene på de enkelte spørgsmål er angivet som spørgsmål 1,2,...,30 i teksten. Bevarelserne af de 30 spørgsmål føres ind i nedenstående skema. Opgave Spørgsmål Svar Opgave Spørgsmål Svar Svarmulighederne for hvert spørgsmål er nummereret fra 1 til 6. Indføres et forkert nummer i skemaet, kan dette rettes ved at sværte det forkerte nummer over og anføre det rigtige nedenunder. Er der tvivl om meningen med en rettelse, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kun forsiden skal afleveres. Afleveres blankt eller forlades eksamen i utide, skal forsiden alligevel afleveres. Kladde, mellemregninger og bemærkninger tillægges ingen betydning, kun tallene indført ovenfor registreres. Der gives 5 point for et korrekt svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Husk at forsyne opgaveteksten med navn, underskrift og bordnummer. 1

2 Der gøres opmærksom på at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Sættets sidste side er nr 29; blad lige om og se, at den er der. I teksten benyttes betegnelsen log( ) for naturlige logaritmer, dvs. logaritmer med grundtal e. 2

3 Opgave 1 En virksomhed producerer en strømforsyningsenhed. Produktionen skønnes at være i statistisk kontrol sådan at de enkelte enheder har en outputspænding, der varierer fra enhed til enhed i overenstemmelse med en normalfordeling. Man udtager tilfældigt en stikprøve på 5 enheder fra produktionen og måler outputspændingen. Man fandt følgende værdier (i Volt): ; ; ; ; med gennemsnittet Volt, og spredningen s = (xi x) 2 /4= Volt. Spørgsmål 1 : Et 95% konfidensinterval for den gennemsnitlige outputspænding i produktionen er ± / ± / ± / ± / ± / 5 3

4 Opgave 2 Af et politisk indeks offentliggjort i Politiken den 14/ fremgår følgende tilslutninger til grupper af politiske partier Partigruppe Politisk index 12-16/ /10 Socialdemokratiet, Radikale 32% 31% Kons., CD, KF, Venstre 43% 42% SF, Enhedslisten 13% 14% Dansk Folkeparti, Fremskr. p., Øvrige 12% 13% Det oplyses at ( )=0.105 Endvidere antages, at hver af de to opgørelser er baseret på 1000 interviews. Spørgsmål 2 : Den sædvanlige teststørrelse for en hypotese om, at der ikke er sket bevægelser i tilslutningen til de politiske partier bliver : Spørgsmål 3 : Ved et test på et 5% niveau skal teststørrelsen sammenlignes med en fraktil i en passende fordeling. Værdien af denne er

5 Opgave 3 Ved en sammenligning af 3 forskellige missilsystemer har man undersøgt forbrændingshastigheden ved anvendelse af 4 forskellige typer brændstof. De kodede data fremgår af nedenstående tabel Missil- Brændstof type B1 B2 B3 B4 Sum M M M Sum Det oplyses, at 1 4 ( ) = ( ) = ( ) = = Spørgsmål 4 : Et test for en hypotese om, at der ikke er forskel på missiltyperne baseres sædvanligvis på teststørrelsen /(1054/11) 2 ( )/[( )/11] 3 [( )/2]/[( )/6] 4 [( )/1]/[( )/11] 5 [82/3]/[45.5/6] 5

6 Spørgsmål 5 : Hvis der ikke foreligger oplysninger om, at der er anvendt forskellige brændstoftyper, bliver teststørrelsen for en hypotese om, at der ikke er forskel på missiltyperne 1 [( )/2]/[( )/9] 2 [25.2/2]/[82/3] 3 [926.5/2]/ [( )/9]/[( )/6] 5 [82/3]/[45.5/6] 6

