Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Transkript

1 Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl

2 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaverne må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang klart fremgår, herunder om der i opgavebesvarelsen er: - En forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på - En hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen - Dokumentation af beregninger og anvendt fremgangsmåde ved hjælp af mellemregninger, forklarende tekst og brug af it-værktøjer - Brug af figurer og illustrationer - En tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer - En afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af sædvanlig matematisk notation.

3 Side 1 af 7 sider Opgave 1 Figur 1 viser en del af graferne for funktionerne f og g y f 10 g 5 Figur x Funktionerne f og g har forskrifterne f x= x x+ x+ gx= x x ( ) 8 og ( ) 4 a) Bestem skæringspunktet mellem grafen for f og y-aksen. b) Bestem koordinaterne til de lokale ekstremumspunkter for f. Funktionen h angiver den lodrette afstand mellem grafen for f og grafen for g. y f c) Bestem en regneforskrift for h d) Bestem den maksimale værdi for h i intervallet x [ 0;8]. Figur 2 viser graferne for f og g samt et tonet område 10 5 g e) Bestem arealet af det tonede område. Figur x

4 Side 2 af 7 sider Opgave 2 Billedet viser en skål, der har form som et omdrejningslegeme. Figur 3 viser et snit midt gennem skålen med mål. Alle mål er i centimeter. Det gråtonede område drejes om x-aksen. Derved fremkommer et omdrejningslegeme, som danner skålen. Bemærk at skålen er drejet 90 0 med uret i forhold til billedet. y f x Figur 3 Funktionen f har regneforskriften 57 f( x) = x+ 25, x 0;15 5 [ ] a) Bestem skålens største diameter. Der skal fyldes vand i skålen b) Bestem hvor mange liter skålen kan rumme. c) Hvor højt står vandet, når der er 3 liter i skålen?

5 Side 3 af 7 sider Opgave 3 Figur 4 viser en måleopstilling, hvor spændingsfaldet U over en kondensator måles til tiden t. Måledata er vist i tabel 1 kondensator V R modstand Figur 4 t (sekunder) U (volt) 7,98 5,36 3,59 2,37 1,60 1,06 Tabel 1: Måledata a) Vis, at sammenhængen mellem t og U med rimelighed kan beskrives med en eksponentiel udvikling. b) Bestem forskriften for U(t). c) Tegn grafen for U(t) og måledata i samme koordinatsystem. d) Bestem til hvilken tid t at spændingen er 2,00.

6 Side 4 af 7 sider Opgave 4 Billedet viser en scene på et torv. C A Figur 5 3 B Scenen består af en regulær 8 kant med en overdækning. Figur 5 viser scenegulvet set fra oven. Målene er angivet i meter. a) Bestem længde AC (se figur 5). b) Bestem arealet af scenegulvet, som er vist gråtonet på figur 5. Figur 6 viser en skitse af en del af tagkonstruktionen. Punktet T er lodret over punkt C. Målene er angivet i meter. T v D 2,00 3,80 C A B Figur 6 c) Bestem længden af linjestykket DT. d) Bestem vinkel v mellem linjestykke DT og linjestykke BD (se figur 6).

7 Side 5 af 7 sider Af opgaverne 5A, 5B og 5C må kun 2 afleveres til bedømmelse. Hvis mere end 2 opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de første to opgaver. Opgave 5A Figur 7 viser en kurve, der er beskrevet ved vektorfunktionen r r med forskriften r 0,5 + cos( t) rt ( ) =, t 0;2 sin( t) + cos( t) [ π ] y x -1 Figur 7 a) Bestem koordinaterne til de punkter, hvor kurven skærer y-aksen. b) Bestem koordinaterne til de punkter, hvor der er en vandret tangentvektor. π c) Bestem vinklen mellem tangent- og positionsvektor for t =. 2

8 Side 6 af 7 sider Opgave 5B Billedet viser en overbygning ved en tankstation. Taget holdes af nogle lineære stænger, som skitseret på figur 8 B A C Figur 8 Punkterne A, B og C har koordinaterne A( 0; 0; 3,5 ), B( 0,5; 0,5; 4 ) og C( 0,5; 0,5; 4) a) Bestem afstanden mellem punkt A og punkt B. Linje m går gennem punkterne A og B. b) Bestem en parameterfremstilling for linje m. c) Bestem vinklen mellem linjestykke AB og linjestykke AC.

9 Side 7 af 7 sider Opgave 5C Figur 9 viser linjerne m og l i et koordinatsystem. Linjerne har ligningerne m: y = x 2 1 l: y = x+ 4 2 y m C l x Figur 9 a) Bestem skæringspunktet C mellem linje m og linje l (se figur 9). Der indlægges en cirkel med centrum i punkt C, hvor y-aksen er tangent til cirklen, se figur 9. b) Bestem en ligning for cirklen. c) Bestem arealet af det gråtonede område på figur 9.

10

11

12