7 Opgave 4 Lad X og Y være indbyrdes uafhængige stokastiske variable med E[X] =µ x E[Y ]=µ y V[X] =α µ 2 x V[Y ]=β µ 2 y Spørgsmål logaritme, er 6 : Et approximativt udtryk for V[log(XY )], hvor log er den naturlige 1 αβ 2 αµ 2 y + βµ 2 x 3 α + β µ x µ y 4 α + β 5 α log µ 2 x + β log µ2 y. 7

8 Opgave 5 Som led i analysen af en måleproces lod man en operatør måle det samme prøveemne en række gange. (Undersøgelsen blev foretaget blindt, dvs operatøren var ikke klar over, at det var det samme emne, der blev målt). Der blev foretaget 5 målinger med ét måleinstrument, instrumenta,og4målinger med et andet lignende måleinstrument, instrument B. Som udtryk for gentagelsesnøjagtigheden beregnede man for hvert af de to instrumenter den empiriske varians, s 2 = (x i x) 2 /(n 1) mellem de 5, resp 4, gentagne målinger. For instrument A fandt man s 2 =2.30, og for instrument B fandt man s 2 =25.00, dvs forholdet mellem de to empiriske varianser er z 1 =10.87, og forskellen mellem de to varianser er z 2 =22.70 Man ønsker at sammenligne gentagelsesnøjagtigheden for de to instrumenter. Spørgsmål 7 : Ved test på et 5% -niveau vil man afvise en hypotese om at de instrumenter måler med samme gentagelsesnøjagtighed (imod alternativet, at nøjagtigheden er forskellig) 1 Hvis z 1 < 1/15.101, eller z 1 > Hvis z 1 < 1/9.979, eller z 1 > Hvis z 1 < 1/6.591, eller z 1 > Hvis z 2 < 1.96, eller z 2 > Hvis z 2 < 2.365, eller z 2 >

9 Spørgsmål 8 : Detoplyses,atsåfremt variansen for instrument B er 10 gange så stor som variansen for instrument A, da er styrken af dette test Dette betyder, at 1 Sandsynligheden for, at instrument B s varians er 10 gange så storsominstrument A s er Sandsynligheden for, at instrument B s varians er mere end 10 gange så storsom instrument A s er Hvis instrument B s varians er 10 gange så stor som instrument A s, er der en sandsynlighed på 0.52 for at konkludere at varianserne er forskellige 4 Hvis instrument B s varians er 10 gange så stor som instrument A s, er der en sandsynlighed på 0.52 for at stikprøvevarianserne er forskellige 5 Sandsynligheden for at varianserne er forskellige er ca

10 Opgave 6 Fra et spil kort udtages tilfældigt 4 kort uden tilbagelægning. Spørgsmål 9 : Da er sandsynligheden for, at ingen af kortene er hjerter, lig 1 ( ) ( )/( ( )/ (4) 4 ) 5 (1 39 (4) )/(1 52 (4) ) 10

11 Opgave 7 Et mobiltelefonselskab har erfaring for, at i et bestemt område mislykkes 1% af kundernes opkald. Det antages, at de mislykkede opkald optræder uafhængigt af hinanden. Spørgsmål 10 : Betragt en kunde i det pågældende område. Det forventede antal vellykkede opkald, der kan foretages, før det første mislykkede opkald er (det mislykkede opkald medregnes ikke): 1 98 opkald 2 99 opkald opkald opkald opkald 11

12 Opgave 8 I 1997 blev 40 danskere ramt af en salmonellainfektion, der skyldtes den multiresistente bakterie salmonella DT104. I 1998 steg antallet af DT104 ramte til 60. Vi ønsker nu at teste, om antallet af salmonella DT104 tilfælde kan anses for uændret mod alternativet, at der er sket en signifikant stigning. Spørgsmål 11 :En sådan analyse kan passende udføres ved sammenligning af to 1 Pascal fordelinger 2 Polynomial fordelinger 3 Poisson fordelinger 4 Gamma fordelinger 5 Binomial fordelinger Spørgsmål 12 : Det antages nu, at det forventede antal DT104 ramte er ens i de to år. Da er sandsynligheden for at observere en værdi af teststørrelsen, der er mindst lige så extrem som den aktuelle værdi, lig med 1 P{P (40) 60} 2 P{H(100, 40, 60) 60} 3 P{B(100, 1 2 ) 60} 4 P{N(50, 25) } 5 P{N(0, 1) } 12

13 Opgave 9 Man betragter 5 lokaliteter, hvor trafikmængden og øvrige trafikale forhold er ens. Det antages, at det forventede antal årlige ulykker med personskade på hver af de 5 lokaliteter er 3. Spørgsmål 13 : Sandsynligheden for at der i et givet år vil være 6 eller flere ulykker med personskade på den hårdest ramte lokalitet (den af de 5 lokaliteter, der har flest ulykker) er

14 Opgave 10 Betragt en proces, der lodder elektroniske komponenter på printplader. Det antages, at printplader med loddefejl optræder uafhængigt af hinanden, og at sandsynligheden for at en printplade har en loddefejl er 10 %. Man udtager nu en stikprøve på 50 printplader tilfældigt fra produktionen. Man ønsker at bestemme sandsynligheden for, at stikprøven højst indeholder 8 plader med loddefejl. Spørgsmål 14 : Den bedste normalfordelingsapproximation til denne sandsynlighed er: 1 Φ( ) 2 ( ) Φ ( ) Φ ( ) Φ ( ) Φ

15 Opgave 11 En virksomhed foretager maling af aluminiumsoverflader. Man ønsker at undersøge i hvor høj grad malingens vedhæftning afhænger af hvilken primer, der benyttes, og af den metode, der benyttes til påføring af primeren. Man udfører derfor en række forsøg med tre forskellige primere, der blev undersøgt ved påførelse med spraying og ved dypning af emnet i primeren. For hver kombination af primer og påføringsmetode blev der malet tre prøveemner. Nedenstående tabel viser de fundne vedhæftningsstyrker. Vedhæftning Påføringsmetode Primer Spraying Dypning Nedenstående tabel viser den gennemsnitlige vedhæftning for de forskellige kombinationer, tillige med gennemsnittene for hver primer og for hver påføringsmetode. Gennemsnitlig vedhæftning Påføringsmetode Primer Spraying Dypning gnsnit gnsnit Der udføres en tosidet variansanalyse for at vurdere de eventuelle forskelle i vedhæftningsevne. Man får variansanalyseskemaet: Kvadrat- Variation afvigelses- sum Mellem primer typer 4.58 Mellem påføringsmetoder 4.91 Vekselvirkning 0.24 Inden for celler 0.99 Ialt

16 Spørgsmål estimeres til: 15 : Vekselvirkningseffekten for primertype 3 og påføring ved dypning = = = ( ) ( ) = [ ] = 0.16 Spørgsmål 16 : En eventuel vekselvirkning mellem primertype og påføringsmetode udtrykker: 1 Det er alene primertypen, der har betydning for vedhæftningen 2 Det er alene påføringsmetoden, der har betydning for vedhæftningen 3 Forskellen mellem vedhæftningen for de to påføringsmetoder afhænger af den benyttede primertype 4 Der er samme forskel på vedhæftningen for de to påføringsmetoder som for primertyperne 5 Både primertype og påføringsmetode har betydning for vedhæftningen Spørgsmål 17 : Ved test på et 5 % niveau vil man forkaste hypotesen om ingen vekselvirkning, hvis den sædvanlige teststørrelse er 1 mindre end 1/ større end større end større end større end

17 Opgave 12 Ved produktion af småkager, der pakkes i pakker med 10 stykker i hver, er man interesseret i at bestemme sandsynligheden for at den samlede vægt af de 10 kager i en pakke er mindre end 250 g. Man ved, at vægten af kagerne kan antages at være indbyrdes uafhængige, og at fordelingen af vægten af de enkelte kager kan beskrives ved en normalfordeling med middelværdi 25.6 g og varians 5.0 g 2. Spørgsmål 18 : Den søgte sandsynlighed bliver da: 1 ( ) Φ ( ) Φ ( ) Φ 50 ( ) Φ 50 ( ( )) Φ

18 Opgave 13 I et undersøgelse, der havde til formål at belyse, hvorvidt der er fysiologiske forandringer forbundet med sindslidelsen skizofreni, undersøgte man 10 par enæggede (monozygotiske) tvillinger, hvoraf den ene tvilling var diagnosticeret som skizofren, mens den anden ikke havde denne diagnose. Ved brug af et magnetisk resonans-scanne udstyr målte man volumenet af et delområde i hjernen (den venstre hippocampus) på begge tvillinger. Resultaterne er angivet nedenfor: Volumen (i cm 3 ) af den venstre hippocampus hos 10 par monozygotiske tvillinger, hvoraf den ene tvilling var diagnosticeret som skizofren Tvil.par Diagnose Ej skizofren Skizofren Spørgsmål 19 : Man er interesseret i at vurdere, hvorvidt der er forskel på hjernevolumenet hos skizofrene og ikke-skizofrene personer. Ud fra disse data gøres dette bedst ved 1 Test for homogenitet af 2 fordelinger 2 Uparret t-test 3 Tosidet variansanalyse 4 Regressionsanalyse 5 Parret t-test 18

19 Opgave 14 Som led i en undersøgelse af effekten af forskellige kosttilskud udvalgtes 13 mandlige forsøgspersoner med forhøjet blodtryk. De 13 personer blev opdelt tilfældigt i to grupper, der i en periode på 4 uger fik hver sin kost. I den ene gruppe var kosten tilberedt med vegetabilsk olie, og i den anden gruppe var kosten tilberedt med fiskeolie. Nedenstående tabel viser nedsættelsen i det diastoliske blodtryk (i mm kviksølv) for de 13 personer. En positiv værdi angiver således at blodtrykket er nedsat. Kost Fiskeolie Vegetabilsk olie Antal 6 7 gsnit, x (xi x) s Det antages, at variansen i fordelingen af blodtryksændringen er den samme i to grupper. 19

20 Spørgsmål 20 : Man ønsker nu at vurdere, om man kan påstå, at tilberedning af mad med fiskeolie nedsætter blodtrykket. Under ovenstående antagelse er den bedste teststørrelse: 1 z = 2 z = 3 z = 4 z = 5 z = Spørgsmål 21 : Ved test på et 5% niveau vil man konkludere, at tilberedning af mad med fiskeolie nedsætter blodtrykket, hvis 1 z< z< z> z> z>

21 Opgave 15 En virksomhed producerer en bestemt type plastposer til medicinsk brug. Det vides, at fordelingen af trækstyrken for poserne kan beskrives ved en Max 1 (5,2)-fordeling Poserne pakkes i æsker med 10 poser i hver. Spørgsmål 22 : Fordelingen af trækstyrken for den pose i hver æske, der har den største trækstyrke, er da en 1 Max 1 (5,2)-fordeling 2 Max 1 (5+ 2 log(10),2)-fordeling 3 Max 1 (5+ 10 log(2),2)-fordeling 4 Max 1 (5,2/10)-fordeling 5 N(50,20)-fordeling 21

22 Opgave 16 Et myndighedskrav til indholdet af sprøjtegiftrester i æbler er, at det ikke må overstige 0.01 mg/kg. En frugtplantage har fundet, at indholdet (i mg/kg) af rester af sprøjtegiften Captan varierer hen over æblerne i overensstemmelse med en LN(-4.75, )-fordeling. Spørgsmål 23 : Sandsynligheden for at Captanindholdet i et tilfældigt udtaget æble er større end 0.01 mg/kg. er ( ) log(0.01) log(4.75) Φ log(0.10) ( ) log(0.01) Φ 0.10 ( ) log(0.01) Φ 0.10 ( ) 0.01 exp( 4.75) 1 Φ exp(0.10) ( 0.01 exp( ) 2 1 Φ ) exp( )(exp( ) 1) 22

23 Opgave 17 En større virksomhed har et servicetelefonnummer, hvor kunder kan ringe og meddele fejl eller søge oplysninger. I en længere periode har man registreret antallet af opkald til dette nummer. Det har vist sig, at i tidsrummet mellem kl. 13 og 16 ankommer opkaldene tilfældigt med en intensitet på 2 opkald i minuttet. Spørgsmål 24 : Sandsynligheden for at der ikke kommer nogen opkald i minuttet fra kl. 15:00 til 15:01 er da 1 exp( 2) 2 exp( 0.5) 3 1 exp( 2) 4 1 exp( 0.5) exp( 0.5) Spørgsmål 25 : Sandsynligheden for at der kommer mindst ét opkald i det halve minut mellem kl. 14:00:00 og 14:00:30 er 1 exp( 1/4) 2 1 exp( 1) 3 1 exp( 2) 4 1 exp( 1/4) exp( 0.5) 23

24 Opgave 18 Nedenstående data hidrører fra en undersøgelse af sammenhængen mellem massefylde og brudstyrke for tømmer fra en bestemt lokalitet. Man udtog en stikprøve på 10stykkertømmerogforhvertstykkebestemtemanmassefylde (i g/cm 3 ) og brudstyrken (i MPa). Resultaterne er angivet nedenfor Man ønsker at bestemme brudstyrken som en lineær funktion af massefylden, hvorfor man udfører en lineær regressionsanalyse med massefylden som uafhængig variabel, og brudstyrken som afhængig variabel. Man fandt variansanalyseskemaet: masse - brudfylde styrke Antal gnsnit, x (xi x) Produktafvigelsessum Kvadrat- Variation afvigelses- sum Regressionslinien Omkring regressionslinien Ialt Man finder estimatet for regressionsliniens hældning: β = MPa/(g/cm 3 ). 24

25 Spørgsmål 26 : Det sædvanlige test for, hvorvidt brudstyrken kan antages at afhænge af massefylden har teststørrelsen: / / / / /9 25

26 Spørgsmål 27 : På andre lokaliteter har man fundet en lineær sammenhæng mellem brudstyrke og massefylde med en hældning på MPa/(g/cm 3 ). Man ønsker nu at teste, hvorvidt regressionsliniens hældning på den undersøgte lokalitet kan påstås at være større end MPa/(g/cm 3 ). Den bedste teststørrelse for dette test bestemmes som: /

27 Spørgsmål 28 : Et 95% konfidensinterval for middelbrudstyrken svarende til en massefylde på 0.5 g/cm 3 er: ± ± ( ) ± ( ) ± ( ) ( ) ±

28 Opgave 19 Ved et kontrolbesøg hos en ægleverandør udvalgte man tilfældigt 15 æg, som blev kontrolleret for salmonellainfektion. Man fandt, at ét af de 15 æg var inficeret med salmonella. Spørgsmål 29 : Et 95 % konfidensinterval for andelen af salmonellainficerede æg hos den pågældende leverandør har grænserne: og og og og og

29 Opgave 20 En virksomhed producerer emballage med en nominel vægt på 10 g. Der udtages en stikprøve på 4 stykker emballage fra produktionen, og man bestemmer den gennemsnitlige vægt, og den empiriske spredning, s = i (x i x) 2 /3 for stikprøven. Man fandt gennemsnittet, x = 11 g, og spredningen, s =2g. Spørgsmål 30 : Idet der benyttes et 5% signifikansniveau konkluderer man 1 Middelvægten i produktionen er signifikant større end 10 g 2 Man kan ikke afvise, at middelvægten i produktionen er mindre end 10 g 3 Middelvægten i produktionen er signifikant mindre end end 10 g 4 Middelvægten i produktionen afviger signifikant fra 10 g 5 En stikprøve på fire stykker er alt for lille Slut på opgavesættet. 29